1、第一讲 圆与扇形初步 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 圆是宇宙中最简单的图形：天上的太阳、月亮、行星和恒星，它们在太空中呈现圆和球 形；地上的滚滚车轮，家里的盘子、碗、钟表也都是圆的 在自然界中，没有像圆那样美的图形了圆匀称、饱满、光滑、对称，常用来象征吉祥 如意，表达人
2、们的良好愿望：圆满、圆梦、团圆 古希腊毕达哥拉斯学派认为： “一切立体图形中最美的是球体，一切平面图形中最美的 是圆形” 他们认为，圆是神创造出来的最完美的东西 在纸上画一点 O，并在纸上找到所有与 O 距离为 1 的点，如 A、B、C、D、E、F、G 等这些点合到一起，就构成一个圆圆 点 O 就称为该圆的圆心圆心 ；圆心与圆周上任意一点的 连线（例如线段 OA、OB、OC、OD 等）叫半径半径 ；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫直直 径径 直径长恰好是半径长的两倍 圆心圆心确定了圆所在的位置，半径半径长度确定了圆的大小一个圆只要确定了“圆心”和 “半径”，就能完全确定下来 圆周长与直径的比
3、值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率圆周率 ，用希腊字母 表示很 早的时候，人们就利用滚圆法知道了 大约是 3随着科学的进步，现在我们已经知道圆周 率是一个无限不循环小数， 无法写成分数的形式 在实际问题的计算中， 常常取近似值 3.14 直径长度通常用字母 d 来表示，半径长度通常用 r 来表示，圆周长通常用 C 来表示于 是有圆周长公式： 2 Crd 习惯上，圆面积用字母 S 来表示它的计算公式为： 2 Sr 这一计算公式可以通过圆的周长公式推导出来 大家仔细观察下图， 想想看应该如何推 导？ O A B C D E F G H I O A B C D E F G H I 圆心 半径 O
4、 直径 练一练 下面的题目中， 都取为 3.14 1. 已知一个圆的半径为 3 厘米，那么这个圆的周长为_厘米； 2. 已知一个圆的周长为 50.24 厘米，那么这个圆的直径为_厘米； 3. 已知一个圆的半径为 3 厘米，那么这个圆的面积为_平方厘米； 4. 已知一个圆的面积为 78.5 平方厘米，那么这个圆的半径为_厘米 扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分 其中， 圆的半径也称为扇形 的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角扇形是圆的一部分 要想知道扇形的弧长与面积， 只要知道它是所在圆的几分之几就可以 它是圆的几分之 几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆
5、面积的几分之几 扇形弧长=2 360 n r ； 扇形面积= 2 360 n r 需要注意的是，扇形的弧长不是它的周长扇形的弧长不是它的周长 ，扇形的周长还必须加上两条半径！ 练一练 5. 已知一个扇形的半径是 2 厘米，圆心角是 45，那么这个扇形所在圆的面积是_ 平方厘米； 扇形的圆心角占圆周角的_分之_， 它的面积占圆面积的_分之_， 这个扇形的面积是_ 6. 已知一个扇形的半径为 6 厘米， 圆心角为 120， 那么这个扇形的弧长为_厘米， 周长是_厘米；面积为_平方厘米 7. 已知一个扇形的半径为 4 厘米，面积为 12.56 平方厘米，它的弧长等于_厘米，周 长等于_厘米 - -
6、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 有一个圆形花坛，直径为 20 米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？ 如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它 飞了多少米？（ 取 3.14） 分析：小圆的直径是多少？ 练习
7、1 半径分别为 1、2、3、4 厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（ 取 3.14） 例题 2 如图，在一块面积为 28.26 平方厘米的圆形铝板中，裁出了 7 个同样大小的圆铝板问：余 下的边角料的总面积是多少平方厘米？（ 取 3.14） 分析：大圆的半径是多少？小圆的半径又是多少？ O 练习 2 如图，在一块面积为 12.56 平方厘米的纸板中，裁出了 2 个同样大小的圆纸板问：余下的 纸板的总面积是多少平方厘米？（ 取 3.14） - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一个规则的圆或扇形直接利用公式就可以求解， 但一个不规则图形就没那么容易 在求 解之前，先得当一回“裁缝” ，将图形拆分、重组，然后再利用规则图形的相加或相减来进 行求解 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 3 如图，图中的三角形都是等腰直角三角形，求各图中阴影部分的面积 （ 取 3.14） 分析：经过适当的分割和移动，图中不规则的阴影部分可以拼成规则的几何图形 练习 3 图中的 4 个圆的圆心恰好是正方形的 4 个顶点， 如果每个圆的半径都是 1 厘米， 那么阴影部 分的总面积是多少平方厘米？（ 取 3.14） O 4 4 4 例题 4 如图是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径如图所示，让 A 点不动，把整个半圆逆时针 转 60 ，此时 B 点移动到
