1、高 2017 级三诊文科数学试题 第 1 页 共 12 页 宜宾市普通高中宜宾市普通高中 20172017 级高三第三次诊断试题级高三第三次诊断试题 文科数学文科数学 注意事项注意事项： 1. 答卷前， 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、 准考证号、 考场号、 座位号填写在答题卡上， 并认真核准条形码上的准考证号、 姓名、 考场号、 座位号及科目， 在规定的位置贴好条形码。 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。
2、 一一、选择题：本题共、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的。是符合要求的。 1. 已知集合 2 40, 1,0,2,3,4Ax xB ，则BA A.2 , 0 , 1 B.3 , 2 , 0 , 1 C.3 , 2 , 0 D.4 , 3 , 2 , 0 , 1 2. 设i是虚数单位，) i2)(i1 (z，则z A.2 B.5 C.3 D.10 3. 某商场推出消费抽现金活动， 顾客消费满 1000 元可以参与一次 抽奖，该活动设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖
3、，奖 金分别为：一等奖 200 元、二等奖 100 元、三等奖 50 元、参与 奖 20 元，具体获奖人数比例分配如图，则下列说法中错误 的是 A. 获得参与奖的人数最多 B. 各个奖项中一等奖的总金额最高 C. 二等奖获奖人数是一等奖获奖人数的两倍 D. 奖金平均数为46元 4. 已知焦点在x轴上的椭圆C： 22 2 1 4 xy a 的焦距为4，则C的离心率 参与奖55% 三等奖30% 二等级10% 一等奖5% 第 3 题图 高 2017 级三诊文科数学试题 第 2 页 共 12 页 A. 1 3 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 2 3 5. 已知直三棱柱CBAABC中，底面为等边三
4、角形，D为BC的中点，平面DA A 截该三棱柱 所得的截面是面积为9的正方形，则该三棱柱的侧面积是 A.6 3 B. 9 3 C. 18 3 D. 30 3 6. 设函数 32 2 2 a f xxaxx 若对任意xR,都有 0f xfx ， 则曲线 yf x在 点1(1)f，处的切线方程为 A. 220xy B.4 20xy C.220xy D. 420xy 7. 如图，在ABC中,D是边BC延长线上一点， 2 3 BCBD，则 A. 31 22 ADABAC B. 13 22 ADABAC C. 41 33 ADABAC D. 14 33 ADABAC 8. 已知函数axxxxf 2 co
5、s2cossin32)(0)的最小正周期为，最大值为4，则 A.3, 1a B.3, 2a C.7, 2a D.7, 1a 9. 某圆锥的三视图如图，ABC是边长为2的等边三角形，P为 AB的中点，三视图中的点PC,分别对应圆锥中的点NM,， 则在圆锥侧面展开图中NM,之间的距离为 A.3 B.3 C.5 D.5 10.已知圆柱上下底面中心分别为 21,O O，NM,为底面圆 2 O圆周上两动点，3MN， 1 MO与 底面所成角为60且2 1 MO，则四面体 21O MNO的体积为 A. 4 1 B. 4 3 C. 2 1 D. 2 3 A B D C 第 7 题图 第 9 题图 高 2017
6、 级三诊文科数学试题 第 3 页 共 12 页 11.已知倾斜角为的直线l上两点) 3,(),2,(mbQmaP， 4 , 0， 5 3 2sin，则PQ A. 55 B.105 或 5 10 3 C. 5 10 3 D. 105 12.已知函数 12f xxxa 的最小值为2，则实数a的值为 A.2或6 B.1或5 C.5或1 D.6或2 二、二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13. 若yx,满足约束条件 220, 2, 2, xy x y 则2zxy的最小值为_ 14. 已知函数 2 log2f xxa，若 30f，则
7、a _ 15. 过点(1,1)P作圆 22 210xyx 的切线,切点为A，则PA _ 16. 已知外接圆半径为2的ABC中，3tantantantan3BABA， 25 9 sinsinsin 222 CBA， 则ABC的面积为_ 三、三、解答题：共解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）（一）必考题：共必考题：共 60 分分. . 17.（本题满分 1
