1、2020 年高考数学二模试卷（文科）年高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 P|x|x1|1，xR|，Qx|xN，则 PQ 等于（ ） AP BQ C1，2 D0，1，2 2已知复数 z 满足（ 3i）z3i，则 z（ ） A B C D 3设非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ） A150 B120 C60 D30 44 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡 片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A B C D 5平面 平面 的一个充分条件是（ ） A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a
2、，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 6函数 图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（ ） A B C D 7 双曲线 的两条渐近线与直线 x3 围成一个三角形区域， 表示该区域的不等式 组是（ ） A B C D 8若 sin2 且 （ ， ），则 cossin 的值是（ ） A B C D 9甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生已知：丙的年龄比医生大； 甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A甲是教师，乙是医生，丙是记者 B甲是医生，乙是记者，丙是教师 C甲是医生，乙是教师，丙是
3、记者 D甲是记者，乙是医生，丙是教师 10过椭圆 C： 1（ab0）的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B， 且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F， 若 k ， 则椭圆离心率的取值范围是 （ ） A ， B ， C ， D ， 11已知空间几何体 ABCD 是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中 A，B 为下底面圆直径 的两个端点，C，D 为上底面圆直径的两个端点，且 ABCD，圆柱底面半径是 1，高是 2，则空间几何体 ABCD 可以无缝的穿过下列哪个图形（ ） A椭圆 B等腰直角三角形 C正三角形 D正方形 12 有限数列 Aa1， a2， ， an， Sn为其
4、前 n 项和， 定义 为 A 的 “凯森和” ， 如有 504 项的数列 a1， a2， ， a504的 “凯森和” 为 2020， 则有 505 项的数列 2， a1， a2， ， a504的“凯森和”为（ ） A2014 B2016 C2018 D2020 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案写在答题纸指定的位置上 13已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）2x3，则当 x0 时，f（x） 14已知函数 ，则 15抛物线 yax2的焦点恰好为双曲线 y2x22 的一个焦点，则 a 16 在ABC 中， A、 B、 C 所对的边分别为
5、 a、 b、 c， 且满足 a+b+c 1， sinA+sinB sinC， 则 c ；若 C ，则ABC 的面积 S 三、解答题：本题共 5 小题，满分 60 分（17 题至 21 题 12 分，选修题 10 分）解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 17如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a，点 M 在边 BC 上，AMC1是以点 M 为 直角顶点的等腰直角三角形 （）求证点 M 为边 BC 的中点； （）求 C 到平面 AMC1的距离； （）求二面角 MAC1C 的大小 18等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2成等差数列 （1）求an的公比 q； （
6、2）若 a1a33，求 Sn 19某车间 20 名工人年龄数据如下表： 年龄（岁） 工人数（人） 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 （1）求这 20 名工人年龄的众数与极差； （2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； （3）求这 20 名工人年龄的方差 20设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： y 21 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N， 点 P 满足 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 x3 上，且 1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 21已知函数 f（x
7、）lnx+x+1，g（x）x2+2x （1）求函数 yf（x）g（x）的极值； （2）若 m 为整数，对任意的 x0 都有 f（x）mg（x）0 成立，求实数 m 的最小值 （22，23 为二选一的选修题，10 分） 22已知曲线 C1： （t 为参数），C2： （ 为参数） （1）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 C1上的点 P 对应的参数为 t ，Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3： （t 为参数）距离的最小值 23若 x，y，zR，a0，b0，c0，求证： 2（xy+yz+zx） 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，
