1、专题 02 函数的性质及其应用 专题点拨专题点拨 1建立函数关系、进行函数运算、判断函数奇偶性和图像的对称性、函数的单调性时，要避免因忽略 函数定义域而导致的错误.研究函数，优先考虑其定义域. 2关于函数的基本性质的综合性问题，要学会利用函数的奇偶性、单调性和周期性，以及图像的对称 性，简化研究的范围，事半功倍. 3处理存在性与恒成立问题时，通常可以通过分离变量，转化为函数最值问题，当分离变量遇到困难 时，可以考虑采用数形结合、主参换位、分类讨论等方法加以解决. 4涉及函数周期性问题，要从定义域、函数解析式、函数性质、图像等多方面认真加以推敲掌. 5利用分类讨论方法建立分段函数模型时，要做到不
2、重不漏，分段分析，整体把握； 6掌握常用函数图象变换：平移、对称、翻折和伸缩变换. 真题赏析真题赏析 1(2018上海)设常数aR，函数 2 ( )log ()f xxa若( )f x的反函数的图像经过点(3,1)，则a _ 【答案】 7 【解析】 aR，( )f x的反函数的图象经过点(3,1) 2 ( )log ()f xxa的图象经过点(1,3)， log(1+ )3a ，解得7a 2(2018上海)设D是含数1的有限实数集，( )f x是定义在D上的函数，若( )f x的图像绕原点逆时针旋 转 6 后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f的可能取值只能是( ). A. 3 B 3 2
3、C 3 3 D0 【答案】B 【解析】 由题意得到： 问题相当于圆上由 12 个点为一组， 每次绕原点逆时针旋转 6 后与下一个点会重合， 我们可以通过代入和赋值的方法当 3 (1)3,0 3 f时，此时得到的圆心角为 3 ， 6 ，0，然而此时0x 或者1x 时，都有2个y与之对应，而函数的定义就是要求一个x只能对应一个y因此只有当 3 2 x ， 此时旋转 6 ，此时满足一个x只会对应一个y，因此选 B 例题剖析例题剖析 【例 1】(2018黄浦区二模)已知函数 2 2 , 10, ( )= 1, 01. xx f x xx (1)求函数( )f x的反函数 1( ) fx ； (2)试问
4、:函数( )f x的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标； 若不存在， 说明理由； (3) 若 方 程 22 ( )2 1|( )2 1| 240f xxf xxax的 三 个 实 数 根 123 xxx、 、满 足 : 123 xxx，且 3221 2()xxxx，求实数a的值 【解析】 (1) 2 2 , 10, ( )= 1, 01. xx f x xx 当 10x 时，( )2 ,0( )2f xxf x且. 由 2yx ，得 1 2 xy ，互换xy与，可得 1 1 ( )(02) 2 fxxx . 当01x时， 2 ( )1,( )0f xxf x且-1.
