1、第六讲 钟表问题 常见的钟表问题主要是讨论钟表上的时针、 分针和秒针之间的位置关系， 这和我们前面 学习过的环形路线问题是很像的 就像前面漫画中画的一样， 可以将三种针想象成绕着钟表 不断奔跑的三个人，时针是一位老人，他慢悠悠的，12 个小时才能在钟表上散步一圈；分 针是一位中年人，他有条不紊的，一个小时走过钟表上的一圈；而秒针就像少年们，活力无 限，每分钟都绕着钟表欢快的跑过 但同学们会发现， 这样的速度表示法并没有明确的说明三种针的速度， 所以我们考虑能 不能将各个针的速度统一来表示？以前计算一个人或一个物体的速度，所用的单位总是 /米 秒或/千米 时，很明显，在钟表问题中这样的表示法是不
2、适用的，那我们用什么来表示 时针、分针和秒针的速度呢？ 我们仔细观察钟表，会发现除了表示小时的 12 个大格，在每个大格中还有一些小格， 数一数，每个大格都包含了 5 个小格，那整个钟面上就包含了 60 个小格，于是，利用这个 “格”来表示分针、时针和秒针的速度经过计算，我们容易得出： 时针的速度：5 格/时=格/分； 分针的速度：60 格/时=1 格/分； 秒针的速度：3600 格/时=60 格/分=1 格/秒 知道了速度， 就可以根据以前学过的环形路线问题来分析时针和分针的运动过程， 从而 解决问题 练一练 在下图的钟面上标出时间，并写出分针与时针相差的格数 9:00 10:00 分针在时
3、针后_格 分针在时针后_格 1 12 4:30 12:24 分针在时针后_格 分针在时针后_格 例题 1 一个时钟现在显示的时间是 3 点整，请问： （1）多少分钟后，时针与分针第一次重合？ （2）多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？ （3）多少分钟后，时针与分针第一次垂直？第二次垂直呢？ 分析：3 点整时，分针落后时针多少格？到了重合、张成直线或者垂直的时候，又分别落后 多少格？在这个过程中，分针比时针多走了多少格？ 练习 1 2 点到 3 点之间，什么时候时针和分针重合？什么时候时针与分针张开成一条直线？ 什么时候时针与分针垂直？ 通过前面的例题， 同学们应该已经学会了最基本的钟表
4、问题解题方法 简单钟表问题求 解的关键在于计算分针和时针的路程差， 要算清这一点， 一定要把出发点出发点两针之间的距离和 结束点结束点两针之间的距离算清楚 这个问题中的出发点和结束点都很清楚， 因此过程比较简单， 但也有很多问题出发点和结束点没有直接给出，这就需要我们自己会合理地选择 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
5、 - - - - - - - - - - - 例题 2 现在是 10 点 23 分，多少分钟后，时针与分针第一次垂直？ 分析：10 点 23 分分针与时针相差的格数很难计算，那我们可以换一个起始时刻 练习 2 现在是 11 点 5 分，多少分钟后，时针与分针第一次垂直？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6、- - - - - - - - 只要是涉及到钟面上分针与时针之间相差多少格的题目， 都可以转化成追及问题来处理 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 3 小高晚上去超市买东西，到的时候是 7 点 24 分，买完出来的时候仍然是 7 点多，且分针和 时针所夹的角度与到超市时
7、相同 请问： 小高出来的时候是 7 点几分？买东西一共花了多少 分钟？ 分析：7 点 24 分时，分针落后时针多少格？ 练习 3 小高晚上去超市买东西，到的时候是 7 点 30 分，买完出来的时候仍然是 7 点多，且分针和 时针所夹的角度与到超市时相同 请问： 小高出来的时候是 7 点几分？买东西一共花了多少 分钟？ 钟表用上一段时间之后，有可能会变慢或变快碰到这种类型的题目应该怎么处理呢？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 4 （1）墨莫的闹钟比标准时间每小时快 3 分钟一天晚上 11 点，墨莫把钟校准，并把闹铃定 在第二天早上 6 点试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？ （2）萱萱的手表比标准时间每小时慢 4 分钟一天早上 8 点，萱萱将表校准试问：当这 只表指向下午 3 点的时候，标准时间是几点几分？ 分析：比标准时间每小时快 3 分钟，是指标准钟的分针走了 60 格的同时，快钟的分针走了 63 格，两针的速度比时 20:21那么“比标准时间每小时慢 4 分钟” ，说明两针的速度比是 多少呢？ 练习 4 某手
