1、文科数学试题（第 1 页共 27 页） 20202020 年年福州市高中毕业班第三次质量检测福州市高中毕业班第三次质量检测 数数 学 （ 文学 （ 文 科科 ） 试） 试 卷卷 （完卷时间:120 分钟；满分:150 分） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 5 页 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后
2、，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第 卷第 卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1. 设全集|8,UxxN集合1,3,7A，则 UA A2,4,5,6 B0,2,4,5,6 C2,4,5,6,8 D0,2,4,5,6,8 2. 已知纯虚数z满足(1 i)2iza，则实数a等于 A2 B1 C1 D2 3. 曲线1exyx在1x 处的
3、切线方程为 Aee0xy Be +e0x y Ce10xy De10xy 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的m A1 B2 C3 D4 5. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 2 0202 020 2020aS， 则 n a的公差为 A2 B2 C2019 D 2019 6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次四人测试成绩对应 的条形图如下： 文科数学试题（第 2 页共 27 页） 以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确 的是 A平均数相同 B中位数相同 C众数不完全相同 D方差最大的是丁 7. 为了得到曲线cosyx，只需把曲线sin 2 6
4、 yx 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 A 3 个单位长度 B 12 个单位长度 C 3 个单位长度 D 6 个单位长度 8. 已知平面, , 两两垂直，直线, ,a b c满足：,abc，则直线, ,a b c可能满 足以下关系：两两相交；两两垂直；两两平行；两两异面其中所有正确结 论的编号是 A B C D 9. 已知椭圆 22 2 :10 9 xy Cb b 的右焦点为F，以C上点M为圆心的圆与x轴相切于 点F，并与y轴交于A，B两点若4FA FB，则C的焦距为 A2 B2 C2 2 D4 10. 已知定义在R上的函数 f x满足 4fxfx ，函
5、数2f x 为偶函数，当 0,2x时， f x 32 9 6 + 2 xxxa .若2,0x 时， f x的最大值为 1 2 ， 则a A3 B2 C 1 2 D 3 2 11. 2019 年世界读书日，陈老师给全班同学开了一份书单，推荐同学们阅读，并在 2020 年世界读书日时交流读书心得 经了解， 甲、 乙两同学阅读书单中的书本有如下信息： 文科数学试题（第 3 页共 27 页） 甲同学还剩 1 3的书本未阅读； 乙同学还剩 5 本未阅读； 有 1 4 的书本甲、乙两同学都没阅读 则甲、乙两同学已阅读的相同的书本有 A2 本 B4 本 C6 本 D8 本 12. 若圆锥的内切球（球面与圆锥
6、的侧面以及底面都相切）的半径为 1，当该圆锥体积取 最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 A.8:3 B.6:1 C .3:1 D. 2:1 第卷第卷 注意事项注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分第第 (13)(21) 题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须 作答作答第第 (22) 、(23) 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13. 已知向量1,2a，,1tb， 若
7、, a b夹角的余弦值为 5 5 ， 则实数t的值为 14. 已知双曲线C过点 1, 5，且渐近线方程为2yx ，则C的离心率为 15. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是 “每个大于 2 的偶数可以拆分为两个素数的和”，如307+2313 1711 19，30 有 3 种拆分方式；633，6 只有 1 种拆分方式.现从大于 4 且小于 16 的偶数中随机任 取一个，取出的数有不止一种上述拆分方式的概率为 16. “熔喷布”是口罩生产的重要原材料， 1 吨熔喷布大约可供生产 100 万只口罩 2020 年， 制造口罩的企业甲的熔喷布 1 月份的需求量为 1
8、00 吨，并且从 2 月份起，每月熔喷布 的需求量均比上个月增加 10%企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙 2020 年 1 月份的产能为 100 吨，为满足市场需求，从 2 月份到k月份28kkN且， 每个月比上个月增加一条月产量为 50 吨的生产线投入生产， 从+1k月份到 9 月份不再 增加新的生产线 计划截止到9月份， 企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外， 还剩余不少于 990 吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加 条熔喷布生 产线 （参考数据： 8 1.12.14， 9 1.12.36） 文科数学试题（第 4 页共 27 页） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明
9、过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 12 分） ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，1a 且3cossinCcA （1）求C； （2）若3b ，D是AB上的点，CD平分ACB，求ACD的面积 18. （本小题满分 12 分） 为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，某机构随机地选取20 位患者服用A药，20位患者服用B药，观察这40位患者的睡眠改善情况这些患者 服用一段时间后，根据患者的日平均增加睡眠时间（单位：h） ，以整数部分当茎， 小数部分当叶，绘制了如下茎叶图： A药 B药 8 7 3 5 9 8 7 7
10、6 5 4 3 3 2 0 0 5 2 1 0 0. 1. 2. 3. 4 5 7 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6 7 2 3 （1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由； （2）求这40名患者日平均增加睡眠时间的中位数m，并将日平均增加睡眠时间超过 m和不超过m的患者人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 服用A药 服用B药 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为,A B两种药的疗效有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd . 2 0 P Kk 0.01 0.005 0.001 0 k 6.
