1、2020 年高考数学三模试卷（文科）年高考数学三模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 Ax|x25x4，集合 Bx|x0，则 A（RB）（ ） A（1，0） B（1，4） C（1，4） D（0，4） 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足（1i）（z+i）1，则 z（ ） A B C1i D1+i 3已知双曲线 的离心率为 2，则实数 m 的值为（ ） A4 B8 C12 D16 4已知直线 l，m，平面 ，若 m，则“lm”是“l”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率
2、，环比增长率一般是指和 前一时期相比较的增长率.2020 年 2 月 29 日人民网发布了我国 2019 年国民经济和社会发 展统计公报图表，根据 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的 是（ ） A2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比有涨有跌 B2019 年我国居民每月消费价格中 2 月消费价格最高 C2019 年我国居民每月消费价格逐月递增 D2019 年我国居民每月消费价格 3 月份较 2 月份有所下降 6已知数列an的前 n 项和为 Sn若数列Sn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 a2020 （ ） A2019 B2020 C2201
3、8 D22019 7已知向量 ， ， ， ，若 ，则 （ ） A（2，4） B（2，4） C（2，4） D（2，0） 8已知 ，则 sin2（ ） A B C D 9已知函数 f（x）是一次函数，且 ff（x）2x3 恒成立，则 f（3）（ ） A1 B3 C5 D7 10已知函数 f（x）sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示有下列四个 结论： ； f（x）在 ， 上单调递增； f（x）的最小正周期 T； f（x）的图象的一条对称轴为 其中正确的结论有（ ） A B C D 11足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”汉代蹴鞠是训练士兵的手 段，制定了较为完备的体制如专门设置
4、了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设 六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守比赛分为两队，互有攻守，以踢 进对方鞠室的次数决定胜负.1970 年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计， 所以每一 次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准自 1970 年起，世界杯官方用球选 择了三十二面体形状的足球，沿用至今如图，三十二面体足球的面由边长相等的 12 块正五边形和 20 块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体现用边长为 4.5cm 的上述 正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似 看成是由 4 个正六边形与 4 个正五边形以及 2 条正六边形的
5、边所构成的图形的对称轴截 图形所得的线段 AA，如图，则该足球的表面积约为（ ） 参考数据：tan723.08， ，3.14，67.8624604.98 A366.64cm2 B488.85cm2 C1466.55cm2 D5282.40cm2 12已知函数 f（x） ， ， ，若函数 g（x）x+m（m0）与 yf（x） 的图象相交于 A，B 两点，且 A，B 两点的横坐标分别记为 x1，x2，则 x1+x2的取值范围 是（ ） A ， B ， C ， Dlog23，3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13函数 f（x）ex sinx 在点（0，f（0）处的切线
6、方程是 14已知等差数列an的前 n 项和为 Sn若 a336，an26，Sn126，则 n 15某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机抽取国内、国外各 100 名客 户代表，了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度，得到如图所示的等高条形图， 则 （填“能”或“不能”）有 99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异 有关 P（K2k） 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 附 16已知点 ， ，M，N 是椭圆 上的两个动点，记直线 PM，PN，MN 的斜 率分别为 k1，k2，k，若 k1+k20，则 k 三、
7、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17如图所示，ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 （1）求 A； （2）若点 P 是线段 CA 延长线上一点，且 PA3，AC2， ，求 PB 18随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷 移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一随着人们消费 观念的进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出 世蚂蚁
