1、第十三讲 逻辑推理二 相信学们之前已经接触过一些有趣的逻辑推理题目， 其中比较典型的一类题 目就是让我们来判断问题的真假还记得我们用什么方法来判断吗？对了，假设 法！假设法就像是测谎仪，用它来测一测，就知道谁说的是真话，谁说的是假话 了 除此之外，如果有两个人说的话正好相反，那么我就可以断定其中必然有一 个人说的是真话，另一个人说的是假话我们可以把这个方法称为矛盾分析法 好了，下面就开始我们的推理之旅吧！ 例题 13 位女神分别说了如下的话 雅典娜（智慧女神） ：“阿佛洛狄忒不是最美的” 阿佛洛狄忒（爱和美的女神） ：“赫拉不是最美的” 赫拉（天后） ：“我是最美的” 只有最美的女神说了真话，
2、请问她是谁？ 分析分析阿佛洛狄忒和赫拉的话是互相矛盾的，据此可以推理出什么呢？ 懒懒和笨笨是两只小猪，一只说真话，一只说假话而且它们一只是公的， 一只是母的懒懒说：“说谎的是母猪”笨笨说：“说谎的不是母猪”请问 懒懒和笨笨谁是母猪？ 例题 2艾趣、艾吕和艾游三姐妹参加了去英国的旅行团回国后，三人向朋友们分享去英 国的经历： 艾趣： “我们去了爱丁堡，没去湖泊区，但参观了北威尔士 ” 艾吕： “我们去了爱丁堡，也去了湖泊区，但没有参观北威尔士 ” 艾游： “我们没有去爱丁堡，但是去了北威尔士 ” 已知每个人都说了一句谎话，那么她们三人到底去了哪些景区？ 分析分析如果要用假设法，先根据谁的话来作假
3、设会更简单一些？ 一位农夫建了一个三角形的鸡窝，三边都是等高的铁丝网这位农夫在笔记 本上做了如下记录： （1）面向仓库那边的铁丝网价钱：10 美元； 练 习 2 2 练 习 1 1 （2）面向水池那边的铁丝网价钱：20 美元； （3）面向住宅那边的铁丝网价钱：30 美元 而这三个价钱中有一个是错的 又知道每一边铁丝网的价钱都是 10 美元的倍数， 且三边铁丝网的价钱互不相同那么这位农夫一共花了多少钱买铁丝网？ 除了真假问题之外，还有一类题目是告诉我们一些条件让我们做出判断或计 算，我们可以把这类问题称为条件推理问题 例题 3现在要从六个人中挑选几个去参加数学竞赛，有以下要求： （1）赵甲和钱乙
4、这两人至少去一个； （2）赵甲和李丁不能都去； （3）赵甲、周戊和吴己这三个人中要去两人； （4）钱乙和孙丙要么都去，要么都不去； （5）孙丙和李丁要去一人； （6）如果李丁不去，周戊也不去 应该挑选哪几个人去？ 分析分析虽然这道题目不是真话假话问题，但是也可以用假设法来解决根据第几个条件作 假设会简单一些？ A，B， C， D 四名学生猜测自己的数学成绩A 说：“如果我得优，那么 B 也得优” B 说：“如果我得优，那么 C 也得优” C 说：“如果我得优，那么 D 也得优”结果大家都 没说错，但是只有两个人得优谁得了优？ 例题 4热火队和雷霆队为了争夺 NBA 总决赛的冠军，斗得难分难解在
5、今天晚上的比赛 中： （1）两队都没有换过人； （2）除了三名队员外，其他队员得分都互不相同这三名队员都得了 22 分，但是不在同一 个队中； （3）全场最高个人得分是 30 分，只有三名队员得分不到 20； （4）热火队中，得分最多和得分最少的球员只相差 3 分； （5）雷霆队每人的得分正好组成一个等差数列 这场比赛谁胜谁负？比分是多少？ 分析分析因为每个队都没有换过人，所以各队总分都是五个数的和根据第二个条件和第五 个条件可知，雷霆队有一个 22 分，热火队有两个 22 分接下来继续推理就容易了 练 习 3 3 甲、乙、丙、丁四人一起打牌，每人的姓是赵、钱、孙、李中的一个他们 约好第一把赢
6、的人可以从其他三人手中各拿 100 元； 第二把赢的人可以从其他三 人手中各拿 200 元；第三把赢的人可以从其他三人手中各拿 300 元；第四把赢的 人可以从其他三人手中各拿 400 元他们一共玩了 4 把，每人各赢了一次又知 道： （1）第一把赢的人是孙先生； （2）第二把赢的人是乙； （3）第三把赢的人是钱先生； （4）第四把赢的人是丙； （5）打牌之前李先生的钱最多，打牌后丁的钱最多 那么甲、乙、丙、丁分别姓什么？ 例 5鹿哼、雷婷、王萍和贺纯正在进行一场精彩的室内网球双打赛，通过下面 观众的议论，我们知道以下信息： （1）鹿哼比雷婷年轻； （2）王萍比他的两个对手年龄都大； （3）鹿
