1、2020 年高考数学一模试卷（文科）年高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1在复平面内，复数 z（1+i）（2i）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2A2，3，BxN|x23x0，则 AB（ ） A1，2，3 B0，1，2 C0，2，3 D0，1，2，3 3已知向量 （2，3）， （3，m），且 ，则 m（ ） A2 B2 C D 4某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有 120，150，180，150 名高三学生参加某次数学调 研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案；从这 600 名学 生的试卷中抽取一个容量为 200
2、的样本进行分析：方案：丙校参加调研考试的学生中 有 30 名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取 10 份试看进行分析完成这两种方案 宜采用的抽样方法依次是（ ） A分层抽样法、系统抽样法 B分层抽样法、简单随机抽样法 C系统抽样法、分层抽样法 D简单随机抽样法、分层抽样法 5从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率 为（ ） A0.3 B0.4 C0.5 D0.6 6执行如图所示的程序框图，则输出的 a 值为（ ） A3 B C D2 7 我国古代名著 九章算术 中有这样一段话： “今有金锤， 长五尺， 斩本一尺， 重四斤 斩 末一尺，重二斤”
3、意思是：“现有一根金锤，长度为 5 尺，头部的 1 尺，重 4 斤；尾 部的 1 尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列”则下列说法正确的是 （ ） A该金锤中间一尺重 3.5 斤 B中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3 倍 C该金锤的重量为 15 斤 D该金锤相邻两尺的重量之差的为 1.5 斤 8已知命题 p：xR，x2x+10；命题 q：若 a2b2，则 ab下列命题为真命题的是 （ ） Apq Bpq Cpq Dpq 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外 接球的表面积为（ ） A12 B6 C D3 10函数 图象的大致形状是（
4、 ） A B C D 11已知双曲线 C： ， 的两个焦点为 F1，F2，过 F1且与 x 轴垂直的 直线交 C 的渐近线于 A， B 两点 若ABF2为直角三角形， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A B C D 12关于 x 的方程 有四个不同的实数根，且 x1x2x3x4，则（x4 x1）+（x3x2）的取值范围（ ） A ， B ， C ， D ， 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 13函数 f（x）ln（x2+2x8）的单调递增区间是 14设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最小值为 15已知 a，bR，且 a2b+40，则 的最小值为
5、16已知 mR，函数 ， ， ， 若对任意 x3，+），f（x） |x|1，恒成立，则 m 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17已知函数 （1）求 的值和 f（x）的最小正周期； （2）设锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且 ， 2，求 b+c 的取值范围 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A平面 ABC，D，E 分别是线段 AB，BB1的中点 （1）证明：BC1平面 A1CD； （2）当三棱柱的各棱长均为 2 时，求三棱锥 CA1DE 的体积 192020 年是具有里程碑意义的一年，我
6、们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目 标； 2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年 （总书记二二年新年贺词） 截至 2018 年底， 中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人， 贫困发生率由2012年的10.2% 下降至 2018 年的 1.7%；连续 7 年每年减贫规模都在 1000 万人以上；确保到 2020 年农 村贫困人口实现脱贫， 是我们党立下的军令状， 脱贫攻坚越到最后时刻， 越要响鼓重锤 某 贫困地区截至 2018 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩 部分家庭尚未实现小康现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50 户，得到这
7、 50 户 家庭 2018 年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图 （1）补全频率分布直方图，并求出这 50 户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一 组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）； （2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的 一个家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入如表： 月份/2019 （时间代码 x） 1 2 3 4 5 6 人均月纯收 入（元） 275 365 415 450 470 485 由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线性相 关关系，请求出回归直线方程；由于