9、表每小时比标准时间慢 3 分钟，若在早上 4 点 30 分校准，则手表指示为上午 10 点 50 分时，标准时间是几点几分？ 在一些钟表问题中， 路程差的想法并不能帮助我们解决问题 这时需要我们发挥想象力， 找出分针与时针的路程和 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 5 小明上了一节课， 时间不到 1 小时， 他发现下课时与上课时手
10、表上时针与分针的位置刚好对 调请问：这一堂课上了多少分钟？ 分析：不妨假设上课时是三点多，下课时是四点多我们可以在钟面上画出上课与下课时分 针与时针大概的位置，然后观察在这段时间内它们分别走过的路程 例题 6 在早晨 6 点到 7 点之间有一个时刻， 钟面上的数字“6”恰好在时针与分针的正中央 请问： 这时是 6 点几分？ 分析：同样的，画图吧，但是题目中给的信息只能知道时针和分针最后的结果，这对我们解 决问题是不利的，所以考虑找到一个时针和分针开始运动的时刻，那么，你能想到找哪个时 间对我们解题比较有利吗？ 古代的计时工具 日晷是最早报“标准时”的仪器，它由晷盘和晷针组成晷盘是一个有刻度的盘
11、，其中央 装有一根与盘面垂直的晷针，针影随太阳运转而移动在盘上的位置那时，有钱人家里自己 也装有这种钟表 埃及是第一个漏壶钟出口国 它由两个互相叠置的圆筒组成 水从上面的圆筒穿过一个 小孔滴入下面的圆筒水滴完了，就是某个时辰过去了大一点儿的漏壶灌一次水可报六个 小时，然后再重新装满水 古埃及法老王朝的钟表巧匠甚至制做了装有指针和鸣击装置的钟表， 每隔一小时， 一定 数量的圆球便滚落到金属盖上，发出大声的鸣响罗马人是埃及漏壶钟的主要买主清晨， 报时人大声地报出钟点，然后，每家每户便往漏壶钟里装满水 罗马诗人普拉图斯对这样的计时方法很不满意他写道：“但愿上帝杀死发明钟点的 人，因为钟点把我的整天撕
12、成了碎块以前，我的肚子便是我的报时钟，在所有的钟表 中它是最好和最准确的” 据说君士坦丁大帝曾经有一只奇妙的钟， 即使在今天看来它也是一只极不寻常的、 复杂 的计时器它有一棵树木的形状，在枝桠上坐满所有可能的动物，下面蹲着许多的狮子，时 钟一敲，狮子便张开大口，发出吼声 柏拉图是第一个借助埃及的漏壶制成闹钟的人 他把下面的圆筒挂起来， 使它可以旋转， 过一定的时间，圆筒便翻倒，把水倒出，水又流往一个哨管，水流的冲击造成的气流使哨管 吱吱作响每隔同样的时间，柏拉图的闹钟便准时地“吹响”，催促着这位伟大哲学家的学生 去上课 漏壶计时的方法持续了几千年 查理大帝在位时还从诃伦哈里发那里得到过一只装有
13、时 针和鸣击器的漏壶钟，它用纯金制成，做工精巧，富有艺术性直到十二世纪，一名僧侣发 明了沙时钟，漏壶才逐渐被沙时钟取代最后，彼得亨兰发明了平衡轮，克里斯蒂安海 根斯发明了摆锤，在此基础上，才制成了类似于今天的钟表 值得一提的是，沙时钟原先只用于给说教台上的神父掌握说教时间的据考证，早在公 元前 2000 年， 中国就有了漏壶 一张公元前 2679 年的图样证明中国早有了类似于印度人和 阿兹台克人所拥有的日晷除此之外，中国人还用另外的方法制做了他们的计时器，例如， 他们通过燃烧刻有时间标记的薰烛计算时间另外，据说中国的一位制做钟表的能工巧匠， 用各种各样的薰料制成了一种香味钟，它每小时散发出一种
14、不同的味道 作业1. 现在时刻为 1:24，钟面上，时针与分针所成的角度是多少度？ 作业2. 现在是九点整， 那么多少分钟之后时针和分针第一次重合？多少分钟之后时针和分 针第一次张开成一条直线？ 作业3. 10 点 12 分，时针和分针的夹角是多少度？之后，时针和分针第一次垂直在什么时 刻？ 作业4. 在 10 点至 11 点之间，钟面上的时针和分针可能在什么时刻相互垂直？ 作业5. 一个快钟每小时比标准时间快 4 分钟 小高在标准时间晚上 10:00 把这个钟调到标 准时间第二天早上小高醒来时，钟面显示的时间是 6:00那么小高醒来时实际是几点 几分？ 第六讲 钟表问题 例题1. 答案： （
