1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题（共 9 小题） 1已知集合 AxZ|2x4，Bx|x22x30，则 AB（ ） A（2，1） B（1，3） C1，0 D0，1，2 2设命题 p：nN，n22n，则p 为（ ） AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n22n 3共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车 共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人 们的关注某部门为了对该市共享单车加强监管，随机选取了 50 人就该城市共享单车的 推行情况进行问卷调查， 并将问卷中的这 50 人
2、根据其满意度评分值 （百分制） 按照50， 60），60，70），90，100分成 5 组，根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布 表和频率分布直方图（如图所示），计算 a，b，x，y 的值分别为（ ） 组别 分组 频数 频率 第 1 组 50，60） 8 0.16 第 2 组 60，70） a 第 3 组 70，80） 20 0.40 第 4 组 80，90） 0.08 第 5 组 90，100 2 b 合计 A16，0.04，0.032，0.004 B16，0.4，0.032，0.004 C16，0.04，0.32，0.004 D12，0.04，0.032，0.04 4在ABC 中，角 A
3、，B，C 的对边分别为 a，b，c若 A ， 2sinAsinB，且 b 6，则 c（ ） A2 B3 C4 D6 5已知 （0，），sin+cos ，则 cos2（ ） A B C D 6 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点， 且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点， |AB| 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D3 7已知定义域为 R 的函数 f（x）在（，2）上单调递减，函数 f（x+2）是偶函数，若 a f（0.20.6），bf（2log3）， ，e 为自然对数的底数，则 a，b，c 的大小 关系是（ ） Aabc Bacb
4、Ccab Dbca 8 已知函数 ， 的最小正周期为 ， f （x） 的图象关于 y 轴对称，且在区间 ， 上单调递增，则函数 g（x）2cos（x+）在区 间 ， 上的值域为（ ） A ，2 B1，2 C2，1 D ，1 9已知函数 f（x） ， ， （a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在 点 A （e， 1） 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点， 求实数 a 的取值范围是 （ ） A B C ，或 D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 10设复数 （i 是虚数单位），则 z 的共轭复数 11已知（ax21）7（a0）的展开式中第 6 项的系数为189，
5、则展开式中各项的系数和 为 12已知圆锥的高为 1，体积为 ，则以该圆锥的母线为半径的球的体积为 13已知圆 C 的圆心在第一象限，且在直线 y2x 上，圆 C 与抛物线 y24x 的准线和 x 轴 都相切，则圆 C 的方程为 14若实数 x、y 满足 xy0，且 log2x+log2y2，则 的最小值为 ； 的 最大值为 15在ABC 中，BAC60，| |2， 2 ，| | ，则| | ；设 （R），且 4，则 的值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16近年来，随着全球石油资源紧张、大气污染日益严重和电池技术的提高，电动汽车已被 世界公
6、认为 21 世纪汽车工业改造和发展的主要方向 为了降低对大气的污染和能源的消 耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型 A 和车型 B，并在黄金周期间同时投放 市场为了了解这两款车型在黄金周的销售情况，制造商随机调查了 5 家汽车 4S 店的销 量（单位：台），得到如表： 4S 店 甲 乙 丙 丁 戊 车型 A 6 6 13 8 1l 车型 B 12 9 13 6 4 （）若从甲、乙两家 4S 店销售出的电动汽车中分别各自随机抽取 1 台电动汽车作满意 度调查，求抽取的 2 台电动汽车中至少有 1 台是车型 A 的概率； （） 现从这 5 家汽车 4S 店中任选 3 家举行促销活动， 用 X
