1、 东北三省四市教研联合体东北三省四市教研联合体 2020 届高考文科模拟数学试卷（二）届高考文科模拟数学试卷（二） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1已知集合 AxZ|x24，Bx|4x2，则 AB（ ） ABx|2x2 BBx|4x2 C2，1，0，1，2 D2，1，0，1 2已知复数 z 满足（1+i）2z1i，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量 ， 满足
2、 =（2，1） ， =（1，y） ，且 ，则| +2 |（ ） A5 B52 C5 D4 4为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近 6 次篮球比赛的得分数进行统 计，甲乙两人的平均得分分别是 x甲、x乙，则下列说法正确的是（ ） Ax甲x乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 Bx甲x乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 Cx甲x乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 Dx甲x乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 5等比数列an中，a5、a7是函数 f（x）x24x+3 的两个零点，则 a3a9等于（ ） A3 B3 C4 D4 6大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划” 某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西
3、 部某地一中、二中、三中 3 所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人 支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生现知道： （1）教语文的没有分配到一中， （2）教语文的不是小孟， （3）教英语的没有分配到三中， （4）小刘分配到一中 （5）小盂没有分配到二中， 据此判断数学学科支教的是谁？分到哪所学校？（ ） A小刘三中 B小李一中 C小盂三中 D小刘二中 7设 a，b 是两条直线， 是两个平面，则 ab 的一个充分条件是（ ） Aa，b， Ba，b， Ca，b， Da，b， 8已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（0，+）上是增函数，且 f（4）0， 则使得
4、 xf（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （4，4） B （4，0）（0，4） C （0，4）（4，+） D （，4）（4，+） 9 已知直线 y2 与函数() = 2( 3)， （其中 w0） 的相邻两交点间的距离为 ， 则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A 6 ， + 5 6 ， B 12 ， + 5 12， C 5 6 ， + 11 6 ， D 5 6 ， + 11 12 ， 10若函数() = 2，0 2 ， 0有且只有一个零点，则 a 的取值范围是（ ） A （，1）（0，+） B （，1）0，+） C1，0） D0，+） 11已知与椭圆 2 18 + 2 2 =1
5、焦点相同的双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分 别为 F1，F2，离心率为 e= 4 3，若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点 F2 的距离为 12，N 为 MF2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于（ ） A2 3 B2 C3 D4 12众所周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极 图” 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图” 整个图形是一个圆形其中黑色阴影 区域在 y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1 2 当 = 3 2时，直线 yax+2a 与白色部分有公共点； 黑色阴
6、影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y） ，则 x+y 的最大值为 2； 设点 P（2，b） ，点 Q 在此太极图上，使得OPQ45，b 的范围是2，2 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13若 x，y 满足约束条件 + 1 0 2 0 2 2 0 ，则 zx+3y 的最大值是 14袋子中有四张卡片，分别写有“国” 、 “富” 、 “民” 、 “强”四个字，有放回地从中任取一 张卡片，将三次抽取后“国” “富”两个字都取到记为事件 A，用随机模拟的方法估计事 件 A 发生的概率，
7、利用电脑随机产生整数 0， 1，2， 3 四个随机数， 分别代表 “国” 、 “富” 、 “民” 、 “强”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟 产生了以下 18 组随机数： 231 232 210 023 122 021 321 220 031 231 103 133 132 001 320 123 130 233 由此可以估计事件 A 发生的概率为 15长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著九章算术商功 其中阳马 和鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼取一长方，如图长方体 ABCDA1B1C1D1， 按平面 ABC1D1斜切一分为二，得到两个一模一样的
