1、专题专题 05 三角函数图像与性质的综合应用三角函数图像与性质的综合应用 专题点拨专题点拨 函数 yAsin(x)的问题； 解决 yAsin(x)的问题，通常利用整体思想换元，转化为基本函数解决，同时要注意复合函数的性 质 “五点法”画图：分别令 x0， 2 、3 2 、2，求出五个特殊点 给出 yAsin(x)的部分图像，求函数表达式时，比较难求的是 ，一般从“五点法”中取靠近 y 轴的已知点代入突破 易错点：(1)求对称轴方程：令 x 2 k(kZ)，求对称中心：令 xk(kZ) (2)求单调区间： 分别令 2 2kx 2 2k(kZ)； 2 2kx3 22k(kZ)， 同时注意 A、 符
2、号 真题赏析真题赏析 1. (2016上海)设, ,a b R, 0,2)c ，若对任意实数x都有 2sin(3)sin() 3 xabxc，则满足条件的有 序实数组( , , ) a b c的组数为_. 【答案】4 【解析】(i)若2a 若3b ，则 5 3 c ； 若3b ，则 4 3 c . (ii)若2a ，若 3b ，则 3 c ；若3b ，则 2 3 c 共4组. 2(2018上海)设常数，函数 (1)若为偶函数，求的值； (2)若，求方程在区间上的解 【解析】(1)若为偶函数，则对任意，均有； 即， 化简得方程对任意成立，故； aR 2 ( )sin22cosf xaxx ( )
3、f xa ()31 4 f ( )12f x ， ( )f xRx( )()f xfx 22 sin22cossin2()2cos ()axxaxx sin20axRx0a (2)，所以， 故 则方程，即， 所以，化简即为， 即，解得或， 若求该方程在上有解，则， 即或 1；或 1， 对应的的值分别为：、 例题剖析例题剖析 【例 1】求函数 lg tan1 y 2sin1 x x 的定义域 【解析】函数定义域满足下列不等式组： tan1 2sin10 x x 因此，函数定义域为 37 2,22,2 6246 kkkk . 【例 2】函数3sin 2 3 yx 的图像可由 y3sin2x 的图像
4、( ) A向左平移 3 个单位长度得到 B向右平移 3 个单位长度得到 C向左平移 6 个单位长度得到 D向右平移 6 个单位长度得到 【答案】C 【解析】3sin 23sin2 36 yxx ，故选 C. 2 ()sin(2)2cos ()131 444 faa3a 2 ( )3sin22cosf xxx ( )12 f x 2 3sin22cos12 xx 2 3sin22cos12 xx2sin(2)2 6 x 2 sin(2) 62 x 11 24 xk 5 24 xk, Zk k , 13 35 , 24 24 k 19 29 , 24 24 k 0k0 k x 11 24 13 2
5、4 5 24 19 24 【例 3】(2019宝山区一模)已知函数 3sin21 1cos22 001 x f xx ，将 f x的图像向左移0 个单位 得函数( )yg x的图像 (1)若 4 ，求 yg x的单调递增区间； (2)若0, 2 ， yg x的一条对称轴为 12 x ，求 yg x，0, 2 x 的值域 【解析】(1) 3cos2sin22sin(2) 3 f xxxx 2sin(22) 3 g xf xx 4 ， 2sin(2) 6 g xx ， 令 3 22,2 622 xkkkZ ， 解得 2 , 63 xkkkZ ， 所以 yg x的单调递增区间是 2 , 63 xkk
6、kZ 。 (2)若 yg x的一条对称轴 12 x ， 则22 1232 k ， 解得 23 k kZ ， 因为) 2 , 0( ，所以 3 2sin 2 3 g xx ， 因为0, 2 x ，所以 4 2, 333 x ， 因而 3 sin 2,1 32 x ，即值域为3, 2. 【变式训练 1】已知函数,其中常数; (1)若在上单调递增,求的取值范围; (2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数的 图像,区间(且)满足:在上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 中,求的最小值. 【解析】(1)因为,根据题意有 . (2) , 或, 即的零点相离间隔依次为
7、和. 故若在上至少含有 30 个零点,则的最小值为. 【例 4】方程 sinxcosx1 的解集是_ 【答案】x|x2k 2或 x2k，kZ 【解析】 由题得 sinxcosx 2sin(x 4)1， sin(x 4) 2 2 ， x 42k 5 4 或 x 42k 7 4 (kZ)， 得 x2k 或 x2k3 2(kZ)，即 x2k 2或 x2k(kZ)，所以方程的解集为x|x2k 2或 x 2k，kZ 【变式训练 2】方程的解集 【解析】 . ,. ( )2sin()f xx0 ( )yf x 2 , 43 2( )yf x 6 ( )yg x , a b, a bRab( )yg x ,
