1、第十五讲 公约数与公倍数进阶 这一讲我们来继续学习有关约数与倍数更深入的知识 首先来看一下最大公约数、 最小 公倍数与原数之间的关系 两个数，如果它们的最大公约数是 k那么可以假设这两个数分别为、，其 中 a、b 互质 而它们的最小公倍数可以表示为 通过观察，我们发现由此可得： 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于两数乘积 注意，这个性质只在两个数的时候有效，如果数更多就不成立，同学们可以尝试举例说明 性质虽然好用，但它要求给出最大公约数，最小公倍数和两数中的一个才行如果只给 出最大公约数和最小公倍数，能不能把原来的两个数都求出来呢？ 例题 1 （1）两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是
2、18，最小公倍数是 216这两 个数是多少？ （2）若两个数的最大公约数是 18，最小公倍数是 1080这两个数有哪几组？ 分析分析 最大公约数是 18， 说明两个数都是 18 的倍数， 可以分别设为18a和18b， 且 a、 b 互质接下来，我们讨论一下 a、b 的取值 （1）两个互质的自然数的最小公倍数是 432求这两个数 （2）若两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是 45，最小公倍数是 900求这两个数 经过前面的例题，我们知道，如果知道两个数的最大公约数，就可以把这两个数表示出 来比如说两数的最大公约数是 12，那么这两个数都是 12 的倍数，可以设为 12a 和 12b， 而且 a
3、 和 b 互质那么这两个数的最小公倍数、和、差以及乘积就都可以用 a 和 b 表示出来 了 例题 2两个小于 150 的自然数的乘积是 2028，它们的最大公约数是 13，求这两个数 分析分析可以设两个数分别是13a和13b，且 a、b 互质 练 习 1 1 kakbkka b kab k b a 和 b 互质 k a kb ka 两个自然数的乘积是 288，它们的最大公约数是 6，求这两个数 例题 3两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果这两个数相差 18，那么较小的 数是多少？ 分析分析两个数的最大公约数是 6，我们可以假设这两个数是6a，6b，它们的最小公 倍数是6ab，那
4、么可知6ab等于 420那 a，b 可以取哪些值呢？相差 18 又怎么保障 呢？ 两个数的最大公约数是 10，最小公倍数是 300，如果这两个数相差 70，那么较小的数 是多少？ 约数与倍数的问题，最重要的就是分析清楚数的构成，最常用的方法就是分解质因数， 由此同学们可以看出分解质因数在数论问题中是多么的重要 例题 4甲、乙两个数的最小公倍数是 90，乙、丙两个数的最小公倍数是 105，甲、丙两个 数的最小公倍数是 126请问：甲数是多少？ 分析分析这道题只告诉了三个数中每两个数的最小公倍数，能否通过分解质因数，然后比较 它们质因数的构成来求解呢？ 三个正整数 a、 b、 c， 已知 a 与
5、b， a 与 c， b 与 c 的最小公倍数分别是 525， 28 和 300 那 么 a 的值是多少？ 例题 5有 4 个不同的自然数，它们的和是 1111它们的最大公约数最大是多少？ 分析分析 这 4 个数的最大公约数和 1111 有什么关系呢？根据前面的题目可知， 几个数的和， 一定是这几个数的最大公约数的倍数那么最大公约数可能是多少？ 练 习 4 4 练 习 3 3 练 习 2 2 之前在学习约数的时候， 我们学习过如果知道约数个数怎么去反求原数 有些题目里面， 利用约数个数反求原数和利用公约数公倍数反求原数都会用到 例题 6甲、乙是两个不同的自然数它们都只含有质因数 2 和 3，并且
6、都有 12 个约数它 们的最大公约数是 12请问：甲、乙两数之和是多少？ 分析分析甲、乙只含有质因数 2 和 3，且它们都是 12 的倍数，所以都是23 ab 的形式并 且它们都有 12 个约数，由约数个数公式可得 1112ab所以要把 12 拆成两个大 于 1 的数相乘，这只能是26或34我们可以把这样的数都写出来，从中选取符合题目 要求的数 亲和数 你能看出220和284之间有什么关系吗？ 大数学家毕达哥拉斯的回答是：220的约数除本身外为1，2，4，5，10，11， 20，22，44，55，110，它们的和为284；而284的约数除本身外为1，2，4，71， 142，它们的和为220。
