1、2020 年中考数学二模试卷年中考数学二模试卷 一、选择题（本题共 6 题） 1a（a0）的倒数是（ ） Aa Ba C D 2计算（2x）2的结果是（ ） A2x2 B2x2 C4x2 D4x2 3如果反比例函数 y的图象在二、四象限，那么 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk0 Ck0 Dk0 4下列方程中，没有实数根的是（ ） Ax22x0 Bx22x10 Cx22x+10 Dx22x+20 5为了解某校初三 400 名学生的体重情况，从中抽取 50 名学生的体重进行分析在这项调 查中，下列说法正确的是（ ） A400 名学生中每位学生是个体 B400 名学生是总体 C被抽取的 50 名
2、学生是总体的一个样本 D样本的容量是 50 6如图，点 G 是ABC 的重心，联结 AG 并延长交 BC 边于点 D设，那么 向量用向量 、 表示为（ ） A B C D 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7计算：a3a 8在实数范围内分解因式：m22 9函数的定义域是 10不等式组的整数解是 11如果将直线 y3x 平移，使其经过点（0，1），那么平移后的直线表达式是 12从 2，3，4，5，6 这五个数中任选一个数，选出的这个数是素数的概率是 13如果点 D、E 分别是ABC 的 AB、AC 边的中点，那么ADE 与ABC 的周长之比 是 14已知点 C 在
3、线段 AB 上，且 0ACAB如果C 经过点 A，那么点 B 与C 的位置 关系是 15随机选取 50 粒种子在适宜的温度下做发芽天数的试验，试验的结果如表所示估计该 作物种子发芽的天数的平均数约为 天 天数 1 2 3 发芽 15 30 5 16在ABC 中，ABAC3，BC2，将ABC 绕着点 B 顺时针旋转，如果点 A 落在射 线 BC 上的点 A处那么 AA 17在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4分别以 A、B 为圆心画圆，如果A 经过点 C，B 与A 相交，那么B 的半径 r 的取值范围是 18小明学习完相似三角形一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角 形中
4、，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第 一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形 相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似他把这样的两条直线称为这两个直角 三角形的相似分割线 如图 1、图 2，直线 CG、DH 分别是两个不相似的 RtABC 和 RtDEF 的相似分割线， CG、DH 分别与斜边 AB、EF 交于点 G、H，如果BCG 与DFH 相似，AC3，AB 5，DE4，DF8，那么 AG 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19计算： 20解方程：1 21如图，在 RtABC 中，ACB90，ACB
5、C4，点 D 在边 BC 上，且 BD3CD， DEAB，垂足为点 E，联结 CE （1）求线段 AE 的长； （2）求ACE 的余切值 22某湖边健身步道全长 1500 米，甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行甲先到达 终点后立刻返回，在整个步行过程中，甲、 乙两人间的距离 y（米） 与出发的时间 x（分） 之间的关系如图中 OAAB 折线所示 （1）用文字语言描述点 A 的实际意义； （2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时 x 的值 23 如图， 在平行四边形 ABCD 中， BE、 DF 分别是平行四边形的两个外角的平分线， EAF BAD，边 AE、AF 分别交两条角平分线于点 E、F
6、 （1）求证：ABEFDA； （2）联结 BD、EF，如果 DF2AD AB，求证：BDEF 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yax24ax+3 的图象与 x 轴正半轴交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，且 tanCAO3 （1）求这个二次函数的解析式； （2） 点 P 是对称轴右侧抛物线上的点， 联结 CP， 交对称轴于点 F， 当 SCDF： SFDP2： 3 时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将PCD 沿直线 MN 翻折，当点 P 恰好与点 O 重合时，折痕 MN 交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，求的值 25如图，已知 AB 是半圆
