1、2020 年高考数学三诊试卷（文科）年高考数学三诊试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1设集合 M1，0，1，Nx|x2x，则 MN（ ） A0 B0，1 C1，1 D1，0，1 2已知复数 z （aR，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值等于（ ） A B C D 3已知 （0， ），sin ，则 （ ） A B C D 4下列叙述中正确的是（ ） A若 a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0” B若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C命题“对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 xR，有 x20” Dl 是一条直线， 是两个不
2、同的平面，若 l，l，则 5已知 alog30.5，blog0.50.6，c30.2，则（ ） Aabc Bbca Cbac Dcab 6若向量 、 、 两两所成的角相等，且| |1，| |1，| |3，则| |等于（ ） A2 B5 C2 或 5 D 或 7 德国数学家莱布尼兹 （1646 年1716 年） 于 1674 年得到了第一个关于 的级数展开式， 该公式于明朝初年传入我国在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学 家明安图 （1692 年1765 年） 为提高我国的数学研究水平， 从乾隆初年 （1736 年） 开始， 历时近 30 年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时
3、求得了展开三角函数和反三角 函数的 6 个新级数公式， 著有 割圆密率捷法 一书， 为我国用级数计算 开创了先河 如 图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于 的级数展开式”计算 的近似值（其中 P 表 示 的近似值），若输入 n10，则输出的结果是（ ） A B C D 8设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x），且函数 f（x）在 x2 处取得极小值， 则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B C D 9在区间0，2中随机取两个数，则两个数中较大的数大于 的概率为（ ） A B C D 10已知直三棱柱 ABCA1B1C1，ABC90，ABBCAA12，BB1和 B1C1的中点
4、分 别为 E、F，则 AE 与 CF 夹角的余弦值为（ ） A B C D 11 已知不等式 3x2y20 所表示的平面区域内一点 P （x， y） 到直线 y x 和直线 y x 的垂线段分别为 PA、PB，若三角形 PAB 的面积为 ，则点 P 轨迹的一个焦点坐标可 以是（ ） A（2，0） B（3，0） C（0，2） D（0，3） 12函数 f（x）x2+3xa，g（x）2xx2，若 fg（x）0 对 x0，1恒成立，则实 数 a 的范围是（ ） A（，2 B（，e C（，ln2 D0， ） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13 某时段内共有 100 辆汽车
5、经过某一雷达测速区域， 将测得的汽车时速绘制成如图所示的 频率分布直方图根据图形推断，该时段时速超过 50km/h 的汽车辆数为 14 函数 y sin2xcos2x 的图象向右平移 （0 ） 个单位长度后， 得到函数 g （x） 的图象，若函数 g（x）为偶函数，则 的值为 15已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴的 垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|+|BD|的最小值为 16已知正三棱锥 P 一 ABC 的侧面是直角三角形，PABC 的顶点都在球 O 的球面上，正 三棱锥 P 一 ABC 的体积为 36，则球 O 的表面积为 三、
6、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17如图（a），在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2， 将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图（b）所示 （）求证：BC平面 ACD； （）求点 A 到平面 BCD 的距离 h 18某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了 8 组数据作为研究对象，如下图所示（x（吨）为该商品进货量，y（天）为销售天数）： x 2 3 4 5 6 8 9 11 y 1 2 3 3 4 5 6 8 （）根据上表数据在下列网格中绘制散点图； （）根据上表提供的数据，
7、求出 y 关于 x 的线性回归方程 x ； （）在该商品进货量 x（吨）不超过 6（吨）的前提下任取两个值，求该商品进货量 x （吨）恰有一个值不超过 3（吨）的概率 参考公式和数据： ， ， xiyi241 19已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 4Snan2+2an3 （）求数列an的通项公式； （）设 bn （nN *），T n是bn的前 n 项和， 求使 Tn 成立的最大正整数 n 20已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点 （）若以线段 AF1为直径的动圆内切于圆 x2+y29，求椭圆的长轴长； （）当 b