8、2020 年 1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康 的进展，该家庭 2020 年第一季度（1，2，3 月份）每月的人均月纯收人均为预估值的 ， 从 4 月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的 ，由此估计该家庭 2020 年能否达到 小康标准，并说明理由； 可能用到的数据： xiyi9310； 参考公式：线性回归方程 x 中， ， 20已知 F1，F2是椭圆 C： 的左右两个焦点，过 F2的直线与 C 交于 P，Q 两点（P 在第一象限），PF1Q 的周长为 8，C 的离心率为 （1）求 C 的方程； （2）设 A1，A2为 C 的左右顶点，直线 PA1的斜率为 k1，QA2的斜率为 k2
9、，求 的 取值范围 21已知函数 f（x）mex（x+1）（m0），g（x）ex+x+ax2 （1）若 f（x）在（0，m）处的切线的方程为 y2x+n，求 m，n 的值并求此时 f（x）的 最值； （2）在（1）的条件下，不等式 f（x）g（x）在 x0 时恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清 题号选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系直线 l 的极坐标方程为 2cossin+m 0 （1）求 C
10、 和 l 的直角坐标方程； （2）已知 l 与 C 相切，求 m 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x|2x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 aR，且 a0，证明：|4a1|+| |4f（x） 参考答案 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1在复平面内，复数 z（1+i）（2i）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】化简复数 z 后可得其对应点为（3，1），从而可得答案 解：z（1+i）（2i）3+i， 故 z 对应的点在第一象限，
11、 故选：A 【点评】本题考查复数代数表示法及其几何意义，属基础题 2A2，3，BxN|x23x0，则 AB（ ） A1，2，3 B0，1，2 C0，2，3 D0，1，2，3 【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：A2，3， BxN|x23x0xN|0x31，2， AB1，2，3 故选：A 【点评】本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算，考查运算求解能力以及化归与 转化思想 3已知向量 （2，3）， （3，m），且 ，则 m（ ） A2 B2 C D 【分析】根据 ， ， ， ， ，则 x 1y2x2y1，代入数值求解即可 解： （2，3）， （3，m）， ，2m33， 解得 m
12、故选：C 【点评】本题考查两向量平行的坐标表示，属于基础题，必须掌握 4某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有 120，150，180，150 名高三学生参加某次数学调 研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案；从这 600 名学 生的试卷中抽取一个容量为 200 的样本进行分析：方案：丙校参加调研考试的学生中 有 30 名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取 10 份试看进行分析完成这两种方案 宜采用的抽样方法依次是（ ） A分层抽样法、系统抽样法 B分层抽样法、简单随机抽样法 C系统抽样法、分层抽样法 D简单随机抽样法、分层抽样法 【分析】由简单随机抽样，分层抽样，系统抽样
13、的概念，结合实际问题，直接判断 解：由简单随机抽样，分层抽样，系统抽样的概念，结合实际问题，显然两方案应用分 层抽样，简单随机抽样， 故选：B 【点评】本题考查三种抽样方法各自适合哪种问题，比较基础 5从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率 为（ ） A0.3 B0.4 C0.5 D0.6 【分析】基本事件总数 n ，选中的恰有一名女同学包含的基本事件个数 m 6，由此能求出选中的恰有一名女同学的概率 解：从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务， 基本事件总数 n ， 选中的恰有一名女同学包含的基本事件个数 m 6， 选中的
14、恰有一名女同学的概率为 p 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能 力以及化归与转化思想，是基础题 6执行如图所示的程序框图，则输出的 a 值为（ ） A3 B C D2 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：当 i1 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a3，i2； 当 i2 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a ，i3； 当 i3 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a ，i4； 当 i4 时，不满足退出循环的条件，执