11、635 7.879 10.828 19. （本小题满分 12 分） 如图，在多面体PABCD中，平面ABCD平面PAD，ADBC，90BAD， 120PAD，1BC ，2ABADPA （1）求多面体PABCD的体积； （2）已知E是棱PB的中点，在棱CD是否存在点F使 得EFPD， 若存在， 请确定点F的位置； 若不存在， 请说明理由. A D CB P 文科数学试题（第 5 页共 27 页） 20. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :4C yx，直线: 2(0)l xmym 与C交于A，B两点，M为AB的中 点，O为坐标原点. （1）求直线OM斜率的最大值； （2）若点P在直线2x
12、 上，且PAB为等边三角形，求点P的坐标. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2lnf xxaxx. （1）求函数 f x的单调区间； （2）设函数 f x有两个极值点 1212 ,x xxx，若 12 f xmx恒成立，求实数 m 的取 值范围 请考生在第（请考生在第（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目如果多如果多 做， 则按所做第一个题目计分， 作答时请用做， 则按所做第一个题目计分， 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22. （本
13、小题满分 10 分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 33 ,xkt yt （t为参数） ，直线 2 l的参数 方程为 33 ,xm ykm （m为参数） 设 1 l与 2 l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲 线 1 C （1）求 1 C的普通方程； （2）设Q为圆 2 2 2: 43Cxy上任意一点，求PQ的最大值 23. （本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲 已知0,0ab， 222 4abc （1）当1c 时，求证： 33 9abab； （2）求 222 441 1abc 的最小值 文科数学试题（第 6 页共 27 页） 202020
14、20 年福州市高中毕业班第三次质量检测年福州市高中毕业班第三次质量检测 数 学 （ 文 科 ） 试 卷 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页 注意事项：注意事项： 4. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致 5. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答在试题卷
15、上作答，答案无效 6. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第 卷第 卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 24. 设全集|8UxxN，集合1,3,7A，则 UA A2,4,5,6 B0,2,4,5,6 C2,4,5,6,8 D0,2,4,5,6,8 【命题意图】 本小题以集合为载体， 考查集合的运算等基础知识， 考查运算求解能力， 考查数学运算核心素养，体现基础性 【答案】D 【解析】 解法一： 因为|8=0,1,2,3,4,5,
16、6,7,8,UxxN所以0,2,4,5,6,8 UA ， 故选 D. 解法二：因为0,0,0, U AUA 排除选项 A，C；同理，8, UA 排除选项 B；故 选 D. 25. 已知纯虚数z满足(1 i)2iza，则实数a等于 A2 B1 C1 D2 【命题意图】本小题以复数为载体，考查复数的纯虚数概念及复数四则运算等基础知 识， 考查运算求解能力， 考查化归与转化思想， 考查数学运算核心素养， 体现基础性 【答案】A 【解析】解法一:设 i(,zb bR且0),b 则(1 i) ii2i.bbba 文科数学试题（第 7 页共 27 页） ,aR 2, , b ab 2a，故选 A. 故选
17、A. 解法二: 2i(2i)(1i)22 i 1i222 aaaa z . z为纯虚数， 20 20 a a ， ， 2.a 故选 A. 26. 曲线1exyx在1x 处的切线方程为 Aee0xy Bee0xy Ce10xy De10xy 【命题意图】本题以导数的几何意义为载体，考查曲线在某点处的切线等基础知识， 考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，体现基础性 【答案】B 【解析】当1x 时，0y ，由1exyx得，exyx ， 所以该切线的斜率为e，该切线方程为e1yx ，即ee0xy.故选 B 27. 执行如图所示的程序框图，则输出的m A1 B 2 C3 D4 【命题意图】本小题考查