8、 a b , a bba 0 3 42 0 24 32 ( )2sin(2 )f xx( )2sin(2() 12sin(2) 1 63 g xxx 7 , 12 xkkZ( )g x 3 2 3 ( )yg x , a bba 243 1415 333 4 7 , 4 , 12cos32sin xxx 2 1 3 2sin xZkkxkx, 12 7 4 或 4 7 , 4 x 12 19 , 4 5 , 12 7 , 4 x 巩固训练巩固训练 一、填空题一、填空题 1.定义在区间 2 0 ,上的函数6cosyx的图像与5tanyx的图像的交点为P， 过点P作 1 PPx轴于 点 1 P，直
9、线 1 PP与sinyx的图像交于点 2 P，则线段 12 PP的长为 【答案】 2 3 【解析】 线段 12 PP的长即为sinx的值，且其中的x满足6cos5tanxx，解得sinx= 2 3 线段 12 PP的长 为 2 3 2. 设函数 ( )cos()(0) 6 f xx，若 ( )() 4 f xf对任意的实数x都成立，则的最小值为_ _ 【答案】 2 3 【解析】 由于对任意的实数都有 ( )( ) 4 f xf成立，故当 4 x 时，函数( )f x有最大值，故()1 4 f ， 2 46 k (kZ)， 2 8 3 k(kZ)，又0， min 2 3 3已知函数( )=3si
10、n()( 0) 6 f xx 和g( )=2cos(2 + )+1xx的图象的对称轴完全相同若0, 2 x ， 则( )f x的取值范围是 【答案】 3 ,3 2 【解析】由题意知，2，因为0, 2 x ，所以 5 2, 666 x ，由三角函数图象知：( )f x的最 小值为 3 3sin()= 62 ，最大值为3sin=3 2 ，所以( )f x的取值范围是 3 ,3 2 4 在中， 角所对的边分别为，的平分线交于点 D， 且， 则的最小值为 【答案】9 【解析】因为，的平分线交于点，所以，由面积公式可 ABC, ,A B C, ,a b c120ABCABCAC1BD 4ac 120AB
11、CABCACD60ABDCBD 得， 化简得，又，所以， 则， 当且仅当时取等号，故的最小值为 9 二、选择题二、选择题 5. (2019 普陀区二模)设函数() = sin( 6),若对于任意 5 6 , 2,在区间0,上总存在唯一确定的 ,使得() + () = 0,则 m的最小值为( ) A. 6 B. 2 C. 7 6 D. 【答案】B 【解析】解：因为() = sin( 6), 5 6 , 2, 所以 6 , 2 3 , 所以() 3 2 ,0,即() 3 2 ,0, 由在区间0,上总存在唯一确定的,使得() + () = 0, 则在区间0,上总存在唯一确定的,使得() 0, 3 2
12、 , 由函数()在0, 2 3 为增函数,值域为： 1 2,1,又( 2) = sin 3 = 3 2 , 即 2,故 m的最小值为： 2, 故选：B 6(2019 静安区二模)函数() = sin 2 + + 的最小正周期( ) A. 与 b有关,且与 c 有关 B. 与 b 有关,但与 c 无关 C. 与 b 无关,且与 c 无关 D. 与 b无关,但与 c 有关 【答案】C 【解析】解：函数() = sin2 + + , = 1 cos2 + + , 111 sin120sin60sin60 222 acac acac0a0c 11 1 ac 1144 4(4)()5529 caca a
13、cac acacac 2ca4ac 所以函数的关系式,是以 cosx 为自变量的二次函数, 所以：函数的周期与 b无关, 函数的值域与 c 有关 故选：C 7将函数图像上的点向左平移()个单位长度得到点若位于函数 的图像上，则( ) A，的最小值为 B，的最小值为 C，的最小值为 D，的最小值为 【答案】A 【解析】因为点在函数的图象上，所以 ，又在函数的图象上，所以，则 或，得或 ，又，故的最小值为，故选 A 三、解答题三、解答题 8. 设函数，其中已知 (1)求； (2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，求在上的最
14、小值 【解析】 (1)因为，所以 由题设知，所以， sin(2) 3 yx (, ) 4 Pt s0s P P sin2yx 1 2 t s 6 3 2 t s 6 1 2 t s 3 3 2 t s 3 (, ) 4 Pt sin(2) 3 yx sin(2) 43 t 1 sin 62 1 (, ) 42 Ps sin2yx 1 sin2() 24 s 2()2 46 sk 5 2()2 46 sk kZ 6 sk 6 sk kZ0s s 6 ( )sin()sin() 62 f xxx 03()0 6 f ( )yf x 4 ( )yg x( )g x 3 , 44 ( )sin()si
