1、湖北省湖北省 2020 届高三（届高三（5 月）调研模拟考试数学（文科）试卷月）调研模拟考试数学（文科）试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设全集 UN*，集合 A1，2，3，4，5，B2，4，6，8，则图中的阴影部分表示 的集合为（ ） A1，3，5 B2，4 C6，8 D2，4，6，8 2已知 i 是虚数单位，复数 = +1，则 z 的虚部为（ ） A1 2 B 1 2 C1 2 D 1 2 3已知数列an的前项和=
2、 22+ 1， ，则 a5a1（ ） A13 B14 C15 D16 4若( 2) = 2 3 则(2 2) =（ ） A 1 9 B1 9 C 5 9 D5 9 5如图所示，网格纸上每个小格都是边长为 1 的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视 图，则该几何体的体积为（ ） A4 B2 C4 3 D2 3 6若ABC 三边长分别为 3，5，7，则ABC 的面积为（ ） A153 8 B53 2 C153 4 D213 8 7某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名同学的 得分都在50，100内，按得分分成 5 组：50，60） ，60，70） ，70
3、，80） ，80，90） ，90， 100，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为（ ） A72.5 B75 C77.5 D80 8ABC 中，点 D 为 BC 的中点， = 3 ，M 为 AD 与 CE 的交点，若 = ，则 实数 （ ） A1 4 B1 3 C2 5 D1 2 9甲、乙、丙、丁四人等可能分配到 A、B、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、 乙两人不在同一工厂工作的概率为（ ） A1 6 B1 3 C1 2 D5 6 10函数 = 4 2的值域为（ ） A2 22，4 B0，4 C0，2 + 22 D2 22，2+ 22 11 已知函数() =
4、 ( 3)(0)在0， 有且仅有 4 个零点， 则 的取值范围为 （ ） A10 3 ， 13 3 ) B13 3 ， 16 3 ) C7 3 ， 17 6 ) D7 3 ， 16 3 ) 12已知 f（x）a（exe x）sinx（a0）存在唯一零点，则实数 a 的取值范围（ ） A( 2 ，+ ) B 2 ，+ ) C(1 2， + ) D1 2 ，+ ) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知直线 l 过圆 x2+y26x2y+60 的圆心且与直线 x+y+10 垂直则 l 的方程 是 14已知双曲线： 2 2 2
5、2 = 1(0，0)的左焦点 F1（c，0）关于直线 bx+ay0 的 对称点 P 在双曲线上则双曲线 C 的离心率为 15半径为 2 的球 O 内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为 16已知函数 f（x）是定义在（0，+）的单调函数，对定义域内任意 x，均有 ff（x） lnxx22，则函数在点（e，f（e） ）处切线的纵截距为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题第题第 21 题为题为 必考题， 每个试题考生都必须作答 第必考题， 每个试题考生都必须作答 第 22 题第题第 23 题为选考题， 考
6、生根据要求作答 （一）题为选考题， 考生根据要求作答 （一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2Sn+1（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（2n+1） an，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 已知如图 1 直角ABC 中， ACBC， AC6， BC= 63， 点 D 为 AB 的中点， BC3BF， 将ACD 沿 CD 折起，使面 ACD面 BCD，如图 2 （1）求证：ACDF； （2）图 2 中，求 C 点到平面 ADF 的距离 19如图，已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1、
7、F2，|12| = 25， Q 是 y 轴的正半轴上一点，QF2交椭圆于 P，且 PF1PF2，PQF1的内切圆M 半径为 1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 N 点为圆 M 上一点，求1 2 的取值范围 20 如表是某原料在市场上从 2013 年至 2019 年这 7 年中每年的平均价格 （单位： 千元/吨） 数据： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 x 1来源:Z+xx+k.Com 2 3 4 5 6 7 平均价格 y（单位：千元/ 吨） 2.96 3.22 3.49 3.70 4.05 4.46 4.81 （1）从表中数据可认
