1、湘潭县一中湘潭县一中 2020 届高三届高三 5 月模拟考试数学月模拟考试数学试卷试卷（文科文科） 本试题卷共 6 页，23 题（含选考题） ，全卷满分：150 分，考试用时：120 分钟. 一、选择题一、选择题：共共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要 求的求的 1设复数 2000 1i zi i ，则| |z A5 B3 C2 D1 2已知全集2, 1,0,1,2U ，集合0,1,2A，集合2, 1,0,1B ，则集合 UA B A0,1 B2,2 C2, 1 D2,0,2
2、3已知平面向量a，b的夹角为60，| 2a ， 21aab ，则b A 5 2 B 3 2 C1 D2 4已知tan()3 4 ，则cos2 A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 1 3 5已知数列 n a满足： 12 1aa， 21nnn aaanN ，现从数列 n a的前 2020 项中随机抽取 1 项，则该项不能被 3 整除的概率是 A 1 4 B 1 3 C 2 3 D 3 4 6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为 22，则 k 可取的最小正整数为 A41 B6 C7 D42 7 瑞士数学家、 物理学家欧拉发现任一凸多面体 （即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体
3、中， 直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数 V棱数 E 及面数 F 满足等式2VEF，这个 等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几 何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由 m 块黑色正五边形面料和32m块白色正 六边形面料构成的则m A20 B18 C14 D12 8设函数 2 32 1,0 ( ) 13 21,0 32 xx f x xxxx ， 0.5 0.7af ， 0.5 0.8bf ， 0.7 log5cf，则 a， b，c 的大小关系是 Abca Bacb Ccab Dabc 9已知底面半径为 3 的圆锥 S
4、O 的体积为12若球 1 O在圆锥 SO 内，则球 1 O的表面积的最大值为 A9 B 9 2 C 32 3 D12 10在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，E 为 11 AD的中点，过点 ACE 的截面与平面 11 BDD B的 交线为 m，则异面直线 m 与 1 CC所成角的正切值为 A2 B 3 2 4 C 2 2 D 2 4 11已知 a、b、c 分别是ABC内角 A、B、C 的对边，sinsin3sinABC，coscos2aBbA， 则ABC面积的最大值是 A2 B2 2 C3 D2 3 12若不等式 l 2 n 22ln0 x xxa x 对于任意,)1x恒成
5、立，则 a 的取值范围是 A0, B 3 ,) 2 C(0,) D)1, 二、填空题二、填空题：本题共本题共 4 小题小题，每题每题 5 分分，满分满分 20 分分 13记等比数列 n a的前 n 项和为 n S，若 3 6 1 9 S S ，则 6 2 a a _ 14已知函数 2 ( )()lnf xxaxx的一个极值点为 1，则函数 yf x的最小值为_ 15如图，在ABC中，1ABBC， 4 ABD ，tan7CBD，则BD _ 16过双曲线 22 22 :1(0) 3 xy a aa 的右焦点 F 作斜率为 k 的直线交双曲线的右支于 MN 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于点
6、 P，则 | | PF MN _ 三、解答题三、解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 17-21 题为必考题题为必考题，每个试题考生每个试题考生 都必须作答都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一）必考题：60 分 17 （12 分） 桥牌是一种高雅、文明、竞技性很强的智力性游戏近年来，在中国桥牌协会“桥牌进校园”活动的 号召下， 全国各地中小学纷纷积极加入到青少年桥牌推广的大营中 为了了解学生对桥牌这项运动的兴趣， 某校从高一学生中随机抽取了 200 名学生进行调查，经统计男生