8、花呗这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时 也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求为了调查使用蚂 蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每 个年龄段的注册用户中各随机抽取 100 人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数 百分比如图所示 （1）由大数据可知，在 18 到 44 岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比 y 与年龄 x 成线 性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求 所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比 y 与年龄 x 的线性回归方程（回归直线方程的 斜率和截距保留两位
9、有效数字）； （2）该网站年龄为 20 岁的注册用户共有 2000 人，试估算该网站 20 岁的注册用户中使 用花呗“赊购”的人数； （3）已知该网店中年龄段在 1826 岁和 2735 岁的注册用户人数相同，现从 18 到 35 岁之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取 8 人，再从这 8 人中简单 随机抽取 2 人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在 18 到 26 岁 的概率 参考答案： ， 19如图所示七面体中，AA1BB1DD1，AA1平面 ABED，平面 A1B1C1D1平面 ABED， 四边形 A1B1C1D1是边长为 2 的菱形，D1A1B160
10、，AA12A1B14BE，M，N 分别为 A1D，BB1的中点 （1）求证：MN平面 C1DE； （2）求三棱锥 MC1DE 的体积 20已知函数 f（x）alnx+x23x+k （1）当 a0 时，求函数 f（x）的极值点； （2）当 a1 时，对任意的 ， ，f（x）0 恒成立，求实数 k 的取值范围 21如图，设抛物线 C1：x24y 与抛物线 C2：y22px（p0）在第一象限的交点为 M（t， ），点 A，B 分别在抛物线 C2，C1上，AM，BM 分别与 C1，C2相切 （1）当点 M 的纵坐标为 4 时，求抛物线 C2的方程； （2）若 t 1，2，求MBA 面积的取值范围 （二
11、）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数， ）在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 cos22cos2sin2设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知点 P（0，1），求 的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|+|x|，x R （1）若不等式 f（x）m2对x R 恒成立，求实数 m 的
12、取值范围； （2） 若 （1） 中实数m 的最大值为t， 且a+b+ct （a， b， c均为正实数） 证明： 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|x25x4，集合 Bx|x0，则 A（RB）（ ） A（1，0） B（1，4） C（1，4） D（0，4） 【分析】先求出集合 A，以及 B 的补集，即可求出结论 解：因为 Ax|x25x4x|1x4， 集合 Bx|x0RBx|x0， 则 A（RB）x|1x4， 故选：C 【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考
13、查了计算 能力，属于基础题 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足（1i）（z+i）1，则 z（ ） A B C1i D1+i 【分析】利用（1i）（z+i）1，求得 z ，化简选出正确选项 解：由（1i）（z+i）1，可得 z ， 故选：A 【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题 3已知双曲线 的离心率为 2，则实数 m 的值为（ ） A4 B8 C12 D16 【分析】由已知结合双曲线的离心率列式求解 m 值 解：由题意，m0，其 a2，b ， 又 e ， 解得 m12 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查两向量的求法，是基础题 4已知直线 l，m，平面 ，若 m，则“lm
14、”是“l”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】若 m，则“l”，则 lm，反之不成立，即可判断出结论 解：若 m，则“l”，则 lm，反之不成立， “lm”是“l 的必要而不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题 5在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和 前一时期相比较的增长率.2020 年 2 月 29 日人民网发布了我国 2019 年国民经济和社会发 展统计公报图表，根据 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确
15、的 是（ ） A2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比有涨有跌 B2019 年我国居民每月消费价格中 2 月消费价格最高 C2019 年我国居民每月消费价格逐月递增 D2019 年我国居民每月消费价格 3 月份较 2 月份有所下降 【分析】由月度同比，环比增长曲线表示的实际意义，直接判断 解：因为月度同比指数全正，所以 2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比全 涨，A 错； 2 月环比最大，但 7 月到 11 月环比一直在增加，则 11 月，12 月消费价格最高，B 错； 环比有负，则消费价格有涨有跌，C 错，D 符合题意，正确 故选：D 【点评】本题考查折