8、1 时，问在 x 轴上是否存在定点 T，使得 为定值？如果存在，求出 定点和定值；如果不存在，请说明理由 21已知函数 f（x）ax2+（12a）xlnx（aR） （1）当 a0 时，求函数 f（x）的单调增区间； （2）当 a0 时，求函数 f（x）在区间 ，1上的最小值； （3）记函数 yf（x）图象为曲线 C，设点 A（x1，x2），B（x2，y2）是曲线 C 上不同的 两点，点 M 为线段 AB 的中点，过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N试问：曲线 C 在 点 N 处的切线是否平行于直线 AB？并说明理由 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若两题都做，按第一题给分，
9、作答时一定要用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第 22 题）选修 4-4：坐 标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （t 为参数），在以原 点O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中， 直线l的极坐标方程为cos （ ） （）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （）设直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是圆 C 上任一点，求PAB 面积 的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x1|，xR （1）求不等式 f（x）3f（x1）的解集； （2）已知关于 x 的不等式
10、 f（x）f（x+1）|xa|的解集为 M，若 ， ，求实 数 a 的取值范围 参考答案 一、单项选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分） 1设集合 M1，0，1，Nx|x2x，则 MN（ ） A0 B0，1 C1，1 D1，0，1 【分析】求出集合 N，然后直接求解 MN 即可 解：因为 Nx|x2xx|0x1，M1，0，1， 所以 MN0，1 故选：B 【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题 2已知复数 z （aR，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值等于（ ） A B C D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求
11、解 解：z 是纯虚数， ，解得 a 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知 （0， ），sin ，则 （ ） A B C D 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值 解：（0， ），sin ，cos ，tan ， 则 ， 故选：D 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题 4下列叙述中正确的是（ ） A若 a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0” B若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C命题“对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 x
12、R，有 x20” Dl 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 【分析】本题先用不等式的知识对选项 A、B 中命题的条件进行等价分析，得出它们的充 要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考 虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项 D 利用立体几何的位置关系，得出命题 的真假，可知本题的正确答案 解：A、若 a，b，cR，当“ax2+bx+c0”对于任意的 x 恒成立时，则有： 当 a0 时，要使 ax2+bx+c0 恒成立，需要 b0，c0，此时 b24ac0，符合 b2 4ac0； 当 a0 时，要使 ax2+bx+c0 恒成立，必须 a0 且
13、 b24ac0 若 a，b，cR，“ax2+bx+c0”是“b24ac0”充分不必要条件，“b24ac0” 是“ax2+bx+c0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件故 A 错误； B、当 ab2cb2时，b20，且 ac， “ab2cb2”是“ac”的充分条件 反之，当 ac 时，若 b0，则 ab2cb2，不等式 ab2cb2不成立 “ac”是“ab2cb2”的必要不充分条件故 B 错误； C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”， 命题“对任意 xR，有 x20”的否定应该是“存在 xR，有 x20”故 C 错误； D、命题“l 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则
14、 ”是两个 平面平行的一个判定定理故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定 容量，总体难度不大，属于基础题 5已知 alog30.5，blog0.50.6，c30.2，则（ ） Aabc Bbca Cbac Dcab 【分析】 容易得出 ， ， ， 从而得出 a， b， c 的大小关系 解：log30.5log310，0log0.51log0.50.6log0.50.51，30.2301， abc 故选：A 【点评】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义 6若向量 、 、 两两所成的角相等，且| |1，| |1，|
