1、2020 年高考数学一模试卷（文科）年高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1设（1+i）z ，则 z 的共轭复数 （ ） A42i B4+2i C2i D2+i 2设集合 UR，Ax|x23x，Bx|x2，则（UA）B（ ） Ax|0x2 Bx|0x2 Cx|x0 Dx|2x3 3下列函数中为奇函数的是（ ） Ayx2 By2x+2x Cycos（x ） Dy|lnx| 4珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的数术记遗.2013 年联合国教 科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产如图，我国传统算 盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘
2、”未记数（或表示零）时，算盘 每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表 示“1”例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所 表示的数是 515现选定“个位档”“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁 （其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被 3 整除 的概率为（ ） A B C D 5已知 是圆周率，e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） Alnln3log3e Blnlog3eln3 Cln3log3eln Dln3lnlog3e 6已知直线 l 经过 A（1，3）和 B（1，1）两点
3、，若将直线 l 绕点 A 按逆时针方向旋转 后到达直线 1的位置，则 l的方程为（ ） Axy+20 B3x+y60 C2xy+50 D3x+y+40 7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ ） A9 B C D 8已知数列an满足 a12，an+1 ，则 a2020（ ） A B C D 9已知圆锥的底面半径为 2，高为 4 ，则该圆锥的内切球表面积为（ ） A4 B4 C8 D8 10函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，| ）的部分图象如图所示，将函数 f （x）的图象向右平移 个单位后，所得到的图象对应的函数为（ ） Ay2sin
4、（2x ） By2sin（ ） Cy2sin（2x ） Dy2sin（ ） 11已知正方体 ABCDA1B1C1D1，棱长为 4，BB1的中点为 M，过 D、M、C1三点的平面 截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ） A18 B6 C12 D36 12已知函数 f（x） ， ， ，若存在互不相等的正实数 x1、x2、x3，满足 f（x1）f（x2）f（x3），其中 x1x2x3，则 x3 f（x1）的最大值为（ ） A B4 C9 D36 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知平面向量 、 ，若 （1，2）， ， （ ），则| | 14ABC 的内角 A、
5、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2，b ，sinC sinB，则 ABC 的面积为 15某地为了解居民的每日总用电量 y（万度）与气温 x（C）之间的关系，收集了四天 的每日总用电量和气温的数据如表： 气温 X（C） 19 13 9 1 每日总用电量 y（万度） 24 34 38 64 经分析，可用线性回归方程 拟合 y 与 X 的关系据此预测气温为 14C 时， 该地当日总用电量 y （万度）为 16设 F 为双曲线 C： 1（a0，b0）的左焦点，过 F 作圆 x 2+y2a2的切线， 切点为 M， 切线与渐近线 y x 相交于点 N， 若|MN|2|MF|， 则 C 的离心率为
6、三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17已知公差不为零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，S315，且 a1，a3，a11成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnan （ ） n，试问数列b n是否存在最大项？若存在，求出最大项序号 n 的 值；若不存在，请说明理由 18为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年 的科技素质 某市开展 “青少年科技创新大赛” 活动 已知参加该活动的学生有
7、 1000 人， 其中男生 600 人，女生 400 人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现 采用分层抽样的方法， 从中随机抽取了 100 名学生的参赛成绩， 其频率分布直方图如图： （1） 该活动规定： 成绩不低于60分的参赛学生可获奖， 低于60分的参赛学生不能获奖 请 将参赛学生获奖和不获奖的人数填入如表的列联表，并判断能否有 90%以上的把握认为 “参赛学生是否获奖与性别有关”？ 获奖 不获奖 合计 男生 女生 合计 100 （2）估计这 100 名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） 附： P（K2k） 0.40 0.25 0.15 0.1