15、n() 62 f xxx 31 ( )sincoscos 22 f xxxx 33 sincos 22 xx 13 3( sincos) 22 xx3(sin) 3 x ()0 6 f 63 k kZ 故，又，所以 (2)由(1)得. 所以因为， 所以，当，即时，取得最小值 9. 已知函数( )sin(),f xx其中0，| 2 (1)若coscossinsin0, 44 求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)在(1)的条件下，若函数( )f x的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 3 ，求函数( )f x的解析式； 并求最小正实数m，使得函数( )f x的图像象左平移m个单位
16、所对应的函数是偶函数. 【解析】(1)由 3 coscossinsin0 44 得coscossinsin0 44 即cos()0 4 又|, 24 (2)由(1)得，( )sin() 4 f xx 依题意， 23 T . 又 2 ,T 故3,( )sin(3) 4 f xx . 函数( )f x的图像向左平移m个单位后所对应的函数为 ( )s i n3 () 4 g xxm . ( )g x是偶函数当且仅当3() 42 mkkZ , 即() 312 k mkZ 从而，最小正实数 12 m . 10.(2019浦东新区一模)已知函数 2 ( )2 3sin cos2sinf xxxx. (1)
17、若角的终边与单位圆交于点 3 4 ( , ) 5 5 P，求( )f的值； (2)当, 63 x 时，求( )f x的单调递增区间和值域. 【解析】(1)角的终边与单位圆交于点 3 4 5 5 ( ,)P， 43 sin=,cos= 55 62kkZ032 ( )3sin(2) 3 f xx ( )3sin()3sin() 4312 g xxx 3 , 44 x 2 , 1233 x 123 x 4 x ( )g x 3 2 22 43424 332 ( )2 3sincos2sin2 32 ( ) 55525 f (2) 2 ( )2 3sin cos2sinf xxxx 3sin2cos2
18、1xx 2sin(2)1 6 x 由222 262 kxk 得， 36 kxk 又, 63 x ，所以( )f x的单调递增区间是, 66 x ； , 63 x ， 5 2 666 x 1 sin(2)1 26 x ，( )f x的值域是 2,1. 11.(2019 浦东新区二模)已知向量 = (2,2), = (3,1),其中 0,若函数() = 的最小正周期为 (1)求的值； (2)在 中,若() = 2, = 3, = 3 ,求 的值 【解析】解：(1)() = 23 + 2 = 32 + 2 = 2(2 + 6), 函数() = 的最小正周期为, 2 2 = , = 1 (2)由(1)
19、可得() = 2(2 + 6), () = 2, () = 2(2 + 6) = 2, = 2 3 , = 3, = 1 2, = 6, = 5 6 (舍去), = = 6, = = 3, = | | | | cos2 3 = 3 2 新题速递新题速递 1(2020虹口区一模)已知函数( )3sin(2)cos(2)f xxx为偶函数，且在0， 2 上为增函数，则 的一个值可以是( ) A 6 B 3 C 2 3 D 2 3 【分析】先将函数化简为sin()yAx的形式，再根据三角函数的奇偶性和单调性对选项进行逐一验证 即可得到答案 【解答】解：根据题意，( )3sin(2)cos(2)f x
20、xx， 31 2sin(2)cos(2) 22 xx， 2sin(2) 6 x ， 若( )f x为偶函数，则有 1 62 k ，即 1 3 k，kZ， 结合选项可知，当1k 时， 2 3 ， 1 ( )2sin(2)2cos2 2 f xxx 满足偶函数且在0， 2 上为增函 数，满足题意 故选：D 2(2020杨浦区一模)要得到函数2sin(2) 3 yx 的图象，只要将2sin2yx的图象( ) A向左平移 6 个单位 B向右平移 6 个单位 C向左平移 3 个单位 D向右平移 3 个单位 【分析】由题意利用函数sin()yAx的图象变换规律，得出结论 【解答】解：将2sin2yx的图象