7、这两个数，一个数的所有约数之和等于另一个数，我们称之为亲和数。 这对特殊的数还带着神秘的色彩。很多人相信，刻着这两个数字的护身符能 让佩带它的人们永葆完美的友情。假如其中一个人受到了伤害，即使只是被针扎 了一下， 远在地球另一边的伙伴也能感觉。 在魔法、 巫术、 占星和算命等活动中， 这对数扮演着重要的角色。 奇怪的是，以后再没发现新的亲和数。直到1636年，伟大的法国数论专家费 马才宣布17296与18416结成另一对亲和数。两年后，法国数学家、哲学家笛卡儿 发现了第三对。1747年，瑞士数学家欧拉系统研究了亲和数，推出了30对，然后 又扩充到60多对。 今天，我们已经知道900多对亲和数，
8、这些数对都有相同的奇偶性。如果它 们是奇数对，就都是3的倍数；如果是偶数对，它们的数字总和都是9的倍数。 作业1. 甲数是 36，甲、乙两数的最大公约数是 4，最小公倍数是 288，那么乙数是多少？ 作业2. 已知两个不成倍数关系的自然数的积为 240， 最小公倍数为 60， 那么这两个数分别 是多少？ 作业3. 两个数不成倍数关系， 它们的最大公约数是 8， 和是 80 那么这两个数分别是多少？ 作业4. 有 3 个不同的自然数，它们的和是 105，它们的最大公约数最大是多少？ 作业5. 甲、乙两数的最小公倍数是 60，乙、丙两数的最小公倍数是 70，甲、丙两数的最 小公倍数是 84，那么甲
9、数是多少？ 第十五讲 公约数与公倍数进阶 例题1. 答案： （1）54 和 72； （2）18 和 1080，72 和 270，54 和 360，90 和 216 详解： （1）设两个自然数分别是 18a 和 18b，那么 a 和 b 互质这两个自然数的最小公 倍数是 18ab，那么有18216ab ，12ab 考虑到这两个数不成倍数关系，a 和 b 应该 是 3 和 4，两个自然数分别是 54 和 72 （2）设这两个自然数分别是 18a 和 18b，然后 按照第（1）中的方法来做即可 例题2. 答案：39 和 52 详解：设这两个自然数分别是 13a 和 13b，那么有13132028ab
10、可解出 a 和 b 应该 是 3 和 4，两个自然数分别是 39 和 52 例题3. 答案：42 详解：设这两个自然数分别是 6a 和 6b，那么有6420ab ，6618ab（不妨设 a 比 b 大） 可解出10a ，7b ，较小的数是 42 例题4. 答案：18 详解： 2 902 35，105=3 57 ， 2 126=2 37 首先可知这三个数的质因数只有 2、 3、5、7而且甲中没有 7，没有 5；乙中没有 2，没有 7，3 最多有 1 个；丙中没有 2， 没有 5，3 最多有 1 个因为甲、乙的最小公倍数是 90，而乙中没有 2，最多有 1 个 3， 可以判断出甲中有 1 个 2，
11、2 个 3，甲是 18 例题5. 答案：101 详解： 这四个数的和一定是它们最大公约数的倍数 那么它们的最大公约数一定是 1111 的约数，可能是 1、11、101 和 1001又因为这四个数两两不同，它们的和至少是最大 公约数的123410倍最大公约数最大是 101 例题6. 答案：204 详解：最大公约数是 12，则两数中质因数 2 和 3 的最低次方分别为 2 和 1，又因为两数 有 12 的约数，利用约数个数反求法可得两数分解质因数形式为 23 23108， 5 2396 练习1. 答案： （1）16 和 27； （2）180 和 225 详解：（1） 可知两数乘积是 432， 只能
12、是 16 和 27；（2） 设两个自然数分别是 45a 和 45b， 然后列方程即可 练习2. 答案：6 和 48 详解：设这两个数分别是 6a 和 6b，然后列方程即可 练习3. 答案：30 详解：设两个数分别是 10a 和 10b，然后列方程即可 练习4. 答案：7 详解：参考例题 4 作业1. 答案：32 简答：乙数为42883632 作业2. 答案：12 和 20 简答：最大公约数是240604然后设两个数为 4a 和 4b 求解即可 作业3. 答案：24 和 56 简答：设两个数分别为 8a 和 8b，则有8880ab，10ab又因为这两个数不成倍 数关系，只能是 24 和 56 作业4. 答案：15 简答：要使 3 个数都不一样，那么它们的和至少是最大公约数的1236倍，而 1057 15，最大公约数最大只能是 15 作业5. 答案：12 简答：甲、乙两数的最小公倍数是 2 23 5 ，乙、丙两数的最小公倍数是2 5 7 ，甲、 丙两数的最小公倍数是 2 23 7 对比三个条件，可知甲数为 2 23 12
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