15、|3，则| |等于（ ） A2 B5 C2 或 5 D 或 【分析】设向量所成的角为 ，则先求出 的值即可求出， 解：由向量 、 、 两两所成的角相等，设向量所成的角为 ，由题意可知 0或 120 则 2（ ）11+2（| | | |cos+| | | |cos+| | | |cos）11+14cos 所以当 0时，原式5； 当 120时，原式2 故选：C 【点评】考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用 | | | |cos 的公式 7 德国数学家莱布尼兹 （1646 年1716 年） 于 1674 年得到了第一个关于 的级数展开式， 该公式于明朝初年传入我国在我国科技水平业已落后的情况下，
16、我国数学家、天文学 家明安图 （1692 年1765 年） 为提高我国的数学研究水平， 从乾隆初年 （1736 年） 开始， 历时近 30 年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角 函数的 6 个新级数公式， 著有 割圆密率捷法 一书， 为我国用级数计算 开创了先河 如 图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于 的级数展开式”计算 的近似值（其中 P 表 示 的近似值），若输入 n10，则输出的结果是（ ） A B C D 【分析】 模拟程序的运行可得算法的功能是求 P4S4 （ ）的值，根据条件确定跳出循环的 i 值，即可计算得解 解： 由程序框图知： 算法的功能是求
17、 P4S4 （ ） 的值， 输入 n10，跳出循环的 i 值为 11， 输出 P4S4 （ ） 4 （1 ） 故选：B 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答 本题的关键，属于基础题 8设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x），且函数 f（x）在 x2 处取得极小值， 则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B C D 【分析】由题设条件知：当 x2 时，xf（x）0；当 x2 时，xf（x）0；当 x2 时，xf（x）0由此观察四个选项能够得到正确结果 解：函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x）， 且函数 f（x）在 x2 处取得
18、极小值， 当 x2 时，f（x）0； 当 x2 时，f（x）0； 当 x2 时，f（x）0 当 x2 时，xf（x）0； 当 x2 时，xf（x）0； 当 x2 时，xf（x）0 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质 和函数极值的性质的合理运用 9在区间0，2中随机取两个数，则两个数中较大的数大于 的概率为（ ） A B C D 【分析】 先根据几何概型的概率公式求出在区间0， 2中随机地取一个数， 这个数小于 的 概率，从而得到这两个数都小于 的概率，最后根据对立事件的概率公式可求出所求 解：在区间0，2中随机地取一个数，这个数小于 的概率为
19、 ， 在区间0，2中随机地取两个数，则这两个数都小于 的概率为 ， 这两个数中较大的数大于 的概率为 P1 ， 故选：A 【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几 何概型 10已知直三棱柱 ABCA1B1C1，ABC90，ABBCAA12，BB1和 B1C1的中点分 别为 E、F，则 AE 与 CF 夹角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】根据题意，可以点 B 为原点，直线 BA，BC，BB1分别为 x，y，z 轴，建立空间 直 角 坐 标 系 ， 然 后 可 求 出 ， ，
20、 ， ， ， ， 然 后 可 求 出 ， ，从而可得出 AE 与 CF 夹角的余弦值 解：分别以直线 BA，BC，BB1为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则： A（2，0，0），E（0，0，1），C（0，2，0），F（0， 1，2）， ， ， ， ， ， ， ， ， AE 与 CF 夹角的余弦值为 故选：B 【点评】本题考查了直三棱柱的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异 面直线所成角的问题的方法，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计 算能力，属于基础题 11 已知不等式 3x2y20 所表示的平面区域内一点 P （x， y） 到直线 y x 和直线
21、y x 的垂线段分别为 PA、PB，若三角形 PAB 的面积为 ，则点 P 轨迹的一个焦点坐标可 以是（ ） A（2，0） B（3，0） C（0，2） D（0，3） 【分析】如图所示，不等式 3x2y20 所表示的平面区域内一点 P（x，y），可得点 P 的轨迹为直线 y x 之间并且包括 x 轴在内的区域利用 |PA|PB|sin60 ，即 可得出 解：如图所示，不等式 3x2y20 所表示的平面区域内一点 P（x，y）， 可得点 P 的轨迹为直线 y x 之间并且包括 x 轴在内的区域 |PA| ，|PB| ， 三角形 PAB 的面积为 ， |PA|PB|sin60 ， 化为： 1 则点