7、 表示其中车型 A 销量超过车 型 B 销量的 4S 店的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 17如图所示的几何体 PABCDE 中，ABP 和AEP 均为以 A 为直角顶点的等腰直角三 角形，ABAE，ABCE，AECD，CDCE2AB4，M 为 PD 的中点 （）求证：CEPE； （）求二面角 MCED 的大小； （）设 N 为线段 PE 上的动点，使得平面 ABN平面 MCE，求线段 AN 的长 18设an是各项均为正数的等差数列，a11，a3+1 是 a2和 a8的等比中项，bn的前 n 项 和为 Sn，2bnSn2（nN*） （）求an和bn的通项公式； （）设数列cn的通项公
8、式 cn ， 为奇数 ， 为偶数 （nN*） （i）求数列cn的前 2n+1 项和 S2n+1； （ii）求 19设椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 ，过点 F 1 的直线 l 交椭圆 C 于点 A、B（不与左右顶点重合），连结 F2A、F2B，已知ABF2周长 为 8 （）求椭圆 C 的方程； （）若直线 l 的斜率为 1，求AOB 的面积； （）设 ，且 ，求直线 l 的方程 20（16 分）已知函数 f（x）ax2ex（aR，e 为自然对数的底数） （）若函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为 6e，求实数 a 的值 （）当 a0 时，讨论函数
9、f（x）的单调性； （）若关于 x 的不等式 f（x）+xex+1ex在区间（，0上恒成立，求实数 a 的取值 范围 参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知集合 AxZ|2x4，Bx|x22x30，则 AB（ ） A（2，1） B（1，3） C1，0 D0，1，2 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 解：A1，0，1，2，3，Bx|1x3， AB0，1，2 故选：D 【点评】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 2设命题 p：nN，n22n，则p 为（ ） AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22
10、n DnN，n22n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论 解：命题的否定是：nN，n22n， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 3共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车 共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人 们的关注某部门为了对该市共享单车加强监管，随机选取了 50 人就该城市共享单车的 推行情况进行问卷调查， 并将问卷中的这 50 人根据其满意度评分值 （百分制） 按照50， 60），60，70），90，100分成 5 组，根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布 表和频率
11、分布直方图（如图所示），计算 a，b，x，y 的值分别为（ ） 组别 分组 频数 频率 第 1 组 50，60） 8 0.16 第 2 组 60，70） a 第 3 组 70，80） 20 0.40 第 4 组 80，90） 0.08 第 5 组 90，100 2 b 合计 A16，0.04，0.032，0.004 B16，0.4，0.032，0.004 C16，0.04，0.32，0.004 D12，0.04，0.032，0.04 【分析】由频率分布直方图和频数分布表能求出 a，b，x，y 的值 解：由频率分布直方图和频数分布表得60，70）的频率为： 10.160.40.08 0.32，
12、a500.3216， b ， x ， y 0.004 故选：A 【点评】本题考查频率分布直方图、频数分布表、样本的数字特征，考查运算求解能力 以及数形结合思想，是中档题 4在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 A ， 2sinAsinB，且 b 6，则 c（ ） A2 B3 C4 D6 【分析】根据正弦定理和余弦定理，列出方程组求出 c 的值 解：ABC 中，A ，b6， a2b2+c22bccosA， 即 a236+c26c； 又 2sinAsinB， 2ab， 即 cosC ， a2+364c2； 由解得 c4 或 c6（不合题意，舍去）； c4 故选：C 【点评】本题