8、0 k 0.708 1.323 2.072 2.706 19已知三棱柱 ABCA1B1C1，侧面 BCC1B1为正方形，底面 ABC 为正三角形，BC1B1C O，A1B1A1C （1）求证：B1C平面 A1BC1； （2）若 BC2，求点 C 到平面 A1B1C1的距离 20已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，且椭圆 C 过点（0，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知直线 l：yx+m（m0）与椭圆 C 交于 A、B 两点，点 O 为坐标原点，在椭圆 C 上是否存在一点 P，满足 ？若存在，求ABP 的面积；若不存在， 请说明理由 21已知函数 f（x）cosx x 2a （1
9、）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（，f（）处的切线方程； （2）当 a1 时，求证：对任意的 x0，2，f（x）0 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题 目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程 22 如图， 有一种赛车跑道类似 “梨形” 曲线， 由圆弧 ， 和线段 AB， CD 四部分组成， 在极坐标系 Ox 中， A （2， ） ， B （1， ） ， C （1， ） ， D （2， ） ， 弧 ， 所在圆的圆心分别 是（0，0），（2，0），
10、曲线是弧 ，曲线 M2是弧 （1）分别写出 M1，M2的极坐标方程： （2）点 E，F 位于曲线 M2上，且 ，求EOF 面积的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|x2+2t|+| t3|（x0） （1）若 f（1）2，求实数 t 的取值范围； （2）求证：f（x）2 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1设（1+i）z ，则 z 的共轭复数 （ ） A42i B4+2i C2i D2+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：（1+i）z ， z
11、 ， 则 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2设集合 UR，Ax|x23x，Bx|x2，则（UA）B（ ） Ax|0x2 Bx|0x2 Cx|x0 Dx|2x3 【分析】可解出集合 A，然后进行交集、补集的运算即可 解：Ax|x0，或 x3； UAx|0x3； （UA）Bx|0x2； 故选：B 【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔 细解答 3下列函数中为奇函数的是（ ） Ayx2 By2x+2x Cycos（x ） Dy|lnx| 【分析】根据题意，依次分析选项中函数是否是奇函数，综合即可得答案 解：根据题意
12、，依次分析选项： 对于 A，yx2 ，其定义域为x|x0，有 f（x）f（x）且 f（x）f（x），即 函数 yx2 既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意； 对于 B，y2x+2x，其定义域为 R，有 f（x）f（x），函数 y2x+2x为偶函数，不 符合题意； 对于 C，ycos（x ）sinx，是其定义域为 R，有 f（x）f（x），则函数 y cos（x ）是奇函数，符合题意； 对于 D，y|lnx|，其定义域为（0，+），既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题 4珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰
13、写的数术记遗.2013 年联合国教 科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产如图，我国传统算 盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”未记数（或表示零）时，算盘 每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表 示“1”例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所 表示的数是 515现选定“个位档”“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁 （其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被 3 整除 的概率为（ ） A B C D 【分析】列举所有可能表示的三位数，在其所有可能表示的三位数