8、为 x 和 y 线性相关性较强，求出以 x 为解释变量 y 为预报变量的线 性回归方程（系数精确到 0.01） ； （2）以（1）的结论为依据，预测 2032 年该原料价格预估该原料价格在哪一年突破 1 万元/吨？ 参考数据： 1 = 26.69， 1 = 115.31， 1 2 104.43， 1 2 140； 参考公式：回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b= =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = 21已知函数 f（x）x（x+a）2（aR） （1）若 a3，求过点 P（4，4）且与 yf（x）相切的直线方程； （2）若 a0，证明：(:;2) 2
9、 2: (2 + 4)2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22，23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分作答时写清题号一题计分作答时写清题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系中 xOy，曲线 E 的参数方程为 = 3 = 22 32 + 2（ 为参数） ， 若以直角坐标系中的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 F 的极坐 标方程为( 4) = 2（t 为参数） （1）求曲线 E 的普通方程和曲线 F 的直角坐标方程； （2）若曲线 E 与曲线 F 有公共点
10、，求 t 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数() = 1 2|x|x1|，f（x）+10 的解集为 M （1）求 M； （2）若 aM，b（2，0） ，且|a2|b|，证明：| + | 4|2 + 2 + 来 源:Zxxk.Com 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设全集 UN*，集合 A1，2，3，4，5，B2，4，6，8，则图中的阴影部分表示 的集合为（ ） A1
11、，3，5 B2，4 C6，8 D2，4，6，8 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（UA）B，根据集合的运算求解即可 根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为： （UA）B6，8 故选：C 本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识， 考查数形结 合思想属于基础题 2已知 i 是虚数单位，复数 = +1，则 z 的虚部为（ ） A1 2 B 1 2 C1 2 D 1 2 直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案 = +1 = (1) (1+)(1) = 1+ 2 = 1 2 + 1 2 ， 则 z 的虚部为：1 2 故选：C 本题考查了复数代数形式的乘除运算
12、，考查了复数的基本概念，是基础题 3已知数列an的前项和= 22+ 1， ，则 a5a1（ ） A13 B14 C15 D16 数列an的前项和= 22+ 1， ，可得 a1S13，a5S5S4，即可得出 数列an的前项和= 22+ 1， ， a1S13，a5S5S4（252+1）（242+1）18 则 a5a118315 故选：C 本题考查了数列的递推关系、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 4若( 2) = 2 3 则(2 2) =（ ） A 1 9 B1 9 C 5 9 D5 9 由已知利用诱导公式可得 sin，进而根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求解 (
13、2) = 2 3 ，可得 sin= 2 3 ， (2 2) = cos2（12sin 2）2（ 2 3 ）21= 5 9 故选：C 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查 了转化思想，属于基础题 5如图所示，网格纸上每个小格都是边长为 1 的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视 图，则该几何体的体积为（ ） A4 B2 C4 3 D2 3 通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可 如图三棱锥 ABCD 是该几何体的直观图，三棱锥的高为 2，底面三角形 ABC 的底边长 为 1，高为 2， 则此几何体的体积为 V= 1 3 1 2 1
14、 2 2 = 2 3， 故选：D 本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力 6若ABC 三边长分别为 3，5，7，则ABC 的面积为（ ） A153 8 B53 2 C153 4 D213 8 可设ABC 的三边分别为 a3，b5，c7，运用余弦定理可得 cosC，由同角的平方关 系可得 sinC，进而根据三角形的面积公式即可计算得解 可设ABC 的三边分别为 a3，b5，c7， 由余弦定理可得，cosC= 2+22 2 = 9+2549 235 = 1 2， 可得 sinC= 1 2 = 3 2 ， 可得ABC 的面积为 S= 1 2absinC= 1 2 3 5