8、三棱柱称该三梭柱为堑堵，再沿 堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与 底面垂直的四梭锥 D1ABCD 称为阳马，余下的三棱锥 D1BCC1是由四个直角三角形 组成的四面体称为鱉臑已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB5，BC4，AA13， 按以上操作得到阳马则该阳马的最长棱长为 16 已知数列an的各项均为正数， 其前 n 项和 Sn满足 4Snan2+2an， nN* 设 bn （1） nanan+1，Tn 为数列bn的前 n 项和，则 T2n 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证
9、明过程或演算步骤. 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a2bcosC+csinB （）求 tanB； （）若 C= 4，ABC 的面积为 6，求 BC 18 （12 分）随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注一些 高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果如表为某高中为 了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取 50 名学生的统计数据 成绩优秀 成绩不够优秀 总计 选修生涯规划课 15 10 25 不选修生涯规划课 6 19 25 总计 21 29 50 （）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：
10、能否有 99%的把握认为“学生的成 绩是否优秀与选修生涯规划课有关” ，并说明理由； （）现用分层抽样的方法在选修生涯规划课的成绩优秀和成绩不够优秀的学生中随机 抽取 5 名学生作为代表，从 5 名学生代表中再任选 2 名学生继续调查，求这 2 名学生成 绩至少有 1 人优秀的概率 参考附表： P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 参考公式2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 19 （12 分）四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABBC，ABBC1，PACD2，PA底 面 ABCD，E 在
11、PB 上 （）证明：ACPD； （）若 PE2BE，求三棱锥 PACE 的体积 20 （12 分）已知点 A（0，2） ，B 为抛物线 x22y2 上任意一点，且 B 为 AC 的中点，设 动点 C 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）是否存在斜率为 1 的直线 l 交曲线 E 于 M、N 两点，使得MAN 为以 MN 为底边 的等腰三角形？若存在，请求出 l 的方程；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）axex，g（x）x2+2x+b，若曲线 yf（x）与曲线 yg（x） 都过点 P（1，c） 且在点 P 处有相同的切线 l （）求切线 l 的方程； （）若
12、关于 x 的不等式 kef（x）g（x）对任意 x1，+）恒成立，求实数 k 的 取值范围 四、 选考题： 共四、 选考题： 共 10 分， 请考生在分， 请考生在 22、 23 题中任选题中任选-题作答， 如果多做则按所做的第题计分题作答， 如果多做则按所做的第题计分.选选 修修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22（10 分） 已知曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2， 直线 l 的参数方程为 = 2 25 5 = 3 + 5 5 （t 为参数） （）求曲线 C 的参数方程与直线 l 的普通方程； （）设点 P 为曲线 C 上的动点点 M 和点 N 为直线 1 上的点，且|
13、MN|2，求PMN 面 积的取值范围 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23已知函数 f（x）m|x2|，mR，g（x）|x+3| （）当 xR 时，有 f（x）g（x） ，求实数 m 的取值范围 （）若不等式 f（x）0 的解集为1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 a+b 的最小值 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1已知集合 AxZ|x24，Bx|4x2，则 AB（ ） ABx|2
14、x2 BBx|4x2 C2，1，0，1，2 D2，1，0，1 【分析】先求出集合 A，再利用集合交集的运算即可算出结果 【解答】解：集合 AxZ|x242，1，0，1，2， AB2，1，0，1， 故选：D 【点评】 本题考查了交集及其运算， 熟练掌握交集的定义是解本题的关键， 属于基础题 2已知复数 z 满足（1+i）2z1i，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 【解答】解：由（1+i）2z1i，得 z= 1 (1+)2 = 1 2 = (1)() 22 = 1 2
