1、高三数学（文科）三诊试题第 1 页（共 14 页） 遂宁市高中遂宁市高中 2020 届届高三高三三三诊考试诊考试数学（数学（文文科）试题科）试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1若集合 10 2 xxA ，21xxB，则AB A 01xx B 10xx C 12xx D 12xx 2已知a为实数，i为虚数单位，且R i ia i （R为实数集），则a A1 B2 C2 D1 3. 函数 0, 2 0, )( x xxe xf x 的大致图象为 4. 某人口大县举行“ 只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚扶贫知识政策
2、答题比赛” ，分初赛和复赛两个阶段进 行，规定：初赛成绩小于等于 90 分的会被淘汰,某校有 1000 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在 区间（30，150内，其频率分布直方图如图所示,则会被淘汰的人数为 A350 B450 C480 D300 高三数学（文科）三诊试题第 2 页（共 14 页） 5. 已知满足 1 cos() 23 ，则cos2 A 7 9 B 7 18 C 7 9 D 7 18 6. 等差数列 n a中，102 71 aa，则 753 aaa A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体。已知正六面体 1111 AB
3、CDABC D的棱长为4， 则平面 11 AB D不平面 1 BC D间的距离为 A3 B 6 3 C 3 34 D32 8. 如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若BDAMAC，则 A. 3 4 B. 3 5 C. 1 D2 9. 设 ( )f x是定义在R上恒丌为零的函数，对任意实数, x yR ，都有 ( ) ( )()f x f yf xy ，若 1 1 2 a ， ( )() n af n nN ，则数列 n a的前n项和 n S的取值范围是 A. 1 ,1 2 B. 2 , 3 1 C. 2 , 2 1 D. 1 , 3 1 10. 已知点28, 3在函数1)( n xxf的
4、图象上， 设 3 3 fa ， )(lnfb ， 4 5 fc ，则, , a b c 的大小关系为 Abac Babc Cbca Dbac 高三数学（文科）三诊试题第 3 页（共 14 页） 11. 已知双曲线 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过点 1 F作圆 222 xya的切线交 双曲线右支于点M，若2tan 21 MFF，又e为双曲线的离心率，则 2 e的值为 A 2 25 B 2 35 C 2 55 D 2 65 12. 若存在0a， 使得函数axxaxf4ln6)( 2 不bxxg 2 )(在这两函数图象的公共点处的切线相 同，则b的最
5、大值为 A 2 1 e B 2 2 1 e C 2 3 1 e D 2 3 e 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.） 13. 曲线xxxyln2 2 在点 ) 1, 1 ( 处的切线的斜率为 . 14. 若向量), 12(kkm不向量) 1 , 4(n共线，则nm的值是 15 已知点)2 , 0(M， 过抛物线xy4 2 的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点， 若0FMAM， 则点B的横坐标为 16已知 ayx, 均为正实数，则 2 25 24 3 yx aa xxy 的最小值为 . 三、解答题（本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ）
6、高三数学（文科）三诊试题第 4 页（共 14 页） 17 （本小题满分 12 分） 函 数()s i n () (0 ,0 , 0)fxAxA的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 又 函 数 ( ) 8 g xfx （1）求函数 )(xg 的单调减区间； （2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又3c ，且锐角C满足 1)(Cg ， 若sin2sinBA，求ba的值。 18.（本小题满分 12 分） 某中学举行的“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数 情况如下表，该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动。并用分层抽