7、与女生的人数之比为 2：3，男生中有 50 人 对桥牌有兴趣，女生中有 20 人对桥牌不感兴趣 （1） 完成 22 列联表， 并回答能否有99%的把握认为 “该校高一学生对桥牌是否感兴趣与性别有关” ？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男 50 女 20 合计 200 （2）从被调查的对桥牌有兴趣的学生中利用分层抽样抽取 6 名学生，再从 6 名学生中抽取 2 名学生作 为桥牌搭档参加双人赛求抽到一名男生与一名女生的概率 附：参考公式 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 临界值表： 2 0 P KK 0.150 0.100 0.050 0.025
8、0.010 0 K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18 （12 分） 已知数列 n a的前 n 项和 * 23 nn San nN等差数列 n b的前 n 项和为 n G，且 10 90G ， 14 6bb （1）求 n a、 n b的通项公式； （2）设 3 , 3 , n n n a n c b n 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前 2n 项和 2n T 19 （2 分） 已知直三棱柱 111 ABCABC中，90BAC，且 1 ABACAA，点，E，F 分别为 1 AB， 1 CC， BC 中点 （1）求证：/ /DF平面 11 ACC A； （2）若2
9、AB ，求三棱锥EADF的体积 20 （12 分） 已知点(2 2,1)C在抛物线 2 2xpy上，过点0,4M的直线与抛物线交于 A，B 两点，又过 A，B 两 点分别作抛物线的切线，两条切线交于 P 点记直线 PA、PB 的斜率分别为 1 K和 2 K （1）求 12 KK的值； （2）PEPAPB， 1 2 PBPG，求四边形 PAEG 面积的最小值 21 （2 分） 已知 32 cos 11 ( )(1)1 22 fxxxxxx （1）求)(0f x 的解集； （2）求证， 2 lncos 1 2 xxx （二二）选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任
10、选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分）选修 4 一 4 极坐标与多数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 3 3 2 xat yat （t 为参数，aR） 在以坐标原点 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2 3 cos22 （1）若点 1(1, 3) A在直线 l 上，求线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知0a ，点 P 在直线 l 上点 Q 在曲线 C 上，且|PQ的最小值为 6 2 ，求 a 的值 23 （10 分）选修 4 一 5 不
11、等式选讲 已知函数( ) |1|2 1|f xxx，A 为不等式 3f x 的解集 （1）求集合 A； （2）已知 min ( )f xm，若a、b、c为正实数，且 1112 233 m abc ，求证： 2 1 993 abc 数学参考答案及解析数学参考答案及解析 一、选择题一、选择题（本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分） 1 【答案】D 【解析】 2 1010 2 1(1) ( )1 ii i zii ii ，得| | 1z 故选；D 2 【答案】C 【解析】全集2, 1,0,1,2U ，集合0,1,2A，1,0,1B ， 则 2, 1 UA ，
12、则集合 2, 1 UA B 故选；C 3 【答案】A 【解析】a，b的夹角为60，| 2a ，(2 )1aab ， 2 (2 )242| 1aabaa bb， 5 | 2 b 故选：A 4 【答案】B 【解析】 解： tan1 tan3 41tan ，解得 1 tan 2 ， 2 222 222 2 1 1( ) cossin1tan3 2 cos2 1 sincos1tan5 1( ) 2 ，故选：B 5 【答案】D 【解析】根据题意数列的项依次为 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，则第一项被 3 整 除的余数为 1，第二项被 3 整除的余数为 1，则第三项被 3