10、C 点请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（ 取 3.14） 分析：图（2）中整个图形的面积是多少，空白部分的面积又是多少？先列出算式，看看有 没有可以抵消的部分 练习 4 下图（1）是一个半径为 3 厘米的半圆，AB 是直径如图（2）所示，让 A 点不动，把整个 半圆顺时针转 30 ，此时 B 点移动到 C 点请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 小知识 圆有很多有意思的性质： 圆心到圆上的每个点的距离都相等，这是圆的定义 每条经过圆心的直线都把圆平分为两半，都是圆的对称轴，因而圆有无数条对称轴 圆绕着圆心任意旋转，所得的图形与原来的圆重合 所有的圆之间都可以通过缩放相互转换， 因而
11、圆只有唯一一种形状， 任意两个圆都是相 似的 所有平面图形在周长相同的情况下， 圆的面积是最大的 因而圆也被称为平面上最完美 的图形 A B A B 60 C （ 1 ） （1） A A B B （ 2 ） （2） A 3030 B C 例题 5 图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点， 它们的公共点是该正方形的中心 如果每个 圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 分析：图中的阴影部分虽然很对称，但并不规则，无法用公式直接计算那能不能通过恰当 的割补将其变为一个规则图形进行求解呢？同学们不妨动手试一试 - - - - - - - - - - - - - - - -
12、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
13、 - - - - - - - - - - - - - - 例 6 右图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是 4图 中阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14） 分析：阴影部分的两个小弓形可以拼到哪里？ 4 圆的历史 圆形，是一个看来简单，实际上十分奇妙的图形古代人最早是从太阳、阴历十五 的月亮得到圆的概念的在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔， 那些孔有的就很圆到了陶器时代，许多陶器都是圆的圆的陶器是将泥土放在一个转 盘上制成的当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤古代人还发现搬运圆 的木头时滚着走比较省劲后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫
14、在大树、大石 头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多 约在 6000 年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子圆形的木盘大 约在 4000 多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子会作圆，但 不一定就懂得圆的性质古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形一直到两千 多年前我国的墨子 （约公元前 468前 376 年） 才给圆下了一个定义： 圆， 一中同长也 意 思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等这个定义比希腊数学家欧几里得（约 公元前 330前 275 年） 给圆下定义要早 100 年 任意一个圆的周长与它直径的比值是一 个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 表示它
15、是一个无限不循环小数， =3.1415926535但在实际运用中一般只取它的近似值，即 3.14如果用 C 表示圆的 周长：C=d 或 C=2r周髀算经上说“周三径一”，把圆周率看成 3，但是这只是 一个近似值 美索不达米亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是 3魏晋时期的刘徽于 公元 263 年给九章算术作注时，发现“周三径一”只是圆内接正六边形周长和直径 的比值他创立了割圆术，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越逼近圆周 长他算到圆内接正 3072 边形的圆周率，=3927/1250刘徽把极限的概念运用于解决 实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就 祖冲之 （公元
