1、陕西省陕西省 2020 届高三年级第三次联考届高三年级第三次联考理科数学理科数学试卷试卷 一、选择题 1全集U R，集合 ln1Ax yx， 2 48By yxx，则 U AB（ ） A1,2 B1,2 C1,2 D1,2 2已知复数 5 1 i z i （i为虚数单位） ，则在复平面内z所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量2, 1a ，6,bx，且/a b，则ab（ ） A5 B2 5 C5 D4 4已知二项式 2 012 1 n n n xaa xa xa x，且 1 6a ，则 012n aaaa（ ） A128 B127 C64 D63 5某市
2、在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和一带一路 ”的学习征文， 收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图又已知全市高一年级共交稿 2000 份，则高三年级的 交稿数为（ ） A2800 B3000 C3200 D3400 6已知点,0a ba b 在直线240xy上，则 12 ab 的最小值为（ ） A6 B4 C3 D2 7设a，b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A若a，b与所成的角相等，则/a b B若/a，/b，/ ，则/a b C若a，b，/a b，则/ D若a，b，则ab 8抛物线 2 4yx的焦点为F，点3,2A，P为抛物线
3、上一点，且P不在直线AF上，则PAF周长 的最小值为（ ） A4 B5 C42 2 D52 2 9若关于x的不等式 2 1cos2cos0 3 xx在R上恒成立，则实数a的最大值为（ ） A 1 3 B 1 3 C 2 3 D1 10若函数 32 1yxxmx是R上的单调递增函数，则实数m的取值范围是（ ） A 1 , 3 B 1 , 3 C 1 , 3 D 1 , 3 11 设 1 F、 2 F是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、 右焦点，P为双曲线右支上一点， 若 12 90FPF， 2c ， 2 1 3 PF F S ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A2yx B2yx
4、 C 3 3 yx D3yx 12已知函数 yf x是定义在R上的偶函数，当,0x 时， f x为减函数，若 a 0.3 2af， 1 2 log 4bf ， 2 log 5cf，则a，b，c的大小关系是（ ） Aabc Bcba Ccab Dacb 二、填空题 13 某商店为调查进店顾客的消费水平， 调整营销思路， 统计了一个月来进店的 2000 名顾客的消费金额 （单 位： 元） ， 并从中随机抽取了 100 名顾客的消费金额按0,50，50,100，100,150，150,200，200,250 进行统计，得到如图所示的频率分布直方图已知a，b，c成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超
5、 过 150 元的顾客数量约为_ 14已知函数 53 8f xaxbxcx，且210f ，则函数 2f的值是_ 15甲船在岛B的正南处，6kmAB，甲船以每小时4km的速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以 每小时3km的速度向北偏东 60的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_km 16已知正方体 1111 ABCDABC D的梭长为 2，M为 1 CC的中点若AM 平面，且B平面，则 平面截正方体所得截面的周长为_ 三、解答题 （一）必考题 17记数列 n a的前n项和为 n S，已知点, n n S在函数 2 2f xxx的图像上 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 2 n
6、nn b a a ，求数列 n b的前 9 项和 18某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响该公 司对近 5 年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x（万元）和年销售量y（单位：t）具 有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值 x（万元） 2 4 5 3 6 y（单位：t） 25 4 45 3 6 （1）根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程； （2） 已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 2 0.051.85zyx， 根据 （1） 中的结果回答下列问题： 当年宣传费为 10 万元时，年销售量及年利润
7、的预报值是多少？ 估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大 附 ： 问 归 方 程 ybxa中 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 1111 11 2 2 2 11 11 nn ii nn ii x ynxyxxyy b xnxxx ， a ybx 参考数据： 11 1 88.5 S i x y ， 2 1 1 90 S i x 19如图所示，平面BCD平面ABD，BCD为直角三角形，BD的中点为E，AB中点为F， 5ABAD，2BD ，BCCD （1）求证：ACBD； （2）求直线AC与平面CDF所成角的正弦值 20已知函数 1 l