13、考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题 5已知 （0，），sin+cos ，则 cos2（ ） A B C D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sin 和 cos 的值，再利用二倍角公式求得 cos2 的值 解：（0，），sin+cos ，1+2sincos ，即 sincos ， sin0，cos0，sin ，cos ， 则 cos212sin2 ， 故选：C 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，以及三角函数在 各个象限中的符号，属于基础题 6 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点， 且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点， |AB
14、| 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D3 【分析】 不妨设双曲线 C： ， 焦点 F （c， 0） ， 由题设知 ， ， 由此能够推导出 C 的离心率 解：不妨设双曲线 C： ， 焦点 F（c，0），对称轴 y0， 由题设知 ， ， ， b22a2， c2a22a2， c23a2， e 故选：B 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用 7已知定义域为 R 的函数 f（x）在（，2）上单调递减，函数 f（x+2）是偶函数，若 a f（0.20.6），bf（2log3）， ，e 为自然对数的底数，则 a，b，c 的大小 关系是（ ） Aa
15、bc Bacb Ccab Dbca 【分析】根据题意，分析可得函数 f（x）的图象关于直线 x2 对称，结合对数的运算性 质可得 cf（3）f（1），由对数、指数的运算性质可得 00.20.60.2012log32， 结合函数的单调性分析可得答案 解：根据题意，函数 f（x+2）是偶函数，则函数 f（x）的图象关于直线 x2 对称， 则 f（e ln3）f（3）f（1）， 又由 00.20.60.2012log32，且函数 f（x）在（，2）上单调递减， 则 acb； 故选：B 【点评】 本题考查函数的单调性与对称性的应用， 注意分析函数的对称轴， 属于基础题 8 已知函数 ， 的最小正周期为
16、 ， f （x） 的图象关于 y 轴对称，且在区间 ， 上单调递增，则函数 g（x）2cos（x+）在区 间 ， 上的值域为（ ） A ，2 B1，2 C2，1 D ，1 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，再 利用正弦函数的图象和性质，求得 g（x）的值域 解：函数 ， 2sin（x+ ） 的最小正周期为 ，2，f（x）2sin（2x+ ） f（x）的图象关于 y 轴对称， k ，kZ f（x）在区间 ， 上单调递增，可以令 ，此时，f（x）2cos2x 函数 g（x）2cos（x+）2cos（2x ） 在区间 ， 上，2x ， ，cos（2x
17、） ，1，g（x） ，2， 即 g（x）的值域为 ，2， 故选：A 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质， 属于中档题 9已知函数 f（x） ， ， （a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在 点 A （e， 1） 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点， 求实数 a 的取值范围是 （ ） A B C ，或 D 【分析】求出原函数在点 A（e，1）处的切线的方程，切线与该函数的图象恰好有三个 公共点，只需求出切线与当 x1 时的函数联立方程组有两个交点，利用0 求出 a 的 范围，再讨论在 x1 的这个前提下成立，即在 x1 时切线图象低于抛物线图
18、象即可得 答案； 解： 函数 f （x） 在点 A （e， 1） 处的切线的方程： 由 f （x） lnx， x1， 得 f （x） ， 则 f （e） ， f（x）在点 A（e，1）处的切线方程为 y x， 函数 yf（x） （x+2）（xa），x1 由联立方程组可得： ， x1 化简得：x2+（1a）x2a0， 切线与该函数的图象在 A（e，1）点有一个交点， 只需要满足在当 x1 时有两个不相同的交点，利用0 求出 a 的范围， 0 即：a2+6a+10， 解得：a3+2 或 a32 ， 在 x1 时，切线图象应低于抛物线图象才能保证交于两不同的交点； f（1） （1+2）（1a） 1
19、解得：a ， 得 a 的范围： ，或 故选：C 【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数图象与切线 的交点位置关系，考查数形结合法是中档题 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 10设复数 （i 是虚数单位），则 z 的共轭复数 2+3i 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 解：复数 23i， z 的共轭复数 2+3i， 故答案是 2+3i 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题 11已知（ax21）7（a0）的展开式中第 6 项的系数为189，则展开式中各项的系数和 为 128 【分析】利用展开式的通项写