15、行循环体后，a2，i5； 当 i5 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a3，i6； a 的值是以 4 为周期的循环， 由 20204505， 故当 i2021 时，满足退出循环的条件，故输出的 a 值为 2， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答，本题属于基础题 7 我国古代名著 九章算术 中有这样一段话： “今有金锤， 长五尺， 斩本一尺， 重四斤 斩 末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金锤，长度为 5 尺，头部的 1 尺，重 4 斤；尾 部的 1 尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列”则下列说法正确的是
16、 （ ） A该金锤中间一尺重 3.5 斤 B中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3 倍 C该金锤的重量为 15 斤 D该金锤相邻两尺的重量之差的为 1.5 斤 【分析】设该等差数列为an，公差为 d，a52，a14，可得 4+4d2，解得 d，an利 用通项公式与求和公式即可得出 解：设该等差数列为an，公差为 d，a52，a14， 则 4+4d2，解得 d an 4 （n1） a33，S5 15，a2+a3+a4 3 9，a5+a16， 只有 C 正确 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 8已知命题 p：xR，x2x+10
17、；命题 q：若 a2b2，则 ab下列命题为真命题的是 （ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【分析】分别判断出 p，q 的真假，从而判断复合命题的真假即可 解：命题 p：xR，x2x+10，是真命题； 命题 q：若 a2b2，则|a|b|，是假命题， 故 pq 是真命题， 故选：B 【点评】本题考查了复合命题的判断，考查不等式的性质，是一道基础题 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外 接球的表面积为（ ） A12 B6 C D3 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积 解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为三棱锥体 A
18、BCD 如图所示：设该几何体的外接球的半径为 R， 则：（2R）222+22+22， 所以 R 所以：S 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公 式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10函数 图象的大致形状是（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性可排除 BD，由 f（1）0，可排除 A，进而得出正确选项 解：由 ，可得 ，且 函数的定义域为 R， 则函数 f（x）为偶函数，故可排除选项 B，D； 又 ，故可排除 A 故选：C 【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题 11已知双
19、曲线 C： ， 的两个焦点为 F1，F2，过 F1且与 x 轴垂直的 直线交 C 的渐近线于 A， B 两点 若ABF2为直角三角形， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A B C D 【分析】 利用双曲线的对称性及直角三角形， 可得|AF|BF|， 求出|AF|， |BF|得到关于 a， b，c 的等式，即可求出离心率的值 解：ABC 是直角三角形，BAC 为直角， 双曲线关于 x 轴对称，且直线 BC 垂直 x 轴， |AF1|BF1|， F1为左焦点，设其坐标为（c，0）， |BF1| ， |F2F1|2c， 2c，可得 b2a， c2a24a2， e25， e1， e 故选：A 【点评
20、】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2a2+b2、考查双曲线 的离心率，属于中档题 12关于 x 的方程 有四个不同的实数根，且 x1x2x3x4，则（x4 x1）+（x3x2）的取值范围（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】将方程变形为|x24x+1|t2+1，根据方程有四个根，可知函数 yt2+1 与 y|x2 4x+1|的图象有四个交点，由此可知 x1+x44，x2+x34，以及 t 的范围，解出 x1，x2即 可求出 解：依题意可知，|x24x+1|t2+1，由方程有四个根，所以函数 yt2+1 与 y|x24x+1| 的图象有四个交点， 由图可知，x1+x4
21、4，x2+x34，1t2+13，解得 t2（0，2）， 由 x24x+1t2+1 解得 x12 ； 由（x24x+1）t2+1 解得 x22 ； 所以（x4x1）+（x3x2）82（x1+x2）2（ ） 设 mt2（0，2），n ， n2m+4+2m+2 6+2 （6，6+4 ）， 即 m（ ，2 ），所以（x4x1）+（x3x2）的取值范围是（2 ，4+2 ） 故选：B 【点评】本题主要考查方程的根与两函数的图象的交点的个数之间的关系应用，二次函 数的性质以及一元二次方程的解法应用，考查函数思想的应用和函数值域的求法，属于 较难题 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20