14、中随机取一个数，这 个数能被 3 整除包含的三位数的个数，由此能求出这个数能被 3 整除的概率 解：选定“个位档” “十位档”和“百位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动）， 所有可能表示的三位数有： 111，115，151，515，155，515，551，555，共 8 个， 则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数， 这个数能被 3 整除包含的三个数有：111，555，共 2 个， 这个数能被 3 整除的概率为 p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题 5已知 是圆周率，e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） Aln
15、ln3log3e Blnlog3eln3 Cln3log3eln Dln3lnlog3e 【分析】利用对数函数的性质求解 解：函数对数 ylnx 和 ylog3x 在（0，+）上单调递增，且 3e， lnln3lne1，又log3elog331， lnln3log3e， 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 的性质的合理运用 6已知直线 l 经过 A（1，3）和 B（1，1）两点，若将直线 l 绕点 A 按逆时针方向旋转 后到达直线 1的位置，则 l的方程为（ ） Axy+20 B3x+y60 C2xy+50 D3x+y+40 【分析】 直线l
16、的斜率为 2， 设l的斜率为k， 由题意得k0， 则tan ， 求出 l的斜率，由此能求出 l的方程 解：直线 l 经过 A（1，3）和 B（1，1）两点， 直线 l 的斜率为 2， 将直线 l 绕点 A 按逆时针方向旋转 后到达直线 1的位置， 设 l的斜率为 k，由题意得 k0， 则 tan ，解得 k3 或 k （舍）， l的方程为 y33（x1），即 3x+y60 故选：B 【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、直线夹角公式等基础知识，考查推 理论证能力与运算求解能力，属于中档题 7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ ） A
17、9 B C D 【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积 解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为 2 的半球，下面 为底面半径为 2，高为 3 的半圆柱体 如图所示： 故 V 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积 公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8已知数列an满足 a12，an+1 ，则 a2020（ ） A B C D 【分析】由 an+1 可得 ，又 a12，所以数列 是首项为 ，公差 为 的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求出结果 解：an+1 ， ，即
18、， ，又a12， 数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ， ， ， 故选：B 【点评】本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的通项公式，是中档题 9已知圆锥的底面半径为 2，高为 4 ，则该圆锥的内切球表面积为（ ） A4 B4 C8 D8 【分析】先由题设条件求出圆锥的轴截面，再求其内切圆的的半径，即为圆锥内切球的 半径，最后解决其表面积问题 解：如图所示：PAB 为圆锥的轴截面，且 AB2R4，OP4 ， 在直角三角形 POA 中，PA 6设PAB 内切圆的半径为 r， SPAB ABPO8 （PA+PB+AB） r （12+4） r， r 即为圆锥的内切球的半径故其表面积为 4r28
19、 故选：D 【点评】本题主要考查圆锥的内切球问题，属于基础题 10函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，| ）的部分图象如图所示，将函数 f （x）的图象向右平移 个单位后，所得到的图象对应的函数为（ ） Ay2sin（2x ） By2sin（ ） Cy2sin（2x ） Dy2sin（ ） 【分析】直接利用函数的图象的应用求出函数 f（x）的关系式，进一步利用图象的变换 的应用求出结果 解：根据函数的图象：A2，T ， 所以 2 当 x 时，函数取得最小值， 故 ，解得 2k ，kZ， 当 k0 时， 故 f（x）2sin（2x ）， 所以把 f（x）2sin（2x ）的图象向右平移 个
20、单位得到 g（x） ， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11已知正方体 ABCDA1B1C1D1，棱长为 4，BB1的中点为 M，过 D、M、C1三点的平面 截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ） A18 B6 C12 D36 【分析】取 AB 中点 N，连结 DN，MN，推导出 MNDC1，且 MN DC12 ，DN C1M2 ， 从而过D、 M、 C1三点的平面截正方体为两部分的截面图形为等腰梯形DNMC1， 由此能求出截面图形的面积 解：取 AB 中点 N，连结 DN，MN
