1、第十三讲 沙漏与金字塔 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 观察故事中的第 4 幅图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图 1 所示，我们 将图形抽象成三角形， 如图 2 所示 观察一下， 这个图形与生活中的什么东西比较像？对了， 沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识 沙漏有一个必
2、要条件：线段 AB 平行于线段 CD，如图 2 所示在沙漏中，我们总结出 了如下性质： ABAOBO DCDOCO 这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系即沙漏形三角形间的比例关系， 简称 沙漏沙漏 例题 1 如图所示，梯形 ABCD 的面积是 36，下底长是上底长的 2 倍，阴影三角形的面积是多少？ 分析：图中给出的是一个梯形，梯形的上底和下底是平行的，你能找到平行线间的沙漏吗？ 如何利用这个沙漏呢？ 练习 1 如图所示，梯形的面积是 48 平方厘米，下底是上底的 3 倍，求阴影部分的面积 图 2 A B C D O 太 阳 桌面上的 太阳 纸片 图 1 A B C D O - - - -
3、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系如图所示，如 果沙漏形的上下底之比为 a:b，四个三角形的面积之比为 a:ab:ab:b - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 2 如图，平行四边形 ABCD 的面积是 90已知 E 点是 AB 上靠近 A 点的三等分点，求阴 影部分的面积 分析：图中有没有沙漏形？它的上底与下底之比是多少？ 练习 2 如图，正方形 ABCD 的边长是 6，E 点是 BC 的中点求 AOD 的面积 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
5、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 寻找沙漏的时候，一定把握住一点：平行线题目中如果出现了平行线，那么只要找到 平行线间的相交线就可以找到沙漏同学们在做题的过程中一定要用心体会这一点 小故事 沙漏 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置西方沙漏由两 个玻璃球和一个狭窄的连接管道组成利用上面的玻璃球的 沙子穿过狭窄管道流入底部玻璃球所花费的时间来对时间进 行测量一旦所有的沙子都已流到底部玻璃球，该沙漏就可 A B C D E O A B C D E O
6、 以被颠倒以重新测量时间了一般的沙漏有一个名义上的运行时间 1 小时 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 3 如图所示，边长为 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积 分析：图中有很多组平行线，那么这些平行线就构造出很多沙漏，你能找出这些沙漏吗？那 么想求阴影部分的面积，
7、该利用哪一个沙漏呢？ 练习 3 如图所示，图中的两个正方形的边长分别是 10 和 6，那么阴影部分的面积是多少？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 我们发现， 沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成， 且相交线的交点在平行线之间 如 果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型，我们形象的称之为金字塔模
8、型金字塔模型在 金字塔模型中也有相应的比例关系 a1 111 222 abc abc a2 b1 c1 c2 b2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 11 22 ab ab 111 12122 abc aabbc 沙漏模型 金字塔模型 A B C D E F O G H A D C B G F E H - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9、 - - - - - - - - 例题 4如图，直角三角形 ABC 中，AB=4，BC=6又知 BE:EC=1:3，求CDE 的面积 练习 4如图，EF 与 BC 平行，:1:2AF FB 已知2AE ，3EF ，那么 CE 的长度是 多少？AC 的长度是多少？BC 的长度是多少？ 例题 5 如图所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，已知正方形 ABCD 的面 积为 60 平方厘米，求阴影部分的面积 分析：如图所示，假设阴影三角形的另外两个顶点是 G 和 H 容易看出，三角形 AGH 在三角形 ABD 中，而三角形 ABD 的面积是正方形 ABCD 的一 半，如果我
10、们能够找到这两个三角形之间的面积关系，那么本题也就迎刃而解了 A B C D E A F E B C A C D E F B G H 例题 6 已知三角形 ADE 的面积为 3 平方厘米，D 是 AB 边的三等分点（靠近 A 点） ，且 DE 与 BC 平行，请求出三角形 OBC 的面积为多少平方厘米？ 分析：图中既有沙漏形，也有金字塔形沙漏形的上底和下底分别是 DE 和 BC，它们的比 是多少？是不是需要用到金字塔形中的比例关系？ A D E B O C 埃及金字塔 在非洲古国埃及的尼罗河畔， 开罗城近郊的广裹沙漠中， 巍然耸立着一群巨大的方锥形 建筑物，这就是全球著名的古代世界八大奇观之首