16、线图表示的实际意义，考查学生的识图能力，属于基础题 6已知数列an的前 n 项和为 Sn若数列Sn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 a2020 （ ） A2019 B2020 C22018 D22019 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得 Sn12n12n1，又由 a2020S2020 S2029，代入数据计算可得答案 解： 根据题意， 数列an的前 n 项和为 Sn 若数列Sn是首项为 1， 公比为 2 的等比数列， 则 Sn12n12n1， 则 S202022019，S201922018，则 a2020S2020S2029220192201822018， 故选：C 【点评】
17、本题考查等比数列的通项公式，注意 sn与 an的关系，属于基础题 7已知向量 ， ， ， ，若 ，则 （ ） A（2，4） B（2，4） C（2，4） D（2，0） 【分析】根据 可得 m2，带入计算即可 解： （1，0）（2m，2+m）2m0，解得 m2， 所以 （0，4）， 则 （2，0）（0，4）（2，4）， 故选：A 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题 8已知 ，则 sin2（ ） A B C D 【分析】由已知利用两角差的正弦函数公式可得 sincos ，两边平方，利用同角 三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解 解： ， sin cos ，sincos ，
18、两边平方，可得：sin2+cos22sincos ，可得 1sin2 ， sin2 故选：D 【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的 正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 9已知函数 f（x）是一次函数，且 ff（x）2x3 恒成立，则 f（3）（ ） A1 B3 C5 D7 【分析】根据题意，分析可得 f（x）2x 是一个常数，设 f（x）2xt，则 f（x）2x+t， 据此可得 f（t）2t+t3，解可得 t 的值，即可得 f（x）的解析式，将 x3 代入函数的 解析式计算可得答案 解：根据题意，函数 f（x）是一次函数，且 ff（x）2
19、x3 恒成立，则 f（x）2x 是一 个常数， 设 f（x）2xt，则 f（x）2x+t， 则有 f（t）2t+t3，解可得 t1， 则 f（x）2x+1，则 f（3）23+17； 故选：D 【点评】本题考查函数解析式的计算，涉及函数值的计算，属于基础题 10已知函数 f（x）sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示有下列四个 结论： ； f（x）在 ， 上单调递增； f（x）的最小正周期 T； f（x）的图象的一条对称轴为 其中正确的结论有（ ） A B C D 【分析】求出函数的解析式，然后判断函数的单调性，函数的周期，对称轴，以及初相， 判断命题的真假即可 解：由题意可知：x0，y ；
20、x ，y0， 结合五点法作图可得：0+ ，所以 ，所以不正确； ，可得 2，所以函数的周期为 ，所以正确； 函数的解析式为： f （x） sin （2x ） ， 可得 ， 解得 x ， 是函数 的单调增区间，所以正确 时，f（x）1，所以 f（x）的图象的一条对称轴为 ，不正确； 故选：A 【点评】本题考查命题的真假的判断，涉及三角函数的化简解析式的求法，函数的对称 性，函数的周期等基本知识，是中档题 11足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”汉代蹴鞠是训练士兵的手 段，制定了较为完备的体制如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设 六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由
21、一人把守比赛分为两队，互有攻守，以踢 进对方鞠室的次数决定胜负.1970 年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计， 所以每一 次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准自 1970 年起，世界杯官方用球选 择了三十二面体形状的足球，沿用至今如图，三十二面体足球的面由边长相等的 12 块正五边形和 20 块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体现用边长为 4.5cm 的上述 正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似 看成是由 4 个正六边形与 4 个正五边形以及 2 条正六边形的边所构成的图形的对称轴截 图形所得的线段 AA，如图，则该足球的表面积约为（ ）
22、 参考数据：tan723.08， ，3.14，67.8624604.98 A366.64cm2 B488.85cm2 C1466.55cm2 D5282.40cm2 【分析】先由图求出圆的周长，利用球的面积公式可求出该足球的表面积 解：如图，在正五边形中，内角为 108，边长为 4.5， AC24.52+4.5224.54.5cos1084.52（2+2cos72）53.02， AB2AC2BC248，解得 AB ， 在正六边形中，内角为 120，边长为 4.5， 大圆的周长为 67.86， 设球半径为 R，则 2R67.86，R ， 球的表面积为 S4R24（ ）21466.55 故选：C
