1、2020 年年 5 月份月份高高三质量检测三质量检测数学数学试卷（理科）试卷（理科） 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题，共小题，每小题，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的 1 1 12 i i 的共轭复数为（ ） A 13 55 i B 13 55 i C 13 55 i D 13 55 i 2若集合 2Ax yx， 2 1Bx yx，则AB （ ） A1, B 2, 11, C2, D 2, 12, 3设向量1,2a ，2, 4b ，则（ ） Aab Ba与b同向 Ca与b
2、反向 D 1 5 ab是单位向量 4已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点 3 1, 2 b ，且 C 的离心率为 1 2 ，则 C 的方程是（ ） A 22 1 43 xy B 22 1 86 xy C 22 1 42 xy D 22 1 84 xy 5在四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AC，BD 的中点，6AD，4BC ，2EF ，则异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为（ ） A 3 4 B 5 6 C 9 10 D 11 12 6 2 1 n axx的展开式中各项系数之和为 192，且常数项为 2，则该展开式中 4 x的系数为（ ） A30 B45 C60
3、 D81 7a、b、c 别为ABC内角 A，B，C 的对边已知sin9sin12sinaABA， 1 sin 3 C ，则ABC的 面积的最大值为（ ） A1 B 1 2 C 4 3 D 2 3 8设 t表示不大于 t 的最大整数执行如图所示的程序框图，则输出的x（ ） A2 B3 C4 D5 9在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利 14 万元，没有中标损失成本费 8000 元若每次中标的 概率为 0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为 X 万元，则EX （ ） A18.12 B18.22 C19.12 D19.22 10若0,2，则满足 11 4sin4cos cossin
4、的所有的和为（ ） A 3 4 B2 C 7 2 D 9 2 11 设 x， y 满足约束条件 0, 10, 20, xy xy xym 且该约束条件表示的平面区域为三角形 现有下述四个结论： 若xy的最大值为 6，则5m；若3m，则曲线41 x y 与有公共点； m 的取值范围为 3 , 2 ；“3m”是“xy的最大值大于 3”的充要条件 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 12已知函数1f x是定义在R上的奇函数，当1x时，函数 f x单调递增，则（ ） A 222 342 42 log 4log 3log 3 fff B 222 243 42 loglog 3log 4 3
5、fff C 222 324 42 log 4loglog 3 3 fff D 222 432 42 log 3log 4log 3 fff 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置 13若曲线 sin0 52 yx 关于点2,0对称，则_ 14 若双曲线 22 122 22 xy m mm 上一点到2,0A ，2,0B两点的距离之差的绝对值为2 3， 则双曲线的虚轴长为_ 15 如图， 实心铁制几何体 AEFCBD 由一个直三棱柱与一个三棱锥构成， 已知cmBCEF，2cm
6、AE ， 4cmBECF，7cmAD，且AEEF，AD 底面 AEF，某工厂要将其铸成一个实心铁球， 假设在铸球过程中原材料将损耗 20%，则铸得的铁球的半径为_cm 16已知函数 52 164f xx xxx，且 0 f xf x对xR恒成立，则曲线 f x y x 在点 0 0 0 , f x x x 处的切线的斜率为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721 题题 为必考题，每个试题考生都必须作答为必考题，每个试题考生都必须作答第第 22，23 题为选考题，
7、考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作答答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分） 某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案为比较两种配送方案 的效率，共选取 50 名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组 25 人，第一组骑手用甲配送方案，第 二组骑手用乙配送方案根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量（单位：单）绘制了如下茎叶图： 甲配送方家 乙配送方案 9 7 3 7 8 9 9 9 9 8 8 7 0 4 3 3 5 7 7 7 8 8 9 9 9 9 9 7 6 4 4 4 3 3 3 3 2 1 1 5 2 3 4 4 7 8 8