18、程序框图等基础知识，考查推理论证能力，考查逻辑推理核 心素养，体现基础性 【答案】C 【解析】 该框图的功能为求小于 11 的正整数中 3 的倍数的个数， 故输出的m值为 3 故 选 C 文科数学试题（第 8 页共 27 页） 28. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 2 0202 020 2020aS，则 n a的公差为 A2 B2 C2019 D2019 【命题意图】本小题以数列为载体，考查等差数列的通项公式、前n项和公式等基础知 识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、特殊与一般思想，考查数学运算核心 素养，体现基础性 【答案】 【解析】 解法一： 12020 2020 2
19、020() 2020 2 aa S ， 所以 12020 2aa， 所以 1 2018a ， 所以数列 n a的公差 20201 2 20201 aa d 故选 B 解 法 二 ： 由 题 意 得 ， 20191010 20190Sa， 即 1010 0,a所 以 数 列 n a的 公 差 20201010 2 20201010 aa d 故选 B 解法三：设数列 n a的公差为d，因为 2 0202 020 2020aS， 所以 1 1 20192020 20202019 20202020, 2 ad ad ， 即 1 1 20192020 2019 1, 2 ad ad ， ，解得2d 故
20、选 B 29. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次四人测试成绩对应 的条形图如下： 以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确 的是 A平均数相同 B中位数相同 C众数不完全相同 D方差最大的是丁 【命题意图】本小题以实际问题为载体，考查条形图、平均数、中位数、众数、方差 等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力与应用意识，考查数学建模、数据分 析、数学运算等核心素养，体现基础性、应用性 【答案】D 【解析】 由图的对称性可知， 平均数都为5； 由图易知， 四组数据的众数不完全相同， 文科数学试题（第 9 页共 27 页） 中位数相同；记甲、乙、丙、丁图所对应的
21、方差分别为 2222 1234 ,s s s s，则 22 2 1 450.5650.51s ， 222 2 2 450.3550.4650.30.6s ， 22222 2 3 350.3450.1550.2650.1750.32.6s ， 22222 2 4 250.1450.3550.2650.3850.12.4s ， 所以丙的方差最大故选 D 30. 为了得到曲线cosyx，只需把曲线sin 2 6 yx 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 A 3 个单位长度 B 12 个单位长度 C 3 个单位长度 D 6 个单位长度 【命题意图】本小题考查三角函数
22、的图象变换、诱导公式等基础知识，考查推理论证 能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体 现基础性、综合性 【答案】A 【解析】把sin 2 6 yx 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 到的曲线sin 6 yx 向右平移 3 个单位长度，得到曲线sin 63 yx ，所 以sin 2 yx ,即cosyx，故选 A 31. 已知平面, , 两两垂直，直线, ,a b c满足：,abc，则直线, ,a b c可能满 足以下关系：两两相交；两两垂直；两两平行；两两异面其中所有正确结 论的编号是 A B C D 【命题意图】本小题以空间直线和平面
23、为载体，考查空间直线的位置关系，空间平面 与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力，考查数学建模、数学抽象、直观想象等 核心素养，体现基础性、综合性 【答案】C 【解析】解法一：对于：如图，当= , ac,b时，直线, ,a b c两 两垂直且两两相交，所以结论正确； 对于：如图，假设abc ，m，易证，mb， 文科数学试题（第 10 页共 27 页） 因为平面, , 两两垂直，所以m， 因为b，所以mb，这与mb相矛盾，所以假设不成立， 所以结论不正确； 对于：如图，当, ,a b c分别平行于平面与，与， 与的交线时，, ,a b c两两异面，所以结论正确； 综上，结论正确的是，故选 C.