7、哼比他的搭档年纪大； （4）鹿哼和雷婷的年龄差距比王萍和贺纯的年龄差距更大 请讲这四位运动员按照年龄大小顺序排列，并且找出鹿哼的搭档是谁 分析分析这道题目与大小顺序有关系，可以先画出四个位置，然后根据题目中的条件把人放 到位置上 练 习 4 4 例题 6桌上放着 3 红 2 蓝 5 个帽子张三、李四和迟哼站成一排，须老师从桌上拿出 3 个 帽子，分别戴到三个人的头上排队的人都能看到前面的人头上帽子的颜色，但是看不到自 己的（当然也看不到后面的人，但是三个人都知道帽子一共有 3 红 2 蓝） 这时须老师问队伍最后面的张三是否知道自己帽子的颜色，张三说不知道 须老师又问中间的李四是否知道自己帽子的
8、颜色，李四说不知道 想不到这时候站在最前面的迟哼，竟然非常有把握的说： “老师，我知道我帽子的颜色！ ” 请问，迟哼头上的帽子是什么颜色的，他又是怎么知道的？ 分析分析张三的回答是不知道那如果张三的回答是知道，能说明什么呢？ 第一次数学危机 从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学） 来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前 500 年左右，它 是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、 天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物 皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数
9、学 的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。 毕达哥拉斯的数是指整数， 他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。 他们知道满足直角三角形三边长的一般公式， 但由此也发现了一些直角三角形的 三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来， 就否定了毕达哥拉斯学派的信条： 宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。 不可通约性的发现引起第一次数学危机。 有人说， 这种性质是希帕索斯约在 公元前 400 年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉 斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希 腊的数学观点有极大
10、的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不 能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位 受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。 同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此 希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这 不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。 回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊， 数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子 距离计算 金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至 于
11、埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所 以也就一直停留 在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成 了欧几里得几何原本的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。 作业1. 甲、 乙、 丙 3 人， 一个总说谎， 一个从不说谎， 一个有时说谎 已知牧师从不说谎， 骗子总说谎，赌徒有时说谎有一次谈到他们的职业，甲说：“我不是牧师”乙说： “我不是骗子”丙说：“我不是赌徒”总说谎的人是谁？ 作业2. 在一次猜谜晚会上，甲、乙、丙 3 人分别猜中 1、2、3 条谜语甲说：“我猜中 2 条”乙说：“我猜中的最多”丙说：“我猜中的不是偶数条”已知他们 3 人只有 1 人说