22、P 轨迹的一个焦点坐标可以是（2，0） 故选：A 【点评】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距 离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 12函数 f（x）x2+3xa，g（x）2xx2，若 fg（x）0 对 x0，1恒成立，则实 数 a 的范围是（ ） A（，2 B（，e C（，ln2 D0， ） 【分析】利用导数可得 g（x）在 x0，1上的取值范围为1，g（x0），其中 g（x0）2， 令 tg （x） 换元， 把 fg （x） 0 对 x0， 1恒成立转化为t2+3ta0 对 t1， g （x0） 恒成立，分离参数 a 后利用函数单
23、调性求出函数t2+3t 的最小值得答案 解：g（x）2xx2，g（x）2xln22x， g（0）ln20，g（1）2ln220， g（x）在（0，1）上有零点， 又g（x）ln22 2x20 在0，1上成立， g（x）在（0，1）上有唯一零点，设为 x0， 则当 x（0，x0）时，g（x）0，当 x（x0，1）时，g（x）0， g（x）在 x0，1上有最大值 g（x0）2， 又 g（0）g（1）1， g（x）1，g（x0）， 令 tg（x）1，g（x0）， 要使 fg（x）0 对 x0，1恒成立，则 f（t）0 对 t1，g（x0）恒成立， 即t2+3ta0 对 t1，g（x0）恒成立， 分离
24、 a，得 at2+3t， 函数t2+3t 的对称轴为 t ，又 g（x0）2， （t2+3t）min2， 则 a2 则实数 a 的范围是（，2 故选：A 【点评】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分 离变量法求解证明取值范围问题，属中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13 某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达测速区域， 将测得的汽车时速绘制成如图所示的 频率分布直方图根据图形推断，该时段时速超过 50km/h 的汽车辆数为 77 【分析】根据频率分布直方图，求出时速超过 50km/h 的汽车的频率，即可求出对应的汽 车辆数
25、解：根据频率分布直方图，得； 时速超过 50km/h 的汽车的频率为 （0.039+0.028+0.010）100.77； 时速超过 50km/h 的汽车辆数为 1000.7777 故答案为：77 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计 算样本数据，频率与频数的大小，是基础题 14 函数 y sin2xcos2x 的图象向右平移 （0 ） 个单位长度后， 得到函数 g （x） 的图象，若函数 g（x）为偶函数，则 的值为 【分析】先将 y 化为 ，然后再利用图象平移知识，求 出 g（x），根据 g（x）是偶函数，则 g（0）取得最值，求出 解：由已知得 y
26、 sin2xcos2x 所以 g（x） ，由 g（x）是偶函数得 g（0） ， ， ， ，kZ， 当 k1 时， 即为所求 故答案为： 【点评】本题考查三角函数图象变换的方法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值 联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题 15已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴的 垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|+|BD|的最小值为 2 【分析】 先有抛物线的定义， 可得|AC|+|BD|AF|+|BF|2|AB|2， 再找|AB|的最小值， 而当|AB|为抛物线的通径时，|AB|最小，故而得解 解：由题意知，F
27、（1，0）， 由抛物线的定义知，|AC|+|BD|AF|+|BF|2|AB|2， 若|AC|+|BD|取得最小值，则|AB|取得最小值， 而当|AB|为通径，即|AB|2p4 时，取得最小值， 所以|AC|+|BD|的最小值为 2 故答案为：2 【点评】本题考查抛物线的定义、通径等，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础 题 16已知正三棱锥 P 一 ABC 的侧面是直角三角形，PABC 的顶点都在球 O 的球面上，正 三棱锥 P 一 ABC 的体积为 36，则球 O 的表面积为 108 【分析】由已知可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且 PAPBPC，设 PAPB PCa，由棱锥体积公式求得
28、 a，然后利用补形法求三棱锥外接球的半径，代入球的表面 积公式得答案 解：由三棱锥 PABC 是正三棱锥，且侧面是直角三角形， 如图， 可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，即 PAPB，PBPB，PAPC， 且 PAPBPC，设 PAPBPCa， 则 ，即 a6， 把三棱锥补形为正方体，则其对角线长为 ， 三棱锥 PABC 的外接球的半径 R 球 O 的表面积为 4 108 故答案为：108 【点评】本题考查多面体外接球的体积的求法，关键是“补形思想”的应用，是中档题 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17如图（a），在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD
29、2， 将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图（b）所示 （）求证：BC平面 ACD； （）求点 A 到平面 BCD 的距离 h 【分析】（）推导出 ACBC，由平面 ADC平面 ABC，能证明 BC平面 ACD （）设点 A 到平面 BCD 的距离 h由 VBACDVABCD，能求出点 A 到平面 BCD 的距 离 解：（）证明：在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD 2， 将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC， ，AC2+BC2AB2，ACBC， 平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平