22、分. 13函数 f（x）ln（x2+2x8）的单调递增区间是 （2，+） 【分析】令 tx2+2x80，求得函数的定义域，再由 f（x）lnt，可得本题即求函数 t 在定义域上的增区间，再利用二次函数的性质可得 t 在定义域上的增区间 解：令 tx2+2x8（x2） （x+4）0，求得 x4，或 x2，故函数的定义域为x|x 4，或 x2， f（x）g（t）lnt， 故本题即求函数 g（t）在定义域上的增区间 再利用二次函数的性质可得 g（t）在定义域上的增区间为（2，+）， 故答案为：（2，+） 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想， 属于基础题 14设
23、变量 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最小值为 1 【分析】先根据条件画出可行域，再利用 z2xy，几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截距最大，只需求出直线 z2xy，过可行域内的点 A（1，1）时的最小值，从 而得到 z 最小值即可 解：变量 x，y 满足约束条件 ，在坐标系中画出可行域三角形， 平移直线 2xy0 经过点 A（1，1）时，2xy 最小，最小值为：1， 则目标函数 z2xy 的最小值为 1 故答案为：1 【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归 思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定 15已知 a，bR，且 a2b
24、+40，则 的最小值为 【分析】根据已知条件和基本不等式的性质即可得出 解：a2b+40，a2b4 3 a+32b 2 （当且仅当 a2b 时等式成立） 故答案为： 【点评】本题考查了基本不等式的性质及应用，属于基础题 16已知 mR，函数 ， ， ， 若对任意 x3，+），f（x） |x|1，恒成立，则 m 的取值范围是 ，2 【分析】依题意，当3x0 时，f（x）|x|1 恒成立，可化为m（x2+3x2）max， 利用二次函数的单调性可求得 yx2+3x2（3x0）的最大值，从而可得此种情况 下 m 的取值范围；当 x0 时，同理可得此种情况下 m 的取值范围，从而可得答案 解：当3x0
25、时，f（x）|x|1 恒成立，可化为：x2+2x+m3x1 恒成立，即 m（x2+3x2）max， yx2+3x2（x ） 2 （3x0），其对称轴方程为 x ， 当 x0 或 x3 时，yx2+3x2 取到最大值2，即m2， m2； 当 x0 时，f（x）|x|1 恒成立，可化为：x2+2（xm）1x1 恒成立，即2m （x2x）min， yx2x（x ） 2 （x0），其对称轴方程为 x ， 当 x 时，yx 2x 取到最小值 ，即2m ， m ； 综合得：m 的取值范围为 m2 故答案为： ，2 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问 题解法，考查等
26、价转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档 题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17已知函数 （1）求 的值和 f（x）的最小正周期； （2）设锐角ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且 ， 2，求 b+c 的取值范围 【分析】 （1） 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式， 利用特殊角的三角函数值， 正弦函数的周期公式即可求解 （2）由已知 ， ， ，可求 ，进而由正弦定理，三角 函数恒等变换的应用，正弦函数的性质可得 b+c 的取值范围 解：由题 ， （1） ， ， （2） ， ， ， 所以
27、 ， 又 a2， 利用正弦定理 ，可得 b sinB，c sin（ B）， 可得 b+c sinB sin（ B） sinB （ cosB sinB）4sin（B ）， 由于 ，解得： ，可得：B （ ， ）， 可得：b+c4sin（B ）（2 ，4 所以，综上可得：b+c 的取值范围是（2 ，4 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，正弦函数的 周期公式，正弦定理，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于 基础题 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A平面 ABC，D，E 分别是线段 AB，BB1的中点 （1）证明：BC1平面 A1CD；
28、 （2）当三棱柱的各棱长均为 2 时，求三棱锥 CA1DE 的体积 【分析】（1）连接 AC1 与 A1C 相交于点 F，连接 DF，可得 DFBC1，再由线面平行的 判定可得 BC1平面 A1CD； （2）由 AA1平面 ABC，得 AA1CD，再由已知可得 ABCD，由线面垂直的判定可得 CD平面 A1ABB1， 得到线段 CD 为三棱锥 CA1DE 的高， 再求出三角形 A1DE 的面积， 可得三棱锥 CA1DE 的体积 【解答】（1）证明：连接 AC1 与 A1C 相交于点 F，连接 DF， 由侧面 ACC1A1为平行四边形可得 F 是线段 AC1 的中点， 又D 是线段 AB 的中点
29、，DFBC1 BC1平面 A1DC，DF平面 A1DC， BC1平面 A1CD； （2）解：AA1平面 ABC，CD平面 ABC，AA1CD ACBC，D 是线段 AB 的中点，ABCD ABAA1A，AB，AA1平面 A1ABB1，CD平面 A1ABB1， 线段 CD 为三棱锥 CA1DE 的高， ABBCAC2，CD ， AA1平面 ABC，AB平面 ABC，AA1AB， 三棱柱的各棱长均为 2，四边形 A1ABB1为正方形， ， 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面 体体积的求法，是中档题 192020 年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康