13、 整除的余数为 2，故其第四项可以被 3 整除. 同理，第五项被 3 整除的余数为 1，第六项被 3 整除的余数为 1，则第七项被 3 整除的余数为 2，故其第 八项可以被 3 整除. 依此类推，分析可得数列中第 4n 项（1n 且nZ）可以被 3 整除. 数列的前 2020 项中，有 505 项可以被 3 整数， 故现从数列的前 224 项中随机抽取 1 项，能被 3 整除的概率 5053 1 20204 P ； 故选：D 6 【答案】C 【解析】第一次进入循环后：3S ，2n 第二次进入循环后：8S ，6n 第三次进入循环后：22S ，42n 由于42n ，满足条件nk，6n ，不满足nk
14、， 所以正整数 k 的最小值为 7 故选：C 7 【答案】D 【解析】依题意，设足球顶点数 V棱数 E 及面数 F， 则3232Fmm， 每条棱被两个面公用，故棱数 56(32)192 22 mm E m ， 每个顶点 3 条棱公用，故顶点数 56(32)192 33 mm V m 所以由2VEF，得 192192 322 32 mm ， 解得12m故选：D 8 【答案】D 【解析】解：根据 f x的解析式可看出： f x在 R 上是增函数， 又 0.7 log70， 0.50.5 00.80.7 0.50.5 0.7 log50.80.7fff abc故选：D 9 【答案】A 【解析】由题意
15、知圆锥的高为 4，母线长为 5 设圆锥 SO 的轴截面为等腰SAB， 则球 1 O的体积最大时，球 1 O的轴截面是SAB的内切圆， 所以 11 () 22 SAB SABSASBSOABr， 解得： 3 2 r ， 所以球 1 O的表面积的最大值为 2 3 4 ( )9 2 . 故选：A. 10 【答案】D 【解析】如图所示，平面 ACE 可以延展为平面 ACEF，O， 1 O分别为上下底面中心， 11 GEFB D E，F 分别为 11 AD， 11 C D，的中点， G 为 11 DO的中点 则 1 GOO为异面直线 m、 1 CC所成角 1 1 1 1 2 2 4 tan 14 GO
16、GOO OO 故选：D 11 【答案】B 【解析】 cosc2osbaBA 222222 2 22 acbbca ab acbc 2c ，又6ab， 则问题可以转化为点 C 在椭圆 22 1 98 xy 上运动求焦点三角形的面积问题 故面积的最大值为2 2 故选 B 12 【答案】B 【解析】令 ln ln( )222,1,fxxxxa x x ， 1,)x，( )0f x 恒成立， 又 10f， 10f 2 21ln ( )2 ax f x xx 2 ln121 (1)2320 11 a fa 3 2 下面证明 3 2 a 时， 0f x ， 1,)x时恒成立 2 2 22 ) ln1 (
17、xax fx x x 令 2 ( )221 ln ,1,)g xxaxx x 1 ( )420,1,)g xxax x 2 1 ( )40,1,)gxx x ( )g x在1,)x上单调递增 142123g xgaa 当 3 2 a 时，230a ，即 0g x， g x在 1,)x上单调递增 1221 0230g xgaa 0fx， f x在,)1x上单调递增 ( )(1)0f xf，证毕 故所求 a 的范围是 3 ,) 2 故选 B 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分） 13 【答案】16 【解析】根据题意，等比数列 n a中
18、， 3 6 1 4 S S ，显然1q ， 故 3 5 63 6 111 119 Sq Sqq ，变形可得 3 8q ，2q 故 4 6 2 16 a q a ； 故答案为：16 14 【答案】0 【解析】 l2nf xxaxxa， 由题意可知， 110fa ，故1a 2 n1 llnf xxxxx xx， 当01x时，10x ，ln0x ，故 0f x 当1x 时，10x ，ln0x ，故 0f x 又 10f， min0f x. 故答案为：0 15 【答案】 2 3 【解析】 tan7CBD， 7 2 sin 10 CBD， 4 sin 5 ABC 又 ABCABDBCD SSS 2 14