20、出第六项，令系数为189，求出 a 的值，再用赋值法得到 各项系数的和 解：由题意，通项为： 令第六项系数 ，解得 a3 故该二项式为（3x21）7，令 x1 得展开式各项系数的和为：27128 故答案为：128 【点评】本题考查二项展开式的通项的应用，赋值法求系数的和等问题，同时考查学生 的计算能力，属于基础题 12已知圆锥的高为 1，体积为 ，则以该圆锥的母线为半径的球的体积为 4 【分析】由圆锥的高为 1，体积为 ，可以求出底面的半径 r，然后由母线，高，底面半 径之间的关系求出母线 l 的值，进而求出该圆锥的母线为半径的球的体积 解：设圆锥的底面圆的半径为 r，由题意可得 V r 2
21、h 1 ，所以 r22， 所以圆锥的母线 l ， 所以圆锥的母线为半径的球的体积 V l 3 （ ） 34 ， 故答案为：4 【点评】本题考查圆锥的体积与球的体积公式，属于中档题 13已知圆 C 的圆心在第一象限，且在直线 y2x 上，圆 C 与抛物线 y24x 的准线和 x 轴 都相切，则圆 C 的方程为 （x1）2+（y2）24 【分析】由题意利用直线和圆的位置关系求出圆心和半径，可得圆的标准方程 解：圆 C 的圆心在第一象限，且在直线 y2x 上， 故可设圆心为 C（a，2a），a0， 圆 C 与抛物线 y24x 的准线 x1 和 x 轴都相切， 故圆的半径|a+1|2a|，解得 a1，
22、或 a （舍去），故半径为 2， 则圆 C 的方程为（x1）2+（y2）24， 故答案为：（x1）2+（y2）24 【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于基础 题 14若实数 x、y 满足 xy0，且 log2x+log2y2，则 的最小值为 ； 的 最大值为 【分析】利用基本不等式的性质直接求解可得 的最小值，通过转化 ，再运用基本不等式即可求得答案 解：log2x+log2y2，xy4 实数 x、y 满足 xy0， （当且仅当 x ，y 时等式成立） （当且仅当 x ，y 时等式 成立） 故答案为： ； 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，涉及对数函数的
23、运算，要求学生有转化的思 想，属于基础题 15在ABC 中，BAC60，| |2， 2 ，| | ，则| | 3 ；设 （R），且 4，则 的值为 【分析】由 2 可得 ，然后两边平方处理，结合平面向量的数量 积运算，解方程即可； 把 和 均代入 4，化简整理后，代入已知数据， 解关于 的方程即可得解 解： 2 ，B、D、C 三点共线， ， 两边平方，有 ， ， 解得， 或 （舍负） 4， （ ） ， 化简整理，得 ， ，解得 故答案为：3， 【点评】本题考查平面向量的模长、加、减和数量积运算，利用到了平面向量基本定理， 还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题 三
24、、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16近年来，随着全球石油资源紧张、大气污染日益严重和电池技术的提高，电动汽车已被 世界公认为 21 世纪汽车工业改造和发展的主要方向 为了降低对大气的污染和能源的消 耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型 A 和车型 B，并在黄金周期间同时投放 市场为了了解这两款车型在黄金周的销售情况，制造商随机调查了 5 家汽车 4S 店的销 量（单位：台），得到如表： 4S 店 甲 乙 丙 丁 戊 车型 A 6 6 13 8 1l 车型 B 12 9 13 6 4 （）若从甲、乙两家 4S 店销售出的电动汽车中分别各自随
25、机抽取 1 台电动汽车作满意 度调查，求抽取的 2 台电动汽车中至少有 1 台是车型 A 的概率； （） 现从这 5 家汽车 4S 店中任选 3 家举行促销活动， 用 X 表示其中车型 A 销量超过车 型 B 销量的 4S 店的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 【分析】（）先根据古典概型依次求出从甲、乙 4S 店分别随机抽取的 1 台电动汽车是 车型 B 的概率，然后依据独立事件的概率和从对立事件的角度出发求解问题即可； （） 由表可知， 车型 A 销量超过车型 B 销量的 4S 店有 2 家， 故 X 的可能取值为 0， 1， 2， 然后根据超几何分布求概率的方法逐一求出每个 X 的