15、 1 2 ， z 在复平面内对应的点的坐标为（ 1 2 ， 1 2） ，位于第三象限 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3已知向量 ， 满足 =（2，1） ， =（1，y） ，且 ，则| +2 |（ ） A5 B52 C5 D4 【分析】根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得 =2+y0，解可得 y 的值，即可 得 的坐标，进而计算可得向量（ +2 ）的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案 【解答】解：根据题意， =（2，1） ， =（1，y） ，且 ， 则有 =2+y0，解可得 y2，即 =（1，2） ， 则 +2 =（4，3）
16、，故| +2 |= 16+ 9 =5； 故选：C 【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关 系，属于基础题 4为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近 6 次篮球比赛的得分数进行统 计，甲乙两人的平均得分分别是 x甲、x乙，则下列说法正确的是（ ） Ax甲x乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 Bx甲x乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 Cx甲x乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 Dx甲x乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 【分析】 根据茎叶图中数据的分布情况知， 甲的平均数大于乙的平均数， 且甲比乙稳定 【解答】解：根据茎叶图中数据知，甲得分为： 18，26，28
17、，28，31，33，且集中在 1833 内； 乙得分为：12，18，19，25，26，32，且分布在 1232 内； 所以甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定； 应选甲参加比赛 故选：B 【点评】本题考查了利用茎叶图分析平均数与稳定性的问题，是基础题 5等比数列an中，a5、a7是函数 f（x）x24x+3 的两个零点，则 a3a9等于（ ） A3 B3 C4 D4 【分析】利用根与系数的关系求得 a5a73，再由等比数列的性质得答案 【解答】解：a5、a7是函数 f（x）x24x+3 的两个零点， a5、a7是方程 x24x+30 的两个根， a5a73， 由等比数列的性质可得：a3a9a
18、5a73 故选：B 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题 6大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划” 某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西 部某地一中、二中、三中 3 所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人 支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生现知道： （1）教语文的没有分配到一中， （2）教语文的不是小孟， （3）教英语的没有分配到三中， （4）小刘分配到一中 （5）小盂没有分配到二中， 据此判断数学学科支教的是谁？分到哪所学校？（ ） A小刘三中 B小李一中 C小盂三中 D小刘二中 【分析】由于小刘分配到一中，小盂没有分配到
19、二中，教英语的没有分配到三中，则可 知小盂分配到三中，问题得以解决 【解答】解：由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中， 则可知小盂分配到三中，且教数学， 故选：C 【点评】本题考查了合情推理的问题，属于基础题 7设 a，b 是两条直线， 是两个平面，则 ab 的一个充分条件是（ ） Aa，b， Ba，b， Ca，b， Da，b， 【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可 【解答】解：A、B、D 的反例如图 故选：C 【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件 的含义及空间想象能力 8已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在
20、（0，+）上是增函数，且 f（4）0， 则使得 xf（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （4，4） B （4，0）（0，4） C （0，4）（4，+） D （，4）（4，+） 【分析】由奇函数的图象关于原点对称及 f（x）在（0，+）为增函数，可得函数 f（x） 是在（，0）上是增函数，结合 f（4）f（4）0，转化为不等式组求解 【解答】解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（0，+）上是增函数， 函数 f（x）是在（，0）上是增函数， 又 f（4）0，f（4）0， 由 xf（x）0，得0 ()0或 0 ()0， x4 或 x4 x 的取值范围是（，4）（4，+） 故选：D