8、2 分）已知 n a是公差不为零的等差数列， 1 1 a ， 2 a 是 51,a a 的等比中项. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n a n b2，求数列 n b的前n项和 n S. 高 2017 级三诊文科数学试题 第 4 页 共 12 页 18.（本题满分 12 分）已知四棱锥ABCDP 中，底面 ABCD是正方形，为等腰直角三角形PBC， PCPB ，PCPD3. （1）求证：PB平面PCD； （2）若1PB，求四棱锥ABCDP 的体积. 19.（本题满分 12 分）某科研团队对1050例新冠肺炎确诊患者的临床特征进行了回顾性分析.其 中130名吸烟患者中，重症人数为30
9、人，重症比例约为23.1%；920名非吸烟患者中，重症 人数为120人，重症比例为13.0%. （1）根据以上数据完成22列联表； （2）根据（1）中列联表数据，能否 在犯错误的概率不超过0.01的 前提下认为新冠肺炎重症与吸 烟有关？ （3） 已知每例重症患者平均治疗费用约为15万元,每例轻症患者平均治疗费用约为1.7万元. 根据（1）中列联表数据，分别求吸烟患者和非吸烟患者的平均治疗费用.(结果保留两 位小数） 附： 2 (P K)k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd 吸烟人数 非吸烟人数 总计 重症人
10、数 轻症人数 总计 第18 题图 高 2017 级三诊文科数学试题 第 5 页 共 12 页 20. （本题满分 12 分） 设抛物线C： 2 2(0)xpy p的准线被圆O： 22 4xy所截得的弦长为2 3， （1）求抛物线C的方程； （2）设点F是抛物线C的焦点，M为抛物线C上的一动点，过M作抛物线C的切线交圆O 于,A B两点，求FAB面积的最大值. 21.（本题满分 12 分）已知函数 ( )eln x a f xx （a为常数） （1）若 1a ，求函数)(xf 的单调区间； （2）若存在 0 ex ，使得 0 ()0f x ,求a的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共10
11、 分。请考生在第分。请考生在第22、23 题中选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本题满分 10 分）极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线1 49 : 22 1 yx C，曲线 sin3 cos33 : 2 y x C（为参数） ，以坐标 原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求 21,C C的极坐标方程； （2） 射线l的极坐标方程为0， 若l分别与 21,C C交于异于极点的BA,两点， 求 OA OB 的最大值. 高 2017 级三诊文科数学试题 第 6 页 共 12 页 23.（本题满分 10
12、分）不等式选讲 已知, ,a b cR，且 222 1abc. （1）求2abc的最大值； （2）若21abc ，证明： 2 1 3 c 高 2017 级三诊文科数学试题 第 7 页 共 12 页 宜宾市普通高中2017级高三第三次诊断试题(文科数学)参考答 案 说明： 一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相 应的评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如 果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数
13、，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B C C D B A C A D D 二、填空题 13-6 145 15 3 16 25 108 三、解答题 17解： （1）因为 2 a是 51,a a的等比中项，所以 51 2 2 aaa，)4()( 11 2 1 daada 代入1 1 a ， 解得dd2 2 ， 又0d，所以2d 故21 n an. 6 分 高 2017 级三诊文科数学试题 第 8 页 共 12 页 （2） 2 4 22 12 n na n n b
14、， 1 1 4 2 4 4 2 n n n n b b ， n b是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以 21 22 3 n n S . . 12 分 18解： （1）因为为等腰直角三角形PBC，PCPB ，所以PCBC2， 在正方形ABCD中，BCCD ，所以PCCD2. 又PCPD3 ， 222 CDPCPD ， 有CDPC 又正方形ABCD中CDBC ，CBCPC. CD平面PBC ， 所以PBCD . 又为等腰直角三角形PBC，PCPB ， 所以PCPB . CCDPC , 所以PB平面PCD . 6 分 （2）过P作BCPO 于O,由（1）知CD平面PBC. 有POCD ，又CCD