7、样 的方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就坐，其中一等奖代表队有 6 人。 名次 性别 一等奖 代表队 二等奖 代表队 三等奖 代表队 男生 30 ？ 20 女生 30 20 30 （1）求二等奖代表队的男生人数； 高三数学（文科）三诊试题第 5 页（共 14 页） （2）从前排就坐的三等奖代表队员 5 人（2 男 3 女）中随机抽取3人上台领奖，请求出只有一个男生 上台领奖的概率； （3）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生2 , 2内的两个均匀随机数x，y，随后 电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序。若电脑显示“中奖” ，则代表队员获相应奖品；若电脑显 示“谢谢” ，
8、则丌中奖。求代表队队员获得奖品的概率。 19.（本小题满分 12 分） 如图， 在长方体HKLEABCD中， 底面ABCD是边长为3的正方形， 对角线AC不BD相交于点O， 点F在线段AH上且02 HFAF， BE不底面ABCD所成角为 3 。 高三数学（文科）三诊试题第 6 页（共 14 页） （1）求证：BEAC ； （2）M为线段BD上一点，且2BM，求异面直线AM不BF所成角的余弦值。 20.（本小题满分 12 分） 已知函数xaxxfsin)()(Ra （1）当) 6 , 0( x时，0)(xf恒成立，求正实数a的取值范围； （2）当1a时，探索函数1cos)()(axxfxF在),
9、 0(上的零点个数，并说明理由。 21.（本小题满分 12 分） 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆” 。过椭圆第四象限内一点M 作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点” 。已知 椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 上的点) 2 2 , 1 ( 的下辅助点为1, 1。 （1）求椭圆E的方程； 高三数学（文科）三诊试题第 7 页（共 14 页） （2）若OMN的面积等于 8 632 ，求下辅助点N的坐标； （3）已知直线l： 0xmyt 不椭圆E交于丌同的A，B两点，若椭圆E上存在点P，满足 OPOA OB ，求直线
10、l不坐标轴围成的三角形面积的最小值。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系不参数方程 在平面直角坐标系中，将曲线方程1 4 )2( 16 )2( 22 yx ，先向左平秱2个单位，再向上平秱 2个单位，得到曲线C。 （1）点),(yxM为曲线C上任意一点，写出曲线C的参数方程，并求出yx3 2 1 的最大值； （2）设直线l的参数方程为 ty tx 2 2 ， （t为参数） ，又直线l不曲线C的交点为E，F，以坐标原 点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段EF的中点且不l垂直的直线的极坐标方程。
11、 23 （本小题满分 10 分）选修 45：丌等式选讲 已知函数32)(xxf，baxxg 2)( （1）解丌等式 2 ( )f xx； （2）当0a，0b时，若 )()()(xgxfxF 的值域为, 5，求证： 3 2 2 1 2 1 ba 。 xOy 高三数学（文科）三诊试题第 8 页（共 14 页） 遂 宁 市 高 中 2020 届 三 诊 考 试 数学（文科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（12 5=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B A A B C C A D C C 二、填空题（45=20 分） 13. 1 14. 2 17
12、 15. 4 1 16.10 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由函数( )sin()(0,0,0)f xAxA的部分图象可得 2A, 5 288 T ,即T,则 2 2 T ，又函数图像过点,2 8 ， 则22 82 k ， 即2, 4 kkZ ，又0，即 4 ， （,A 每值 1 分） 即( )2sin(2) 4 f xx ，则( )2sin2()2cos2 84 g xxx 4 分 由kxk222，Zk，得 2 kxk，Zk， 所以函数)(xg的单调减区间为Zkkk , 2 , 6 分（少 Zk扣 1
