1、第十四讲 数论相关的计数 在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、 分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等计数问题是多种多样的，它经常与其他的 知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等今天让我们来研究一下结合了数论知识的 计数问题 例1 恰好能同时被 6，7，8，9 整除的四位数有多少个？ 分析分析大家还记得公倍数怎么求吗？ 练习 1、恰好能同时被 4，5，6 整除的三位数有多少个？ 例2 用 1、2、3、4、5、7 这 6 个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是 11 的倍数， 有多少种不同的方法？ 分析分析根据 11 的整除特性，通过分析奇位数
2、字和与偶位数字和，再结合本题的已知 条件可以获得解题的线索 练习 2、用 1，2，3， 4 各一次组成四位数， 使得它是 11 的倍数， 有多少种不同的方法？ 例3 从 110 这 10 个数中选出 2 个数，请问： （1）要使这 2 个数的乘积能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？ （2）要使这 2 个数的和能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？ 分析分析 （1）两个数的乘积能被 3 整除，那么这两个数中至少有一个能被 3 整除如何 选取才能保证选到 3 的倍数呢？（2）要考虑两个数的和是否能被 3 整除，只需要考虑 每个数除以 3 的余数的情况，那么怎样的两个数相加才能被 3 整除呢？
3、 练习 3、从 112 这 12 个数中选出 2 个数，请问： （1）要使这 2 个数的乘积能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？ （2）要使这 2 个数的和能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？ 例4 如果称能被 8 整除或者含有数字 8 的自然数为“吉利数”，那么在 1 至 200 这 200 个 自然数中有多少个“吉利数”？ 分析分析这道题目可以从两方面入手，8 的倍数和含有数字 8 的数，注意其中重复的情 况 练习 4、在 1 至 200 这 200 个自然数中，含有数字 9 或者能被 9 整除的有多少个？ 前面几个例题都是计数与整除相结合的题目而除了整除之外，与数字相关的问题也
4、属于数论的范畴，下面我们来看两道与数字有关的计数问题 例5 有一种“上升数”， 这些数的数字从左往右依次增大， 将所有的四位“上升数” 按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，6789请问：此列数中的第 100 个数是多少？ 分析分析数字从左往右依次增大的数是“上升数” ，那么四位“上升数”一共有多少个 呢？显然，不能将前 100 个“上升数”都写出来，那怎么才能方便的计算出第 100 个数 呢？ 例6 一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文 数”例如：1331，7，202，66 都是回文数，而 220 则不是回文数请问：六位回文 数有多少个？五
5、位回文数又有多少个？五位的回文数中，有多少个是 4 的倍数？ 分析分析 “回文数” 一定是左右对称的， 不妨从左往右分析， 一旦左面的一个数字确定， 右面一定有一个数字和其相同 回文联 数学当中有回文数，在文学当中也有回文联回文联，它是我国对联修辞奇葩(p)中的 一朵 用回文形式写成的对联， 既可顺读， 也可倒读， 不仅它的意思不变， 而且颇具趣味 兹 举数例如下 其一：河南省境内有一座山名叫鸡公山，山中有两处景观： “斗鸡山”和“龙隐岩” 有 人就此作了一副独具慧眼的回文联： 斗鸡山上山鸡斗 龙隐岩中岩隐龙 其二：厦门鼓浪屿鱼脯浦，因地处海中，岛上山峦叠峰，烟雾缭绕，海淼淼水茫茫，远 接云天