12、谎，他是谁？ 作业3. 甲、乙、丙、丁在比他们的身高甲说：“我最高”乙说：“我不是最矮的” 丙说：“我没甲高，但还有人比我矮”丁说：“我最矮”实际测量的结果表明，只 有 1 人说错了请将他们按身高次序从高到矮排列出来 作业4. 从分别写着努、力、学、习 4 个字的 4 张卡片中选出 3 张，然后将这 3 张卡片有字 的面朝下摆在桌子上甲、乙、丙分别猜每 张卡片上是什么字，猜得的情况见右图结 果有一人全猜对了，有一人猜对 2 个，有一人全猜错了全猜错的人是谁？ 作业5. 姐妹俩得了一种怪病：姐姐上午很老实，一到下午就说假话；妹妹正好相反，上午 说假话，下午说真话一天家里来了位客人，分不清一胖一瘦
13、两位小姐谁是姐姐谁是妹 妹，就问：“你们俩谁是姐姐？”没想到胖瘦两位小姐都说自已是姐姐他又问：“现 在几点了？”胖小姐说：“快到中午了”瘦小姐说：“中午已经过了”姐姐是胖小 姐还是瘦小姐？ 第十三讲 逻辑推理二 例题1. 答案：阿弗洛狄忒 详解：假设法如果雅典娜是最美的，则阿弗洛狄忒说的也是真 话，矛盾；如果赫拉是最美的，则雅典娜说的也是真话，矛盾； 所以只能是阿弗洛狄忒说真话 例题2. 答案：三人去了爱丁堡、湖泊区和北威尔士 详解：用假设法，因为艾游只说了两句话，所以依次假设他说的 第一句话是谎话、第二句话是谎话即可 例题3. 答案：赵甲、钱乙、孙丙、吴己 详解：首先根据第四个条件来假设，如
14、果钱乙和孙丙不去，根据 第一个条件，赵甲必须去根据第二个条件，李丁不能去那么 孙丙和李丁都不去， 不满足第五个条件， 所以钱乙和孙丙都去了， 继续推理就可知去的是赵甲、钱乙、孙丙和吴己 例题4. 答案：110:104，雷霆胜 详解：综合条件，可以得到雷霆队得分组成的等差数列的公差只 能是 4 分，队员分别得分为 30、26、22、18、14，而热火队得分 为 22、22、21、20、19 例题5. 答案：由大到小依次为：雷婷、王萍、鹿哼和贺纯，鹿哼的搭 档是贺纯 详解：根据第二个条件可知，王萍的年龄可能排第一或者第二， 又根据第一个条件，可知鹿哼的年龄一定比王萍小结合第一个 和第三个条件，可知
15、鹿哼排第三，他的搭档是贺纯再根据第四 个条件，可知不可能王萍第一，雷婷第二 例题6. 答案：红色的 详解：张三在最后面，不知道自己帽子颜色，说明前面人的帽子 不都是蓝色的，否则张三就知道自己戴红帽子了此时李四听到 张三的话，已经知道了这个事实，但仍然不知道自己的帽子，说 明第一个人的帽子是红色的否则李四就知道自己戴的是红帽子 了所以迟哼听了李四的话就知道自己戴的是红帽子 练习1. 答案：笨笨 简答： 若懒懒说的真话， 则母猪说谎， 懒懒是公猪， 笨笨是母猪； 若笨笨说的是真话， 则说谎的是公猪， 笨笨是母猪， 懒懒是公猪 综 上所述，懒懒是公猪，笨笨是母猪 练习2. 答案：90 美元 简答：由
16、于鸡窝是三角形，三角形的三条边满足：两边之和大于 第三边只能是第一个条件是错的，并且只能为 40 美元因此农 夫一共花了 90 美元 练习3. 答案：C 和 D 简答：如果 A 得优，那么四人都得优，不满足条件，所以 A 不得 优类似方法可知 B 不得优，C、D 都得优 练习4. 答案：分别姓孙、李、赵和钱 简答：第一把赢钱的人一共输了 600 元，第二把赢钱的人一共输 了 200 元，第三把赢钱的人一共赢了 200 元，第四把赢钱的人一 共赢了 600 元 第四把赢钱的人不姓孙， 不姓钱， 只能姓赵和李 但 是李先生打牌前钱最多，如果他是第四把赢钱的人，打牌后他也 会是钱最多的人，这与打牌后丁的钱最多矛盾所以可知第四把 赢钱的人姓赵类似的也可以推断出第一把赢的人是甲那么乙 只能姓李，钱先生是丁 作业1. 答案：乙 简答：只有骗子才会说“我不是骗子” 作业2. 答案：乙 简答：用假设法逐个排除即可 作业3. 答案：乙甲丙丁 简答：用假设法即可 作业4. 答案：丙 简答：有一个全对，一个全错，这两个人没有相同的结果一定是乙和丙，那么甲就是 猜对两个的乙是全对的，丙是全错的 作业5. 答案：胖小姐 简答： 分别假设现在是上午和下午， 发现不管现在是上午还是下午， 姐姐一定是胖小姐
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