24、解法二：构造长方体，即可得结论. 32. 已知椭圆 22 2 :10 9 xy Cb b 的右焦点为F，以C上点M为圆心 的圆与x轴相切于点F， 并与y轴交于A，B两点 若4FA FB， 则C的焦距为 A2 B2 C2 2 D4 【命题意图】本小题考查椭圆的方程及其椭圆的简单几何性质、平面向量的数量积等 基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想， 考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性 【答案】C 【解析】 解法一： 设( ,0)F c， 则 2 (,) 3 b M c， 圆M的方程为 22 222 ()()() 33 bb xcy， 即 2 2
25、22 2 20 3 b xycxyc， 令0x ，得 2 22 2 0 3 b yyc， 当0 时， 2 12 y yc.设 1 (0,)Ay， 2 (0,)By， 则 1 (,)FAc y ， 2 (,)FBc y ，则 22 12 24FA FBcy yc，所以 2 2c ，解得 2c ，所以焦距为22 2c ，故选 C. 解法二：设( ,0)F c，则 2 ( ,) 3 b M c 不妨设B在A上方，取AB中点N，设AN t ， 则 2 24 22 222 39 bb tAMMNcc ， 22 0,0, 33 bb AtBt ，所以FA FB 22444 22222 ,24 33999
26、bbbbb ctctctccc ，解得2c ，所 以焦距为22 2c 故选 C a b c a b c a b c m 文科数学试题（第 11 页共 27 页） 解法三：设( ,0)F c，则 2 ( ,) 3 b M c 不妨设B在A上方，取AB中点N，设AN t， 则 4 22 2 22 9 b ABAMMNc，所以FA FB 22 1 4 FAFBFAFB 2 21 2 4 FNBA 44 22 1 44 499 bb cc 2 24c ，解得2c ，所以焦距为 22 2c 故选 C 33. 已知定义在R上的函数 f x满足 4fxfx ，函数2f x 为偶函数，当 0,2x时， 32
27、9 6 + 2 f xxxxa .若2,0x 时， f x的最大值为 1 2 ， 则a A3 B2 C 1 2 D 3 2 【命题意图】本小题考查函数的奇偶性、对称性，函数的最值等基础知识，考查运算 求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查数学运算、逻 辑推理等核心素养，体现基础性、综合性 【答案】A 【解析】由函数2f x 是偶函数，得 f x关于2x 对称，即4f xfx， 因为 4f xf x ， 所以 ()( )fxf x ， 所以 f x为奇函数 因为 f x在2,0 上 最 大 值 为 1 2 ， 所 以 f x在0,2上 最 小 值 为 1 2 当0 , 2
28、x时 ， 2 396fxxx ，令 0fx得1x ，所以 ( )f x在(0,1)递减，在(1,2)递增，所 以当1x 时，( )f x取得极小值，即最小值，所以 min 5 1 2 1 2 3f xfaa，. 故选 A. 34. 2019 年世界读书日，陈老师给全班同学开了一份书单，推荐同学们阅读，并在 2020 年世界读书日时交流读书心得 经了解， 甲、 乙两同学阅读书单中的书本有如下信息： 甲同学还剩 1 3的书本未阅读； 乙同学还剩 5 本未阅读； 有 1 4 的书本甲、乙两同学都没阅读 则甲、乙两同学已阅读的相同的书本有 A2 本 B4 本 C6 本 D8 本 【命题意图】本小题考查
29、推理、集合、解方程、解不等式等基础知识，考查运算求解 能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养， 文科数学试题（第 12 页共 27 页） 体现基础性、综合性 【答案】C 【解析】解法一：如图，设甲阅读且乙未阅读的书本有x本， 乙阅读且甲未阅读的书本有y本，甲和乙都已阅读的相同的书 本有z本，甲和乙都未阅读的相同的书本有w本，其中 , , ,w x y z N ，则 22, 5, 3 , xzwy wx xyzw 53 0, 3 , 1,6. 115 0, , xy wy yz zy y N 故选 C 解法二：设这份书单共有x本书，甲和乙已阅读的相同的书本有a本
30、 依题意有，5 34 xx xa，所以 11 5 12 x a 又因为 2 , 3 5, x a xa 即 211 5, 312 11 55, 12 xx x x 解得520x剟，又因为aN， 所以x是 12 的倍数，所以12x ，所以1156a 故选 C 解法三：设这份书单共有x本书，甲和乙已阅读的相同的书本有a本 有 1 4 的书甲、乙两同学都没阅读，即有 3 4 的书甲同学或乙同学读过， 依题意有， 23 5 34 xx xa，所以 11 5 12 x a 又因为 2 , 3 5, x a xa 即 211 5, 312 11 55, 12 xx x x 解得520x剟，又因为aN， 所