26、取值所对应的概率即可得分布列， 进而求得数学期望 解：（）设“从甲 4S 店随机抽取的 1 台电动汽车是车型 B”为事件 M1，“从乙 4S 店 随机抽取的 1 台电动汽车是车型 B”为事件 M2， 则 ， ，且事件 M1、M2 相互独立， 设“抽取的 2 台电动汽车中至少有 1 台是车型 A”为事件 M， 则 （） 由表可知， 车型 A 销量超过车型 B 销量的 4S 店有 2 家， 故 X 的可能取值为 0， 1， 2， P（X0） ， P（X1） ， P（X2） 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 E（X） 【点评】本题考查古典概型、对立事件的概率、独立事件的概率、超
27、几何分布、离散型 随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属 于基础题 17如图所示的几何体 PABCDE 中，ABP 和AEP 均为以 A 为直角顶点的等腰直角三 角形，ABAE，ABCE，AECD，CDCE2AB4，M 为 PD 的中点 （）求证：CEPE； （）求二面角 MCED 的大小； （）设 N 为线段 PE 上的动点，使得平面 ABN平面 MCE，求线段 AN 的长 【分析】（）推导出 PAAB，PAAE，PA平面 ABCDE，ABAE，建立以 A 为原 点，AB，AE，AP 为 x，y，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明 CEPE （）求
28、出平面 MEC 的法向量和平面 DEC 的一个法向量，利用向量法能求出二面角 M CED 的大小 （）设 ，0，1），求出 N（0，2，22），令 ，则 0， 解得 N 为 PE 的中点，利用向量法能求出线段 AN 的长 解：（）证明：依题意ABP 和AEP 均为以直角为顶点的等腰直角三角形， 则 PAAB，PAAE，PA平面 ABCDE，又 ABAE， 建立以 A 为原点，AB，AE，AP 为 x，y，z 轴的空间直角坐标系， 则 A（0，0，0），B（2，0，0），C（4，2，0），D（4，6，0），E（0，2，0），P （0，0，2），M（2，3，1）， （4，0，0）， （0，2，2）
29、， 0，CEPE （）解： （2，1，1）， （2，1，1）， 设 （x，y，z）是平面 MEC 的法向量， 则 ，令 y1，得 （0，1，1）， 平面 DEC 的一个法向量 （0，0，2）， cos ， ， 由图得二面角 MCED 为锐二面角， 二面角 MCED 的大小为 45 （）解：设 ，0，1），N（x，y，z）， 则（x，y，z2）（0，2，2），N（0，2，22）， 令 ，则 0，解得 ，N 为 PE 的中点， AB平面 MCE，AN平面 MCE，ABANA， 当 N 为 PE 的中点时，平面 ABN平面 MCE， 此时，N（0，1，1），| | 线段 AN 的长为 【点评】本题考
30、查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间 中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力以及化归与转化思想， 是中档题 18设an是各项均为正数的等差数列，a11，a3+1 是 a2和 a8的等比中项，bn的前 n 项 和为 Sn，2bnSn2（n一、选择题*） （）求an和bn的通项公式； （）设数列cn的通项公式 cn ， 为奇数 ， 为偶数 （nN*） （i）求数列cn的前 2n+1 项和 S2n+1； （ii）求 【分析】（）根据等差数列和等比数列的通项公式和 Sn与 an的关系列式子求解即可； （）（i）根据（）中an和bn的通项公式，列出数列
31、cn的通项公式，分奇数组和 偶数组求解数列cn的前 2n+1 项和 S2n+1； （ii）将 i 分为奇数和偶数两种情况，当 i 为奇数时，设 ，当 i 为偶数时，设 ，分别求解出后，相加求得 的值即可 解：（）设等差数列an的公差为 d， a11，a3+1 是 a2和 a8的等比中项， ，即（1+2d+1）2（1+d）（1+7d）， 解得 d1， an是各项均为正数的等差数列，d1 an1+（n1）1n， 2bnSn2（nN*）2bn1Sn12（n2）， 两式相减得： （n2）， 当 n1 时，2b1S12，b12， bn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 （）（i）解： ， 为奇数，
32、， 为偶数， 所以 S2n+1（3+5+2n+3）+（22+24+22n） （ii）解：当 i 为奇数时，设 当 i 为偶数时，设 ， ， ， 故 ， . 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式，以及分组求和 的方法，属于中档题 19设椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 ，过点 F 1 的直线 l 交椭圆 C 于点 A、B（不与左右顶点重合），连结 F2A、F2B，已知ABF2周长 为 8 （）求椭圆 C 的方程； （）若直线 l 的斜率为 1，求AOB 的面积； （）设 ，且 ，求直线 l 的方程 【分析】（）由椭圆的离心率公式和定义
