1、20202020 年年 5 5 月份高三质量检测月份高三质量检测数学数学试卷试卷（文科文科） 第第卷卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1 1 12 i i 的共轭复数为（ ） A 13 55 i B 13 55 i C 13 55 D 13 55 i 2若集合 |2Ax yx， 2 |1Bx yx，则AB（ ） A1,) B 2, 11,) C2,) D 2, 12,) 3设向量( 1,2)a r ，(2, 4)b r ，则（ ） Aab r r Ba r 与b r 同向 Ca r 与b r 反向 D 1 (
2、) 5 ab r r 是单位向量 4桂林漓江主要景点有象鼻山、伏波山、叠彩山、芦笛岩、七星岩、九马画山，小张一家人随机从这 6 个 景点中选取 2 个进行游玩，则小张一家人不去七星岩和叠彩山的概率为（ ） A 2 3 B 1 3 C 3 5 D 2 5 5已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点 3 1, 2 b ，且C的离心率为 1 2 ，则C的方程是（ ） A 22 1 43 xy B 22 1 86 xy C 22 1 42 xy D 22 1 84 xy 6在四面体ABCD中，E，F分别为棱AC，BD的中点，6AD，4BC ，2EF ，则异面直 线AD与BC所成角的
3、余弦值为（ ） A 3 4 B 5 6 C 9 10 D 11 12 7已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0x时，( )f x单调递增，则（ ） A 93 log 4(1)log 4fff B 93 log 4(1)log 4fff C 93 (1)log 4log 4fff D 93 (1)log 4log 4fff 8a，b，c分别为ABCV内角A，B，C的对边 已知(sin9sin)12sinaABA， 1 sin 3 C ， 则ABCV 的面积的最大值为（ ） A1 B 1 2 C 4 3 D 2 3 9设 t表示不大于t的最大整数执行如图所示的程序框图，则输出的x（ ） A
4、2 B3 C4 D5 10 若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 过 2 F的直线与双曲线的右支交于A， B两点，若 12 10FF ， 11 | 4AFBFAB，则双曲线的虚轴长为（ ） A4 6 B2 21 C2 6 D21 11若(0,2 )，则满足 11 4sin4cos cossin 的所有的和为（ ） A 3 4 B2 C 7 2 D 9 2 12设x，y满足约束条件 0 10 20 xy xy xym ，且该约束条件表示的平面区域为三角形现有下述四个结 论： 若xy的最大值为 6，则5m；若3m，则曲线41 x y 与有公
5、共点； m的取值范围为 3 , 2 ；“3m”是“xy的最大值大于 3”的充要条件 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置 13某公司的营销部有 3 个科室，其中市场科有 30 人，销售科有 50 人，企划科有n人若从这 3 个科室 中用分层抽样的方法选取 18 人，已知企划科选取了 2 人，则n_ 14若曲线sin0 52 yx 关于点(2,0)对称，则_ 15如图，实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知BCEFcm， 2AEcm，4BECFcm，7ADcm，且AEE
6、F，AD 底面AEF某工厂要将其铸成一个 实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗 20%，则铸得的铁球的半径为_cm 16已知函数 52 ( )164f xx xxx，且 0 ( )f xf x对xR恒成立，则曲线 ( )f x y x 在点 0 0 0 , f x x x 处的切线的斜率为_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721 题为 必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案为比较两
7、种配送方案的效 率，共选取 50 名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组 25 人，第一组骑手用甲配送方案，第二组骑手 用乙配送方案根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量（单位：单）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图，求各组内 25 位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的 25 位骑手完成订单数的 平均数为 52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由； （2）设所有 50 名骑手在相同时间内完成订单数的平均数m，将完成订单数超过m记为“优秀” ，不超过m 记为“一般” ，然后将骑手的对应人数填入下面列联表； 优秀 一般 甲配送方案 乙配送方案 （3）根据（2）中的列