16、 429500 年） 在前人的计算基础上继续推算， 求出圆周率在 3.1415926 与 3.1415927 之间， 是世界上最早的七位小数精确值， 他还用两个分数值来表示圆周率： 22/7 称为约率，355/113 称为密率 在欧洲，直到 1000 年后的十六世纪，德国人鄂图（公元 1573 年）和安托尼兹才得 到这个数值现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后 12400 亿位了 作业1. 面积为 78.5 平方厘米的圆，周长是多少厘米？（ 取 3.14） 作业2. 一个半径为 3 分米的扇形，面积为 6.28 平方分米，那么它的圆心角是多少度？（ 取 3.14） 作业3. 如图，三角
17、形 ABC 为等边三角形，边长为 2，D 为 BC 边中点分别以 B、C 为圆 心、1 为半径作两个扇形（即图中阴影部分） 那么阴影部分的面积是多少？（ 取近似 值 3.14，结果保留 2 位小数） 作业4. 如图，ABCD 是正方形，且 FA=AD=DE=1，阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14） 作业5. 图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（图中长度单位为厘米， 取 3.14） 第 4 题图 A B C D 第 3 题图 A B C D F E 4 第一讲 圆与扇形初步 例题1. 答案：62.8 米 详解：小圆半径是 5 米，飞行路线为两个小圆周长，所以是25262.8 米无论小圆有多少
18、个， 大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆 例题2. 答案：6.28 平方厘米 详解： 2 28.263.143，大圆半径是 3 厘米小圆半径是 1 厘米，所以边角料面积为 2 28.267 13.146.28平方厘米 例题3. 答案：4；4.56；8 详解： （1） 割补法， 将右边的弓形补到左边， 两块阴影面积之和恰好为等腰直角三角形面积的一半 即 4 4224 （2）割补法，如图，将图中的叶子形从中间分成面积相等的两个小弓形，阴影部分可拼成一个完整 弓形，面积为 11 443.14444.56 42 （3）割补法正好是把第二问的过程反过来，把两个小弓
19、形补到空白部分，阴影部分面积之和正好 是等腰直角三角形的面积，即4428 例题4. 答案：4.71 详解：图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面积与一个圆 心角为 60的扇形面积之和因此阴影面积等于圆心角为 60的扇形面积，即 2 1 34.71 6 例题5. 答案：8 平方厘米 详解：如图，阴影部分总面积等于虚边正方形面积，该正方形的对角线长为圆 直径的两倍，等于 4 厘米，所以面积为平方厘米 例题6. 答案：4.56 详解：如图，把两个阴影部分的小弓形补到空白部分之后，可以看出阴 影 部 分 的 面 积 之 和 等 于 大 扇 形 的 面 积 减 去 圆
20、中 正 方 形 的 面 积 2 1 44424.56 4 4428 4 4 4 4 练习1. 答案：62.8 简答：12343.14262.8 练习2. 答案：6.28 简答：大圆的面积是 12.56，可求出大圆的半径是 2，那么小圆的半径是 1，面积是 3.14阴影部分的 面积是12.563.143.146.28 练习3. 答案：10.28 简答：图中的阴影部分恰好可以拼成一个边长为 2 的正方形和两个半径为 1 的圆， 223.1411210.28 练习4. 答案：9.42 简答： 类似例题 4 的分析， 可知阴影部分的面积与 30的扇形面积是相同的， 都是 2 1 69.42 12 作业
21、1. 答案：31.4 简答： 2 78.53.1425r ，5r 23.14531.4C 厘米 作业2. 答案：80 简答：扇形所在大圆的面积是 2 3.14 328.26，圆心角是 6.28 36080 28.26 度 作业3. 答案：1.05 简答：阴影部分是两个 60的扇形，面积是 2 1 3.14 121.05 6 作业4. 答案：0.6075 简答：连接 BD，将最左边的弓形补过来阴影部分的面积就是平行四边形 BDEC 的面积减去扇形的 面积 2 45 1 13.14 1=0.6075 360 S 影 作业5. 答案：12 平方厘米 简答：阴影部分可以合成三个斜边是 4 的等腰直角三角形，面积是344412 平方厘米；
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