15、3 2 = 153 4 故选：C 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式以及三角形的面积公式的应用，考 查了计算能力和转化思想，属于基础题 7某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名同学的 得分都在50，100内，按得分分成 5 组：50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90， 100，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为（ ） A72.5 B75 C77.5 D80 由频率分布直方图求出50，70）的频率为 0.4，70，80）的频率为 0.4，由此能求出这 100 名同学的得分的中位数
16、由频率分布直方图得： 50，70）的频率为： （0.010+0.030）100.4，来源:学.科.网 Z.X.X.K 70，80）的频率为：0.040100.4， 这 100 名同学的得分的中位数为： 70+ 0.50.4 0.4 10 =72.5 故选：A 本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 8ABC 中，点 D 为 BC 的中点， = 3 ，M 为 AD 与 CE 的交点，若 = ，则 实数 （ ） A1 4 B1 3 C2 5 D1 2 根据 D 为 BC 的中点可得出 = 1 2 + 1 2 ， 再根据 = 3 即可得出 = 3 2
17、+ 2 ，而根据 E，M，C 三点共线即可得出3 2 + 2 = 1，解出 即可 如图，D 为 BC 的中点， = 1 2 + 1 2 ， 又 = ，且 = 3 ， = 2 + 2 = 3 2 + 2 ，且 E，M，C 三点共线， 3 2 + 2 = 1，解得 = 1 2 故选：D 本题考查了向量加法的平行四边形法则， 向量数乘的几何意义， 向量的数乘运算， 三点A， B，C 共线，且 = + 时，+1，考查了计算能力，属于基础题 9甲、乙、丙、丁四人等可能分配到 A、B、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、 乙两人不在同一工厂工作的概率为（ ） A1 6 B1 3 C1 2 D5 6
18、基本事件总数 n= 4 233 =36，甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数 m= 2 233 =6，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人不在同一工厂工作的概 率 甲、乙、丙、丁四人等可能分配到 A、B、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人， 基本事件总数 n= 4 233 =36， 甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数 m= 2 233 =6， 则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为 p1 = 1 6 36 = 5 6 故选：D 本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题 10函数 = 4 2的值域为（ ） A2 22，4 B0，4
19、C0，2 + 22 D2 22，2+ 22 由 4xx20， 解得 0x4 可得函数 f （x） = = 4 2的定义域为： 0， 4 f （x）= 42(2) 42 利用导数研究函数的单调性即可得出值域 由 4xx20，解得 0x4 可得函数 f（x）= = 4 2的定义域为：0，4 f（x）1 2 42 = 42(2) 42 令4 2（2x）0，解得 x22， 可得 22为极小值点， f（22）222，f（0）0，f（4）4 函数 = 4 2的值域为222，4 故选：A 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 11 已知函数() = ( 3)(0
20、)在0， 有且仅有 4 个零点， 则 的取值范围为 （ ） A10 3 ， 13 3 ) B13 3 ， 16 3 ) C7 3 ， 17 6 ) D7 3 ， 16 3 ) 由题意利用正弦函数的零点， 正弦函数的周期性， 可得 3 3 4， 由此得出结论 函数() = ( 3)(0)在0，有且仅有 4 个零点， 此时，x 3 3， 3，3 3 4，求得10 3 13 3 ， 故选：A 本题主要考查正弦函数的零点，正弦函数的周期性，属于基础题 12已知 f（x）a（exe x）sinx（a0）存在唯一零点，则实数 a 的取值范围（ ） A( 2 ，+ ) B 2 ，+ ) C(1 2， + )
21、 D1 2 ，+ ) 先由题设条件得到 f（0）0，再研究 f（x）的奇偶性，把问题转化为当 x0 时，函数 f （x）无零点利用放缩法与单调性求出 a 的取值范围 由题意知 f（0）0，f（x）a（exe x）sinx（a0）存在唯一零点，f（x）只 有一个零点 0 f（x）sinx+a（e xex）f（x） ，f（x）是奇函数，故只考虑当 x0 时，函 数 f（x）无零点即可 当 x0 时，有 xsinx，f（x）a（exe x1 sinx）a（e ; ） 令 g（x）e ; ，x0，则 g（0）0， g（x）ex+e x1 ，x0， g（x）exe x0，g（x）在（0，+）上单调递增，