23、【点评】本题考查球的表面积公式，以传统文化为背景，综合余弦定理等等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 12已知函数 f（x） ， ， ，若函数 g（x）x+m（m0）与 yf（x） 的图象相交于 A，B 两点，且 A，B 两点的横坐标分别记为 x1，x2，则 x1+x2的取值范围 是（ ） A ， B ， C ， Dlog23，3 【分析】由题意画出图形，不妨设 x1x2，可得 x 11，1x2 ，由不等式的可 加性得答案 解：在同一坐标系内作出函数 f（x）与 g（x）的图象如图， 由 x1 时，y ， 且 y 的图象与 y 的图象关于 yx 对称， 不妨设 x1x2， 可得 x 11，
24、1x2 利用同向不等式相加，可得 x1+x2的取值范围是 ， 故选：B 【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13函数 f（x）ex sinx 在点（0，f（0）处的切线方程是 yx 【分析】先求出 f（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出 在 x0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 解：f（x）ex sinx，f（x）ex（sinx+cosx）， f（0）1，f（0）0， 函数 f（x）的图象在点 A（0，0）处的切线方程为 y01（x0）， 即
25、 yx 故答案为：yx 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 14已知等差数列an的前 n 项和为 Sn若 a336，an26，Sn126，则 n 6 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出 解：a336，an26，Sn126， 126， 则 n6 故答案为：6 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 15某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机抽取国内、国外各 100 名客 户代表，了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度，得到
26、如图所示的等高条形图， 则 能 （填“能”或“不能”）有 99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异 有关 P（K2k） 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 附 【分析】根据题目所给的数据填写 22 列联表，再计算 K 的观测值 K2，对照题目中的 表格，得出统计结论 解：根据题目所给数据得到如下 22 的列联表： 乐观 不乐观 总计 国内代表 60 40 100 国外代表 40 60 100 总计 100 100 200 则 K 的观测值：K2 86.635 所以有 99%的把握认为认为是否持乐观态度与国内外差异有关， 故
27、答案为：能 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题 目 16已知点 ， ，M，N 是椭圆 上的两个动点，记直线 PM，PN，MN 的斜 率分别为 k1，k2，k，若 k1+k20，则 k 【分析】设直线 MN 的方程，与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线 PM，PN 的斜率，由题意两条直线的斜率之和为 0，可得 k 的值 解：设 M（x1，y1），N（x2，y2），设直线 MN 的方程为 ykx+b， 联立直线 MN 与椭圆的方程可得： ，整理可得（2+k 2）x2+2kbx+b220， 所以4k2b24（2+k2）（b22）0，可得 b2k2+2，
28、x1+x2 ，x 1x2 ， 由题意可得 k1+k2 0， 即 2kx1x2+ （b1 k） （x1+x2） （b1） 0， 所以 2k （b1 ） （b1）0， （k ）（2b 2）0， 解得 k ， 故答案为： 【点评】本题考查直线与椭圆的综合及椭圆的性质，属于中档题 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17如图所示，ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 （1）求 A； （2）若点 P 是线段 CA 延长线上一点
29、，且 PA3，AC2， ，求 PB 【分析】 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，结合 sinC0，可求 ，结合范围 A （0，），可得 A 的值 （2）由（1）利用三角形的内角和定理可求 ，由题意可得 ABAC2，进而在 PAB 中由余弦定理可求 PB 的值 解：（1）由条件， ， 则由正弦定理可得， ， 所以 ，即 ， 又 sinC0， 所以 ， 由 A （0，），可得 （2）由（1）可知， ，而 ，则 ， 所以 ABAC2， 在PAB 中， ， 由余弦定理， PB 2PA2+AB22PAABcosPAB9+467 所以 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等
30、变换的应用，余弦定理在解三角形中 的综合应用考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷 移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一随着人们消费 观念的进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出 世蚂蚁花呗这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时 也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求为了调查使用蚂 蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每 个年龄段的注册用户中各随机抽取 100 人，得到各年龄段