21、， 正方体 ABCDA1B1C1D1，棱长为 4，BB1的中点为 M， MNDC1，且 MN DC12 ，DNC1M2 ， 过 D、M、C1三点的平面截正方体为两部分的截面图形为等腰梯形 DNMC1， 截面图形的面积为： S 18 故选：A 【点评】本题考查截面图形的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题 12已知函数 f（x） ， ， ，若存在互不相等的正实数 x1、x2、x3，满足 f（x1）f（x2）f（x3），其中 x1x2x3，则 x3 f（x1）的最大值为（ ） A B4 C9 D36 【分析】 作出图象， 可得
22、1x39， 结合条件得到 x3f （x1） x3f （x3） x3 （3 ） ， 换元构 造函数 g（t）3t2t3，利用导数求得其最大值即可 解：作出函数 f（x）的图象如图： 由图可得，1x39，且有 f（x1）f（x3）， 则 x3 f（x1）x3 f（x3）x3 （3 ），其中 1x 39， 令 t ，则 t（1，3），g（t）x3 f（x1）t2（3t）3t2t3， 所以当 g（t）6t3t20，解得 t2， 即当 t（1，2）时，g（t）单调递增，t（2，9）时，g（t）单调递减， 则 g（t）x3 f（x1）最大 4 值为 g（2）3484， 故选：B 【点评】本题考查分段函数的
23、图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知平面向量 、 ，若 （1，2）， ， （ ），则| | 【分析】由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出 结果 解：平面向量 、 ，若 （1，2）， ，故可设 （，2） （ ）， 5+（+4）0，求得 1， 则| | | ， 故答案为： 【点评】本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基 础题 14ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2，b ，sinC sinB，则 ABC 的面积为 【分析】由正弦
24、定理化简已知等式可得 c 的值，利用余弦定理可求 cosC，根据同角三角 函数基本关系式可求 sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解 解：a2，b ，sinC sinB， 由正弦定理可得 c b3， cosC ，可得 sinC ， SABC absinC 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面 积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 15某地为了解居民的每日总用电量 y（万度）与气温 x（C）之间的关系，收集了四天 的每日总用电量和气温的数据如表： 气温 X（C） 19 13 9 1 每日总用电量 y（万度） 24
25、34 38 64 经分析，可用线性回归方程 拟合 y 与 X 的关系据此预测气温为 14C 时， 该地当日总用电量 y （万度）为 32 【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，求出 a，然后求解该地当日总用电量 解：由题意可知： 10， 40， 所以 40210+a，解得 a60 线性回归方程 ， 预测气温为 14C 时， 可得 y28+6032 故答案为：32 【点评】本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题 16设 F 为双曲线 C： 1（a0，b0）的左焦点，过 F 作圆 x 2+y2a2的切线， 切点为 M，切线与渐近线 y x 相交于点 N，若|MN|2|MF|，则 C
26、 的离心率为 【分析】先在 RtOMF 中求出|MF|的长和 tanMFO，从而得到直线 MN 的方程，将其 与渐近线方程 y x 联立，解得点 N 的坐标，再在 RtOMF 中，由三角形的等面积法求 得 M 的纵坐标，由于|MN|2|MF|，所以 ，最后结合 b 2c2 a2和 即可求得离心率 解：根据题意，作出如图所示的图形，F（c，0），|OM|a， 在 RtOMF 中，|MF| ，tanMFO ， 直线 MN 的方程为 y （x+c）， 联立 ，解得 ， ， 由三角形的等面积法可知， |MN|2|MF|， ， 又 b2c2a2， ，离心率 故答案为： 【点评】 本题考查双曲线中的渐近线
27、、 离心率等几何性质， 还涉及直线与圆的位置关系、 两条直线的交点坐标等知识点， 考查学生综合运用知识的能力和运算能力， 属于中档题 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17已知公差不为零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，S315，且 a1，a3，a11成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnan （ ） n，试问数列b n是否存在最大项？若存在，求出最大项序号 n 的 值；若不存在，请说明理由 【分析】本题第（1）题