5、由 2 1yx，得1+xy，互换xy与，可得 1( ) 1+ ( 10)fxxx . 1 1 , 0 )，求区间,，-的最大长度. 【解析】(1) 不等式 7 6 1的解集为 A 7 6 1， 7 6 1 = 76+ 6 = +1 6 0， +1 6 0， 1 0，即(2+ )2 42 0， 解得 1或 3， = ( + )2 4 = 3(1 1 3) 2+ 4 3， 的最大值为23 3 ，此时 = 3 区间,，-的最大长度为23 3 【例 3】(2019 浦东新区一模)已知函数() = 42+16， 2 (1 2) |， 1 16 = (1 2) 4， 2 4， 6.又 2，所以 ,2，6)
6、 (2)若 2，则() = (1 2) | = (1 2) ， (1 2) ， 2.， ()在(，)上是单调递增函数，此时() (0，1)； ()在,，2)上是单调递减函数，此时() (1 2) 2，1- 若满足题目要求，则 1 16 (1 2) 2， 2，又 0且 1， 0 0) 7. 已 知 函 数 2 ( )(2 ) (5)fxxxa x的 图 像 关 于 点(2 , 0 )中 心 对 称 ， 设 关 于x的 不 等 式 ()( )f xmf x的解集为A，若( 5, 2)A，则实数m的取值范围是 【答案】3m或3m 【解析】函数( )f x的图象关于点( 2,0)中心对称，则( 4)(
7、0)ff ，由此求得4a，所以 232 ( )(2)(45)6310f xxxxxxx， ()( )()( )0f xmf xf xmf x 22 ()( )33(4)63f xmf xm xmxmm， 显 然 0m不舍题意， 当0m时，()( )0f xmf x 22 33(4)630xmxmm ， 由题意 22 22 3 ( 5)15(4)630 3 ( 2)6(4)630 mmm mmm 36 33 m m 3m， 当0m时，()( )0f xmf x 22 33(4)630xmxmm ， 因为 4 2 2 m ，所以由题意 22 3 ( 2)6(4)630mmm 3m或3m3m，综上，
8、m的取值范围是3m或3m 二、选择题 1. 函数 2 612 ( ) 2 xx f x x ，3,5x的值域为( ) A2,3 B2,5 C 7 ,3 3 D 7 ,4 3 【答案】A 【解析】 f(x)x 4 x24x2 4 x22，3x5，1x23， f(x)2 422，故当 x4 时，f(x)2 即为最小值，又因为 f(3)3，f(5)7 3，故 f(x)在3，5上的值域为 2，3 2. 若函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间0，1上的最大值是 M，最小值是 m，则 Mm( ) A与 b 有关，且与 c 有关 B与 b 有关，但与 c 无关 C与 b 无关，且与 c 无关 D与 b
9、无关，但与 c 有关 【答案】B 【解析】设函数 f(x)=ax2+bx+c 在 x1处取的最大值，在 x2处取的最小值，0x11，0x21，且 x1x2， M=f(x1)=ax12+bx1+c，m=f(x2)=ax22+bx2+c， Mm=ax12+bx1+cax22bx2c=a(x12x22)+b(x1x2)， 与 a，b 有关，但与 c 无关. 3. 已知, x yR，且0xy，则( ). A. 11 0 xy B. s i ns i n0xy C. 11 0 22 xy D.lnln0xy 【答案】C 【解析】选项 A 错误：因为 1111 00xy xyxy ；选项 B 错误：三角函
10、数sinyx在 0, 上不是单调的，所以不一定有sinsinxy，举反例如，当20xyy时，sinsin0xy；选项 C 正确：由指数函数 1 ( ) 2 t f t 是减函数，可得 11 00 22 xy xy 11 0 22 xy ；选 项 D 错误：举一个反例如，ex， 1 e y ., x y满足0xy，但lnln0xy. 4. 已知函数 2 1 1 log e x f xx ee ，则使得121f xfx的x的范围是( ) A0,2 B,0 C ,02, D2, 【答案】A 【解析】 由于 fxf x， 所以函数为偶函数， 且在0,上为减函数， 因此 121f xfx， 则需121x
