2020年上海市崇明区高考数学二模试卷（含答案解析）

1、2020 年上海市崇明区高考数学二模试卷年上海市崇明区高考数学二模试卷 一、填空题 1行列式| |的值等于 2设集合 Ax|1x2，Bx|0x4，则 AB 3已知复数 z 满足 i，i 为虚数单位，则 z 4已知函数 f（x）2x+1，其反函数为 yf1（x），则 f1（3） 5已知某圆锥的正视图是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的体积等于 6（2x2 ） 4的展开式中含 x5 项的系数是 （用数字作答） 7若 sin（ ） ，则 cos2 8 已知数列an是无穷等比数列， 其前n项和为Sn， 若a2+a33， a3+a4 ， 则 9将函数 f（x）sinx 的图象向右平移 （0）个单位后得

2、到函数 yg（x）的图象， 若对满足|f （x1） g （x2） |2 的任意 x1， x2， |x1x2|的最小值是 ， 则 的最小值是 10已知样本数据 x1，x2，x3，x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为 4，方差为 5， 且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是 11在ABC 中， （ cosx，cosx）， （cosx，sinx），则ABC 面积的最大值 是 12 对于函数 f （x） ， 其定义域为 D， 若对任意的 x1， x2D， 当 x1x2时都有 f （x1） f （x2） ， 则称函数 f（x）为“不严格单调增函数”，若函数 f（x）定义域为 D1，2，3，

3、4，5， 6，值域为 A7，8，9，则函数 f（x）是“不严格单调增函数”的概率是 二、选择题 13若矩阵( )是线性方程组 的系数矩阵，则（ ） Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 14若抛物线 y28x 的焦点 F 与双曲线 1 的一个焦点重合，则 n 的值为（ ） A1 B1 C2 D13 15设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为 ai，ai+1的矩形的周长（i1，2，）， 则“数列An为等差数列”的充要条件是（ ） Aan是等差数列 Ba1，a3，a2n1，或 a2，a4，a2n，是等差数列 Ca1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，都是等差数列 Da1

4、，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，都是等差数列，且公差相同 16已知函数 f（x）m 2x+x2+nx，记集合 Ax|f（x）0，xR，集合 Bx|ff（x） 0，xR，若 AB，且都不是空集，则 m+n 的取值范围是（ ） A0，4） B1，4） C3，5 D0，7） 三、解答题 17如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点 （1）求直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的大小； （2）求点 C 到平面 A1BE 的距离 18已知函数 f（x）2x （1）判断 f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数 f

5、（x）的奇偶性，并说明理由 19某开发商欲将一块如图所示的四边形空地 ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个 封闭的施工区域， 经测量， 边界AB与AD的长都是2千米， BAD60， BCD120 （1）如果ADC105，求 BC 的长（结果精确到 0.001 千米）； （2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到 0.001 千 米） 20已知椭圆： 1 的右焦点为 F，直线 xt（t（ ， ）与该椭圆交于 点 A、B（点 A 位于 x 轴上方），x 轴上一点 C（2，0），直线 AF 与直线 BC 交于点 P （1）当 t1 时，求线段 AF 的长； （2）求

6、证：点 P 在椭圆上； （3）求证：SPAC 21在无穷数列an中，anN*，且 an+1 ， 是偶数 ， 是奇数 ，记an的前 n 项和为 Sn （1）若 a110，求 S9的值； （2）若 S317，求 a1的值； （3）证明：an中必有一项为 1 或 3 参考答案参考答案 一、填空题 1行列式| |的值等于 2 【分析】利用行列式的计算公式即可得出 解：行列式| | 14232 故答案为：2 2设集合 Ax|1x2，Bx|0x4，则 AB x|0x2 【分析】 由题意通过数轴直接求出 A 和 B 两个集合的公共部分， 通过数轴求出就是 AB 即可 解：集合 Ax|1x2，Bx|0x4，

7、所以 ABx|1x2x|0x4x|0x2 故答案为：x|0x2 3已知复数 z 满足 i，i 为虚数单位，则 z 12i 【分析】利用复数的运算法则即可得出 解： i， i， z 12i 故答案为：12i 4已知函数 f（x）2x+1，其反函数为 yf1（x），则 f1（3） 1 【分析】令 f（x）3 解得 x1，所以函数 f（x）过点（1，3），故函数 f（x）的反函 数过点（3，1），即 f1（3）1 解：函数 f（x）2x+1，其反函数为 yf1（x）， 令 f（x）3 得，2x+13，x1， 函数 f（x）过点（1，3）， 故函数 f（x）的反函数过点（3，1），即 f1（3）1，