31、使用蚂蚁花呗“赊购”的人数 百分比如图所示 （1）由大数据可知，在 18 到 44 岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比 y 与年龄 x 成线 性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求 所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比 y 与年龄 x 的线性回归方程（回归直线方程的 斜率和截距保留两位有效数字）； （2）该网站年龄为 20 岁的注册用户共有 2000 人，试估算该网站 20 岁的注册用户中使 用花呗“赊购”的人数； （3）已知该网店中年龄段在 1826 岁和 2735 岁的注册用户人数相同，现从 18 到 35 岁之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方
32、法随机抽取 8 人，再从这 8 人中简单 随机抽取 2 人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在 18 到 26 岁 的概率 参考答案： ， 【分析】（1）利用已知条件求出回归直线方程的向量与截距，得到回归直线方程 （2）求出该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比，即可估计该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数 （3）按分层抽样，8 人中年龄为 18 到 26 岁的有 5 人，记为 A，B，C，D，E，年龄为 27 到 35 岁的有 3 人，记为甲，乙，丙，从 8 人中抽取 2 人，求出总 28 种情形其中 2 人均为 18 到 26 岁的有 10
33、 种，然后求解概率 解：（1）由题意， ， ， 所以 ， ，所求线性回归方程为 y0.023x+1.0 （2）由（1）知，该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为0.023 20+1.00.54，而 20000.541080， 所以估计该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数为 1080 人 （3）按分层抽样，8 人中年龄为 18 到 26 岁的有 5 人，记为 A，B，C，D，E，年龄为 27 到 35 岁的有 3 人，记为甲，乙，丙，从 8 人中抽取 2 人，可能有（A，B）， （A，C）， （A，D），（A，E），（A，甲），（A，乙），（A，丙），（B，C）
34、，（B，D）， （B，E），（B，甲），（B，乙），（B，丙），（C，D），（C，E），（C，甲）， （C，乙），（C，丙），（D，E），（D，甲），（D，乙），（D，丙），（E，甲）， （E，乙），（E，丙），（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共 28 种情形 其中 2 人均为 18 到 26 岁的有 10 种， 所以抽取的两人年龄都在 18 到 26 岁的概率为 【点评】本题考查回归直线方程的求法，分层抽样以及古典概型概率的求法，考查分析 问题解决问题的能力，是中档题 19如图所示七面体中，AA1BB1DD1，AA1平面 ABED，平面 A1B1C1D1平面 ABED， 四边形 A1B1
35、C1D1是边长为 2 的菱形，D1A1B160，AA12A1B14BE，M，N 分别为 A1D，BB1的中点 （1）求证：MN平面 C1DE； （2）求三棱锥 MC1DE 的体积 【分析】（1）取 AD 的中点 F，连接 MF，BF证明 B1C1BE，ABA1B1，ADA1D1， 说明四边形 ADD1A1和 ABB1A1为平行四边形得到 ADBE，然后证明 BFDE说明 四边形 MNBF 是平行四边形，推出 MNDE然后证明 MN平面 C1DE （2）说明点 M 到平面 C1DE 的距离与点 N 到平面 C1DE 的距离相等，通过三棱锥 M C1DE 的体积 转化求解即可 解：（1）证明；取
36、AD 的中点 F，连接 MF，BF 因为平面 A1B1C1D1平面 ABED， 平面 A1B1C1D1平面 BEC1B1B1C1， 平面 ABED平面 BEC1B1BE， 所以 B1C1BE，同理可得，ABA1B1，ADA1D1，而 AA1BB1DD1， 所以四边形 ADD1A1和 ABB1A1为平行四边形 又四边形 A1B1C1D1是菱形，B1C1A1D1， 所以 ADBE，而点 F 为 AD 的中点， 所以 ， 又 BEDF，所以四边形 BEDF 为平行四边形，从而 BFDE 点 M，N 分别为 A1D，BB1的中点，所 ，MFAA1BN，则四 边形 MNBF 是平行四边形，得 MNBF，
37、 所以 MNDE 而 MN平面 C1DE，DE平面 C1DE，所以 MN平面 C1DE （2）由（1）可知，MN平面 C1DE，所以点 M 到平面 C1DE 的距离与点 N 到平面 C1DE 的距离相等， 则三棱锥 MC1DE 的体积 由DABD1A1B160，ABA1B1A1D1AD2，得ABD 为正三角形， 而 F 为 AD 中点，所以 BFAD，从而 DEBE，且 又 AA1平面 ABED，得 AA1DE，从而 BB1DE，BB1BEB 点， 所以 DE平面 BB1C1E 且 梯形 ， 所以 ， 即三棱锥 MC1DE 的体积为 【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，