30、面 ABCAC，BC平面 ABC， BC平面 ACD （）解：由（1）知，BC 为三棱锥 BACD 的高，BC2 ， SACD2， ， ， 设点 A 到平面 BCD 的距离 h由 VBACDVABCD，得： 点 A 到平面 BCD 的距离 h 2 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题 18某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了 8 组数据作为研究对象，如下图所示（x（吨）为该商品进货量，y（天）为销售天数）： x 2 3 4 5 6 8 9
31、11 y 1 2 3 3 4 5 6 8 （）根据上表数据在下列网格中绘制散点图； （）根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 x ； （）在该商品进货量 x（吨）不超过 6（吨）的前提下任取两个值，求该商品进货量 x （吨）恰有一个值不超过 3（吨）的概率 参考公式和数据： ， ， xiyi241 【分析】（）根据上表数据绘制散点图； （）由题意求出 ， ， ， ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）在该商品进货量不超过 6 吨共有 5 个，设为编码 1，2，3，4，5 号，抽取 2 个，写 出所有事件，即可求解恰有一个值不超过 3（吨）的概率 【解答】解析：（）散点
32、图如图所示： （）依题意， ， xiyi241： 4 故得回归直线方程为 （） 由题意知，在该商品进货量不超过 6 吨共有 5 个，设为编码 1，2，3，4，5 号， 任取两个有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3， 5） （4，5）共 10 种，该商品进货量不超过 3 吨的有编号 1，2 号，超过 3 吨的是编号 3， 4，5 号，该商品进货量恰有一次不超过 3 吨有（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2， 4）（2，5）共 6 种， 故该商品进货量恰有一次不超过 3 吨的概率为 P 【点评】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中
33、档题 19已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 4Snan2+2an3 （）求数列an的通项公式； （）设 bn （nN *），T n是bn的前 n 项和， 求使 Tn 成立的最大正整数 n 【分析】 （）运用数列的递推式：n1 时，a1S1，n2 时，anSnSn1，化简整理， 结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式； （）求得 bn （ ），由数列的裂项相消求和，计算可 得 Tn，再解不等式可得 n 的最大值 解：（）由 4Snan2+2an3，可得 4Sn1an12+2an13，n2， 两式相减可得 4an4Sn4Sn1an2+2anan122an1， 可化为（an+an1
34、）（anan12）0， 由 an0，可得 anan12， 由 4a14S1a12+2a13，解得 a13（1 舍去）， 于是an是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 则 an2n+1，nN*； （）bn （ ）， 则 Tn （ ） （ ） ， 由 ，解得 n6， 则所求的最大正整数 n 为 5 【点评】本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式的求法，考查数列 的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题 20已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点 （）若以线段 AF1为直径的动圆内切于圆 x2+y29，求椭圆的
35、长轴长； （）当 b1 时，问在 x 轴上是否存在定点 T，使得 为定值？如果存在，求出 定点和定值；如果不存在，请说明理由 【分析】（）设 AF1的中点为 M，连接 OM 可得 OM 为三角形 AF1F2的中位线，可得 |OM| |AF2 | （2a|AF1|）a |AF1|，再由圆 M 与圆 O 内切，所以圆心距|OM|为两 个半径之差可得|OM|的表达式，两个式子可得 a 的值，进而求出长轴长； （）由离心率和 b 的值及 a，b，c 之间的关系，求出 a 的值，进而求出椭圆的方程； 假设存在定点 T（t，0），分直线 AB 的斜率为 0 和不为 0 两种情况讨论：当直线 AB 的 斜率
36、不为 0 时设直线 AB 的方程， 与椭圆联立求出两根之和及两根之积， 进而求出 的表达式， 由其为定值可得分子分母对应项的系数成比例， 可得 t 的值， 进而求出 的 值，当直线 AB 的斜率为 0 时，求出 A，B 的坐标，也可得 为定值 解：（）设 AF1的中点 M，连接 OM，AF2， 在三角形 AF1F2中，O 为 F1F2的中点，所以 OM 为中位线， 所以|OM| |AF2 | （2a|AF1|）a |AF1|， 又因为圆 M 与圆 O 内切，所以圆心距|OM|为两个半径之差，即|OM|3 |AF1|， 所以 a |AF1 |3 |AF1|，可得 a3， 所以椭圆的长轴长为 2a