31、以x是 12 的倍数，所以12x ，所以=115=6a故选 C 解法四： 设甲和乙已阅读的相同的书本有t本， 甲已阅读xt本书， 未阅读m本书； 乙已阅读yt本书，有 1 4 的书甲、乙两同学都没阅读，即有 3 4 的书甲同学或乙同学 读过，则有 2 , 53 , 3 3 , 4 xtm ytm xytm 所以 11 50 4 tm ， 乙甲 w zy x 文科数学试题（第 13 页共 27 页） 又22tmxm ，所以1152 4 mm ，综上， 2020 113 m 依题意，, , ,x y t m为整数，所以m为 4 的倍数，只能为 4，从而6t 故选 C 35. 若圆锥的内切球（球面与
32、圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为 1，当该圆锥体积取 最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 A.8:3 B.6:1 C .3:1 D. 2:1 【命题意图】本小题考查圆锥的内切球、几何体的体积、基本不等式等基础知识，考 查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、 化归与转化思想、考查数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养，体现 综合性、应用性和创新性 【答案】D 【解析】解法一：如图，设圆锥底面半径为R，高为h. 由AOFACE可得 OFAO ECAC ，即 22 11h R Rh ， 则 2 2 2 h Rh h ， 所以 2 2 1114 24
33、 33232 h VR hh hh ， 因为20h，所以 4 24 2 h h ，当且仅当 4 2 2 h h ，即4h 时取等号， 此时圆锥体积最小，最小值为 8 3 .因为该球的体积为 4 3 ， 所以该圆锥体积与其内切球体积比为2:1，故选 D. 解法二: 如图，设圆锥底面半径为R，高为h. 由AOFACE可得 OFAO ECAC ，即 22 11h R Rh ， 则 2 2 2 h Rh h ， 所以 2 2 11 332 h VR h h ，令 2 ( )(2) 2 h f hh h ， 则 2 22 2 (2)(4) ( ) (2)(2) h hhh h fh hh ,当24h时，
34、( )0fh；当4h 时，( )0fh； 所以( )f h在(2,4)上单调递减,在(4,)上单调递增,所以 min ( )48f hf， 即4h 时,该圆锥体积最小, 最小值为 8 3 .又其内切球体积为 4 3 . 所以该圆锥体积与其内切球体积比为2:1，故选 D. 文科数学试题（第 14 页共 27 页） 解法三：设,0, 4 OCE ，则tan OE EC ，所以 1 tan EC ， 又tanECAtan2 AE EC ，所以 2 2 tan2 1tan AEEC ， 所以 2 22 112 33tan1tan VECAE ，令 2 tan01tt ， 因为 2 2 11 1 24
35、ttttt ，当且仅当 1 2 t 时取得最大值 1 4 ， 从而圆锥体积最小，最小值为 8 3 .因为该球的体积为 4 3 ， 所以该圆锥体积与其内切球体积比为2:1，故选 D. 第卷第卷 注意事项注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 本卷包括必考题和选考题两部分第本卷包括必考题和选考题两部分第 (13)(21) 题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须 作答第作答第 (22) 、(23) 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 3
36、6. 已知向量1,2a，,1tb， 若, a b夹角的余弦值为 5 5 ， 则实数t的值为 【命题意图】本小题以平面向量为载体，考查平面向量的夹角等基础知识，考查运算 求解能力，考查函数与方程思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性 【答案】 3 4 . 【解析】因为, a b夹角的余弦值为 5 5 ，所以 2 25 5 51 t t ，解得 3 4 t 37. 已知双曲线C过点 1, 5，且渐近线方程为2yx ，则C的离心率为 【命题意图】本小题以双曲线为载体，考查双曲线的简单几何性质等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，考查直观想象、数学运算核心素养，体现基础 性 【答案】