21、向左平移 6 个单位，可得函数2sin(2) 3 yx 的图象， 故选：A 3(2020奉贤区一模)函数( )sin(tan)f xx，其中0 (1)讨论( )f x的奇偶性； (2)1时，求证：( )f x的最小正周期是； (3)(1.50,1.57)，当函数( )f x的图象与 11 ( )() 2 g xx x 的图象有交点时，求满足条件的的个数，说明理 由 【分析】(1)直接利用函数的奇偶性的定义的应用求出结果 (2)利用函数的()( )f xTf x进一步求出函数的最小正周期 (3)利用函数的图象和不等式的性质的应用进一步求出满足条件的的个数 【解答】解：(1)由于() 2 xkkZ
22、 定义域所在的区间关于y轴对称， 且()sin(tan()sin(tan)fxxx ， 所以函数( )f x为奇函数； (2)当1时，( )sin(tan )f xx，所以()sin(tan()sin(tan )f xxx， 所以函数的最小正周期为 (3)当函数( )f x的图象与 111 ( )()21 22 g xx x ，当两函数的图象有交点，即1x 时，即sin(tan)1x， 所以tan2 2 k ， 由于(1.50,1.57)，所以2(tan1.50,tan1.57) 2 k ， 1.99199.6k， 2k，3，4，199， 的个数为 198 个 4(2020松江区一模)已知函数
23、 2 ( )2 3sin cos2sinf xxxx (1)求( )f x的最大值； (2)在ABC中， 内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 若f(A)0，b、a、c成等差数列， 且2AB AC ， 求边a的长 【分析】(1)先用二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简可得( )2sin(2)1 6 f xx ，根据正弦函数 的性质可求， (2)由f(A)0，代入可求A，结合已知向量的数量积，等差数列的性质及余弦定理可求a 【解答】解：(1) 2 ( )2 3sin cos2sinf xxxx， 3sin2cos21xx， 2sin(2)1 6 x ， 根据正弦函数的性质可知，函数的最大
24、值为 1； (2)f(A)2sin(2)10 6 A ， 1 sin(2) 62 A ， (0, )A， 3 A ， b、a、c成等差数列， 2abc， 2AB AC ， 4bc， 由余弦定理可得， 22222 1 2()3412 2 abcbcbcbca 2a 5(2020宝山区一模)已知函数( )sin cos()3sin cos 2 f xxxxx (1)求函数( )f x的最小正周期及对称中心； (2)若( )f xa在区间0, 2 上有两个解 1 x、 2 x，求a的取值范围及 12 xx的值 【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一
25、步求出 函数的周期和对称中心 (2)利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和 12 xx的值 【解答】解：(1)函数 2 31cos231 ( )sin cos()3sin cossinsin2sin2sin(2) 222262 x f xxxxxxxxx 所以函数的最小正周期为 2 2 T ， 令2() 6 xkkZ ，解得() 212 k xkZ ， 所以函数的对称中心为 1 (,)() 2122 k kZ (2)由于0 2 x 剟，所以 7 2 666 x 剟，在区间0, 2 上有两个解 1 x、 2 x， 所以函数 1 sin(2)1 26 x 时，函数的图象有两个交点
26、， 故a的范围为0， 1 ) 2 由于函数的图象在区间0, 2 上关于 6 x 对称， 故 12 2 63 xx 6(2020崇明区一模)已知函数 2 31 ( )sin2cos 22 f xxx，xR (1)求函数( )f x的最小正周期和单调递减区间； (2)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且3c ，f(C)0若sin2sinBA，求a，b的 值 【分析】(1)先化简函数( )f x，再求函数的单调递减区间和最小正周期； (2)先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值 【解答】解：(1) 2 31 ( )sin2cos 22 f xxx，xR 31cos21 sin2 222 x x sin(2)1 6 x 2 2 T 由 3 222 262 kxk 剟，kZ可解得： 3 xk ， 5 6 k ，kZ ( )f x单调递减区间是： 3 k ， 5 6 k ，kZ (2)f(C)sin(2)10 6 C ，则sin(2)1 6 C 0C， 3 C sin2sinBA， 由正弦定理可得2ba 3c ， 由余弦定理可得 222 3cabab 由可得1a ，2b
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