8、每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上. 1已知集合 P|x|x1|1，xR|，Qx|xN，则 PQ 等于（ ） AP BQ C1，2 D0，1，2 【分析】先解出集合 P 的解集，再根据 x 属于自然数的意义，求出它们的交集 解：Px|x1|1，xRx|0x2 Qx|xN0，1，2 PQ0，1，2 故选：D 2已知复数 z 满足（ 3i）z3i，则 z（ ） A B C D 【分析】将复数方程变形，然后化简化为 a+bi 的形式 解： 故选：D 3设非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ） A150 B12
9、0 C60 D30 【分析】 根据题意， 设 与 的夹角 ， 且| |t， （t0） ， 则有| |t， | | t， 由 可 得（ ）2 2，代入数据变形可得 t2+2t2cos0，解可得 cos 的值，结合 的范围， 分析可得答案 解：根据题意，设 与 的夹角 ，且| |t，（t0）， 又由| | | | |，则| |t，| | t， 若 ，则有（ ）2 2，变形可得 2+2 2 2，即 t2+2t2cos0， 解可得：cos ，又由 0180， 则 120； 故选：B 44 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡 片上的数学之和为偶数
10、的概率是（ ） A B C D 【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况 数的多少即可 解：从 1，2，3，4 中随机取出两个不同的数的基本事件为： （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共 6 个， 其中和为偶数的有（1，3），（2，4）共 2 个， 由古典概型的概率公式可知， 从 1，2，3，4 中随机取出两个不同的数，则其和为偶数的概率为 故选：B 5平面 平面 的一个充分条件是（ ） A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a，b，a，b，
11、a，b 【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的，筛选出正确的 【解答】证明：对于 A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故 A 不对； 对于 B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故 B 不对； 对于 C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故 C 不对； 对于 D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面 平行，故 D 正确 6函数 图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（ ） A B C D 【分析】根据三角函数对称性质，转化为周期关系进行求解即可 解：三角函数中，最近的对称中心与对称轴间的距离为 ， T
12、 ， 则 ， 故选：B 7 双曲线 的两条渐近线与直线 x3 围成一个三角形区域， 表示该区域的不等式 组是（ ） A B C D 【分析】 先求出双曲线 的两条渐近线方程为 y2x， 然后作出三条直线围成 的区域，再思考如何取不等号即可 解：双曲线 的两条渐近线方程为 y2x， 与直线x3围成的三角形区域分布在第一、 四象限和x轴正半轴， 如下图中OAB所示， 表示该区域的不等式组是 ， 故选：A 8若 sin2 且 （ ， ），则 cossin 的值是（ ） A B C D 【分析】通过已知条件，利用二倍角公式，角的范围，确定 sin+cos 的符号，把要求 的结论平方，代入求解即可 解：
13、 ， ，sincos0， cossin0， sin2 ， （cossin）21sin21 ， cossin ， 故选：C 9甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生已知：丙的年龄比医生大； 甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A甲是教师，乙是医生，丙是记者 B甲是医生，乙是记者，丙是教师 C甲是医生，乙是教师，丙是记者 D甲是记者，乙是医生，丙是教师 【分析】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，由丙的年龄比医 生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生 解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者， 从而排除 B
14、 和 D； 由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生 故选：C 10过椭圆 C： 1（ab0）的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B， 且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F， 若 k ， 则椭圆离心率的取值范围是 （ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】先作出图形，则易知|AF2|a+c，|BF2| ，再由BAF2是直线的倾斜角， 易得 ktanBAF2 ，然后通过 可得 ，再分 子分母同除 a2得 求解 解：如图所示：|AF2|a+c，|BF2| ， ktanBAF2 ， 又 ， ， ， ， 故选：C 11已知空间几何体 ABCD 是由
15、圆柱切割而成的阴影部分构成，其中 A，B 为下底面圆直径 的两个端点，C，D 为上底面圆直径的两个端点，且 ABCD，圆柱底面半径是 1，高是 2，则空间几何体 ABCD 可以无缝的穿过下列哪个图形（ ） A椭圆 B等腰直角三角形 C正三角形 D正方形 【分析】根据几何体 ABCD 在地面的投影为圆，半径为 1，故而可得其能无缝穿过正方 形 解：根据条件可知该空间几何体 ABCD 在底面的投影记为圆柱底面， 因为圆柱底面为圆，故而该几何体可无缝穿过边长为 2 的正方形， 故选：D 12 有限数列 Aa1， a2， ， an， Sn为其前 n 项和， 定义 为 A 的 “凯森和” ， 如有 50