30、社会，实现第一个百年奋斗目 标； 2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年 （总书记二二年新年贺词） 截至 2018 年底， 中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人， 贫困发生率由2012年的10.2% 下降至 2018 年的 1.7%；连续 7 年每年减贫规模都在 1000 万人以上；确保到 2020 年农 村贫困人口实现脱贫， 是我们党立下的军令状， 脱贫攻坚越到最后时刻， 越要响鼓重锤 某 贫困地区截至 2018 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩 部分家庭尚未实现小康现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户 家庭
31、 2018 年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图 （1）补全频率分布直方图，并求出这 50 户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一 组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）； （2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的 一个家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入如表： 月份/2019（时间代码 x） 1 2 3 4 5 6 人均月纯收入（元） 275 365 415 450 470 485 由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线性相 关关系，请求出回归直线方程；由于 2020 年 1 月
32、突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康 的进展，该家庭 2020 年第一季度（1，2，3 月份）每月的人均月纯收人均为预估值的 ， 从 4 月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的 ，由此估计该家庭 2020 年能否达到 小康标准，并说明理由； 可能用到的数据： xiyi9310； 参考公式：线性回归方程 x 中， ， 【分析】（1）：首先由频率之和为 1 可得：家庭人均年纯收入在6，7）的频率为 0.18， 可补图，再由中位数，平均数的概念结合图表分别算出 （2）由数据代入公式可求回归直线方程为：y40x+270，再利用回归方程预估下一年度 每月的人均月纯收入情况 【解答】（1）解：由频率之和为
33、 1 可得：家庭人均年纯收入在6，7）的频率为 0.18， 所以频率分布直方图如下： 中位数为：5 5 5.133（千元）， （或：设中位数为 x，则 ，解得：x5.133） 平均数 2.50.04+3.50.10+4.50.32+5.50.30+6.50.18+7.50.065.16（千元） （2）解：由题意得： 3.5， 410 xi21+4+9+16+25+3691，6263.5273.5 所以：b 40 a b 410403.5270 所以回归直线方程为：y40x+270 设 y 为 2020 年该家庭人均月纯收入，则 x13，14，15 时，y （40x+270），即 2020 年前
34、三月总收入为： （790+830+870）830 元； 当 x16，17，24 时，y （40x+270）32x+216，即 2020 年从 4 月份起的家庭人 均月纯收入依次为：728，760，984，构成以 32 为公差的等差数列，所以 4 月份至 12 月份的总收入为： 7704 所以 2020 年该家庭总收入为：7704+83085348000 所以该家庭 2020 年能达到小康标准 【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心 点，利用线性回归方程解决实际问题属于中低档题 20已知 F1，F2是椭圆 C： 的左右两个焦点，过 F2的直线与 C 交于 P
35、，Q 两点（P 在第一象限），PF1Q 的周长为 8，C 的离心率为 （1）求 C 的方程； （2）设 A1，A2为 C 的左右顶点，直线 PA1的斜率为 k1，QA2的斜率为 k2，求 的 取值范围 【分析】本题第（1）题根据题意可得方程组 ，解出 a、b、c 的值，进一步 即可得到椭圆 C 的方程；第（2）题根据题意可分直线 PQ 的斜率不存在时与斜率存在时 两种情况进行讨论 当直线 PQ 的斜率不存在时， 可得 ， ， ， ， 此时 ， ，代入所求算式 即可得到结果；当直线 PQ 的斜率存在时，设斜率 为 k，很明显 k0，则直线 lPQ：yk（x1），（k0）联立直线与椭圆方程，消去
36、y 整理可得一元二次方程，根据韦达定理有 x1+x2 ，x1 x2 再代入计 算 的值，可得 k23k1根据点 P 在第一象限，可得 k1（0， ）则可将 转 化为关于 k1的二次函数在（0， ）求值域的问题最终可得 的取值范围 解：（1）由题意，可得 解得 ， 故 a24，c21 椭圆 C 的方程为 （2）由（1），得 A1（2，0），A2（2，0），F2（1，0） 当直线 PQ 的斜率不存在时， ， ， ， ， 此时 ， ， （ ） 2 当直线 PQ 的斜率存在时，设斜率为 k，很明显 k0，则 直线 lPQ：yk（x1），（k0） 设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立 ， 整理