8、故答案为：1 5已知某圆锥的正视图是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的体积等于 【分析】圆锥的底面直径为 2，母线为 2，求出圆锥的高，然后求解圆锥的体积 解：由已知，圆锥的底面直径为 2，母线为 2，圆锥的高为： 则这个圆锥的体积是 12 故答案为： 6（2x2 ） 4的展开式中含 x5 项的系数是 32 （用数字作答） 【分析】先写出展开式的通项，然后求出含 x5项的 k 的值，再求出该项的系数 解：由已知得（2x2 ） 4 的展开式的通项为： ， 令 83k5 得 k1 故该项的系数为： 故答案为：32 7若 sin（ ） ，则 cos2 【分析】先利用诱导公式求得 cos，再利用二倍

9、角的余弦公式，即可求得结论 解：sin（ ） ，cos cos22cos21 故答案为： 8 已知数列an是无穷等比数列， 其前n项和为Sn， 若a2+a33， a3+a4 ， 则 8 【分析】求出等比数列的首项与公比，然后求解数列的前 n 项和，然后求解极限即可 解：数列an是无穷等比数列，其前 n 项和为 Sn，若 a2+a33，a3+a4 ， q 所以 a1（ ）3，解得 a 14， Sn ， 则 8 故答案为：8 9将函数 f（x）sinx 的图象向右平移 （0）个单位后得到函数 yg（x）的图象， 若对满足|f （x1） g （x2） |2 的任意 x1， x2， |x1x2|的最小

10、值是 ， 则 的最小值是 【分析】先根据左加右减得到 g（x）的解析式，然后根据三角函数的性质可知，两个相 邻的最值点的函数值的差为 2此时它们横坐标差的绝对值为 ，据此求出 的值 解：由已知得 f（x1）sinx1，g（x2）sin（x2） 因为|f（x1）g（x2）|2，所以 f（x1），g（x2）一个取得最大值，另一个取最小值 不妨设 ， ， ， ， 由已知得 ，k，mZ结合 0 当 km， 时成立 故答案为： 10已知样本数据 x1，x2，x3，x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为 4，方差为 5， 且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是 7 【分析】设样本数据 x1，x

11、2，x3，x4中最大的为 x1，由平均数和方差公式可得 x1+x2+x3+x4 16 和 x12+x22+x32+x4284，再讨论样本数据中的最大值的情况，分析可得答案 解：根据题意，设样本数据 x1，x2，x3，x4中最大的为 x1， 样本数据 x1，x2，x3，x4的平均数为 4，方差为 5， 则有 （x 1+x2+x3+x4）4，即 x1+x2+x3+x416， （x 1 2+x 2 2+x 3 2+x 4 24 2）5，则有 x 1 2+x 2 2+x 3 2+x 4 284， 若 x19，即样本数据中最大值是 9，有 x2+x3+x47，x22+x 3 2+x 4 23，不成立，

12、若 x18，即样本数据中最大值是 8，有 x2+x3+x48，x22+x 3 2+x 4 220，不成立， 若 x17，即样本数据中最大值是 7，有 x2+x3+x49，x22+x32+x 4 225，此时四个数据可 以为 7、1、3、5，符合题意； 故样本数据中的最大值是 7； 故答案为：7 11在ABC 中， （ cosx，cosx）， （cosx，sinx），则ABC 面积的最大值 是 【分析】将点 A 置于直角坐标系中的原点，则运用平面向量坐标表示得到面积 S |sin （2x ） |，进而可求得其范围 解：将点 A 置于直角坐标系中的原点，则 B（ cosx，cosx），C（cosx

13、，sinx）， |AC| 1；|AB| 2|cosx|； xAB ； 故 AB 与 AC 的夹角为|x |； ABC 的面积 S |AB|AC|sinCAB 1|2cosx|sin（x ）| sinxcosx cos2 x| | sin2x | |sin（2x ） | ， 故答案为： 12 对于函数 f （x） ， 其定义域为 D， 若对任意的 x1， x2D， 当 x1x2时都有 f （x1） f （x2） ， 则称函数 f（x）为“不严格单调增函数”，若函数 f（x）定义域为 D1，2，3，4，5， 6，值域为 A7，8，9，则函数 f（x）是“不严格单调增函数”的概率是 【分析】基本事件

14、总数 n666216，由函数 f（x）是“不严格单调增函数”，得 f （1）7，f（6）9，7f（2）f（3）f（4）f（5）9，f（2），f（3），f（4）， f（5）都有可能是 8，函数 f（x）是“不严格单调增函数”包含的基本事件个数 m4， 由此能求出函数 f（x）是“不严格单调增函数”的概率 解：对于函数 f（x），其定义域为 D，若对任意的 x1，x2D， 当 x1x2时都有 f（x1）f（x2），则称函数 f（x）为“不严格单调增函数”， 函数 f（x）定义域为 D1，2，3，4，5，6，值域为 A7，8，9， 基本事件总数 n666216， 函数 f（x）是“不严格单调增函数”