11、的埃及金字塔它气势威严，历经沧桑， 迄今已有四、五千年的历史它又是古埃及高度文明的象征，是人类遥远历史的见证 金字塔以其形体极似汉字的“金”字， 因此在中国称为“金字塔” 在欧洲则称为“庇 拉米斯”，是古埃及语“高” 的意思，可见高大是金字塔的特征 埃及金字塔是奴隶制帝王的陵墓，国王生前穷奢极欲，死后也仍想主宰天下因此，在 生前就不惜一切为自己修造所谓的“永久坚固的寓所”金字塔， 帝王希图永远保存自己 的尸骨和尊严，于是从埃及第三王朝起便开始兴建金字塔约在公元前 2800-2300 年之间， 那是金字塔盛行的时代 在埃及有大、小金字塔 70 余座第 1 座是埃及第三王朝国王杰赛尔的阶梯形金字塔
12、， 后来的角锥形金字塔， 是在此基础上发展演变而来的 其中位于开罗郊区吉萨城附近的胡夫 和哈夫拉两座金字塔， 被列为世界古代八大奇观之首 这两座金字塔加上显示国王威严的狮 身人面像，成为埃及金字塔风光的象征 胡夫金字塔规模最大，所以又称为“大金字塔”它高 146.5 米，像一座 40 层高楼， 拔地而起在 1889 年巴黎埃菲尔铁塔(312.5 米)修建之前，一直是世界上最高的建筑物该 塔占地 80 亩，边长 2300 多米，周长约 1 公里全塔用 230 多万块大、小不同的巨石砌成， 总体积 250 万立方米平均每块石头重 2.5 吨，最重的一块约 160 吨石块连接没有使用丝 毫粘着物，但
13、石块间丝隙皆无，使人赞叹! 塔内有甫道、石阶、通风道和墓室墓室分 3 层，位于塔底正中地下 30 米深处胡夫 大金字塔建筑之奇， 至今仍是不解之谜 金字塔这样宏伟的建筑， 有人认为是天外来客所建， 但毕竟金字塔巍峨壮观地坐落在地球上， 成为人类史上一座不朽的丰碑 它生动具体地告诉 人们：古代埃及的奴隶们是怎样地在没有火药、没有机械的年代，利用双手及简单工具而创 造出这一惊人的奇迹 金字塔至今作为世界奇观，傲对碧空，成为当今闻名世界的旅游胜地 作业1. 如图所示，DE 与 BC 平行，已知，则 BC 的长度是 多少？ 作业2. 如图所示，DE 与 BC 平行，已知，ADE 的面积为 32，则四
14、边形 DECB 面积是多少？ 作业3. 如图所示，梯形 ABCD 的面积是 50，下底长是上底长的 1.5 倍，阴影三角形的面 积是多少？ 作业4. 如图所示，正方形 ABCD 的边长是 6，E 点是 BC 的三等分点AOD 的面积是多 少？ 作业5. 如图，平行四边形 ABCD 的面积是 12，AC 与 BE 的交点为 F，那么 图中阴影部分面积是多少？ ADDE 3 1 5BD 4AD 16DE 5BD 4AD A D E B C C A D E B A B C D O A B C D E O C B F A D E 第十三讲 沙漏与金字塔 例题1. 答案：16 详解：上底与下底的长度比为
15、 1:2，设OCD 面积是 1 份，则AOD 与BOC 的面积均为 2 份， ABO 的面积为 4 份，共有 9 份，梯形面积为 36，故一份所对应的面积为 4则ABO 的面积为 16 例题2. 答案：33 详解：由沙漏模型知，:2:3BE CDBO ODEO OC，设OBE 的面积为 4 份，则OBC 的面 积为 6 份，OCD 的面积为 9 份，OBC 的面积与OCD 的面积之和为整个四边形面积的一半，因 此四边形的面积为 30 份，总面积为 90，则一份对应的面积为 3，阴影部分占了 11 份，面积为 33 例题3. 答案：45 详解：由条件知，:12:203:5GF BE ，由沙漏模型
16、知:3:5GO OE ，那么GOF 与EOF 的面 积之比也是 3:5OEF 的面积为 5 12 12245 8 例题4. 答案：6.75 详解：由金字塔模型知，:3:4DE ABCE CB，则 3 43 4 DE 又知道 3 64.5 4 CE ，可求 出CDE 的面积为3 4.526.75 例题5. 答案：10 平方厘米 详解：由条件知，1: 2BEAD，则:1: 2BG GD， 1 3 BGBD同理，:1:2DF AB ，则 :1: 2DHHB， 1 3 DHBD由此可得， 1 3 GHBD阴影部分面积为602310 平方厘米 例题6. 答案：13.5 详解：由金字塔模型知，:1:3AD
17、 ABDE BC，设ODE 的面积为 1 份，则ODB 的面积为 3 份，OEC 的面积为 3 份，OBC 的面积为 9 份又因为ADE 与DEC 等高，可知ADE 的面积 为 2 份，由此可知OBC 的面积为32 913.5 平方厘米 练习1. 答案：27 平方厘米 简答：上底与下底之比为 1:3由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是 1:3:3:9，那么阴影部分的面 积是481339927平方厘米 练习2. 答案：12 简答：连结 DE，因为 BE 与 AD 之比是 1:2，可如图所示设份数可知AOD 的面积是正方形面积的 三分之一，是 12 A B C D E O 1 2 4 2 3 练习
18、3. 答案： 400 13 简答： 5 8 AHAD HGBG ，那么ABH 与BGH 的面积之比也是 5:8，ABH 的面积是ABG 面积的 5 13 5400 10 162 1313 练习4. 答案： 简答： 1 2 AFAE FBEC ，可求出4CE ，6AC 1 3 EFAF BCAB ，可求出9BC 作业1. 答案：36简答：由金字塔模型，:4:9AD ABDE BC，16DE ，则36BC 作业2. 答案：130简答：:4:9AD AB ，则:4:9AE AC ，ADE 是ABC 面积的 16 81 ，则ABC 的面积为 162，四边形 DEBC 的面积为 130 作业3. 答案：18简答：上底与下底的长度比为 2:3，设OCD 面积是 4 份，则AOD 与BOC 的面 积均为 6 份，ABO 的面积为 9 份，总面积为 50，故一份所对应的面积为 2则ABO 的面积为 18 作业4. 答案：13.5简答：由沙漏模型，:1:3BE ADBO OD，AOB 与AOD 等高，面积比为 1:3，因此AOD 的面积为 3 66213.5 4 作业5. 答案：8简答：AE:BC=2:3，设份数可知 ABCD 为 30 份，AEF 为 4 份，阴影部分占 11 份， 面积为 4.4
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