33、，可得 a，c，再由 a，b，c 的关系可得 b， 进而得到所求椭圆方程； （）求得直线 l 的方程，联立椭圆方程，消去 x，运用韦达定理，结合AOB 的面积为 S |OF1| |y1y2|，计算可得所求值； （）由 A，B，F1三点共线，可得 +1，结合条件可得 ， ，可设 A，B 的 纵坐标分别为 y1，y2，直线 l 的方程设为 xmy1，联立椭圆方程，运用韦达定理，解 方程可得 m，进而得到所求直线方程 解：（）由题意可得 e ，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|BF1|+|BF2|2a， 则ABF2周长为 4a，即有 4a8，即 a2，c1，b ， 则椭圆的方程为 1； （）若直
34、线 l 的斜率为 1，又 F1（1，0），可得直线 l 的方程为 yx+1， 联立 ，可得 7y 26y90， 设 A，B 的纵坐标分别为 y1，y2，可得 y1+y2 ，y1y2 ， 则AOB 的面积为 S |OF1|y1y2| ； （）设 ，由 A，B，F1三点共线，可得 +1， 且 ，即有 ，可设 ，可得 ， ， 可设 A，B 的纵坐标分别为 y1，y2，由 F1（1，0），F2（1，0）， 可得 0 y1 y2，即 y12y2， 由 可得（4+3m 2）y26my90，则 y 1+y2 ，y1y2 ， 由消去 y1，y2，可得 2 ， 解得 m ， 则直线 l 的方程为 5x2 y+5
35、0 或 5x+2 y+50 【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直 线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查三点共线的向量表示，突出考查化简运算 能力，属于中档题 20（16 分）已知函数 f（x）ax2ex（aR，e 为自然对数的底数） （）若函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为 6e，求实数 a 的值 （）当 a0 时，讨论函数 f（x）的单调性； （）若关于 x 的不等式 f（x）+xex+1ex在区间（，0上恒成立，求实数 a 的取值 范围 【分析】（I）f（x）ax2ex（aR），f（x）ax（x+2）ex，利用 f（1）3ae6e，
36、 解得 a （II）f（x）ax（x+2）ex，a0令）f（x）ax（x+2）ex0，解得 x2，0 对 a 分类讨论即可得出函数 f（x）的单调性 （III）不等式 f（x）+xex+1ex，化为：ax2ex+xex+1ex0，令 g（x）ax2ex+xex+1ex， x（，0关于 x 的不等式 f（x）+xex+1ex在区间（，0上恒成立g（x）min 0g（x）ax（x+2）ex+（x+1）exexx（ax+2a+1）ex，对 a 分类讨论得出函数 g （x）的单调性，进而得出结论 解：（I）f（x）ax2ex（aR），f（x）ax（x+2）ex， f（1）3ae6e，解得 a2 （II
37、）f（x）ax（x+2）ex，a0 令）f（x）ax（x+2）ex0，解得 x2，0 a0 时，函数 f（x）在（，2）上单调递增，在（2，0）上单调递减，在（0， +）上单调递增 a0 时，函数 f（x）在（，2）上单调递减，在（2，0）上单调递增，在（0， +）上单调递减 （III）不等式 f（x）+xex+1ex，化为：ax2ex+xex+1ex0， 令 g（x）ax2ex+xex+1ex，x（，0 关于 x 的不等式 f（x）+xex+1ex在区间（，0上恒成立g（x）min0 g（x）ax（x+2）ex+（x+1）exexx（ax+2a+1）ex， a0 时，g（x）xex+1ex，
38、g（x）xex0，函数 g（x）在（，0上单调递 减，g（x）ming（0）00满足题意 a0 时，g（x）ax（x ）ex，令 g（x）0，解得 x0，或 x 0 函数 g（x）在（， 上单调递增，在（ ，0上单调递减x时， g（x）0；g（0）0 g（x）ming（0）00满足题意 a0 时，g（x）ax（x ）ex，令 g（x）0，解得 x0，或 x a0，x 0，g（x）0，函数 g（x）在（，0上单调递减，g （x）ming（0）00满足题意 a 时， x 0 函数 g （x） 在 （， 上单调递减， 在 （ ， 0上单 调递增 x（ ，0）时，g（x）g（0）0，不满足 g（x）min0，舍去 综上可得：实数 a 的取值范围是 ，+） 【点评】本题考查了利用导数研究的单调性、方程与不等式对解法、分类讨论方法、等 价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
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