28、先通过等差数列的求和公式和等差中项的性质可计算出 a25， 再设等差数列an的公差为 d（d0），将 a1，a3，a11均表示成 a2与 d 的表达式，根据 等比中项的性质列出算式，即可计算出公差 d 的值，即可计算出等差数列an的通项公 式； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后假设数列bn存在最 大项，则有 ，代入通项公式列出不等式组，化简整理并计算出 n 的取值范围， 再判断出 n 的值是否存在即可判断数列bn是否存在最大项 解：（1）由题意，可知 S3 3a215，解得 a25， 设等差数列an的公差为 d（d0），则 a15d，a35+d，a115+（112
29、） d5+9d， a1，a3，a11成等比数列， a32a1 a11，即（5+d）2（5d）（5+9d）， 整理，得 d23d0， 解得 d0（舍去），或 d3， an5+（n2） 33n1，nN* （2）由（1）知，bnan （ ） n（3n1） （ ） n， 依题意，假设数列bn存在最大项，则有 ， 即 ， 化简，得 ， 解得 n ， nN*，n6， 故数列bn存在最大项，且取得最大项时 n 的值为 6 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的相关计算，以及通过计算不等式组的方法 找到数列的最大项考查了转化与化归思想，方程思想，以及不等式的运算能力，逻辑 思维能力和数学运算能力本题属中档题
30、 18为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年 的科技素质 某市开展 “青少年科技创新大赛” 活动 已知参加该活动的学生有 1000 人， 其中男生 600 人，女生 400 人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现 采用分层抽样的方法， 从中随机抽取了 100 名学生的参赛成绩， 其频率分布直方图如图： （1） 该活动规定： 成绩不低于60分的参赛学生可获奖， 低于60分的参赛学生不能获奖 请 将参赛学生获奖和不获奖的人数填入如表的列联表，并判断能否有 90%以上的把握认为 “参赛学生是否获奖与性别有关”？ 获奖 不获奖 合计 男生 女生 合计
31、 100 （2）估计这 100 名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） 附： P（K2k） 0.40 0.25 0.15 0.10 k 0.708 1.323 2.072 2.706 【分析】（1）先利用分层抽样的方法得到抽取的 100 名学生中男生、女生的人数，再结 合频率分布直方图求出 男生中获奖的人数和不获奖的人数，女生中获奖的人数和不获奖的人数，完成列联表即 可，计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格，得出统计结论； （2）用每组的区间中点值乘以该组的频率依次相加，分别求出男生的平均成绩和女生的 平均成绩，再求平均值即可求出结果 解：（1）由题意可知，
32、抽取的 100 名学生中男生有 60 人，女生有 40 人， 所以男生中获奖的人数为： 20.0125206030 人， 不获奖的人数为 603030 人， 女生中获奖的人数为：（0.0125+0.0075）204016 人，不获奖的人数为 401624 人， 所以 22 列联表如下： 获奖 不获奖 合计 男生 30 30 60 女生 16 24 40 合计 46 54 100 所以 K 的观测值：K2 0.9662.706； 所以没有 90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”； （2）男生得分的平均值的估计值为：100.002520+300.007520+500.0150 20+7
33、00.012520+900.01252060（分）， 女生得分的平均值的估计值为：100.005020+300.010020+500.015020+70 0.012520+900.00752053（分）， 所以这 100 名学生的参赛成绩的平均数的估计值为： 56.5（分） 【点评】 本题考查了独立性检验的应用问题， 也考查了计算能力的应用问题， 是中档题 19已知三棱柱 ABCA1B1C1，侧面 BCC1B1为正方形，底面 ABC 为正三角形，BC1B1C O，A1B1A1C （1）求证：B1C平面 A1BC1； （2）若 BC2，求点 C 到平面 A1B1C1的距离 【分析】（1）由侧面
34、BCC1B1为正方形，得 B1CBC1，再由已知可得 B1CA1O，由直 线与平面垂直的判定可得 B1C平面 A1BC1； （2）由（1）知，A1OB1C，再由已知可得 A1C1A1C，再证明三角形全等可得A1OC1 A1OC90，得到 A1O平面 BB1C1C，求出多面体 A1BB1C1C 的体积，得到棱柱 的体积， 设点 C 到平面 A1B1C1的距离为 h， 由棱柱体积列式求得点 C 到平面 A1B1C1的距 离 【解答】（1）证明：如图，侧面 BCC1B1为正方形，B1CBC1， 又 A1B1A1C，O 为 B1C 的中点，B1CA1O， 又 BC1A1OO， B1C平面 A1BC1；