8、联表，判断能否有 95%的把握认为两种配送方案的效率有差异 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 P Kk 0.05 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 18 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ADBC，ADCD， 且A D C D，45ABC （1）证明：ACPB； （2）若2ADPA，且四棱锥PABCD的体积为 1 4 ，求PABV的面积 19 （12 分） 在递增的等比数列 n a中， 3 16a ， 24 68aa n S为等差数列 n b的前n项和， 11 ba，
9、 22 Sa （1）求 n a， n b的通项公式； （2）求数列 4 nn a S的前n项和 n T 20 （12 分） 已知(0,1)F为抛物线 2 :C ymx的焦点 （1）设 11 , m A mm ，动点P在C上运动，证明：| 6PAPF； （2）如图，直线 1 : 2 l yxt与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第二象限） ，分别过M，N 作l的垂线，这两条垂线与y轴的交点分别为D，E，求|DE的取值范围 21 （12 分） 设函数 ln ( ) 4 xx f x x ，已知ln20.69 （1）证明： 1 1 , 4 2 t ，( )f x在( ,)t 上单调递增； （2）若
10、 1 ( ) 16 f xm对(0,)x恒成立，求整数m的最大值 （二）选考题：共 10 分请考生从第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计 分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 26cos 6sin x y （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin20 3 （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线 l 与曲线C交于M，N两点，求|PMPN的最 大值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |4|1
11、|1f xxxkx （1）若2k ，求不等式( )0f x 的解集； （2）若方程( )0f x 有实数根，求k的取值范围 数学参考答案数学参考答案（文科文科） 1B【解析】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力 因为 1(1)(12 )13 12555 iii i i ，所以 1 12 i i 的共轭复数为 13 55 i 2B【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力 2,)A ，(, 11,)B ， 2, 11,)AB 3C【解析】本题考查平面向量的平行与垂直的判定以及单位向量的概念，考查推理论证能力 因为0a b r r ，所以 A 错误；因为 1 ()1 5 ab r
12、r ，所以 D 错误；因为2ba r r ，所以 B 错误，C 正确 4D【解析】本题考查古典概型，考查运算求解能力与应用意识 从这 6 个景点选取 2 个的所有情况为（象鼻山，伏波山） ， （象鼻山，叠彩山） ， （象鼻山，芦笛岩） （象鼻山， 七星岩） ， （象鼻山，九马画山） ， （伏波山，叠彩山） ， （伏波山，芦笛岩） ， （伏波山，七星岩） ， （伏波山， 九马画山） ， （叠彩山，芦笛岩） ， （叠彩山，七星岩） ， （叠彩山，九马画山） ， （芦笛岩，七星岩） ， （芦笛岩， 九马画山） ， （七星岩，九马画山） ，共 15 种，其中他们不去七星岩和叠彩山的情况有 6 种，故所
13、求概率为 62 155 5A【解析】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力 依题意，可得 2 2 2 13 1 4 1 1 2 a b a ，解得 2 2 4 3 a b ，故C的方程是 22 1 43 xy 6D【解析】本题考查异面直线所成角，考查运算求解能力与空间想象能力 取CD的中点G，连接EG，FG，则FGBC，EGAD， 则EGF为异面直线AD与BC所成的角（或补角） 因为 1 2 2 FGBC， 1 3 2 EGAD， 所以 49211 cos 22312 EGF ， 故异面直线AD与BC所成角的余弦值为 11 12 7B【解析】本题考查函数的性质与对数函数的综合应用，考查数学