7、 O 的直径，AB6，点 C 在半圆 O 上过点 A 作 ADOC，垂 足为点 D，AD 的延长线与弦 BC 交于点 E，与半圆 O 交于点 F（点 F 不与点 B 重合） （1）当点 F 为的中点时，求弦 BC 的长； （2）设 ODx，y，求 y 与 x 的函数关系式； （3）当AOD 与CDE 相似时，求线段 OD 的长 参考答案 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1a（a0）的倒数是（ ） Aa Ba C D 【分析】一般地，a1 （a0），就说 a（a0）的倒数是 据此即可得出答案 解：a（a0）的倒数是， 故选：C 2计算（2x）2的结果是（ ） A2
8、x2 B2x2 C4x2 D4x2 【分析】根据积的乘方法则计算即可 解：（2x）24x2 故选：C 3如果反比例函数 y的图象在二、四象限，那么 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk0 Ck0 Dk0 【分析】根据反比例函数图象的性质：当 k0 时，反比例函数图象位于第二、四象限 解：图象在二、四象限， k0 故选：B 4下列方程中，没有实数根的是（ ） Ax22x0 Bx22x10 Cx22x+10 Dx22x+20 【分析】分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况 即可 解：A、（2） 241040，方程有两个不相等的实数根，所以 A 选项错误； B、（2）2
9、41（1）80，方程有两个不相等的实数根，所以 B 选项错 误； C、（2）24110，方程有两个相等的实数根，所以 C 选项错误； D、（2）241240，方程没有实数根，所以 D 选项正确 故选：D 5为了解某校初三 400 名学生的体重情况，从中抽取 50 名学生的体重进行分析在这项调 查中，下列说法正确的是（ ） A400 名学生中每位学生是个体 B400 名学生是总体 C被抽取的 50 名学生是总体的一个样本 D样本的容量是 50 【分析】总体是所有调查对象的全体；样本是所抽查对象的情况；所抽查对象的数量； 个体是每一个调查的对象 解：A.400 名学生中每位学生的体重是个体，故本选
10、项不合题意； B.400 名学生的体重是总体，故本选项不合题意； C被抽取的 50 名学生的体重是总体的一个样本，故本选项不合题意； D样本的容量是 50，符号题意； 故选：D 6如图，点 G 是ABC 的重心，联结 AG 并延长交 BC 边于点 D设，那么 向量用向量 、 表示为（ ） A B C D 【分析】G 是ABC 的重心，推出 AG2DG，推出 AD3DG，利用三角形法则求出 即可解决问题 解：G 是ABC 的重心， AG2DG， AD3DG， 33 ， + +3 ，DBBD， 26 2 ， 故选：C 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7计算：a3a
11、 a2 【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解 解：a3aa31a2 故答案为：a2 8在实数范围内分解因式：m22 【分析】在实数范围内把 2 写作（）2，原式满足平方差公式的特点，利用平方差公 式即可把原式分解因式 解：m22 m2（ ）2 （m+）（m ） 故答案为：（m+）（m） 9函数的定义域是 x3 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围 解：根据题意得：x+30， 解得：x3 故答案为：x3 10不等式组的整数解是 1，0，1 【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其 整数解 解：解不等式
12、x+10，得：x1， 解不等式 2x0，得：x2， 则不等式组的解集为1x2， 所以不等式组的整数解为1、0、1， 故答案为：1、0、1 11如果将直线 y3x 平移，使其经过点（0，1），那么平移后的直线表达式是 y3x 1 【分析】 根据平移不改变 k 的值可设平移后直线的解析式为 y3x+b， 然后将点 （0， 1） 代入即可得出直线的函数解析式 解：设平移后直线的解析式为 y3x+b， 把（0，1）代入直线解析式得1b， 解得 b1 所以平移后直线的解析式为 y3x1 故答案为：y3x1 12从 2，3，4，5，6 这五个数中任选一个数，选出的这个数是素数的概率是 【分析】这五个数中任
13、选一个数共有 5 种等可能结果，其中选出的这个数是素数的有 2、 3、5 这 3 种结果，根据概率公式求解可得 解：从从 2，3，4，5，6 这五个数中任选一个数共有 5 种等可能结果，其中选出的这个 数是素数的有 2、3、5 这 3 种结果， 所以选出的这个数是素数的概率是， 故答案为： 13如果点 D、E 分别是ABC 的 AB、AC 边的中点，那么ADE 与ABC 的周长之比是 1：2 【分析】根据中位线的定理即可求出答案 解：点 D、E 分别是ABC 的 AB、AC 边的中点， DE 是ABC 的中位线， ， 故答案为：1：2 14已知点 C 在线段 AB 上，且 0ACAB如果C 经
14、过点 A，那么点 B 与C 的位置 关系是 点 B 在C 外 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论 解：如图， 点 C 在线段 AB 上，且 0ACAB， BCAC， 点 B 在C 外， 故答案为：点 B 在C 外 15随机选取 50 粒种子在适宜的温度下做发芽天数的试验，试验的结果如表所示估计该 作物种子发芽的天数的平均数约为 1.8 天 天数 1 2 3 发芽 15 30 5 【分析】利用加权平均数的定义列式计算可得 解：估计该作物种子发芽的天数的平均数约为1.8（天）， 故答案为：1.8 16在ABC 中，ABAC3，BC2，将ABC 绕着点 B 顺时针旋转，如果点 A 落在射