19、127 2 1() 252210 BD 故 2 3 BD 16 【答案】1 【解析】设 1 :2 , MN lxmyc ca k m 联立 22 222224 22 1 20 3 xy ab myb cmyb aa xmyc 2 12 222 2b cm yy ab m ， 4 12 222 b yy ab m 故： 22 2 12 222 2(1) |1| | abm MNmyy ab m MN 中 22 222222 (,) a cb cm ab mab m 3 222 p x c ab m ， 22 3 222222 1 | b cm c PFc ab mab m ， 故 | 1 |2
20、PFc MNa 三、解答题三、解答题（共共 70 分分） 17 【答案】 （1） 感兴趣 不感兴趣 合计 男 50 30 80 女 100 20 120 合计 150 50 200 有 99%的把握认为对“桥牌是否感兴趣与性别有关” （2） 8 15 【解析】 （1）将数据填入表格里 感兴趣 不感兴趣 合计 男 50 30 80 女 100 20 120 合计 150 50 200 根据表格求出 2 2 200(5020 100 30)100 11.1116.635 80 120 150 509 k ； 故有 99%的把握认为对“桥牌是否感兴趣与性别有关” （2）由（1）知男生抽 2 人，女生
21、抽 4 人 男生分别记为 a，b，女生分别记为 C，D，E，F 可知所有的可能情况为： , a b，( ), a C，, a D，, a E，, a F，, b C，, b D，, b E，, b F，,C D，,C E， ,C F，,D E，,D F，,E F，共 15 种 其中一名男生与一名女生的结果有： , a C，, a D，, a E，, a F，, b C，, b D，, b E，, b F共 8 种 故所求的概率为 8 15 18 【答案】 （1）3 23,22 n nn abn （2） 212 2 12 22 33 n n Tn 【解析】 （1）解：由题意知， * 23 nn
22、San nN， 得 11 231 nn San ， 两式相减，得 1 23 nn aa ， 1 32(3) nn aa ，即 1 3 2 3 n n a a 且由 1111 23,3Saaa，得 1 36a ， 所以数列3 n a 是以 6 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 1 6 233 23 nn n a ， 又 n b为等差数列 10 90G ， 14 6bb， 所以 1 1 2918 236 bd bd ，解可得，2d ， 1 0b ， 数列 n b的通项公式为22 n bn （II）由（I）知， 3 , 3 , , n n n a n c b n 为奇数 为偶数 2 , 22,
23、n n nn 为奇数 为偶数 21234212nnn Tcccccc 1321 22262(42) n n 1321 (222)26(42) n n 212 2 2(42)222 122 n nn 212 12 22 33 n n 19 【答案】 （1）见解析（2） 1 2 E ADF V 【解析】 （1）连接 1 AB， 1 AC、直三棱柱 111 ABCABC中， 侧面 1 ABB A是平行四边形， ” 平行四边形对角线互相平分，D 是 1 AD中点， D 是 1 AB中点， 又 F 是 BC 中点， 1 / /DFAC， DF 平面 11 ACC A， 1 AC 平面 11 ACC A，
24、 / /DF平面 11 ACC A （2）ABC为等腰直角三角形，90BAC，ABAC， F 是 BC 中点，AFBC， 直三棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 平面 ABC，AF 平面 ABC， 1 BBAF， 1 BCBBB，AF 平面 11 BCC B， EF 平面 11 BCC B，AFEF 又 22 11 6BFBBBF， 22 3EFECCF， 22 1111 3B EBCC E， 222 11 B FEFB E， 1 B FEF 又 1 AFB FF，EF 平面 1 B AF EF 平面 ADF 1 3 E ADFADF VEF S ， 又3EF ， 1 113 242 A
25、DFAB F SSAF BF 131 3 322 E ADF V 20 【答案】 （1） 12 2KK （2）96 2 PAEG S 【解析】 （1）由题意设l的方程为4ykx， 由于点(2 2,1)C在抛物线 2 2xpy上，4p 抛物线的方程为 2 8xy 联立 2 4 8 ykx xy ，得8320xkx 2 ( 8 )4 ( 32)0k ， 设 1122 ,A x yB xy，则 12 32x x 设直线 PA，PB 的斜率分别为 1 k， 2 k， 对 2 8 x y 求导得 4 x y 1 1 4 x k ， 2 2 4 x k ， 1212 1 2 32 2 444416 PBP