8、nf xax x ，aR （1）求 f x的极值； （2）若方程 2ln20f xxx有三个解，求实数a的取值范围 21已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率 3 2 e ， 0, 2是椭圆C上一点 （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l的斜率为 1 2 ，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点2,1A 是 椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明 理由 （二）选考题 22选修 44：坐标系及参数方程 已知直线l的参数方程为 1 4 2 3 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的非负半
9、轴为极轴建立极坐标 系，曲线C的极坐标方程为2cos （1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程； （2）若直线 6 R与曲线C交于点A（不同于原点） ，与直线l交于点B求AB的值 23选修 45，不等式选讲 已知函数 221f xxx （1）解不等式 6f x ； （2）1,2x ，使得不等式 2 f xxa成立，求实数a的取值范围 陕西省陕西省 2020 届高三年级第三次联考理科数学参考答案届高三年级第三次联考理科数学参考答案 一、 1A（ 2 2 48242By yxxy yx，2 UB y y， ln11Ax yxx x，1,2 U AB 故应选 A ） 2A（ 51546 23
10、 1112 iiii zi iii ，则在复平面内z所对应的点为2,3，在第一象限 故应选 A ） 3B（由题得260x3x ， 4,2ab ， 2 2 422 5ab 故应选 B ） 4C（由题意，二项式1 n x展开式的通项为 1 rn r rn TC x ， 令1rn，可得 1n nn TCx ，即 1 6 n n C 解得6n 令1x ，则 6 012 264 n aaaa 故应选 C ） 5D（高一年级交稿 2000 份在总交稿数中占比 802 3609 ，所以总交稿数为 2 20009000 9 高二年级 交稿数占总交稿数的 1442 3605 ， 所以高三年级交稿数占总交稿数的
11、2217 1 5945 ， 所以高三年级交稿数为 17 90003400 45 故应选 D ） 6D（由题意知24ab，所以 121 12141 22242 42 444 ba ab ababab 当且仅当 4ba ab ，即 1 2 a b 时，等号成立 故应选 D ） 7D（A 项中两直线a，b还可能相交或异面，错误； B 项中两直线a，b还可能相交或异面，错误； C 项两平面，还可能是相交平面，错误 故应选 D ） 8C（由抛物线为 2 4yx可得焦点坐标1,0F，准线方程为1x 由题可知求PAF周长的最小值即求PAPF的最小值 设点p在准线上的蛇影为点D则根据抛物线的定义可知PFPD
12、因此求PAPF的最小值即求PAPD的最小值 根据平面几何知识，当P、A、D三点共线时，PAPD最小 所以 min 13 14 A PAPDx 又因为 22 3 1202 2AF ， 所以PAF周长的最小值为42 2 故应选 C ） 9B（ 22 22541 cos2cos12cos1coscoscos 33333 xaxxaxxax 2 54cos3 cosxax令costx，则 1 ,1t ，则问题转化为不等式 2 4350tat在 1,1 上恒 成立，即 350 4350 aa a ，解得 11 33 a，则实数a的最大值为 1 3 故应选 B ） 10C（ 2 32yxxm ，由题意 2
13、 320xxm恒成立4 120m ， 1 3 m 故应选 C ） 11D（由题意可得 22 12 12 16 1 3 2 PFPF PF PF ， 2 12 4PFPF， 可得 12 22PFPFa，可得1a ， 22 213b ， 可得渐近线方程为3yx 故应选 D ） 12B（函数 yf x是定义在R上的偶函数，当,0x 时， f x为减函数， f x 在0,为增函数， 1 2 log 122bfff ， 0,1 2 122log 5，cba 故应选 B ） 二、 13600（a，b，c，2bac， 又由频率分布直方图可得 1 10.0020.006500.012 50 abc ，0.00
14、1b 故消费金额超 过 150 元的频率为0.002500.3b故该商店这一个月来消费金额超过 150 元的顾客数量约为 2000 0.3600 ） 146（令 53 8g xf xaxbxcx ， 33 gxaxbxcxg x， g x为奇函数， 22282ggf 又 228gf， 26f ） 15 9 39 13 （假设经过x小时两船相距最近， 甲、 乙分别行至C，D 如图所示， 可知64BCx ，3BDx， 120CBD， 2 2222 1 2cos6492 643 2 CDBCBDBCBDCBDxxxx 2 133036xx 当 15 13 x 小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为 9
15、 39 km 13 ） 163 22 5（显然在正方体中BD 平面 11 ACC A，所以BDAM， 取AC中点E，取AE中点O，则 1 tantanAOAAMC， 1 AOAM， 取 11 AC中点 1 E，取 11 AE中点 1 O过 1 O作 11 /PQ B D，分别交 11 AB， 11 AD于P，Q， 从而AM 平面BDQP，四边形BDQP为等腰梯形，周长为 2 2 2221 23 22 5 ） 三、 17 （1）由题意知 2 2 n Snn 当2n时， 1 21 nnn aSSn ； 当1n 时， 11 3aS适合上式 所以21 n an （2） 1 2211 21 232123