14、抽象与逻辑推理的核心素养 因为函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0x时，( )f x单调递增，所以( )f x在R上单调递增因为 933 log 4log 21log 4 ，所以 93 log 4(1)log 4fff 8D【解析】本题考查正弦定理的应用与基本不等式的应用，考查推理论证能力 因为(sin9sin)12sinaABA， 所以(9 )12a aba， 又0a ， 所以9122 9abab， 则4ab， 所以ABCV的面积的最大值为 112 4 233 9C【解析】本题考查程序框图，考查运算求解能力与推理论证能力 1x ，100t ， 100t ；2x ，50t ， 50t ；
15、3x ， 50 3 t ， 16t ；4x ， 25 6 t ， 4t 故 输出的4x 10A【解析】本题考查双曲线的定义与性质，考查推理论证能力与运算求解能力 22 |ABAFBF， 111212 |AFBFABAFAFBFBF， 11 | 2 24AFBFABa ，即1a 12 210FFc，5c ， 22 224 6bca 11D【解析】本题考查三角恒等变换，考查推理论证能力与运算求解能力 因 为 11 4sin4cos cossin ， 所 以 11sincos 4(sincos) cossinsincos ， 所 以 sincos0或4sincos1， 即tan1或 1 sin2 2
16、 因 为( 0 , 2)， 所 以 51 351 7 , 441 21 21 21 2 ，则满足条件的所有的和为 5135179 44121212122 12B【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想与逻辑推理的核心素养 作出平面区域，如图所示，联立 0 10 xy xy ，得 1 2 1 2 x y ，因为为三角形区域，所以 11 20 22 m，即 3 2 m 故正确 当直线zxy经过点(2,1)A mm时，zxy取得最大值，且最大值为23m，故错误，正 确 当3m时，A的坐标为(1,2)，当1x 时，函数41 x y 的值为32， 则曲线41 x y 与有公共点，故正确 1310
17、【解析】本题考查统计中的分层抽样，考查运算求解能力与应用意识 由 2 305018 n n ，得10n 14 10 【解析】本题考查三角函数图象的对称性，考查运算求解能力 依题意可得，2() 5 kkZ ，又0 2 ，则 10 15 3 3【解析】本题考查简单几何体的体积，考查运算求解能力与应用意识 设铸得的铁球的半径为rcm 依题意，可得该几何体的体积为 111 242(74)5 232 ， 则 3 4 5(120%) 3 r，解得 3 3r 1617【解析】本题考查导数的几何意义与函数的最值，考查推理论证能力与运算求解能力 因为 2 63232 ( )1648(2)68f xxxxxxx，
18、 所以当2x 时，( )f x取得最小值， 即 0 2x ， 因为 4 ( ) 5321 f x xx x ，所以所求切线的斜率为 4 52322117 17解： （1）用甲配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为 53， 1 分 用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为 49 2 分 因为用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为 49，且4952， 4 分 所以，甲配送方案的效率更高 5 分 （2）由茎叶图知 25 522549 50.5 50 m 6 分 列联表如下： 优秀 一般 甲配送方案 17 8 乙配送方案 9 16 8 分 （3）因为 2 2 50(17 168 9)200 5.
19、133.841 (178)(916)(179)(816)39 K ， 11 分 所以有 95%的把握认为两种配送方案的效率有差异 12 分 18 （1）证明：ADCD，且ADCD，45ACDDAC ， 1 分 45BCA ，又45ABC ，90BAC ，即ACAB 2 分 PA 平面ABCD，AC 平面ABCD，PAAC， 3 分 又PAABA，AC 平面PAB， 4 分 PB 平面PAB，ACPB 5 分 （2）解：由（1）可知，22BCACAD 6 分 ADCD，四边形ABCD的面积为 2 13 (2) 22 ADADADAD， 7 分 四棱锥PABCD的体积 2 1311 3224 VA