11、x，解得0,2x . 5. 已知定义在R上的函数满足为奇函数，函数关于直线对称，则下列式子 一定成立的是( ) A B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 (2)fx 为奇函数，所以(2)(2)fxfx ，则( )(4)f xfx 又因为 (3)f x 关 于直线 1x 对称， 所以 ( )f x 关于 4x 对称， 所以(4)(4)fxfx， 则()(4 )(8 )f xf xf x， 于是8为函数 ( )f x 的周期，所以(2)(6)f xf x，故选 B 6定义区间 12 ,x x的长度为 21 xx( 21 xx)，函数 2 2 ()1 ( )(,0) aa x f xaR a
12、a x 的定义域与值域都 是 , ()m n nm，则区间 , m n取最大长度时实数a的值为( ) A 2 3 3 B-3 C1 D3 【答案】D 【解析】 由0x ，,0m n 或,0m n ， 故函数 2 11a f x aa x 在nm,上单调递增， 则 f mm f nn ， 故nm,是方程 2 11a x aa x 的同号的相异实数根， 即 222 10a xaa x 的同号的 相异实数根 2 1 a mn nm,同号，只需 2 310aaa 1a 或3a3a， 2 2114 43 33 nmmnmn a ，mn取最大值为 3 32 此时3a. 7.(2019 浦东新区校级月考)存
13、在函数()满足，对任意 都有( ) A. (2) = B. (2) = 2+ C. (2+ 1) = | + 1| D. (2+ 2) = | + 1| )(xf)2(xf) 3( xf1x )()2(xfxf)6()2(xfxf 1)2()2(xfxf0) 1()(xfxf 【答案】D 【解析】解：.取 = 0，则2 = 0， (0) = 0； 取 = 2，则2 = 0， (0) = 1； (0) = 0，和 1，不符合函数的定义； 不存在函数()，对任意 都有(2) = ； B.取 = 0，则(0) = 0； 取 = ，则(0) = 2+ ； (0)有两个值，不符合函数的定义； 该选项错误
14、； C.取 = 1，则(2) = 2，取 = 1，则(2) = 0； 这样(2)有两个值，不符合函数的定义； 该选项错误； D.令 + 1 = ，则(2+ 2) = | + 1|，化为(2 1) = |； 令2 1 = ，则 = + 1； () = + 1； 即存在函数() = + 1，对任意 ，都有(2+ 2) = | + 1|； 该选项正确 故选：D 三、解答题 1.(2019松江区一模)已知函数 2 ( ) 21 x f xa (常数aR) (1)讨论函数( )f x的奇偶性，并说明理由； (2)当( )f x为奇函数时，若对任意的2,3x，都有( ) 2x m f x 成立，求m的最大
15、值. 【解析】(1)若)(xf为奇函数，必有(0)10fa 得1a ， 当1a 时， 221 ( )1 2121 x xx f x ， 2112 ()( ) 2121 xx xx fxf x 当且仅当1a 时，)(xf为奇函数 又 2 (1) 3 fa， 4 ( 1) 3 fa，对任意实数a，都有( 1)(1)ff )(xf不可能是偶函数 (2)由条件可得： 22 2( )2 (1)(21)3 2121 xxx xx mf x 恒成立， 记21 x t ，则由2,3x 得5,9t， 此时函数 2 ( )3g tt t 在5,9t上单调递增， 所以( )g t的最小值是 12 (5) 5 g，
16、所以 12 5 m ，即m的最大值是12 5 . 2.(2019徐汇区一模)已知函数 2 ( ), 2 ax f x x 其中.aR (1)解关于x的不等式( )1f x ； (2)求a的取值范围，使( )f x在区间(0,)上是单调减函数. 【解析】(1)不等式( )1f x 即为 2(1) 10. 22 axax xx 当1a时，不等式解集为(, 2)0, ； 当1a时，不等式解集为(, 2)( 2,) ； 当1a时，不等式解集为2,0 . (2)任取 12 0,xx则 12 12 12 22 ( )() 22 axax f xf x xx 12 12 2(1)() , (2)(2) ax