37、6； （）由 e ，b1，a2b2+c2可得 a29， 所以椭圆的方程为： y 21；可得左焦点 F 1（2 ，0）， 当直线 AB 的斜率不为 0 时，设直线 AB 的方程为：xmy2 ，设 A（x1，y1），B（x2， y2） 联立直线 AB 与椭圆的方程 ，整理可得（9+m 2）y24 m10，可 得 y1+y2 ，y 1y2 ， 假设存在 T（t，0）满足条件，则 （x1t，y1）（x2t，y2）（x1t）（x2 t）+y1y2（my12 t）（my22 t）+y1y2（1+m2）y1y2m（2 t）（y1+y2） +（2 t）2 ， 要使 为定值， 则 （2 t） 214 （2 t）
38、 ， 解得 t ， 即 T（ ，0），这时 ； 当直线的斜率为 0 时，即直线 AB 为 x 轴，与椭圆的交点 A，B 分别为： （3，0）， （3， 0）， 这时 （3 ，0） （3 ，0）（ ）29 ， 综上所述：在 x 轴上存在定点 T（ ，0）使得 为定值 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查数量积为定值的性质，即分 子分母对应项的系数成比例，属于中档题 21已知函数 f（x）ax2+（12a）xlnx（a一、选择题） （1）当 a0 时，求函数 f（x）的单调增区间； （2）当 a0 时，求函数 f（x）在区间 ，1上的最小值； （3）记函数 yf（x）图象为曲线 C
39、，设点 A（x1，x2），B（x2，y2）是曲线 C 上不同的 两点，点 M 为线段 AB 的中点，过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N试问：曲线 C 在 点 N 处的切线是否平行于直线 AB？并说明理由 【分析】（1）求出函数 f（x）的导函数，由 a0，定义域为（0，+），再由 f（x） 0 求得函数 f（x）的单调增区间； （2）当 a0 时，求出导函数的零点 ， ，分 1， ， 讨 论函数 f（x）在区间 ，1上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于 a 的分段函 数； （3）设出线段 AB 的中点 M 的坐标，得到 N 的坐标，由两点式求出 AB 的斜率，再由导 数得到
40、曲线 C 过 N 点的切线的斜率，由斜率相等得到 ，令 后构造函数 由导数证明 不成立 解：（1）f（x）ax2+（12a）xlnx， ， a0，x0， 2ax+10，解 f（x）0，得 x1， f（x）的单调增区间为（1，+）； （2）当 a0 时，由 f（x）0，得 ，x21， 当 1，即 时，f（x）在（0，1）上是减函数， f（x）在 ， 上的最小值为 f（1）1a 当 ，即1 时， f（x）在 ， 上是减函数，在 ， 上是增函数， f（x）的最小值为 当 ，即 a1 时，f（x）在 ， 上是增函数， f（x）的最小值为 综上，函数 f（x）在区间 ， 上的最小值为： （3）设 M（x
41、0，y0），则点 N 的横坐标为 ， 直线 AB 的斜率 ， 曲线 C 在点 N 处的切线斜率 ， 假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB，则 k1k2， 即 ， ， 不妨设 x1x2， ，则 ， 令 ，则 ， g（t）在（1，+）上是增函数，又 g（1）0， g（t）0，即 不成立， 曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了 分类讨论的数学思想方法， 训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题， 特别是对于 （3） 的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若两
42、题都做，按第一题给分，作答时一定要用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第 22 题）选修 4-4：坐 标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （t 为参数），在以原 点O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中， 直线l的极坐标方程为cos （ ） （）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （）设直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是圆 C 上任一点，求PAB 面积 的最大值 【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （）利用点到直线的距离公式的应用和
43、三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公 式的应用求出结果 解：（1）圆 C 的参数方程为 （t 为参数），消去参数 t，转换为直角坐 标方程为（x+5）2+（y3）22 直线 l 的极坐标方程为 cos（ ） 整理得 ，根 据： ，转换为直角坐标方程为 xy+20 （2）直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点坐标为 A（2，0），B（0，2） 所以|AB| 点 P（ ， ）到直线 l 的距离 d ， 当 cos（ ）1 时， ， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x1|，xR （1）求不等式 f（x）3f（x1）的解集； （2）已知关于 x 的不等式 f（x）f（x+1）|xa|的解集为 M，若 ， ，求实 数 a 的取值范围 【分析】（1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可； （2） 由f （x） f （x+1） |xa|xa|x|x1|， 得到x1ax+1对于 ， 恒成 立，求出 a 的范围即可 解：（1）因为 f（x）3f（x1）， 所以|x1|3|x2|，|x1|+|x2|3， 或 或 解得 0x1 或
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