35、 （2）解：由（1）知，A1OB1C， 由侧面 BCC1B1为正方形，底面 ABC 为正三角形，A1B1A1C， 得 A1C1A1C， 在A1OC 与A1OC1 中，由 A1C1A1C，OCOC1，A1OA1O， 得A1OCA1OC1，可得A1OC1A1OC90， A1O平面 BB1C1C，得 A1OBC1 由 BC2，得 ， 多面体 A1BB1C1C 的体积 V ， 由等积法可得 设点 C 到平面 A1B1C1的距离为 h， 由 ，解得 h 点 C 到平面 A1B1C1的距离为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了推理能力与计算能力，训练了利用等 体积法求点到平面的距离，属于中档题
36、20已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，且椭圆 C 过点（0，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知直线 l：yx+m（m0）与椭圆 C 交于 A、B 两点，点 O 为坐标原点，在椭圆 C 上是否存在一点 P，满足 ？若存在，求ABP 的面积；若不存在， 请说明理由 【分析】（1）将点代入椭圆可得 b，利用离心率以及 a2b2+c2即可求出 a，则有椭圆方 程； （2） 联立直线与椭圆， 利用根与系数关系表示出 P 的坐标，代入椭圆即可求出 m 的值 解： （1） 由题得 e ， 所以 c2 a 2， 将 （0， 1） 代入得到 b21， 结合 a2b2+c2， 解得 a22，c2
37、1， 故椭圆 C 的方程为 ； （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立 ， 整理得 3x2+4mx+2m220，则 x1+x2 ，x1x2 ， 所以 y1+y2x1+x2 +2m ， 若有 ，即有 （ ）（ ， ）（ ， ）， 又因为 P 在椭圆上， 故（ ）2 +2（ ）22，解得 m ， 所以直线 l：yx ，经计算可得点 P 到直线 l 的距离 d ， 则 SABP |AB| 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直 线方程的求法，注意讨论直线的斜率，以及联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理和判 别式大于 0，同时考查向量加法的坐标运算，属于
38、中档题 21已知函数 f（x）cosx x 2a （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（，f（）处的切线方程； （2）当 a1 时，求证：对任意的 x0，2，f（x）0 【分析】（1）根据导数和的几何意义，即可求出切线方程； （2）根据导数和函数单调性及最值，即可求出 解：（1）当 a1 时，f（x）cosx x 21， 则 f（x）sinx x， 切线的斜率 kf（） ， f（）2 ， 曲线 yf（x）在点（，f（）处的切线方程为 y+2 （x），即 2x4y 820 证明：（2）当 a1 时，f（x）sinx x， 当 x0，2时，sinx0，则sinx0， 0， f（x）sinx
39、x0，在0，2上恒成立， f（x）在0，2上单调递增， f（x）f（2）cos2+aacos20， 故对任意的 x0，2，f（x）0 【点评】 本题考查了导数和几何意义和导数和函数的最值的关系， 考查了运算求解能力， 转化与化归能力，属于中档题 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题 目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程 22 如图， 有一种赛车跑道类似 “梨形” 曲线， 由圆弧 ， 和线段 AB， CD 四部分组成， 在极坐标系 Ox 中， A （2
40、， ） ， B （1， ） ， C （1， ） ， D （2， ） ， 弧 ， 所在圆的圆心分别 是（0，0），（2，0），曲线是弧 ，曲线 M2是弧 （1）分别写出 M1，M2的极坐标方程： （2）点 E，F 位于曲线 M2上，且 ，求EOF 面积的取值范围 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的 性质的应用求出结果曲线是弧 ， 解：（1）由题意可知：M1的极坐标方程为 记圆弧 AD 所在圆的圆心（2，0）易得极点 O 在圆弧 AD 上 设 P（，）为 M2上任意一
41、点，则在OO1P 中，可得 4cos（ ） 所以：M1，M2的极坐标方程为 和 4cos（ ） （2）设点 E（1，），点 F（ ， ），（ ）， 所以 14cos， 所以 由于 ，所以 故 ， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 一、选择题 23已知 f（x）|x2+2t|+| t3|（x0） （1）若 f（1）2，求实数 t 的取值范围； （2）求证：f（x）2 【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得（3t）（t1）0，解出即可； （2）利用绝对值不等式及基本不等式即可得证 解： （1）f（1）|3t|+|t1|3t+t1|2，取等号的条件为（3t） （t1）0， 解得 1t3，即实数 t 的取值范围为1，3； （2）证明：易知 ， x0， ， ， f（x）2 【点评】本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及 证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大
浙公网安备33030202001339号