15、1） 4 1611； （2） 1 4911； （3） 8 3211， 5 6511 详解：3 点整时，分针在时针后面 15 格 （1）从 3 点整到重合，分针比时针多走了 15 格，用了 14 15116 1211 分 （2）第一次张开成直线时，分针在时针前面 30 格从 3 点整算起，分针比时针多走了 45 格，用了 11 45149 1211 分 （3）第一次垂直时，分针在时针前面 15 格从 3 点整算起，分针比时针多走了 30 格，用了 18 30132 1211 分第二次垂直时，分针在时针前面 45 格用了 15 60165 1211 分 （3 点整 时针与分针垂直，这不算第一次）
16、例题2. 答案： 2 1511 详解：以 10 点整为起始点，这时分针在时针后面 50 格分针与时针第一次垂直时，分针在时针后面 45 格，用了 15 515 1211 分但是这时还没有到 10 点 23 分，也就是说我们要求的是 10 整之后时 针与分针第二次垂直的时刻第二次垂直时，分针在时针后面 15 格，用了 12 35138 1211 分 22 382315 1111 分 例题3. 答案：7 点 4 5211分， 4 2811分 详解：7 点 24 分时分针在时针后面 13 格小高出来时夹角与到超市时相同，说明出来时分针在时针前 面 13 格，逛超市用了 14 26128 1211 分
17、，出来的时候是 7 点 4 5211分 例题4. 答案： （1）5 时 40 分； （2）15 时 30 分 详解： （1）标准钟分针走 60 格，闹钟分针可走 63 格，速度比为 20:21闹钟响起时，闹钟的分针走了 7 60420格，标准钟的分针可走 400 格，用时 6 时 40 分，标准时间是 5 点 40 分 （2）标准钟分针走 60 格，手表分针可走 56 格，速度比是 15:14手表下午 3 点时，手表的分针走了 7 60420格，标准钟的分针可走 450 格，用时 7 个半小时，标准时间是下午 3 点半 例题5. 答案： 5 5513 详解：分针与时针刚好对调，那么分针与时针的
18、路程和刚好是 1 圈，即 60 格，这一堂课上了 15 60155 1213 分 例题6. 答案： 9 2713 详解：如图所示，从 6 点整到这个时刻，时针与分针共走了 30 格，用了 19 30127 1213 分 练习1. 答案：2 点 10 1011分；2 点 7 4311分；2 点 3 2711分 简答： （1） 110 10110 1211 ； （2） 17 40143 1211 ； （3） 13 25127 1211 练习2. 答案： 10 511 简答：从 11 点开始算起，需要过 110 10110 1211 分时针与分针第一次垂直， 1010 1055 1111 练习3.
19、答案： 4 4611； 4 1611 简答： 7 点 30 分时， 分针在时针后面 7.5 格， 那么出来时分针在时针前面 7.5 格 14 15116 1211 ， 说明用了 4 1611分，出来时是 7 点 4 4611分 练习4. 答案：11 点 10 分 简答：标准钟分针走 60 格，手表分针走 57 格，速度比是 20:19从早上 4 点 30 到手表显示的 10 点 50 分，手表的分针一共走了 380 格380 19 20400，说明这段时间实际是 400 分钟，实际时间 是 11 点 10 分 作业1. 答案：102 简答：1:24 时，时针与分针相差 17 格，17 6102
20、 作业2. 答案： 1 4911， 简答： 11 45149 1211 ， 14 15116 1211 作业3. 答案：126；10 点分 简答：10 点 12 分时时针与分针相差 21 格，21 6126 12 24126 1211 2 2611 4 1611 分针路程 时针路程 5 6 7 作业4. 答案：10 时 5 511分；10 时 2 3811分 简答： 15 515 1211 ， 12 35138 1211 作业5. 答案：5 点 30 分 简答：快钟与标准钟的速度比是 16:15到小高醒来时，快钟的分针走了 480 格，那么标准钟的分针走 了 450 格，需要 7.5 个小时所以小高醒来的标准时间是 5 点 30 分
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