15、线 BC 上的点 A处那么 AA 2 【分析】作 AHBC 于 H，如图，利用等腰三角形的性质得 BHCHBC1，利用 勾股定理可计算出 AH2，再根据旋转的性质得 BABA3，则 HA2，然后 利用勾股定理可计算出 AA的长 解：作 AHBC 于 H，如图， ABAC3，BC2， BHCHBC1， AH2， ABC 绕着点 B 顺时针旋转，如果点 A 落在射线 BC 上的点 A处， BABA3， HA2， 在 RtAHA中，AA2 故答案为 2 17在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4分别以 A、B 为圆心画圆，如果A 经过点 C，B 与A 相交，那么B 的半径 r 的取值范围是
16、2r8 【分析】根据勾股定理求出斜边 AB，根据A 经过点 C 求出A 的半径为 3，再求出B 的半径范围即可 解：在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4， 由勾股定理得：AB5， A 经过点 C， ADAC3， BD2， B 与A 相交， B 的半径 r 的取值范围是 2r8， 故答案为：2r8 18小明学习完相似三角形一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角 形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第 一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形 相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似他把这样的两条直
17、线称为这两个直角 三角形的相似分割线 如图 1、图 2，直线 CG、DH 分别是两个不相似的 RtABC 和 RtDEF 的相似分割线， CG、DH 分别与斜边 AB、EF 交于点 G、H，如果BCG 与DFH 相似，AC3，AB 5，DE4，DF8，那么 AG 3 【分析】先由勾股定理得出 BC 的值，再由BCGDFH 列出比例式，设 AGx，用 含 x 的式子表示出 DH；按照相似分割线可知，AGCDHE，但要先得出两个相似三角 形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得 x 值即可 解：RtABC，AC3，AB5， 由勾股定理得：BC4， BCGDFH， ， 已知 D
18、F8，设 AGx，则 BG5x， ， DH102x， BCGDFH， BFDH，BGCCHF， AGCDHE， A+B90，EDH+FDH90， AEDH， AGCDHE， ， 又 DE4， ， 解得：x3， 经检验，x3 是原方程的解，且符合题意 AG3 故答案为：3 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19计算： 【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案 解：原式 12+4 20解方程：1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 解：去分母得：4x2x4x24x+2，即 x23x+20， 解
19、得：x1 或 x2， 经检验 x2 是增根，分式方程的解为 x1 21如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC4，点 D 在边 BC 上，且 BD3CD， DEAB，垂足为点 E，联结 CE （1）求线段 AE 的长； （2）求ACE 的余切值 【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出 AE 的长； （2）过点 E 作 EHAC 于点 H根据等腰直角三角形的性质可得 EHAH 的值，再根 据三角函数即可求出ACE 的余切值 解：（1）BC4，BD3CD， BD3 ABBC，ACB90， AB45 DEAB， 在 RtDEB 中， 在 RtACB 中， （2）如图，过点 E 作 EHAC
20、 于点 H 在 RtAHE 中， AHAE cos45， ， EHAH， 在 RtCHE 中，cotECB， 即ECB 的余切值是 22某湖边健身步道全长 1500 米，甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行甲先到达 终点后立刻返回，在整个步行过程中，甲、 乙两人间的距离 y（米） 与出发的时间 x（分） 之间的关系如图中 OAAB 折线所示 （1）用文字语言描述点 A 的实际意义； （2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时 x 的值 【分析】（1）根据题意结合图象解答即可； （2）根据图象分别求出两人的速度，再根据题意列方程解答即可 解：（1）点 A 的实际意义为：20 分钟时，甲乙两人相距 5