8、 2 1 0 0 6 0 2 （1）根据茎叶图，求各组内 25 位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的 25 位骑手完成订单 数的平均数为 52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由； （2）设所有 50 名骑手在相同时间内完成订单数的平均数 m，将完成订单数超过 m 记为“优秀” ，不超 过 m 记为“一般” ，然后将骑手的对应人数填入下面列联表； 优秀 一般 甲配送方案 乙配送方案 （3）根据（2）中的列联表，判断能否有 95%的把握认为两种配送方案的效率有差异 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中a b cdn 2 P Kk 0.05 0.0
9、10 0.005 k 3.841 6.635 7.879 18 （12 分） 在递增的等比数列 n a中， 3 16a ， 24 68aa n S为等差数列 n b的前 n 项和，1 1 ba， 22 Sa （1）求 n a， n b的通项公式； （2）求数列 4 nn a S的前 n 项和 n T 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PA 平面 ABCD，/AD BC，ADCD， 且A D C D，45ABC （1）证明：ACPB （2）若2ADPA，试在棱 PB 上确定一点 M，使 DM 与平面 PAB 所成角的正弦值为 2 21 21 20 （12 分） 已知0,1F为抛物
10、线 2 :C ymx的焦点 （1）设 11 , m A mm ，动点 P 在 C 上运动，证明：6PAPF （2）如图，直线 1 : 2 l yxt与 C 交于 M，N 两点（M 在第一象限，N 在第二象限） ，分别过 M，N 作 l 的垂线，这两条垂线与 y 轴的交点分别为 D，E，求DE的取值范围 21 （12 分） 已知函数 2 2lnf xxmxmx （1）讨论 f x的极值点的个数； （2）设函数 2 1 ln 2 g xxmx，P，Q 为曲线 yf xg x 上任意两个不同的点，设直线 PQ 的 斜率为 k，若km恒成立，求 m 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10
11、分分请考生从第请考生从第 22，23 两题中任选两题中任选一一题作答如果多做，则按所做的第题作答如果多做，则按所做的第一一个题目个题目计计 分分 22 选修 44：坐标系与参数方程 （10） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 26cos , 6sin x y （为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin20 3 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求PMPN的最大 值 23 选修 45：不等式选讲 （10 分） 已
12、知函数 411f xxxkx （1）若2k ，求不等式 0f x 的解集； （2）若方程 0f x 有实数根，求 k 的取值范围 数学参考答案（理科）数学参考答案（理科） 1B 【解析】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力 因为 11 2113 1 2555 iii i i ，所以 1 12 i i 的共轭复数为 13 55 i 2B 【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力 2,A ， , 11,B ， 2, 11,AB 3C 【解析】本题考查平面向量的平行与垂直的判定以及单位向量的概念，考查推理论证能力 因为0a b ，所以 A 错误； 因为 1 1 5 ab，所以 D
13、错误； 因为2ba ，所以 B 错误，C 正确 4A 【解析】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力 依题意，可得 2 2 2 13 1, 4 1 1, 2 a b a 解得 2 2 4, 3, a b 故 C 的方程是 22 1 43 xy 5D 【解析】本题考查异面直线所成角，考查运算求解能力与空间想象能力 取 CD 的中点 G，连接 EG，FG，则/FG BC，/EG AD 则EGF为异面直线 AD 与 BC 所成的角（或补角） 因为 1 2 2 FGBC， 1 3 2 EGAD， 所以 49211 cos 2 2 312 EGF ， 故异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 1