37、，得（4k2+3）x28k2x+4（k23）0 则 x1+x2 ，x1 x2 k1 ，k2 ， 3 k23k1 点 P 在第一象限， ， ，（B 为椭圆的上顶点） 即 k1（0， ） k 1（k1 ） 2 ，0） 综合，可得 的取值范围为： ，0） 【点评】本题主要考查椭圆的基础知识，及直线与椭圆综合的问题，考查了转化思想， 方程思想的应用，以及设而不求，分类讨论等方法的应用考查了逻辑思维能力和数学 运算能力本题属综合性较强的较难题 21已知函数 f（x）mex（x+1）（m0），g（x）ex+x+ax2 （1）若 f（x）在（0，m）处的切线的方程为 y2x+n，求 m，n 的值并求此时 f
38、（x）的 最值； （2）在（1）的条件下，不等式 f（x）g（x）在 x0 时恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）依题意，f（x）mex（x+2），则 f（0）2m2，求得 m1，进而 求得 n1，则 f（x）ex（x+2），进一步可知 f（x）在（，2）上单调递减； 在（2，+）上单调递增，由此求得最值； （2）法一：x0 时显然成立，x0 时，依题意，ex1ax0，令 h（x）ex1ax， 求导后再分 a1 及 a1 讨论即可得出结论； 法二：x0 时显然成立，x0 时，分离变量可得 a ，构造函数 h（x） ， 利用导数求函数 h（x）的最小值即可； 法三：依题意，x（ex1）
39、ax20 在0，+）上恒成立，设 h（x）x（ex1）ax2， 再利用导数分类讨论即可得出结论 解：（1）f（x）mex（x+2），令 x0 得：f（0）2m， 由题意：2m2， m1，f（0）m1， n1， f（x）ex（x+2）， 由 f（x）0 得：x2，由 f（x）0 得：x2， f（x）在（，2）上单调递减；在（2，+）上单调递增， fmin （x）f（2） ，无最大值； （2）f（x）g（x）ex（x+1）ex+x+ax2x（ex1）ax20， 法一：当 x0 时，00，a一、选择题， 当 x0 时：x（ex1）ax20ex1ax0， 令 h（x）ex1ax，则 h（x）exa，
40、x0， ex1， （i）若 a1，则 h（x）0 h（x）在（0，+）上单调递增，h（x）h（0）0， 符合题意； （ii）若 a1，令 h（x）0 得：xlna0， 由 h（x）0 得：xlna， 所以 h（x）在（0，lna）上单调递减， h（x）h（0）0， 这与 h（x）0 恒成立矛盾， 所以 a1 不合题意； 综上 a 的取值范围是（，1 法二：当 x0 时，00，aR， 当 x0 时：x（ex1）ax20ex1ax0a ， 令 h（x） ，则 h（x） ，令 t（x）ex（x1）+1，则 t（x） xex0， 所以 t（x）在（0，+）单调递增， t（x）t（0）0，即 h（x）0
41、， h（x）在（0，+）上单调递增， 又 h（x） e x1， h（x）1，若使 a 恒成立，只需 a1， a 的取值范围是（，1 法三：f（x）g（x）ex（x+1）ex+x+ax2x（ex1）ax20， 令 h（x）x（ex1）ax2，h（x）ex（x+1）12ax， 令 t（x）ex（x+1）12ax，则 t（x）ex（x+2）2a， 显然 t（x）在（0，+）上单调递增， t（x）t（0）22a， （i）当 22a0 即 a1 时，t（x）0 恒成立， t（x）在（0，+）上单调递增， t（x）t（0）0，即 h（x）0， h（x）在0，+）上单调递增， h（x）0 恒成立 即 a1
42、合题意； （ii）当 22a0 即 a1 时，t（0）22a0，t（a）ea（a+2）2a2（a+2） 2a0， 存在唯一 x0（0，+），使 t（x0）0，且当 0xx0时，t（x）0， t（x）在（0，x0）上单调递减， t（x）t（0）0 即 h（x）0， 所以 h（x）在（0，x0）上单调递减， 所以 h（x）h（0）0，这与 h（x）0 在 x0 时恒成立矛盾，所以 a1 不合题意； 综上：a 的取值范围是（，1 【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考 查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题 请考生在第 22、23 题中
43、任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清 题号选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系直线 l 的极坐标方程为 2cossin+m 0 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）已知 l 与 C 相切，求 m 的值 【分析】 （1）平方相减消去参数即可得出 C 的直角坐标方程利用极坐标与直角坐标互 化公式代入可得直线 l 的直角坐标方程 （2）联立 l 与 C 的方程，有 ，消 y，得 2x2+4mx+m2+20，因为 l 与 C 相切，所以有0，解得 m 解
44、：（1）因为 ， ，两式相减，有 4x22y24， 所以 C 的直角坐标方程为 直线 l 的极坐标方程为 2cossin+m0 把 xcos，ysin，代入上述方程可得： 直线 l 的直角坐标方程为 2xy+m0 （2）联立 l 与 C 的方程，有 ，消 y，得 2x2+4mx+m2+20， 因为 l 与 C 相切，所以有16m242（m2+2）8m2160， 解得： 【点评】本题考查了极坐标方程与之间坐标方程的互化、直线参数方程、一元二次方程 的根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x|2x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 aR，且 a0，证明：|4a1|+| |4f（x） 【分析】（1）运用零点分段讨论法求解； （2）易知函数 f（x）的最大值为 1，再利用绝对值不等式的性质即可得证 解：（1）不等式 f（x）3 等价于 或 或 ， 解得1x0 或 0x1 或 1x5， 所以不等式的解集为x|1x5； （2
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