21、 【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题 9 已知直线 y2 与函数() = 2( 3)， （其中 w0） 的相邻两交点间的距离为 ， 则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A 6 ， + 5 6 ， B 12 ， + 5 12， C 5 6 ， + 11 6 ， D 5 6 ， + 11 12 ， 【分析】根据最值点之间的关系求出周期和 ，结合三角函数的单调性进行求解即可 【解答】解：y2 与函数() = 2( 3)， （其中 w0）的相邻两交点间的距 离为 ， 函数的 周期 T2，即2 =2，得 2， 则 f（x）2sin（2x 3） ， 由 2k 2
22、 2x 3 2k+ 2，kZ， 得 k 12 xk+ 5 12，kZ， 即函数的单调递增区间为k 12，k+ 5 12，kZ， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和 ，以及 利用三角函数的单调性是解决本题的关键难度不大 10若函数() = 2，0 2 ， 0有且只有一个零点，则 a 的取值范围是（ ） A （，1）（0，+） B （，1）0，+） C1，0） D0，+） 【分析】当 x0 时，因为 log210，所以有一个零点，所以要使函数 f（x）有且只有一 个零点，则当 x0 时，函数 f（x）没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出 a 的取 值
23、范围即可 【解答】解：当 x0 时，因为 log210，所以有一个零点， 所以要使函数() = 2，0 2 ， 0有且只有一个零点，则当 x0 时，函数 f（x）没 有零点即可， 当 x0 时，02x1，12x0，1a2xaa， 所以a0 或1a0， 即 a0 或 a1， 故选：B 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题 11已知与椭圆 2 18 + 2 2 =1 焦点相同的双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分 别为 F1，F2，离心率为 e= 4 3，若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点 F2 的距离为 12，N 为 MF2的中点，O 为坐标原点，则|
24、NO|等于（ ） A2 3 B2 C3 D4 【分析】可得|NO|= 1 2|MF1|= 1 2（|MF2|2a）6a， 由椭圆 2 18 + 2 2 =1 与双曲线 2 2 2 2 =1 焦点相同，离心率为 e= 4 3，可得 a 即可 【解答】解：如图，可得|NO|= 1 2|MF1|= 1 2（|MF2|2a）6a， 双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的离心率为 e= 4 3， = 4 3 椭圆 2 18 + 2 2 =1 与双曲线 2 2 2 2 =1 焦点相同， c= 18 2 =4， a3，6a3， 故选：C 【点评】本题考查了双曲线、椭圆的方程与性质，属于中档题 12众所
25、周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极 图” 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图” 整个图形是一个圆形其中黑色阴影 区域在 y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1 2 当 = 3 2时，直线 yax+2a 与白色部分有公共点； 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y） ，则 x+y 的最大值为 2； 设点 P（2，b） ，点 Q 在此太极图上，使得OPQ45，b 的范围是2，2 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假 【解答】解
26、：对于，将 y 轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的 面积的一半， 根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率 是1 2，正确； 对于，直线 yax+2a= 3 2x3，圆的方程为 x 2+y24，联立可得，13x2+36x+200， 362413200，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负， 即说明直线 yax+2a 与白色部分没有公共点，错误； 对于，设 l：zx+y，由线性规划知识可知，当直线 l 与圆 x2+（y1）21 相切时，z 最大， 由|1| 2 = 1解得 z= 2 + 1（z12舍去） ，错误； 对于，要使得OPQ
27、45，即需要过点 P 的切线所成角大于等于 90 度， 所以 2 45 = 2 2 ，即 OP22，于是 22+b28，解得2b2 故选：A 【点评】本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及 几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13若 x，y 满足约束条件 + 1 0 2 0 2 2 0 ，则 zx+3y 的最大值是 8 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出 z 的最大值即 可 【解答】解：画出满足条
28、件的平面区域，如图示： 由 = 2 2 2 = 0，解得 A（2，2） ， 由 zx+3y 得：y= 1 2x+， 显然直线过 A 时，z 最大，z 的最大值是 z2+328， 故答案为：8 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题 14袋子中有四张卡片，分别写有“国” 、 “富” 、 “民” 、 “强”四个字，有放回地从中任取一 张卡片，将三次抽取后“国” “富”两个字都取到记为事件 A，用随机模拟的方法估计事 件 A 发生的概率， 利用电脑随机产生整数 0， 1，2， 3 四个随机数， 分别代表 “国” 、 “富” 、 “民” 、 “强”这四个字，以每三个随机数