14、1 12 6B 【解析】本题考查二项式定理，考查分类讨论的数学思想以及赋值法的应用 令0x，得2a，所以 22 121 nn axxxx， 令1x ，得3 2192 n ，所以6n， 故该展开式中 4 x的系数为 42 66 2CC45 7D 【解析】本题考查正弦定理的应用与基本不等式的应用，考查推理论证能力 因为sin9sin12sinaABA所以9612a aa， 又0a，所以96122 9aab，则4ab， 所以ABC的面积的最大值为 112 4 233 8C 【解析】本题考查程序框图，考查运算求解能力与推理论证能力 1x ，100t ， 100t ；2x，50t ， 50t ； 3x
15、， 50 3 t ， 16t ；4x， 25 6 t ， 4t 故输出的4x 9C 【解析】本题考查随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力与应用意识 X 的可能取值为28,13,2, 1.6 且 2 280.70.49P X ，13.22 0.7 0.30.42P X ， 2 1.60.30.09P X ， 故28 0.49 13.2 0.42 1.6 0.09 19.12EX 10D 【解析】本题考查三角恒等变换，考查推理论证能力与运算求解能力 因为 11 4sin4cos cossin ， 所以 11sincos 4 sincos cossinsincos ，所以sincos0或4s
16、incos1 即tan1或 1 sin2 2 因为0,2，所以 5 13 5 17 , 44 12 121212 ， 则满足条件的所有的和为 5135179 44121212122 11B 【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想与逻辑推理的核心素养 作出平面区域，如图所示 联立 0, 10, xy xy 得 1 , 2 1 , 2 x y 因为为三角形区域，所以 11 20 22 m ，即 3 2 m 故正确 当直线zxy经过点2,1A mm时，zxy取得最大值, 且最大值为23m，故错误，正确 当3m时，A 的坐标为1,2， 当1x 时，函数41 x y 的值为32， 则曲线41
17、x y 与有公共点故正确 12A 【解析】本题考查函数的性质与对数函数的综合应用，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养 因为函数1f x是定义在R上的奇函数， 所以函数 f x关于点1,0对称， 又当1x时， f x单调递增，所以 f x在R上单调递增， 所以 2 fx的图象关于直线1x 对称， 且当1x时， f x单调递增 因为 33 4 log 4 1log 3 ， 43 4 log 3 1log 3 ， 244 42147 log1log1log 336 ， 且 3444 4487 loglogloglog 3366 ， 所以 222 342 42 log 4log 3log 3 fff 1
18、3 10 【解析】本题考查三角函数图象的对称性，考查运算求解能力 依题意可得， 2 5 kkZ，又 0 2 ，则 10 142 【解析】本题考查双曲线的定义与性质，考查推理论证能力与运算求解能力 由题意可知， 2 224cmm， 则2,0A ，2,0B分别是双曲线的左、右焦点， 则2222 3am，解得1m， 从而 2 1b ，虚轴长为22b 153 【解析】本题考查简单几何体的体积，考查运算求解能力与应用意识 设铸得的铁球的半径为cmr 依题意，可得该几何体的体积为 11 4+2 745 32 1 2 2 ， 则 3 4 1 20%5 3 r，解得 3 3r 1617 【解析】本题考查导数的
19、几何意义与函数的最值，考查推理论证能力与运算求解能力 因为 2 2 6323 1648268f xxxxxxx， 所以当2x时， f x取得最小值即 0 2x ， 因为 4 5321 f x xx x ， 所以所求切线的斜率为 4 5 232 2 1 17 17解： （1）用甲配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为 53， 用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为 49 因为用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为 49，且4952 所以，甲配送方案的效率更高 （2）由茎叶图知 25 5225 49 50.5 50 m 列联表如下： 优秀 一般 甲配送方案 17 8 乙配送方案 9 16
20、（3）因为 2 2 50 17 168 9200 5.133.841 1789 16 1798 1639 K 所以有 95%的把握认为两种配送方案的效率有差异 18解： （1）设公比为 q， 3 16a ， 24 68aa， 2 1 3 11 16, 68, a q a qa q 117 4 q q ，解得4q 或 1 4 当 1 4 q 时， 1 0a ，数列 n a是递减数列， 则 1 4 q ，从而4q ， 31 16 44 nn n a 11 1ba， 22 4Sa， 2 4 13b ，21 n bn （2）由（1）知， 2 1 21 2 n n Sn ，42n nn a Sn， 2