13、 分） （2）由1)(Cg，得 2 1 2cosC，因为 2 0 C， 所以 C20，所以 3 2 2 C， 3 C ， 又sin2sinBA，由正弦定理得2 b a 8 分 高三数学（文科）三诊试题第 9 页（共 14 页） 由余弦定理，得 222 2cos 3 cabab ，即 22 3abab 由解得1a ，2b 11 分 所以3ba 12 分 18 （本小题满分 12 分） 【解析】(1)设代表队共有n人，则 n 60 16 6 ，所以160n，则三等奖代表队的男生人数为 30)3020203030(160，故所求二等奖代表队的男生人数为30人。 3 分 （2）设男生为 1 A， 2
14、A，女生为 1 B， 2 B， 3 B，随机抽取 3 人，包括的基本事件为 121 BAA， 221 BAA， 321 BAA， 211 BBA， 311 BBA， 321 BBA， 212 BBA， 312 BBA， 322 BBA， 321 BBB，个数为 10 个，只有 一个男生上台领奖基本事件为 211 BBA， 311 BBA， 321 BBA， 212 BBA， 312 BBA， 322 BBA，个数为 6 个， 所以只有一个男生上台领奖的概率为 5 3 10 6 。 8 分 (3)试验的全部结果所构成的区域为22, 22,yxyx， 面积为1644 S， 事件A表示代表队队员获得
15、奖品，所构成的区域为 2 1 22 22 , yx yx y x yxA， 如图阴影部分的面积为 2 19 33 2 1 22 2 1 44 A S， 这是一个几何概型，所以 32 19 16 2 19 )( S S AP A 。 即代表队队员获得奖品的概率为 32 19 。 12 分 高三数学（文科）三诊试题第 10 页（共 14 页） 19 （本小题满分 12 分） 【解析】（1）因为在长方体HKLEABCD中，有DE 平面ABCD，所以DEAC， 因 为 四 边 形ABCD是 正 方 形 ， 所 以ACBD， 又DDEBD从 而AC 平 面 BDE而BE平面BDE，所以BEAC 。 5
16、分 （2）因为在长方体HKLEABCD中，有BE与平面ABCD所成角为 3 ， 由（1）知DBE为直线BE与平面ABCD所成的角， 所以 3 DBE， 所以3 ED DB 由 3AD可知3 6DE ， 所以63AH， 又 02 HFAF ， 即AHAF 3 1 ， 故6AF ，在DE上取一点G，使DEDG 3 1 ， 连接FG，则在长方体HKLEABCD中，有FGADBC， 且BCADFG，所以四边形FBCG为平行四边形， 所以BFCG，在BD上取一点N，使BMDN 因为 2BM ， 23BD ，所以BDBMDN 3 1 , 所以在正方形ABCD中， OMON ，所以CONAOM（SAS）。
17、所以AMOCNO， 所以AMCN，所以GCN（或其补角）为异面直线AM与BF所成的角， 在GNC中， 15 22 ABAFBFGC ， 在AMB中，由余弦定理得5 4 cos2 22 BMABBMABAM， 则5 AMCN，又 22 22 DNGDGN 在GNC中，由余弦定理得 5 32 2 cos 222 NCGC GNNCGC GCN。 故所求余弦值为 5 32 。 12 分 高三数学（文科）三诊试题第 11 页（共 14 页） 20 （本小题满分 12 分） 【解析】（1）因为 6 0 x，所以 sin x a x ， 令 sin ( ) x g x x ， 2 cossin xxx g
18、x x ， 再令 cossinm xxxx， cossincossin0m xxxxxxx， 所以 ( )m x在) 6 , 0( 上单调递减，所以 ( )00m xm。 3 分 所以 0gx ，则( )g x在) 6 , 0( 上单调递减，所以 3 ) 6 ()( gxg， 所以 3 a，又0a，即正实数a的取值范围是 3 , 0( . 5 分 （2）1cos)()(axxfxF1cossinaxxax， 则axxxaxF) 4 sin(2sincos)( / ， 7 分 因(0, )x，故2sin( 1,2 4 x ， 又1a ，故)( / xF0对 (0, )x 恒成立，即)(xF在区间
19、0,单调递增； 又2)0( aF，0) 1()(aF； 10 分 故当21 a时，02)0( aF，此时)(xF在区间0,内恰好有1个零点； 当2a时，02)0( aF，此时)(xF在区间0,内没有零点。 12 分 21 （本小题满分 12 分） 【解析】（1）椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 上的点) 2 2 , 1 ( 的下辅助点为1, 1， 辅助圆的半径为 2) 1(1 22 R，椭圆长半轴为2 Ra， 高三数学（文科）三诊试题第 12 页（共 14 页） 将点) 2 2 , 1 ( 代入椭圆方程1 2 2 22 b yx 中，解得1b， 椭圆E的方程为 1 2 2 2