26、A xxx x KKk k ， （2）解：由（1）可得直线 PA 的方程为 2 11 1 () 84 xx yxx 直线 PB 的方程为 2 22 2 () 84 xx yxx， 联立，得点 P 的坐标为 1212 (,) 28 xxx x 由（1）得 12 8xxk， 12 32x x 4 , 4Pk ， 于是 22 | 8 12ABkk 点 P 到直线 AB 的距离 2 2 4(2) 1 k d k ， 22 162(2) PAB Skk， 当 2 0k ，即0k 时，PAB的面积取得最小值32 2 又PEPAPB， 1 2 PBPG 1 / / 2 AEPG，故396 2 PAEGPAB
27、 SS 21 【答案】 （1）0 |1x xx或（2）见解析 【解析】 （1） 32 11 ( )(1)cos1 22 f xxxxxx 2 1 (1)cos(1)(1) 2 xxxxx 2 1 (1)cos1 2 xxx 令 2 1 ( )1cos 2 xg xx 则 sing xxx ， 1 cosgxx 由于 0gx恒成立 sing xxx 在 R 上递增 又 00 g ，当0x 时， 0g x； 当0x 时， 0g x 故 g（x）在(0),上递减，在(0,)上递增 min 00g xg，即 0g x 在 R 上恒成立 故 0f x 的解集是|01x xx或 （2）由知当0x ， 2
28、1 1s 2 co xx 故要证 2 lcos 1 n 2 xxx，只需证 22 11 1 22 ln xxx 只需证： 22 10l2nxxx，只需证： 2 ln 1 210 x x 令 2 ln 1 ( )21xh x x ， 则 33 222(1)(1) ( ) xx h x xxx 令 0h x，则1x ，令 0h x则01x， 故 g x在0,1上递减，在(1,)上递增 min ( )(1)0h xh，即 0h x 在(0,)上恒成立 故命题得证 22 【答案】 （1）直线 l 的直角坐标方程32 30xy 曲线 C 的直角坐标方程 2 2 1 3 y x （2）2a 【解析】 （1
29、）直线 l 的参数方程为 1 2 3 3 2 xat yat （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 3 3 ya xa ， 整理得：32 30xya. 点(1, 3)A直线 l 上， 所以把点(1, 3)A代入直线的参数方程，解得1a 所以 1 1 2 3 3 2 xt yt ， 转换为直角坐标方程为32 30xy 曲线 C 的极坐标方程为 2 3 cos22 转换为直角坐标方程为： 2 2 1 3 y x （2）联立 2 2 22 1 244103 32 30 y x xaxa xya ， 由0 得： 2 2 a 或 2 2 a ， 又0a ， 2 2 a 曲线 2 2 :1 3 y C x
30、 转换为参数方程为 cos 3sin x y （为参数） 故设(cos , 3sin )p 所以： 2 6sin2 3 |3cos3sin2 3 |4 | 2 ( 3)1 a a PQ 所以当sin()1 4 时， min |62 3 |6 | 22 a PQ ， 解得：0或2a ， 又 2 2 a ，2a 23 【答案】 （1）1|1Axx （2）见解析 【解析】解： （1）( ) |1|21| 3f xxx 当1x 时， 1 213f xxxx ， 由33x解得1x ，x； 当 1 1 2 x 时， 1 212f xxxx ， 23x，解得1x ， 1 1 2 x ； 当 1 2 x 时，1213( )xxxfx ， 由33x ，解得1x ， 1 1 2 x 综上，( )3f x 的解集 | 11Axx （2）易得 min 113 ( )min( 1), 222 f xfff ， 3 2 m， 故 111 1 23abc ，又a、b、c为正实数， 故 111 223(23 ) 23 abcabc abc 2233 3 2332 aabbcc bcacab 2323 332229 2332 abacbc bacacb 当且仅当23abc， 即3a ， 3 2 b ，1c 等号成立 23 1 999 bc ，即 2 1 993 abc
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