21、00 米 （2）根据题意得，（米/分），（米/分）， 依题意，可列方程：75（x20）+50（x20）500， 解这个方程，得 x24， 答：甲的速度是每分钟 75 米，乙的速度是每分钟 50 米，两人相遇时 x 的值为 24 23 如图， 在平行四边形 ABCD 中， BE、 DF 分别是平行四边形的两个外角的平分线， EAF BAD，边 AE、AF 分别交两条角平分线于点 E、F （1）求证：ABEFDA； （2）联结 BD、EF，如果 DF2AD AB，求证：BDEF 【分析】（1）根据角平分线的定义得到HDFHDC根据平行四边形的性质得到 ABCD求得BADCDH等量代换得到BAEF，
22、同理DAFE，于是得 到结论； （2）作 AP 平分DAB 交 CD 于点 P，由角平分线的定义得到DAPBAD，求得 HDFDAP，推出 DFAP，同理 BEAP，根据相似三角形的性质得到 BEDF， 根据平行四边形的性质即可得到结论 解：（1）EAFBAD， DAF+BAEBAD， DF 平分HDC， HDFHDC， 又四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， BADCDH， HDFEAF， HDFDAF+BAE， 又HDFDAF+F， BAEF， 同理：DAFE， ABEFDA； （2）作 AP 平分DAB 交 CD 于点 P， DAPBAD， HDFCDH，且BADCDH HDFD
23、AP， DFAP， 同理：BEAP， DFBE， ABEFDA， ， 即 BE DFAD AB， 又DF2AD AB， BEDF， 四边形 DFEB 是平行四边形， BDEF 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yax24ax+3 的图象与 x 轴正半轴交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，且 tanCAO3 （1）求这个二次函数的解析式； （2） 点 P 是对称轴右侧抛物线上的点， 联结 CP， 交对称轴于点 F， 当 SCDF： SFDP2： 3 时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将PCD 沿直线 MN 翻折，当点 P 恰好与点 O 重合时，折痕
24、MN 交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，求的值 【分析】（1）在 RtAOC 中，tanCAO3，求出点 A 的坐标，即可求解； （2）利用，即可求解； （3）证明ONMPOH，则 解：（1）二次函数 yax24ax+3 的图象与 y 轴交于点 C， 点 C 的坐标为（0，3）， OC3， 连接 AC，在 RtAOC 中，tanCAO3， OA1， 将点 A（1，0）代入 yax24ax+3，得 a4a+30， 解得：a1 所以，这个二次函数的解析式为 yx24x+3； （2）过点 C 作 CGDF，过点 P 作 PQDF，垂足分别为点 G、Q 抛物线 yx24x+3 的对称轴为直线 x
25、2， CG2， ， PQ3， 点 P 的横坐标为 5， 把 x5 代入 yx24x+3，得 y8， 点 P 的坐标为（5，8）； （3）过点 P 作 PHOM，垂足分别为点 H， 点 P 的坐标为（5，8）， OH5，PH8， 将PCD 沿直线 MN 翻折，点 P 恰好与点 O 重合， MNOP， ONM+NOP90， 又POH+NOP90， ONMPOH， 25如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，AB6，点 C 在半圆 O 上过点 A 作 ADOC，垂 足为点 D，AD 的延长线与弦 BC 交于点 E，与半圆 O 交于点 F（点 F 不与点 B 重合） （1）当点 F 为的中点时，求弦 B
26、C 的长； （2）设 ODx，y，求 y 与 x 的函数关系式； （3）当AOD 与CDE 相似时，求线段 OD 的长 【分析】（1）联结 OF，交 BC 于点 H得出BOFCOF则AOCCOF BOF60，可求出 BH，BC 的长； （2） 联结 BF 证得 ODBF， 则， 即， 得出， 则得出结论； （3）分两种情况：当DCEDOA 时，ABCB，不符合题意，舍去，当DCE DAO 时，联结 OF，证得OAF30，得出 OD，则答案得出 解：（1）如图 1，联结 OF，交 BC 于点 H F 是中点， OFBC，BC2BH BOFCOF OAOF，OCAF， AOCCOF， AOCCOFBOF60， 在 RtBOH 中，sinBOH， AB6， OB3， BH， BC2BH3； （2）如图 2，联结 BF AFOC，垂足为点D， ADDF 又OAOB， ODBF，BF2OD2x ， ， 即， ， y （3）AODCDE，分两种情况：当DCEDOA 时，ABCB，不符合题意， 舍去 当DCEDAO 时，联结 OF OAOF，OBOC， OAFOFA，OCBOBC DCEDAO， OAFOFAOCBOBC AODOCB+OBC2OAF， OAF30， OD 即线段 OD 的长为
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