6、于是，一副饶有趣味的回文联便应运而生： 雾锁山头山锁雾 天连水尾水连天 其三：清代，北京城里有一家饭馆叫“天然居” ，乾隆皇帝曾就此作过一副有名的回文 联： 客上天然居 居然天上客 上联是说，客人上“天然居”饭馆去吃饭下联是上联倒着念，意思是没想到居然像是 天上的客人乾隆皇帝想出这副回文联后，心里挺得意即把它当成一个联，向大臣们征对 下联， 大臣们面面相觑， 无人言声 只有大学士纪晓岚即席就北京城东的一座有名的大庙 大佛寺，想出了一副回文联： 人过大佛寺 寺佛大过人 上联是说，人们路过大佛寺这座庙下联是说，庙里的佛像大极了，大得超过了人纪 学士的下联，想得挺不错 这副回文联放到乾隆皇帝的一块，
7、就组成一副如出一口的新回文联了： 客上天然居居然天上客 人过大佛寺寺佛大过人 其四：湛江德邻里有一副反映邻里之间友好关系，鱼水深情的回文联，至今传颂不衰： 邻居爱我爱居邻 鱼傍水活水傍鱼 作业 1. 1100 中，7 的倍数有多少个？除以 7 余 2 的数有多少个？ 2. 从 115 中，选出 2 个数，使它们的和是 3 的倍数，共有多少种选法？ 3. 用 1、2、3、4、5、8、9 组成不重复的七位数，其中有多少个能被 11 整除？ 4. 如果把三位的“上升数”从小到大排列一下，如 123、124、，那么第 20 个上升数是 多少？ 5. 有一类六位数，组成每个数的六个数字互不相同，并且每个
8、数中任意两个相邻的数字组 成的两位数都能被 3 整除这类六位数共有多少个? 第十四讲 数论相关的计数 例题： 例7 答案：答案：18 详解：详解：一个数能被 6，7，8，9 整除，即是 6，7，8，9 的倍数6，7，8，9 的最小公倍数为 504，所 有满足条件的数都是 504 的倍数999950419423，故 19999 中共有 19 个数是 504 的倍 数9995041495，故 1999 中共有 1 个数是 504 的倍数则四位数中有19 1 18 个数是 504 的倍数即能同时被 6，7，8，9 整除的四位数有 18 个 例8 答案答案：72 详解：详解：用 1，2，3，4，5，7
9、 各一次组成六位数，六个数字的和为 22若为 11 的倍数，则奇位和与偶 位和的差只能为 0奇位填 1，3，7，偶位填 2，4，5，考虑到 1，3，7 可以互换，2，4，5 可以互换， 故共有 33 33 AA36 种填法同理奇位填 2，4，5，偶位填 1，3，7，也有 36 种填法，共 72 种填法 例9 答案答案： （1）24； （2）15 详解：详解： （1） 若两个数的乘积是 3 的倍数， 则其中至少有一个数是 3 的倍数 110 中是 3 的倍数的有 3， 6， 9 这 3 个数， 不是 3 的倍数的有 7 个 分两种情况： 两个数中只有一个是 3 的倍数， 有 11 37 CC21
10、 种选法；两个数均为 3 的倍数，有 2 3 A3种选法共有 24 种选法另解：排除法：不加任何条件 选两个数的方式减去，没有 3 的倍数的情况， 22 107 C -C24； （2）将 110 这 10 个数按除以 3 的余数不 同进行分类除以 3 余 0 的有（3，6，9） ， 除以 3 余 1 的有（1，4，7，10） ，除以 3 余 2 的有（2， 5，8） 若两数之和为 3 的倍数，分两种情况：两个数除以 3 均余 0有 2 3 C3种选法其中 一个数除以 3 余 1，另一个数除以 3 余 2有 11 43 CC12种选法共有3 1215种选法 例10 答案答案：56 详解：详解：可
11、以将题目条件分成两部分，先看能被 8 整除的数，200825 ，因此能被 8 整除的数有 25 个再看含有数字 8 的数，我们可以从反面考虑较为方便，即看不含有数字 8 的数有多少个百位可 以选 0 或 1（百位选 0，表示其为两位数） ，十位可以选除 8 以外的 9 个数，个位也可选除 8 以外的 9 个数， 共有2 9 9162 个数不含有数字 8 0199 共有 200 个数， 含有数字 8 的有200 16238个 考 虑到有些数既能被 8 整除，又含有数字 8，这样的数有 8，48，88，128，168，以及 80 和 184，共 7 个数因此吉利数有2538756个 例11 答案答