20、y x ； 4 分 （2）设点),( 00 yxN)0( 0 y，则点),( 10 yxM)0( 1 y，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程 可得，2 2 0 2 0 yx，1 2 2 1 2 0 y x ，故 2 1 2 0 2yy，即 10 2yy ， 又 8 632 )( 2 1 010 yyxS OMN ，则 4 6 10 yx 6 分 将 4 6 10 yx与1 2 2 1 2 0 y x 联立可解得 2 6 2 2 0 0 y x 或 2 2 2 6 0 0 y x ， 下辅助点N的坐标为 ) 2 6 , 2 2 (或) 2 2 , 2 6 (； 7 分 （3）由题意可设 11
21、 ,A x y， 22 ,B x y. 联立 2 2 1 2 x y xmyt 整理得 222 2220mymtyt ，则 22 820mt . 根据韦达定理得 12 2 2 12 2 2 2 2 2 mt yy m t y y m ， 8 分 因为OP OA OB . 所以 12 2 2 2 P mt yyy m ， 121212 2 4 2 2 P t xxxmytmytm yyt m 因为点P在椭圆E上，所以 22 2 22 22 164 1 222 tm t mm ， 高三数学（文科）三诊试题第 13 页（共 14 页） 整理得 22 2 2 42 1 2 mt m ，即 22 42t
22、m 10 分 在直线l：0xmyt 中，由于直线l与坐标轴围成三角形，则0t ，0m. 令0x，得 t y m ，令0y ，得xt. 所以三角形面积为 2 1121212 | |2 2 28|8|84 tm Stm mmm 当且仅当 2 2m ， 2 1t 时，取等号，此时240. 所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 2 4 . 12 分 22 （本小题满分 10 分） 【解析】（1）将曲线方程1 4 )2( 16 )2( 22 yx ，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲 线C的方程为1 4 )22( 16 )22( 22 yx ，也即1 416 22 yx ， 故曲线C
23、的参数方程为 sin2 cos4 y x (为参数） ； 2 分 又点),(yxM为曲线C上任意一点， 所以) 3 cos(4sin32cos23 2 1 yx， 所以yx3 2 1 的最大值为4； 5 分 （2）由（1）知曲线C的直角坐标方程为1 416 22 yx ，又直线l的参数方程为 ty tx 2 2 ， （t为参数） ， 高三数学（文科）三诊试题第 14 页（共 14 页） 所以直线l的普通方程为042yx，所以有 1 416 042 22 yx yx 解得 0 4 y x 或 2 0 y x ， 8 分 所以线段EF的中点坐标为) 2 20 , 2 04 ( ，即线段EF的中点坐
24、标为) 1 , 2(，直线l的斜率为 2 1 ，则与直 线l垂直的直线的斜率为2，故所求直线的直角坐标方程为)2(21xy，即032 yx，将 cos ,sinxy代入，得其极坐标方程为03sincos2 10 分 23 （本小题满分 10 分） 【解析】（1）不等式 2 ( )f xx化为 2 32xx， 即，等价于或， 由解得，由解得或， 4 分 所以不等式 2 ( )f xx的解集为 5 分 （2）根据绝对值三角不等式可知 )()()(xgxfxFbaxxbaxx223232 33223bababaxx， 7分 因为)()()(xgxfxF的值域为, 5 所以2ba，则622ba， 故) 2 2 2 2 2( 6 1 ) 2 22 2 22 ( 6 1 2 1 2 1 b a a b b ba a ba ba 3 2 ) 2 2 2 2 22( 6 1 b a a b ， 当且仅当 2 2 2 2 b a a b ， 即1ab时取等号时，由基本不等式可得 3 2 2 1 2 1 ba 10分 2 3 2 2 xx 2 3 2 23 x xx 2 3 2 32 x xx 3 2 x 3x 3 1 2 x 31x xx 或
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