15、，f（1）7，f（6）9， 7f（2）f（3）f（4）f（5）9， 且 f（2），f（3），f（4），f（5）7，8，9， f（2），f（3），f（4），f（5）都有可能是 8， 函数 f（x）是“不严格单调增函数”包含的基本事件个数 m4， 则函数 f（x）是“不严格单调增函数”的概率是 p 故答案为： 二、选择题 13若矩阵( )是线性方程组 的系数矩阵，则（ ） Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 【分析】本题根据线性方程组的系数矩阵的定义可写出线性方程组 的系数矩 阵，然后根据矩阵相等即可得到 a、b 的值 解：依题意，由线性方程组的系数矩阵的定义，可知 线性方程组

16、 的系数矩阵为( )， 即( ) ( )， a1，b1 故选：A 14若抛物线 y28x 的焦点 F 与双曲线 1 的一个焦点重合，则 n 的值为（ ） A1 B1 C2 D13 【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的焦点坐标，利用条件列出方程，即可得到结 果 解：抛物线 y28x 的焦点 F（2，0）与双曲线 1 的一个焦点重合， 可得 2 ，解得 n1 故选：B 15设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为 ai，ai+1的矩形的周长（i1，2，）， 则“数列An为等差数列”的充要条件是（ ） Aan是等差数列 Ba1，a3，a2n1，或 a2，a4，a2n，是等差数列 Ca1，a3，a

17、2n1，和 a2，a4，a2n，都是等差数列 Da1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，都是等差数列，且公差相同 【分析】Ai2（ai+ai+1），可得：Ai+1Ai2（ai+2ai），利用等差数列的定义通项公 式即可判断出结论 解：Ai2（ai+ai+1）， Ai+1Ai2（ai+2+ai+1）2（ai+ai+1）2（ai+2ai）， 若数列An为等差数列，则 ai+2ai为常数，可得：a1，a3，a2n1，和 a2，a4， a2n，都是等差数列，且公差相同 反之也成立 “数列An为等差数列”的充要条件是：a1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n， 都是等差数列，且公差相同 故选：

18、D 16已知函数 f（x）m 2x+x2+nx，记集合 Ax|f（x）0，xR，集合 Bx|ff（x） 0，xR，若 AB，且都不是空集，则 m+n 的取值范围是（ ） A0，4） B1，4） C3，5 D0，7） 【分析】由x|f（x）0x|f（f（x）0可得 f（0）0，从而求得 m0；从而化 简 f（f（x）（x2+nx）（x2+nx+n）0，从而讨论求得 解：设 x1x|f（x）0x|f（f（x）0， f（x1）f（f（x1）0， f（0）0， 即 f（0）m0， 故 m0； 故 f（x）x2+nx， f（f（x）（x2+nx）（x2+nx+n）0， 当 n0 时，成立； 当 n0 时

19、，0，n 不是 x2+nx+n0 的根， 故n24n0， 解得：0n4； 综上所述，0n+m4； 故选：A 三、解答题 17如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点 （1）求直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的大小； （2）求点 C 到平面 A1BE 的距离 【分析】（1）由已知可得EBD 为直线 BE 与平面 ABCD 所成的角，求其正切值，再由 反三角表示即可； （2）以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系，分别求出平面 A1BE 的一个法向量 与 的坐标，可得点 C 到平面 A1BE 的

20、距离 d 解：（1）如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，ED底面 ABCD， EBD 为直线 BE 与平面 ABCD 所成的角 底面边长为 2，BD ， 又 DE1，tan 直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的大小为 ； （2）以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系 则 B（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），C（2，2，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 A1BE 的一个法向量 ， ， 由 ，取 y1，得 ， ， 点 C 到平面 A1BE 的距离 d 18已知函数 f（x）2x （1）判断 f（x）在其

21、定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数 f（x）的奇偶性，并说明理由 【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断证明即可 （2）先求出 f（x）的解析式，结合函数奇偶性的定义进行判断即可 解：（1）当 a0 时，f（x）在其定义域上是增函数， 证明：设 x1x2，则 f（x1）f（x2） （ ） （ ）（1 ）， x1x2，a0， 0 则 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2），即函数 f（x）为增函数 （2）f（x）2xa 2x， 若 f（x）是奇函数，则 f（x）f（x），得 2xa 2x（2xa 2x）2x+a 2x， 即 2x+2xa（2x+2x），