29、为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟 产生了以下 18 组随机数： 231 232 210 023 122 021 321 220 031 231 103 133 132 001 320 123 130 233 由此可以估计事件 A 发生的概率为 1 3 【分析】经随机模拟产生了以下 18 组随机数，利用列举法求出其中事件 A 发生的随机数 有 6 个，由此能估计事件 A 发生的概率 【解答】解：袋子中有四张卡片，分别写有“国” 、 “富” 、 “民” 、 “强”四个字， 有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国” “富”两个字都取到记为事件 A， 用随机模拟的方法估计事件 A 发生的概
30、率， 利用电脑随机产生整数 0，1，2，3 四个随机数，分别代表“国” 、 “富” 、 “民” 、 “强”这 四个字， 以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数， 其中事件 A 发生的随机数有：210，021，031，103，001，130，共 6 个， 估计事件 A 发生的概率为 P= 6 18 = 1 3 故答案为：1 3 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 15长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著九章算术商功 其中阳马 和鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼取一长方，如图长方体 AB
31、CDA1B1C1D1， 按平面 ABC1D1斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱称该三梭柱为堑堵，再沿 堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与 底面垂直的四梭锥 D1ABCD 称为阳马，余下的三棱锥 D1BCC1是由四个直角三角形 组成的四面体称为鱉臑已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB5，BC4，AA13， 按以上操作得到阳马则该阳马的最长棱长为 52 【分析】由已知线段长度利用勾股定理求得阳马的所有棱长得答案 【解答】解：在阳马 D1ABCD 中， 底面 ABCD 为长方形，侧棱 D1D底面 ABCD， 且 ABDC5，ADBC4，D1DAA
32、13， 则1 = 32+ 42= 5，1 = 32+ 52= 34，1 = 32+ 42+ 52= 52 该阳马的最长棱长为52 故答案为：52 【点评】本题考查棱柱与棱锥的结构特征，考查空间中线段长度的计算，是基础题 16 已知数列an的各项均为正数， 其前 n 项和 Sn满足 4Snan2+2an， nN* 设 bn （1） nanan+1，Tn 为数列bn的前 n 项和，则 T2n 8n（n+1） 【分析】由数列的递推式：n1 时，a1S1；n2 时，anSnSn1，结合等差数列的 通项公式和求和公式，化简整理可得所求和 【解答】解：数列an的各项均为正数，其前 n 项和 Sn满足 4S
33、na 2 +2an，nN* 可得 n1 时，4a14S1a12+2a1，解得 a12， n2 时，4Sn1an12+2an1，又 4Snan2+2an， 相减可得 4anan2+2anan122an1， 化为（an+an1） （anan12）0， 由 an0，可得 anan12， 则 an2+2（n1）2n， bn（1）nanan+1（1）n4n（n+1） ， 可得 T2n412+2334+4556+67 （2n1） （2n） + （2n） （2n+1） 4（22+24+26+22n）8 1 2n（2+2n）8n（n+1） 故答案为：8n（n+1） 【点评】本题考查数列的递推式的运用，等差数列
34、的通项公式和求和公式的运用，考查 化简运算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a2bcosC+csinB （）求 tanB； （）若 C= 4，ABC 的面积为 6，求 BC 【分析】 （I）由 2a2bcosC+csinB，利用正弦定理可得：2sinA2sinBcosC+sinCsinB，又 sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，化简即可得出 （II）由 tanB2，B（0，） ，可得
35、sinB= 2 5，cosB= 1 5sinAsin（B+C） ，由正弦定 理： = ，可得：a= 32 4 又1 2absin 4 =6，可得 b= 122 即可得出 a 【解答】 解： （I） 2a2bcosC+csinB， 利用正弦定理可得： 2sinA2sinBcosC+sinCsinB， 又 sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC， 化为：2cosBsinB0，tanB2 （II）tanB2，B（0，） ，可得 sinB= 2 5，cosB= 1 5 sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC= 2 5 2 2 + 1 5 2 2 = 310 10