21、1 22 22n n Tn ， 231 21 22 22n n Tn ， 则 21 2222 nn n Tn 11 222 2122 1 2 n nn nn ， 1 122 n n Tn 19 （1）证明：ADCD，且ADCD， 45ACDDAC， 45BCA，又45ABC， 90BAC，即ACAB PA 平面 ABCD，AC 平面 ABCD，PAAC， 又PAABA，AC 平面 PAB， PB 平面 PAB，ACPB （2）解：取 BC 的中点 E，以 A 为坐标原点，AE，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系Axyz，如图所示 设1PA，则0,0,0A，
22、0,0,1P， 2,2,0B， 2, 2,0C， 0, 2,0D， 则 2,2, 1PB ， 0, 2, 1PD ， 2, 2,0AC 设 2 ,2 ,01PMPB， 则 2 ,22,1DMPMPD 由（1）可知，AC 平面 PAB， 2, 2,0AC 为平面 PAB 的一个法向量 设 DM 与平面 PAB 所成的角为， 则sincos, DM AC DM AC DM AC 22 2 222 22112 22 2 12 21 21 2211 ， 整理得 2 20890，解得 1 2 或 9 10 （舍） ， 点 M 为棱 PB 的中点 20 （1）证明：因为抛物线 2 ymx的焦点坐标为 1
23、0, 4m ， 所以 1 1 4m ，即 1 4 m ， 则 A 的坐标为4,5，且 C 的准线方程为1y 设 P 到准线的距离为 d，则PFd， 因为 A 到准线的距离为5 16 ， 所以6PAPFPAd （2）解：由 2 1 , 4 1 , 2 yx yxt 得 2 240xxt 设 11 ,M x y， 2212 ,0,0N x yxx， 则 12 2xx， 12 40x xt ， 所以0t ， 2 121212 44 162xxxxx xt 直线 DM 的方程为 11 2yyxx， 令0x，得 11 2 D yxy， 所以 121212 5 2 2 DE DEyyxxyyxx， 因为
24、12 2xx，所以5DE ，即DE的取值范围为5, 21解： （1）函数 f x的定义域为0, 2 2221 22 xmxmxmxm fxxm xxx 令 0fx，得 2 m x 或1x 当1 2 m ，即2m时， 在0, 1和, 2 m 上， 0fx，在1, 2 m 上， 0fx ，当1x 时， f x取得极大值， 当 2 m x 时， f x取得极小值，故 f x有两个极值点； 当01 2 m ，即20m 时， 在0, 2 m 和1,上， 0fx， 在,1 2 m ， 0fx，同上可知 f x有两个极值点； 当1 2 m ，即2m时， 2 2121 0 2 xmxx fx x ， f x在
25、0,上单调递增，无极值点； 当0 2 m ，即0m时， 在0,1上， 0fx，在1,上 0fx， 当1x 时， f x取得极小值，无极大值，故 f x只有一个极值点 综上，当2m时， f x极值点的个数为 0； 当0m时， f x的极值点的个数为 1； 当2m或20m 时， f x的极值点个数为 2 （2）令 h xf xg x， 则 2 1 22ln 2 h xxmxmx， 设 11 ,P x y， 22 ,Q x y, 12 ,0,x x ， 则 12 12 h xh x k xx 不妨设 12 xx，则由 12 12 h xh x km xx 恒成立， 可得 1122 h xmxh xm
26、x恒成立 令 c xh xmx，则 c x在0,上单调递增， 所以 0c x在0,上恒成立 即 0h xm恒成立， 则 2 20 m xmm x 恒成立， 即 2 22 0 xxm x 恒成立 又0,x，所以 2 220xxm恒成立则 2 min 22mxx 因为 2 2 2111xxx ，所以21m ， 解得 1 2 m ，即 m 的取值范围为 1 , 2 22解： （1）由 26cos , 6sin, x y 得 2 2 236xy， 则 C 的直角坐标方程为 2 2 236xy 由 sin20 3 ， 得 13 sincos20 22 ， 即 13 20 22 yx，即340xy， 所以
27、 l 的直角坐标方程为340xy （2）易知 P 的坐标为0, 4，设直线 l 的参数方程为 cos , 4sin xt yt （t 为参数） ， 代入 2 2 236xy并整理， 得 2 8sin4cos160tt， 所以 12 8sin4costt， 1 2 160t t ， 所以 1212 PMPNtttt或 12 tt 因为 12 4 5sintt， 故PMPN的最大值为4 5 23解： （1）因为2k ，所以 44,1, 22,14, 6,4, xx f xxx x 故 0f x ，得1x ， 故不等式 0f x 的解集为,1 （2）由 0f x ，得411xxkx ， 令 411xxxg ，则 42 ,1, 2,14, 26,4, x x g xx xx 作出 g x的图象，如图所示 直线ykx过原点，当此直线经过点4,2B时， 1 2 k ； 当此直线与直线 AC 平行时，2k 由图可知，当2k 或 1 2 k 时， g x的图象与直线ykx有公共点， 从而 0f x 有实数根，所以 k 的取值范围为 1 , 2 , 2
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