22、 得 a1，即当 a1 时，函数 f（x）是奇函数， 当 a1 时，f（x）f（x）且 f（x）f（x），即函数 f（x）既不是奇函数也不是 偶函数 19某开发商欲将一块如图所示的四边形空地 ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个 封闭的施工区域， 经测量， 边界AB与AD的长都是2千米， BAD60， BCD120 （1）如果ADC105，求 BC 的长（结果精确到 0.001 千米）； （2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到 0.001 千 米） 【分析】（1）连接 BD，由题意可得ABD 为正三角形，可得 BDAD2，且ADB 60，进而可得ADC45

23、，在BCD 中由正弦定理可得 CD 的值， （2）在BCD 中由正弦定理可得 CD，BC 的值，进而求出四边形的周长 解：（1）连接 BD，在ABD 中，因为BAD60，ABAD，所以ABD 为等边三 角形，所以 BD2， 因为ADC105，所以BDC1056045， 在BCD 中，由正弦定理可得 ，所以 BC sin45 1.633 千米， （2）由（1）可得 ，而DBC1801204515， 所以 CD sin15 ， 所以四边形 ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD2+2+1.666 6.309 千米 20已知椭圆： 1 的右焦点为 F，直线 xt（t（ ， ）与该椭圆交于 点 A

24、、B（点 A 位于 x 轴上方），x 轴上一点 C（2，0），直线 AF 与直线 BC 交于点 P （1）当 t1 时，求线段 AF 的长； （2）求证：点 P 在椭圆上； （3）求证：SPAC 【分析】 （1） 求得椭圆的右焦点 F， 以及点 A 的坐标， 运用两点的距离公式可得所求值； （2）设 A（x1，y1），B（x1，y1），求得直线 AF，BC 的方程，求得交点 P 的坐标， 代入椭圆方程，检验即可得证； （3）设直线 AP 的方程为 xmy+1，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合三角形的面积 公式和基本不等式，注意等号成立的条件，可得证明 解：（1）椭圆： 1 的右焦点为 F（1，

25、0）， 直线 x1 与该椭圆交于点 A，B，点 A 位于 x 轴上方，可得 A（1， ），则 |AF| ； （2）证明：设 A（x1，y1），B（x1，y1），则 x12+2y122， 直线 AF 的方程为 y （x1），BC 的方程为 y （x2），解得 P（ ， ）， 由（ ） 2+2（ ） 2 2，则 P 在椭 圆上； （3）证明：SPAC |CF| |yAyP | |yAyP|， 设直线 AP 的方程为 xmy+1，联立椭圆方程 x2+2y22， 可得（2+m2）y2+2my10，yA+yP ，yAyP ， 所以 SPAC ， 当且仅当 m0 时，上式取得等号， 则 SPAC 21在无

26、穷数列an中，an一、选择题*，且 an+1 ， 是偶数 ， 是奇数 ，记an的前 n 项和 为 Sn （1）若 a110，求 S9的值； （2）若 S317，求 a1的值； （3）证明：an中必有一项为 1 或 3 【分析】（1）根据递推公式列出数列an中的项，找出规律，发现周期性，即可求出 S9 的值； （2）根据题意分析情况，进行求解，即可得出答案； （3）先证明一定存在某个 ai，使得 ai6 成立，再进行检验，即可得到答案 解：（1）当 a110 时，an中的各项依次为 10，5，8，4，2，1，4，2，1，； 即数列an从第 4 项起每 3 项是一个周期， 所以 S3a1+a2+a

27、323， S6S3a4+a5+a67， S9S6a7+a8+a97； 所以 S9S6+7S3+2723+1437； （2）若 a1是奇数，则 a2a1+3 是偶数，a3 ， 由 S317，得 a1+（a1 +3） 17，解得 a15，适合题意； 若 a1是偶数，不妨设 a12k（kN*），则 a2 a1k，a3 ， 由 S317，得 2k+k 17，此方程无整数解； 若 k 是奇数，则 a3k+3， 由 S317，得 2k+k+（k+3）17，此方程也无整数解； 综上知，a15 （3）证明：先证明一定存在某个 ai，使得 ai6 成立；否则，对每一个 iN*，都有 ai 6； 则在 ai为奇数时，必有 ai+2 ai； 在 ai为偶数时，有 a i+2 3ai，或 ai+2 ai； 因此，若对每一个 iN*，都有 ai6，则 a1，a3，a5，单调递减； 注意到 anN*，显然这一过程不可能无限进行下去； 所以必定存在某个 ai，使得 ai6 成立； 经检验，当 ai2，或 ai4，或 ai5 时，an中出现 1； 当 ai6 时，an中出现 3； 综上知，an中总有一项为 1 或 3