16、 n nn b a annnn 则 129 1111111162 35571921321217 bbb 18 （1）由题意 24536 4 5 x ， 2.54.5436 4 5 y ， 2 1 2 22 1 88.55 4 0.85 905 4 n ii i n i i x ynxy b xnx ， 40.85 40.6aybx， 0.850.6yx （2）由（1）得 22 0.051.850.050.851.25zyxxx ， 当10x 时，0.85 100.69.1y， 2 0.05 100.85 10 1.252.25z 即当年宣传费为 10 万元时，年销售量为 9.1，年利润的预报值
17、为 2.25 令年利润与年宣传费的比值为w，则 1.25 0.050.850wxx x ， 1.251.25 0.050.850.050.85wxx xx 1.25 2 0.0580.850.35x x 当且仅当 1.25 0.05x x 即5x 时取最大值故该公司应该投入 5 万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费 的比值最大 19 （1）BD的中点为E，ABAD，BCCD， BDAE，BDCE， 又AECEE， BD平面ACE，而AC 平面ACE，ACBD （2）平面BCD平面ABD，BDCE，平面BCD平面ABDBD， CE平面ABD，又AE 平面ABD， CEAE， 分别以EA，EB，E
18、C为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， CEBDBEDE，BCD是直角三角形，CBCD 1 1 2 CEBD，2AE ， 0,0,0E ，2,0,0A，0,1,0B，0, 1,0D，0,0,1CF是AB中点， 1 1,0 2 F ，2,0,1AC ， 3 1,0 2 DF ，0,1,1DC ， 设平面DCF的法向量为, ,nx y z，则 3 0 2 0 n DFxy n DCyz ，令2y ，则3x ，2z ， 3,2, 2n ， cosn， n AC AC n AC 222 22 322 021 32220 1 4 85 85 ， 直线AC与平面CDF所成角的正弦值为 4 85 85
19、 20 （1） f x的定义域为0,， 22 111a x fxa xxx ， 当0a 时， f x在0,1上递减，在1,上递增，所以 f x在1x 处取得极小值a， 当0a 时， 0f x ，所以无极值， 当0a时， f x在0,1上递增，在1,上递减，所以 f x在1x 处取得极大值a （2）设 2ln2h xf xxx ，即 2 21 ln2 a h xaxx x ， 2 212 1 aa h x xx 2 2 212xaxa x 2 12 0 xxa x x 若0a，则当0,1x时， 0h x， h x单调递减，当1,x时， 0h x， h x单调递 增， h x至多有两个零点 若 1
20、 2 a ，则 0,x， 0h x （仅 10 h ） h x单调递增， h x至多有一个零点 若 1 0 2 a，则021a ，当 0, 2xa 或1,x时， 0h x， h x单调递增；当 2 ,1xa 时， 0h x， h x单调递减，要使 h x有三个零点，必须有 20 10 ha h 成立 由 10h，得 3 2 a ，这与 1 0 2 a矛盾，所以 h x不可能有三个零点 若 1 2 a ，则21a当 0,1x 或2 ,xa 时， 0h x， h x单调递增；当1, 2xa 时， 0h x， h x单调递减，要使 h x有三个零点，必须有 10 20 h ha 成立， 由 10h，
21、得 3 2 a ，由221ln210haaa 及 1 2 a ，得 2 e a ， 3 22 e a 并且，当 3 22 e a 时， 2 01e， 2 2ea ， 22222 42242h eea eee e 4 1 50e ， 22222222 22326370h eea eeeeee 综上，使 h x有三个零点的a的取值范围为 3 , 22 e 21 （1）由题意知2b， 又离心率 3 2 e ，所以 2 3 3 ac， 于是有 222 2 2 3 3 b ac abc ， 解得2 2a ，2b 所以椭圆C的方程为 22 1 82 xy ； （2）由于直线l的斜率为 1 2 可设直线l的
22、方程为 1 2 yxt，代入椭圆 22 :48C xy，可得 22 2240xtxt 由于直线l交椭圆C于P、Q两点，所以 22 44 240tt， 整理解得22t 设点 11 ,P x y、 22 ,Q x y，由于点P与点E关于原点对称，故点 11 ,Exy，于是有 12 2xxt ， 2 12 24x xt 设直线AE与AQ的斜率分别为 AE k， AQ k，由于点 2,1A ， 则 21 21 11 22 AEAQ yy kk xx 1221 21 2121 22 xyxy xx ， 又 11 1 2 yxt， 22 1 2 yxt 于是有 122121122112 212124xyx
23、yyyx yx yxx 2 211212121212 4424240xxx xtxtxxxx xt xxttt ， 故直线AE与AQ的斜率之和为 0，即0 AEAQ kk 22 （1）2cos， 2 2 cos， 曲线C的直角坐标方程为 22 20xyx 直线l的参数方程为 1 4 2 3 2 xt yt （t为参数） 34 3xy 直线l的极坐标方程为3 cossin4 3 （2）将 6 代入曲线C的极坐标方程2cos得3， A点的极坐标为3, 6 将 6 代入直线l的极坐标方程得 31 4 3 22 ，解得4 3 B点的极坐标为4 3, 6 3 3AB 23 （1） 6f x 可化为2216xx 2 336 x x 或 12 56 x x 或 1 336 x x ， 分别解得23x或12x 或无解 所以不等式的解集为1,3 （2）由题意： 22 5f xxaaxx ，1,2x 设 2 5g xxx ，要想1,2x ， 2 f xxa成立，只需 maxag x， 2 119 24 g xx ， g x 在1,2上单调递增， max 27g xg， 7a ，a的取值范围为,7
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