16、4 项的数列 a1， a2， ， a504的 “凯森和” 为 2020， 则有 505 项的数列 2， a1， a2， ， a504的“凯森和”为（ ） A2014 B2016 C2018 D2020 【分析】本题根据根据“凯森和”的定义，分别写出两个数列的“凯森和”的定义式， 然后进行比较，找出两个定义式的联系，进行转化并加以计算可得正确选项 解：由题意，可知 对于 504 项的数列 a1，a2，a504，根据“凯森和”的定义，有 2020， 则 a1+（a1+a2）+（a1+a2+an）2020504， 对于 505 项的数列 2，a1，a2，a504，根据“凯森和”的定义，有 2018
17、故选：C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案写在答题纸指定的位置上 13已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）2x3，则当 x0 时，f（x） 2x3 【分析】根据题意，设 x0，则x0，由函数的解析式可得 f（x）2x3，结合 函数的奇偶性分析可得答案 解：根据题意，设 x0，则x0，有 f（x）2（x）32x3， 又由 f（x）为偶函数，则 f（x）f（x）2x3； 即 f（x）2x3； 故答案为：2x3 14已知函数 ，则 1 【分析】先对原函数求导，然后代入 ，求出 ，则 f（ ）可求 解：由已知 ， 故答案为：1 15抛物线
18、 yax2的焦点恰好为双曲线 y2x22 的一个焦点，则 a 或 【分析】将双曲线化成标准方程，可得它的焦点在 y 轴且 a2b22，得它的焦点坐标为 （0，2）或（0，2）抛物线 yax2化成标准方程，得它的焦点为 F（0， ），结合 题意得 2 或 2，解之即得实数 a 的值 解：双曲线 y2x22 化成标准方程，得 1 双曲线的焦点在 y 轴，且 a2b22 因此双曲线的半焦距 c 2，得焦点坐标为（0，2）或（0，2） 抛物线 yax2即 x2 y，得它的焦点为 F（0， ），且 F 为双曲线的一个焦点 2 或 2，解之得 a 或 故答案为： 或 16 在ABC 中， A、 B、 C
19、所对的边分别为 a、 b、 c， 且满足 a+b+c 1， sinA+sinB sinC， 则 c 1 ；若 C ，则ABC 的面积 S 【分析】先利用正弦定理把题设等式中角的正弦转化成边的关系，进而与 a+b+c 1 联立求得 c， 再利用余弦定理求得 ab 的值， 最后利用三角形面积公式求得ABC 的面积 解：依题意及正弦定理得 a+b c，且 a+b+c 1， 因此 c c 1，c1， 当 C 时，c 2a2+b22abcosCa2+b2ab1， （a+b）23ab1 又 a+b ，因此 23ab1， ab ， 则ABC 的面积 S absinC sin 故答案为：1； 三、解答题：本题
20、共 5 小题，满分 60 分（17 题至 21 题 12 分，选修题 10 分）解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 17如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a，点 M 在边 BC 上，AMC1是以点 M 为 直角顶点的等腰直角三角形 （）求证点 M 为边 BC 的中点； （）求 C 到平面 AMC1的距离； （）求二面角 MAC1C 的大小 【分析】（）根据等腰直角三角形，可得 AMC1M 且 AMC1M，根据三垂线定理可 知 AMCM，而底面 ABC 为边长为 a 的正三角形，则即可证得点 M 为 BC 边的中点； （）过点 C 作 CHMC1，根据线面垂直的判定定理可知
21、AM平面 C1CM，CH平面 C1AM，则 CH 即为点 C 到平面 AMC1的距离，根据等面积法可求出 CH 的长； （）过点 C 作 CIAC1于 I，连 HI，根据三垂线定理可知 HIAC1，根据二面角的平 面角的定义可知CIH 是二面角 MAC1C 的平面角，在直角三角形 ACC1中利用等面 积法可求出 CI，即可求出二面角 MAC1C 的大小 解：（）AMC1为以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形， AMC1M 且 AMC1M 三棱柱 ABCA1B1C1，CC1底面 ABC C1M 在底面内射影为 CM，AMCM 底面 ABC 为边长为 a 的正三角形， 点 M 为 BC 边的中点
22、（）过点 C 作 CHMC1，由（）知 AMC1M 且 AMCM， AM平面 C1CMCH 在平面 C1CM 内， CHAM， CH平面 C1AM 由（）知，AMC1M a，CM a，CC1BC， 点 C 到平面 AMC1的距离为底面边长为 （）过点 C 作 CIAC1于 I，连 HI， CH平面 C1AM， HI 为 CI 在平面 C1AM 内的射影， HIAC1，CIH 是二面角 MAC1C 的平面角， 在直角三角形 ACC1中 ， CIH45， 二面角 MAC1C 的大小为 45 18等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2成等差数列 （1）求an的公比 q； （2）若
23、 a1a33，求 Sn 【分析】（1）运用等差数列中项性质，结合等比数列通项公式，解方程可得公比 q； （2）运用等比数列通项公式，解方程可得首项，再由等比数列求和公式，化简计算可得 所求和 解：（1）S1，S3，S2成等差数列， 可得 2S3S1+S2， 可得 2（a1+a2+a3）2a1+a2， 即有 a2+2a30， q ； （2）a1a33， 可得 a1 a13， 解得 a14， 则 Sn 1（ ） n 19某车间 20 名工人年龄数据如下表： 年龄（岁） 工人数（人） 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 （1）求这 20 名工人年龄的众数
24、与极差； （2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； （3）求这 20 名工人年龄的方差 【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出； （2）根据画茎叶图的步骤，画图即可； （3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可 解：（1）这 20 名工人年龄的众数为 30，极差为 401921； （2）茎叶图如下： （3）年龄的平均数为： 30 这 20 名工人年龄的方差为 S2 （1930） 2+3（2830）2+3（2930）2+5（30 30）2+4（3130）2+3（3230）2+（4030）212.6 20设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： y 21 上，过