20、DAD， 9 分 解得1AD 10 分 PA 平面ABCD，PAAB， 11 分 11 22 PAAD，22ABAD，PABV的面积为 112 2 224 12 分 19解： （1）设公比为q， 3 16a ， 24 68aa， 2 1 3 11 16 68 a q a qa q ， 1 分 117 4 q q ，解得4q 或 1 4 2 分 当 1 4 q 时， 1 0a ，数列 n a是递减数列，则 1 4 q ，从而4q ， 3 分 31 1644 nn n a 4 分 11 1ba， 22 4Sa， 2 4 13b ， 5 分 21 n bn 6 分 （2）由（1）知， 2 (121)
21、 2 n nn Sn ， 7 分 42n nn a Sn， 8 分 2 1 2222n n Tn ， 231 21 2222n n Tn ， 9 分 则 21 2222 nn n Tn 10 分 11 222 2(1)22 12 n nn nn ， 11 分 1 (1)22 n n Tn 12 分 20 （1）证明：因为抛物线 2 ymx的焦点坐标为 1 0, 4m ，所以 1 1 4m ，即 1 4 m ， 1 分 则A的坐标为(4,5)，且C的准线方程为1y 2 分 设P到准线的距离为d，则|PFd， 3 分 因为A到准线的距离为5 16 ， 所以| |6PAPFPAd 4 分 （2）解：
22、由 2 1 4 1 2 yx yxt ，得 2 240xxt 5 分 设 11 ,M x y， 2212 ,0,0N x yxx，则 12 2xx， 1 2 40x xt ， 6 分 所以0t ， 2 12121 2 44 162xxxxx xt 8 分 直线DM的方程为 11 2yyxx， 令0x ，得 11 2 D yxy， 9 分 同理，得 22 2 E yxy， 10 分 所以 121212 5 |2 2 DE DEyyxxyyxx 11 分 因为 12 2xx，所以| 5DE ，即|DE的取值范围为(5,) 12 分 21 （1）证明： 2 44ln ( )(0) (4) xx fx
23、x x ， 1 分 设函数( )44lng xxx，则( )g x在(0,)上单调递增 2 分 因为 19 4ln20 22 g ， 117 8ln20 44 g ， 3 分 所以 0 1 1 , 4 2 x ， 0 0g x，且当 0 xx时，( )0g x ， 4 分 从而( )0fx，所以( )f x在 0, x 上单调递增， 5 分 当 0 1 , 2 tx 时，( )f x在( ,)t 上单调递增， 故 1 1 , 4 2 t ，( )f x在( ,)t 上单调递增 6 分 （2）解：由（1）知，( )f x在 0 0,x上单调递减，在 0, x 上单调递增， 7 分 且 00 44
24、ln0xx，即 00 44lnxx ， 8 分 所以 000 min0 0 ln ( ) 44 xxx f xf x x 9 分 因为 0 1 1 , 4 2 x ，所以 min 11 ( ), 816 f x ， 10 分 又 1 ( ) 16 f xm对(0,)x恒成立，所以 min 16 ( )mf x， 11 分 因为 min 16 ( )( 2, 1)f x ，所以整数m的最大值为2 12 分 22 解 ：（ 1 ） 由 26cos 6sin x y ， 得 22 (2)36xy， 则C的 直 角 坐 标 方 程 为 22 (2)36xy 2 分 由sin20 3 ，得 13 sin
25、cos20 22 ， 3 分 即 13 20 22 yx，即340xy，所以l的直角坐标方程为340xy 4 分 （2）易知P的坐标为(0, 4)，设直线 l 的参数方程为 cos 4sin xt yt （t为参数） ， 5 分 代入 22 (2)36xy并整理，得 2 (8sin4cos )160tt， 6 分 所以 12 8sin4costt， 1 2 160tt ， 7 分 所以 1212 |PMPNtttt或 12 tt 8 分 因为 12 4 5sin()tt， 9 分 故|PMPN的最大值为4 5 10 分 23解： （1）因为2k ，所以 44,1 ( )22,14 6,4 xx
26、 f xxx x ， 1 分 由( )0f x ，得1x ， 4 分 故不等式( )0f x 的解集为(,1) 5 分 （2）由( )0f x ，得|4|1| 1xxkx ， 令( ) |4|1| 1g xxx，则 42 ,1 ( )2,14 26,4 x x g xx xx ， 6 分 作出( )g x的图象，如图所示 7 分 直线ykx过原点，当此直线经过点(4,2)B时， 1 2 k ； 8 分 当此直线与直线AC平行时，2k 9 分 由图可知，当2k 或 1 2 k 时，( )g x的图象与直线ykx有公共点， 从而( )0f x 有实数根，所以k的取值范围为 1 (, 2), 2 10 分
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