36、 = ，可得：a= 2 5 310 10 = 32 4 又1 2absin 4 =6，可得 b= 122 a= 32 4 122 ，解得 a32 【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 18 （12 分）随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注一些 高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果如表为某高中为 了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取 50 名学生的统计数据 成绩优秀 成绩不够优秀 总计 选修生涯规划课 15 10 25 不选修生涯规划课 6 19 25 总计 21 29 50
37、 （）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有 99%的把握认为“学生的成 绩是否优秀与选修生涯规划课有关” ，并说明理由； （）现用分层抽样的方法在选修生涯规划课的成绩优秀和成绩不够优秀的学生中随机 抽取 5 名学生作为代表，从 5 名学生代表中再任选 2 名学生继续调查，求这 2 名学生成 绩至少有 1 人优秀的概率 参考附表： P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 参考公式2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 【分析】 （）由列联表中的数据结合公式求得得 K2的观测值 k，结合临
38、界值表得结论； （）利用枚举法写出从 5 名学生中任选 2 名学生的全部基本事件，再求出所选 2 人至 少有 1 人成绩优秀的事件数，由古典概型概率公式求解 【解答】 解：（） 由已知表格中的数据， 可得 K2的观测值 k= 50(1519610)2 21292525 6.650 6.635 有 99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关” ； （）由题意得，在成绩优秀的学生中抽取 15 5 25 =3（人） ，分别记为 A，B，C， 在成绩不够优秀的学生中抽取 532（人） ，分别记为 a，b 则从 5 名学生中任选 2 名学生的全部基本事件为 AB，AC，Aa，Ab，BC，B
39、a，Bb，Ca， Cb，ab 共 10 种， 其中所选 2 人至少有 1 人成绩优秀的事件为 AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb 共 9 种 这 2 名学生中至少有 1 人优秀的概率为 P= 9 10 【点评】本题考查独立性检验，考查古典概型概率的求法，是基础题 19 （12 分）四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABBC，ABBC1，PACD2，PA底 面 ABCD，E 在 PB 上 （）证明：ACPD； （）若 PE2BE，求三棱锥 PACE 的体积 【分析】 （）过 A 作 AFDC 于 F，推导出 ACDA，ACPA，从而 AC平面 PAD， 由此能求出 ACPD （
40、）由 VPACEVPABCVEABC，能求出三棱锥 PACE 的体积 【解答】解： （）证明：过 A 作 AFDC 于 F， ABCD，ABBC，ABBC1，CFDFAF1， DAC90，ACDA， 又 PA底面 ABCD，AC平面 ABCD， ACPA， 又 PA，AD平面 PAD，PAADA， AC平面 PAD， 又 PD平面 PAD，ACPD （）解：PE2BE，VPACEVPABCVEABC， = 1 3 1 2 1 1 2 = 1 3， = 1 3 = 1 9， 三棱锥 PACE 的体积 VPACEVPABCVEABC= 1 3 1 9 = 2 9 【点评】本题考查线线垂直的证明，考
41、查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知点 A（0，2） ，B 为抛物线 x22y2 上任意一点，且 B 为 AC 的中点，设 动点 C 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）是否存在斜率为 1 的直线 l 交曲线 E 于 M、N 两点，使得MAN 为以 MN 为底边 的等腰三角形？若存在，请求出 l 的方程；若不存在，请说明理由 【分析】 （）设 C（x，y） ，B（m，n） ，利用中点坐标公式得到 = 2 = +2 2 ，代入抛物线 方程，即可求出点 C 的轨迹方程，即曲线 E 的方程； （）设直
42、线 l 的方程为：yx+t，与曲线 E 的方程联立，得到0，利用韦达定理求 出 MN 的中点 P 的坐标，再利用 KAPKl1 求出 t 的值，经检验不满足0，从而直 线 l 不存在 【解答】解： （）设 C（x，y） ，B（m，n） ， B 是 AC 的中点，则 = 2 = +2 2 ， B 在抛物线 x22y2 上， m22n2， 2 4 = 2 2+ 2 2， 化简得：x24y， 曲线 E 的方程为：x24y； （）设直线 l 的方程为：yx+t，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立方程 = + 2= 4 ，消去 y 得：x24x4t0， 16+16t0，x1+x24，x1x24t， MN 的中点 P（2，2+t） ， KAPKl1，2+2 20 1 = 1， t2，不符合0， 直线 l 不存在 【点评】本题主要考查了动点轨迹，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）axex，g（x）x2+2x+b，若曲线 yf（x）与曲线 yg（x） 都过点 P（1，c） 且在点 P 处有相同的切线 l （）求切线 l 的方程； （）若关于 x 的不等式 kef（x）g（x）对任意 x1，+）恒成立，求实数 k 的 取
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