38、几何体的体积的求 法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题 20已知函数 f（x）alnx+x23x+k （1）当 a0 时，求函数 f（x）的极值点； （2）当 a1 时，对任意的 ， ，f（x）0 恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）求出 令 g（x）2x23x+a，当 时， 当 时，判断导函数的符号，利用函数的单调性求解函数的极值 （2） 当 a1 时， ， ， 对任意的 ， ， f（x）0 恒成立，则 f（x）max0，利用（1）转化求解即可 解：（1）由条件，x （0，+）， 令 g（x）2x23x+a，记98a 当 时，0，g（x）0 恒成立，从而 f（x）0，f（x
39、）在（0，+）上单调递 增，没有极值点 当 时，令 g（x）0，解得 ， 且 当 ， 时 f（x）0； 当 ， 时，f（x）0； 当 ， 时 f（x）0 所以 f（x）在 ， 和 ， 上单调递增， 在 ， 上单调递减，极大值点为 ，极小值点为 综上所述，当 时，极大值点为 ，极小值点为 ；当 时，没 有极值点 （2）当 a1 时， ， ， 对任意的 ， ，f（x）0 恒成立，则 f（x）max0， 由（1）可知，当 a1 时，f（x）在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，在1，e 上单调递增， 最大值为 和 f（e）两者中较大者 而 ，f（e）k+e23e+1， ，所以 f（x）maxf（e
40、）0， 解得 ke2+3e1 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查分类 讨论思想以及转化思想的应用，是难题 21如图，设抛物线 C1：x24y 与抛物线 C2：y22px（p0）在第一象限的交点为 M（t， ），点 A，B 分别在抛物线 C2，C1上，AM，BM 分别与 C1，C2相切 （1）当点 M 的纵坐标为 4 时，求抛物线 C2的方程； （2）若 t 1，2，求MBA 面积的取值范围 【分析】 （1）由点 M 的纵坐标为 4 时代入 C1可得 M 的坐标，再代入 C2中求出 p 的值， 进而求出抛物线 C2的方程； （2）将 M 的坐标代入 C2中可
41、得 p，t 的关系，设 A 的坐标，设直线 AM 的方程，与 C1 联立，由 AM 与 C1相切，可得判别式为 0，求出 k1与 t 的关系，可得 A 的坐标，设 B 的 坐标，设 BM 的方程与 C2联立，由题意可得判别式为 0，可得 k2与 t 的关系， 解得 B 的坐标，求出|BM|的值，再求出 A 到直线 BM 的距离，进而求出三角形 MBA 的面 积的表达式，由 t 的范围求出面积的取值范围 解：（1）由条件， 且 t0，解得 t4，即点 M（4，4）， 代入抛物线 C2的方程，得 8p16，所以 p2， 则抛物线 C2的方程为 y24x （2）将点 ， 代入抛物线 C2 的方程，得
42、 设点 A（x1，y1）直线 AM 方程为 ， 联立方 ，消去 y，化简得 ， 则 ，解得 ， 从而直线 AM 的斜率 ， 解得 ，即点 ， 设点 B（x2，y2），直线 BM 方程为 ， 联立方 ，消去 x，化简得 ， 则 ，代入 ，解得 ， 从而直线 BM 的斜率为 ， 解得 ，即点 ， ； ， 点 ， 到直线 ： ，即 tx8y+t20 的距离为 ， 故MBA 面积为 ，而 t 1，2， 所以MBA 面积的取值范围是 ， 【点评】本题考查抛物线的方程性质及直线与抛物线相切的性质，属于中档题 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数， ）在以
43、原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 cos22cos2sin2设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知点 P（0，1），求 的最大值 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2） 利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换一元二次方程根和系 数关系式的应用及正弦型函数的性质的应用求出结果 解： （1）根据题意得，曲线 C 的极坐标方程为 cos22cos2sin2，2cos2+22sin2 2cos，转换为直角坐标方程为
44、 x2+2y22x，即（x1）2+2y21， 直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数， ） 转换为直线 l 的普通方程为 tan xy+10 （2）联立直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程， 将直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数， ），代入（x1） 2+2y2 1， 化简，得（cos2+2sin2）t2+（4sin2cos）t+20 设点 A，B 所对应的参数分别为 t1，t2， 所以 0， 0， 所以 cos2sin （tan2） 由于 ， ，且 ，故 ， ， 则： 所以 的最大值为 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用， 参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应 用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于中档题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|+|x|，x R （1）若不等式 f（x）m2对x R 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2） 若 （1） 中实数m 的最大值为t， 且a+b+ct （a， b， c均为正实数） 证明： 【分析】（1）利用绝对值不等式的几何意义，转化求解函数的最值，求解即可 （2
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