12、案：3479 详解：详解：若上升数的首位为 1，剩下的 3 位可以从 29 中选，且顺序一定，有 3 8 C56种选法，即首位为 1 的上升数有 56 个同理，若首位为 2，剩下的 3 位可以从 39 中选，有 3 7 C35种选法，即首位为 2 的上升数有 35 个再考虑首位为 3 的上升数，依次为 3456，3457，3458，3459，3467，3468，3469， 3478，3479即第 100 个上升数为 3479 例12 答案答案：900；900；200 详解：详解：六位“回文数”应为abccba的形式，a 有 19 这 9 种选择，b 有 09 这 10 种选择，c 有 09 这
13、 10 种选择， 由乘法原理这样的数共有9 10 10900个 五位“回文数”应为abcba的形式， a 有 19 这 9 种选择， b 有 09 这 10 种选择， c 有 09 这 10 种选择， 由乘法原理这样的数共有9 10 10900 个 若回文数为 4 的倍数，则末两位为 4 的倍数，可为 04，08，12，16，96 共 24 个数，除 去 20，40，60，80 这四个不满足条件的数，共有 20 种选择考虑到 c 有 09 这 10 种选择，故共有 20 10200个五位回文数是 4 的倍数 “ 练习： 1. 答案：答案：15 简答：4、5、6 的最小公倍数是 60，三位数中
14、60 的倍数有99960 1 15 个 2. 答案答案：8 简答：用 1，2，3，4 各一次组成四位数，四个数字的和为 10若为 11 的倍数，则奇位和与偶位和的 差只能为 0奇位填 1，3，偶位填 2，4，考虑到 1，3，可以互换，2，4，可以互换，故共有2 24 种填法同理奇位填 2，4，偶位填 1，3，也有 4 种填法，共 8 种填法 3. 答案答案：38；22 简答：解法同例 3 4. 答案：答案：55 简答简答：先看能被 9 整除的数，2009222，因此能被 9 整除的数有 22 个再看含有数字 9 的数， 仍可从反面考虑， 即看不含有数字 9 的数有多少个 百位可以选 0 或 1
15、 （百位选 0， 表示其为两位数） ， 十位可以选除 9 以外的 9 个数，个位也可选除 9 以外的 9 个数，共有2 9 9162 个数不含有数字 90199 共有 200 个数，含有数字 9 的有200 16238个考虑到有些数既能被 9 整除，又含有数 字 9， 这样的数有 9， 99， 189， 90， 198， 共 5 个数 因此含有数字 9 或者能被 9 整除的有2238555 个 作业 6. 答案：14，15 简答：1007142，7 的倍数有 14 个；100298，98714，14 1 15 除以 7 余 2 的有 15 个 7. 答案：35 简答：115 中，除以 3 余
16、0、余 1 和余 2 的都有 5 个和为 3 的倍数，那么两数可能是余 1余 2 或者 余 0余 0第一种有5 525种选法，第二种有 2 5 C10种选法，一共有 35 种选法 8. 答案：432 简答：能被 11 整除，说明这个七位数奇数位之和与偶数位之和的差是 11 的倍数而奇数位之和与偶数 位之和的和是123458932 ，那么奇数位之和与偶数位之和可以都是 16，或者是 27 和 5， 后面这种情况不可能偶数位有 3 个数字，和为 16 可能是952 ，943，853那么一共可 以组成 43 43 AA3432个能被 11 整除的七位数 9. 答案：157 简答：前两位为 12 的上升数有 7 个，前两位为 13 的上升数有 6 个，前两位为 14 的上升数有 5 个那 么第 19 个上升数是 156，第 20 个上升数是 157 10. 答案：72 简答：如果首位数字除以 3 余 0，那么其余的所有数字也都除以 3 余 0，这样的话一定会重复，这样的 六位数不存在如果首位数字除以 3 余 1，那么后面的数字除以 3 的余数依次是 2、1、2、1、2这样 的六位数有 33 33 AA36个如果首位数字除以 3 余 2，这样的六位数也有 36 个一共有 72 个
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