25、 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N， 点 P 满足 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 x3 上，且 1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 【分析】（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），运用向量的坐 标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程； （2）设 Q（3，m），P（ cos， sin），（02），运用向量的数量积的坐 标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ，PF 的斜率，由两 直线垂直的条件：向量数量积为 0，即可得证 解：（1）设 M（x0，y0），由题
26、意可得 N（x0，0）， 设 P（x，y），由点 P 满足 可得（xx0，y） （0，y0）， 可得 xx00，y y0， 即有 x0x，y0 ， 代入椭圆方程 y 21，可得 1， 即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y22； （2）证明：设 Q（3，m），P（ cos， sin），（02）， 1，可得（ cos， sin） （3 cos，m sin）1， 即为3 cos2cos2 msin2sin 21， 当 0 时，上式不成立，则 02， 解得 m ， 即有 Q（3， ）， 椭圆 y 21 的左焦点 F（1，0）， 由 （1 cos， sin） （3， ） 3+3 cos3（1 cos）0
27、 可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 另解：设 Q（3，t），P（m，n），由 1， 可得（m，n） （3m，tn）3mm2+ntn21， 又 P 在圆 x2+y22 上，可得 m2+n22， 即有 nt3+3m， 又椭圆的左焦点 F（1，0）， （1m，n） （3，t）3+3mnt 3+3m33m0， 则 ， 可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 21已知函数 f（x）lnx+x+1，g（x）x2+2x （1）求函数 yf（x）g（x）的极值； （2）若 m 为整数，对任意的 x0 都有 f（x）mg（x）0 成立，求实数 m 的最小值
28、【分析】（1）令 h（x）f（x）g（x）lnx+1x2x（x（0，+）利用导 数研究其单调性极值即可得出 （2） 令 f （x） mg （x） 0 成立， g （x） x2+2x0 m ， 令 u （x） ， 利用导 数研究其单调性极值即可得出 解： （1）令 h（x）f（x）g（x）lnx+x+1x22xlnx+1x2x （x（0，+） h（x） 2x1 可知：当 x 时，函数 h（x）取得极大值，h（ ）ln 1 ln2 h（x）无极小值 （2）令 f（x）mg（x）0 成立，g（x）x2+2x0 m ， 令 u（x） ，u（x） ， 令 v（x）x+2lnx，则 v（x）在 x（0，+
29、）上单调递增 v（ ） 2ln20，v（1）10 函数 v（x）存在唯一零点 x0 ， ，使得 x0+2lnx00 u（x）存在极大值即最大值，u（x0） ， ， m1 整数 m 的最小值为 1 一、选择题 22已知曲线 C1： （t 为参数），C2： （ 为参数） （1）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 C1上的点 P 对应的参数为 t ，Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3： （t 为参数）距离的最小值 【分析】（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线 C1表示一个圆；曲线 C2表示一个椭圆； （2）把
30、t 的值代入曲线 C1的参数方程得点 P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通 方程，根据曲线 C2的参数方程设出 Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出 M 的坐标，利 用点到直线的距离公式表示出 M 到已知直线的距离， 利用两角差的正弦函数公式化简后， 利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值 解：（1）把曲线 C1： （t 为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y3）2 1， 所以此曲线表示的曲线为圆心（4，3），半径 1 的圆； 把 C2： （ 为参数）化为普通方程得： 1，所以此曲线方程表述的 曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆； （2）把 t 代
31、入到曲线 C1的参数方程得：P（4，4）， 把直线 C3： （t 为参数）化为普通方程得：x2y70， 设 Q 的坐标为 Q（8cos，3sin），故 M（2+4cos，2 sin） 所以M到直线的距离d ，（其中sin ， cos ） 从而当 cos ，sin 时，d 取得最小值 23若 x，y，zR，a0，b0，c0，求证： 2（xy+yz+zx） 【分析】 由重要不等式 m2+n22mn （当且仅当 mn 取得等号） ， 结合不等式的可加性， 即可得证 【解答】证明：由 a0，b0，c0，可得 （ x 2 y 2）+（ x 2 z 2）+（ y 2 z 2） 2xy+2xz+2yz2（xy+xz+yz） 当且仅当 b2x2a2y2，c2x2a2z2，c2y2b2z2取得等号
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