17、x xx 12 0xx 1212 0,20,20,xxxx 所以要使( )f x在(0,)递减即 12 ( )()0,f xf x只要10a 即1,a 故当1a时，( )f x在区间(0,)上是单调减函数. 3.已知函数axxf 2 )( (1) 若 1 2 )()( bx xfxF是偶函数，且在定义域上axxF)(恒成立，求实数a的取值范围； (2) 当1a时， 令)()()(xfxffx， 问是否存在实数， 使)(x在1,上是减函数， 在0 , 1 上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】(1) 1 2 )( 2 bx axxF是偶函数，0b 即 2)( 2 ax
18、xF，Rx 又axxF)(恒成立即 22 2(1)2xaaxa xx 当1x时aR； 当1x时 ， 2 23 (1)2 11 x ax xx ，2 32a 当1x时 ， 2 23 (1)2 11 x ax xx ， 232a，综上: 2 322 32a (2) ( )( ( )( )xf f xf x 42 (2)(2)xx )(x是偶函数， 要使)(x在1,上是减函 数在0 , 1上是增函数，即)(x只要满足在区间, 1上是增函数在1 , 0上是减函数. 令 2 xt ，当 1 , 0x时1 , 0t； , 1x时 , 1t， 由 于, 0x时 ， 2 xt 是 增 函 数 记 2 ()(
19、)( 2)( 2)xH ttt，故)(x与)(tH在区间, 0上有相同的增减性，当二次函数 2 ( )(2)(2)H ttt在区间, 1上是增函数在1 , 0上是减函数，其对称轴方程为1t 2 14 2 . 4.已知函数： 1xa f xaRxa ax 且 . (1) 证明：函数的图像关于点( , 1)a 成中心对称图形； (若函数( )f x在定义域内满足( )(2)2f xfmxn，则说函数图像关于点( , )m n成中心对称图形 ) (2) 当 f x的定义域为 1 ,1 2 aa 时，求证： f x的值域为3, 2 ； (3) 设函数 2 g xxxa f x，求 g x的最小值 【解
20、析】证明 (1) 121 ( )2(2)2 2 xaaxa f xfax axaax 111221 20 xaaxxaaxax axxaax 结论成立. (2) () 11 ( )1 ax f x axax 当 1111 11121 222 axaaxaax ax 时, 2 1 13 xa 即( )f x的值域为 3, 2 解(3) 2 ( )|1|()g xxxaxa 当 22 13 1, ( )1() 24 xaxag xxxaxa 且时 如果 2 1 1a 即 2 1 a时，则函数在),(), 1aaa和上单调递增 2 min ) 1() 1()(aagxg ，如果 min 1113 1
21、, ( )() 2224 aag xga 即当时 而当 2 1 a时，)(xg在 2 1 ax处无定义，故)(xg最小值不存在； 当 22 15 1( )1() 24 xag xxxaxa 时 如果 min 1315 1( )( ) 2224 aag xga 即时 如果 2 min 13 1( )(,1)( )(1)(1) 22 aag xag xg aa 即时在上为减函数 当 2222 353131 (1)()()0(1)()()0 242242 aaaaaaaa时当时 综合得： 当 2 1 a时 g(x)最小值不存在； 当 1 2 a 且 1 2 a 时 ， g(x)最小值是a 4 3 ；
22、 当 2 3 2 1 a时 g(x)最小值是 2 ) 1( a；当 2 3 a时 g(x)最小值为 5 4 a. 5.【拔高题】(2018建平中学模拟)已知函数 f(x)=lognx(n0，n1) (1)若 f(x1x2)=10，求 f(x12)+f(x22)的值； (2)设 g(x)=f()，当 x(m，n)时，g(x)的值域为(1，+)，试求 m 与 n 的值； (3)当 n=3 时，记 h(x)=f 1(x)+ (m0)，如果对于区间1，0上的任意三个实数 r，s，t，都存在以 h(r)、h(s)、h(t)为边长的三角形，求实数 m 的取值范围 【解析】(1)若 f(x1x2)=10，
23、则 lognx1x2=10， 则 f(x12)+f(x22)=lognx12+lognx22=lognx12x22=logn(x1x2)2=2lognx1x2=20 (2)g(x)=f()=logn=logn()=logn(1+)， 则 y=1+在(1，+)上为减函数， 当 x(m，n)时，g(x)的值域为(1，+)， m=1，n1， 则函数 g(x)在(m，n)上为减函数， 则 g(n)=1，即 logn(1+)=1，得 1+=n，即=n1， 的(n1)2=2，得 n1=，则 n=1 或 n=1(舍) (3)当 n=3 时，记 h(x)=f 1(x)+ =3x+，(m0)， 1x0，设 t=