37、5 2 . 【解析】解法一：依题意，C的焦点在y轴上，设其方程为 22 22 10,0 yx ab ab ， 它 的 渐 近 线 方 程 为 a yx b ， 与2yx 比 较 得2 a b ， 设20ak k， 则 文科数学试题（第 15 页共 27 页） ,5bk ck，所以离心率 5 = 2 c e a 解法二：设C的方程为 22 4=xy0，因为C过点 1, 5，则1 ，所以C的 方程为 22 41yx， 所以 1 1, 2 ab， 所以 22 5 += 2 cab， 所以离心率 5 2 c e a 38. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是 “每
38、个大于 2 的偶数可以拆分为两个素数的和”，如307+2313 1711 19，30 有 3 种拆分方式；633，6 只有 1 种拆分方式.现从大于 4 且小于 16 的偶数中随机任 取一个，取出的数有不止一种上述拆分方式的概率为 【命题意图】本小题以数学文化为背景，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能 力、抽象概括能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，考查数学建 模、数学运算等核心素养，体现基础性、应用性 【答案】 2 5 . 【解析】 本题为古典概型概率求解问题， 可求得大于 4 且小于 16 的所有偶数共 5 个， 通过将这 5 个偶数进行拆分，发现63 3,83 5,1
39、257 都只有一种拆分；发现 10=3+7=5+5，14=3+11=7+7 都有两种拆分，故共有 2 个数有不止一种的拆分方式， 因此所求概率为 2 5 . 39. “熔喷布”是口罩生产的重要原材料， 1 吨熔喷布大约可供生产 100 万只口罩 2020 年， 制造口罩的企业甲的熔喷布 1 月份的需求量为 100 吨，并且从 2 月份起，每月熔喷布 的需求量均比上个月增加 10%企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙 2020 年 1 月份的产能为 100 吨，为满足市场需求，从 2 月份到k月份28kkN且， 每个月比上个月增加一条月产量为 50 吨的生产线投入生产， 从+1k月份到 9
40、月份不再 增加新的生产线 计划截止到9月份， 企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外， 还剩余不少于 990 吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加 条熔喷布生 产线 （参考数据： 8 1.12.14， 9 1.12.36） 【命题意图】 本小题以实际问题为背景， 考查等差数列前 n 项和、 等比数列前 n 项和、 解不等式基础知识；考查运算求解能力、应用意识；考查数学抽象、数学建模、数学 运算等核心素养；体现综合性和应用性 【答案】5 【解析】依题意得，企业甲从 2020 年 1 月到 9 月的需求量为 9 9 100 (1 1.1 ) 1000 (1.11) 1 1.1 1360（
41、吨）. 文科数学试题（第 16 页共 27 页） 易知，企业乙增加 1 条熔喷布生产线，不符合题意； 依题意，当企业乙增加1 28kkkN且条熔喷布生产线时，从 2020 年 1 月到 9 月的“熔喷布”产量为 2 (1005050 ) 50+1 (9)25475 +450 2 k k kkkk ， 所以 2 25475 +450 1360 990kk，即 2 19760kk， 记 2 1976f kkk，则 f k在2,8上为减函数， 又因为 22 5519 57660,6619 67620ff ， 所以k最小值为 6，所以企业乙至少需要增加 5 条生产线 三、解答题：解答应写出文字说明、证
42、明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 40. （本小题满分 12 分） ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，1a 且3cossinCcA. （1）求C； （2）若3b ，D是AB上的点，CD平分ACB，求ACD的面积 【命题意图】 本小题以解三角形为载体， 考查正弦定理、 三角形面积公式等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基 础性、综合性 【解析】解法一： （1）因为1a 且3cossinCcA， 所以3 cossinaCcA， 1 分 根据正弦定理，得3sincossinsinACCA， 3 分 因为0,A，所以sin0A，所以tan3C ， 4 分 因为0,C，所以 3 C
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