15、BC， 所以PO平面ABCD. PO为四棱锥ABCDP 的高，1PB 有2, 2 2 BCPO， 3 2 2 2 2 3 1 3 1 POSV ABCDABCDP ， 所以四棱锥ABCDP 的体积为 3 2 . 12 分 19解： （1） 高 2017 级三诊文科数学试题 第 9 页 共 12 页 4 分 （2）由题意得 2 2 1050 (30 800 120 100) 9.3656.635 130 920 900 150 K ， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为:新冠肺炎重症与吸烟有关. . 8 分 （3）吸烟患者平均治疗费用：77. 4)7 . 11001530( 130
16、1 ， 非吸烟患者平均治疗费用：43. 3)7 . 180015120( 920 1 ， 所以吸烟患者平均治疗费用为77. 4万元， 非吸烟患者平均治疗费用43. 3万元. 12 分 20解： （1）因为抛物线C的准线方程为 2 p y ，且直线 2 p y 被圆O： 22 4xy所截 得的弦长为2 3，所以 22 2 3 ()4() 22 p ，解得2p (0)p ， 因此抛物线C的方程为 2 4xy. （4 分） （2）设 2 ( ,) 4 t M t，由于 2 x y ,知直线AB的方程为： 2 () 42 tt yxt. 即 2 240txyt. . （6 分） 吸烟人数 非吸烟人数
17、总计 重症人数 30 100 130 轻症人数 120 800 920 总计 150 900 1050 高 2017 级三诊文科数学试题 第 10 页 共 12 页 因为圆心O到直线AB的距离为 2 2 24 t t ，所以 4 2 2 4 4(4) t AB t , 设点(0,1)F到直线AB的距离为d，则 2 2 2 41 4 2 416 t dt t ， . （ 8 分） 所以，FAB的面积 1 2 SABd 4 2 2 11 2 44 24(4) 2 t t t 4222 11 1664(8)128 44 ttt 2 2. . （11 分） 当2 2t 时等号成立，经检验此时直线AB与
18、圆O相交，满足题意. 综上可知，FAB的面积的最大值为2 2 （12 分） 21解： （1）当1a 时, 1 ( )eln (0) x f xx x , 1 1 ( )exfx x ， 1 2 1 ( )e0 x fx x , ( )fx单调递增.又(1)0 f ,当(0,1)x时,( )0fx,)(xf单调递减; 当(1,)x时, ( )0fx,)(xf单调递增. 所以函数)(xf单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,). . (4 分) （2）若存在 0 ex ，使得 0 ()0f x,即 0 0 e ln x a e x 在 0 ex 能成立. 令 e ( ) ln x g x
19、x (ex ),则 min e( ) a g x. 2 1 e (ln) ( ) (ln ) x x x g x x ；令 1 ( )ln(e)h xxx x , 2 11 ( )0(e)h xx xx , 函数( )h x单调递增, 1 ( )(e)10 e h xh , ( )0, ( )g xg x单调递增, e ( )(e)eg xg 所以 e ee ,e a a, 即a的取值范围为(e,+ ) (12 分) 高 2017 级三诊文科数学试题 第 11 页 共 12 页 22解： （1）因为cos ,sinxy 1 49 : 22 1 yx C可化为1 4 sin 9 cos : 22
20、22 1 C， 整理得36sin54 22 ）（， sin3 cos33 : 2 y x C化为普通方程为06 22 xyx ， 极坐标方程cos6 1 C的极坐标方程是36sin54 22 ）（, 2 C的极坐标方程是cos6. . 4 分 （2）由（1）知 由 36sin54 22 ）（ 得 2 2 sin54 36 OA ， 由 cos6 得 2 2 cos36OB ， 2 2 OB OA 20 81 ) 10 9 (cos5cos9cos5)sin54(cos 222422 ， 当 2 9 cos 10 时 2 2 OA OB 最大值为 20 81 ， OA OB 最大值为 10 59 . 10 分 23解：(1) 22222222222 (2)4424(4)(4)()abcabcabacbcabcabac 22222 (4)6()6cbacb，当且仅当22abc时，即 66 , 63 acb等号成立， 所以2ab c的最大值为6 . (用柯西不等式参照给分) 5 分 （2）因 222 1abc ,21ab c ,所以 222 1abc ,21abc , 2222 ()(1 2 )(2 )abab,当且仅当2ab时,等号成立. 高 2017 级三诊文科数学试题 第 12 页 共 12 页 有 22 5(1)(1)cc,即 2 320cc, 故 2 1 3 c. 10 分
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