24、3x，则t1， 即 y=t+，(t1)，由题意得在t1 上恒有 2yminymax即可 当 0m时，函数 h(x)在，1上递增， ymax=1+m，ymin=3m+ 由 2yminymax得 6m+ 1+m，即 5m，得 m此时m 当m时，h(x)在，上递减，在，1上递增， ymax=max3m+.1+m=1+m，ymax=3m+，ymin=2， 由 2yminymax得 41+m，得 此时m 当m1 时，h(x)在，上递减，在，1上递增， ymax=max3m+.1+m=3m+，ymin=2， 由 2yminymax得 43m+ ，得m此时m1 当 m1 时，h(x)在，1上递减， ymax
25、=3m+，ymin=m+1， 由 2yminymax得 2m+23m+ ，得 m此时 1m， 综上m 新题速递新题速递 1(2020宝山区一模)下列函数是偶函数，且在0，)上单调递增的是( ) A 2 ( )log (41) x f xx B( ) | 2cosf xxx C 2 2 1 0 ( ) 00 xx f xx x D | ( )10lgxf x 【分析】由偶函数的定义，及在0，)上单调即可求解； 【解答】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错； 2222 41 :()log (41)loglog (41)log 2 4 x xx x A fxxx 2 2 log (
26、41)( ) xx xxf x ； 2 2222 (2 )11 ( )log (41)loglog (2) log 21 22 x xx xx f xx ， 当且仅当 1 2 2 x x ， 即0x 时等号成立， 故A 正确； :0B x 时，( )2cosf xxx， 令() 1 2 s i n0f xx ， 得(0x， 5 2)(2 66 kk ， * 22 )()kkN， 故B不正确； :0C x 时， 2 2 1 2x x ，当且仅当 2 2 1 x x ，即1x 时，等号成立，不满足在0，)上单调递增，故 C不正确； 故选：A 2(2020闵行区一模)若( ) | |3 |f xxa
27、xa，且0x，1上的值域为0，f(1)，则实数a的取值范围 是 【分析】结合图象，分类讨论即可得解 【解答】解：结合图象， 当0a 时，显然成立； 当0a 时，( )f x在0，1上递增，最小值为 2 30a ，不成立； 当0a 时，要使值域为0，f(1)，则需满足 (1)(0) (1)(2 ) ff ffa ，即 1 4 2222 22 a aa 或 厔 ，故 1 0 4 a ； 综上，实数a的取值范围为 1 0, 4 故答案为： 1 0, 4 3(2020普陀区一模)已知函数 22 ( )(815)()(f xxxaxbxc a，b，)cR是偶函数，若方程 2 1axbxc在区间1，2上有
28、解，则实数a的取值范围是 【分析】由( )f x是偶函数，图象关于y轴对称，可知，3，5 是 2 0axbxc的两个根，根据方程的根与 系数关系可求得a，b，c的关系，然后结合二次函数的性质可求a的范围 【解答】解： 22 ( )(815)()f xxxaxbxc是偶函数，图象关于y轴对称， 令 2 8150xx可得，3x 或5x ， 根据偶函数图象的对称性可知，3，5 是 2 0axbxc的两个根， 8 15 b a c a ， 15 8 ca ba ， 由 2 1axbxc可得， 2 8151axaxa， 1x，2时， 2 8153xx，8， 2 11 1 , 8158 3 a xx 故答
29、案为： 1 1 , 8 3 4(2020虹口区一模)已知函数( )f x的定义域为R，当(0x，2时，( )(2)f xxx，且对任意的xR， 均有(2)2 ( )f xf x，若不等式 15 ( ) 2 f x 在(x ，a上恒成立，则实数a的最大值为 【分析】直接利用关系式的应用和定义域的应用求出结果， 【解答】解：利用转点法，设 0 15 (,) 2 A x，在6x，8上，则 0 15 (2,) 4 x 在4x，6上， 0 15 (4,) 8 x 在2x，4上， 0 15 (6,) 16 x 在0x，2上，即( )(2)f xxx过 0 15 (6,) 16 x ， 所以 00 15 (
30、6)(8) 16 xx，解得 0 27 4 x 故答案为： 27 4 5(2020崇明区一模)已知函数( )f x是定义在R上的周期为 2 的奇函数当01x 时， 3 ( )1f xxax， 则实数a的值等于 【分析】 根据函数的周期为2， 奇函数， 又已知当01x 时的解析式， 故( 1)ff (1)且( 1)( 12)fff (1)推出f(1)0，解出即可 【解答】解：函数( )f x是定义在R上的周期为 2 的奇函数 当01x 时， 3 ( )1f xxax， ( 1)ff (1)且( 1)( 12)fff (1)， f(1)0，即f(1)1120aa ， 2a 故答案为：2 6已知(
31、)f x是定义在R内的偶函数，且它在0，)内单调递增，那么使( 2)ff (a)成立的实数a的取 值范围是 【分析】利用函数是偶函数得到不等式( 2)ff (a)等价为f(2)(|)fa，然后利用函数在区间0，)上 单调递增即可得到不等式的解集 【解答】解：函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增 不等式( 2)ff (a)等价为f(2)(|)fa， 即2|a， 2a或2a， 故答案为：2a 或2a 7(2020闵行区一模)已知函数( )2 2 x x a f x (1)若( )f x为奇函数，求a的值； (2)若( )3f x 在1x，3上恒成立，求实数a的取值范围 【
32、分析】(1)由(0)0f即可求得a； (2)设2xt ，2t，8，则问题等价于 22 39 3() 24 attt ，由二次函数的图象及性质即可得解 【解答】解：(1)函数的定义域为R，函数( )f x为奇函数， 0 0 (0)210 2 a fa ，解得1a ； (2)( )3f x 即为23 2 x x a ，即(32 ) 2 xx a，1x，3， 设2xt ，2t，8，则 22 39 3() 24 attt ， 设函数 2 39 ( )(),2,8 24 g ttt ，易知函数( )g t在2，8上单调递减，故( )ming tg(8)40 ， 40a ，即实数a的(, 40) 8(20
33、20徐汇区一模)设函数 2 ( )|(f xxxaxR，a为实数) (1)若( )f x为偶函数，求实数a的值； (2)设 1 2 a ，求函数( )f x的最小值(用a表示) 【分析】(1)直接利用函数的性质的应用和函数的恒成立问题的应用求出a的值 (2)利用分类讨论思想的应用求出函数的最小值 【解答】解：(1)若函数( )f x为偶函数，则()( )fxf x对于任意实数恒成立 即： 22 |xxaxxa ，所以| |xaxa恒成立，即0a (2)在 1 2 a 的基础上，讨论xa的符号， 当x a时， 2 ( )f xxxa，所以函数( )f x的对称轴为 1 2 x ，此时 2 ( )
34、 min yf aa 当xa时， 2 ( )f xxxa，所以函数( )f x的对称轴为 1 2 x ，此时 11 ( ) 24 min yfa 又由于 1 2 a 时， 2 1 4 aa，所以函数( )f x的最小值为 1 4 min ya 9(2020杨浦区一模)已知函数( )2 2 x x a f x ，其中a为实常数 (1)若(0)7f，解关于x的方程( )5f x ； (2)判断函数( )f x的奇偶性，并说明理由 【分析】(1)由题意(0)7f，代入即可求解， (2)要判断函数的奇偶 性，只有检验()fx与( )f x的关系即可 【解答】解：(1)由题意(0)17fa ， 6a， 6 ( )2 2 x x f x ， 由 6 25 2 x x 可得22 x 或23 x ， 1x或 2 log 3x ， (2)函数定义域R， 当( )f x为奇函数时，()( )fxf x ， 2(2) 22 xx xx aa ， 1 (1)(2)0 2 x x a， 1a ； 当( )f x为偶函数时，()( )fxf x， 2(2) 22 xx xx aa ， 1 (1)(2)0 2 x x a， 1a； 当1a 时，函数( )f x为非奇非偶函数
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