22、 g（0）0，g（x）g（0）2 1 0a 1 2 故选：D 本题主要考查函数的性质及导数的综合应用，属于基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知直线 l 过圆 x2+y26x2y+60 的圆心且与直线 x+y+10 垂直则 l 的方程是 x y20 根据题意，求出圆的圆心，由直线垂直与斜率的关系可得直线 l 的斜率，由直线的点斜 式方程即可得答案 根据题意，圆 x2+y26x2y+60 的圆心为（3，1） ， 直线 l 与直线 x+y+10 垂直，则直线 l 的斜率 k1， 则直线 l 的方程为 y1（x3） ，变
23、形可得 xy20； 故答案为：xy20 本题考查直线的点斜式方程以及圆的一般方程，注意分析圆的圆心，属于基础题 14已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点 F1（c，0）关于直线 bx+ay0 的 对称点 P 在双曲线上则双曲线 C 的离心率为 5 设左焦点的对称点 P 的坐标，由对称点之间的关系求出 P 的坐标，代入双曲线的方程可 得 a，c 的关系，进而求出离心率 设左焦点关于 bx+ay0 的对称点为 P（x，y） ， 由题意可得 + = 2 + 2 = 0 解得：x= 22 ，y= 2 ， 即 P（ 2;2 ，2 ） ，而 P 在双曲线上，( 2;2)2 22 422
24、22 =1， 即( 2;22)2 22 42 2 =1，整理可得（c22a2）24a4a2c20，即 c45a2c2， 整理可得：c25a2，所以离心率 e= = 5， 故答案为：5 本题考查双曲线的性质及对称点的求法，属于中档题 15半径为 2 的球 O 内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为 256 81 画出过球心的一个轴截面，有图找出圆锥的高和底面半径之间的关系式，再代入圆锥的 体积公式，利用求它的导数和导数为零的性质，求出圆锥体积最大时圆锥的高 设圆锥的高是 h，过球心的一个轴截面如图： 则圆锥的底面半径 r= 22 ( 2)2， 圆锥的体积 V= 1 3r 2h=1 3（h 3+4h
25、2） ， V= 1 3 （3h2+8h） ，由 V0 解得，h= 8 3， 由导数的性质知，当 h= 8 3R 时，圆锥的体积最大最大值为： 256 81 故答案为：256 81 本题是有关旋转体的综合题，需要根据轴截面和体积公式列出函数关系，再由导数求出 函数最值问题，考查了分析和解决问题的能力 16已知函数 f（x）是定义在（0，+）的单调函数，对定义域内任意 x，均有 ff（x） lnxx22，则函数在点（e，f（e） ）处切线的纵截距为 1e2 由题意得 f（x）lnxx2是定值，令 f（x）lnxx2t，得到 lnt+t2+t2，求出 t 的值， 从而求出 f（x）的表达式，求得 f
26、（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程 可得切线的方程，再令 x0，计算可得所求纵截距 函数 f（x）对定义域内的任意 x，均有 f（f（x）lnxx2）2， 则 f（x）lnxx2是定值， 不妨令 f（x）lnxx2t， 则 f（t）lnt+t2+t2， 由 g（x）lnx+x2+x 在（0，+）递增，且 g（1）2， 可得 lnt+t2+t2 的解为 t1， f（x）lnx+x2+1， 则 f（x）= 1 +2x， 在点（e，f（e） ）处切线的斜率为 2e+ 1 ，切点为（e，2+e 2） ， 则在点（e，f（e） ）处切线方程为 y（2+e2）（2e+ 1 ） （xe） ，
27、可令 x0，可得 y1e2 故答案为：1e2 本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查函数的解析式的求法和方程的解法，注 意运用函数的单调性，考查方程思想和运算能力，本题是一道中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题第题第 21 题为题为 必考题， 每个试题考生都必须作答 第必考题， 每个试题考生都必须作答 第 22 题第题第 23 题为选考题， 考生根据要求作答 （一）题为选考题， 考生根据要求作答 （一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an
28、2Sn+1（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（2n+1） an，求数列bn的前 n 项和 Tn 本题第（1）题先将 n1 代入题干表达式得到 a1的值，当 n2 时，由 an2Sn+1，可得 an12Sn1+1，两式相减并进一步计算转化可得到数列an是以1 为首项，1 为公比 的等比数列，由此可计算出数列an的通项公式； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后分 n 为偶数和n 为奇 数两种情况分别运用分组求和法求和，最后综合可得前 n 项和 Tn （1）由题意，当 n1 时，a12S1+12a1+1，解得 a11， 当 n2 时，由 an2Sn+
29、1，可得 an12Sn1+1， 两式相减，可得 anan12an， 即 anan1， 数列an是以1 为首项，1 为公比的等比数列， 故 an1 （1）n 1（1）n，nN* （2）由（1）知，bn（2n+1） an（1）n （2n+1） ， 当 n 为偶数时，n1 为奇数， Tnb1+b2+b3+b4+bn1+bn 3+57+9（2n1）+（2n+1） （3+5）+（7+9）+（2n1）+（2n+1） 2+2+2 2 2 n， 当 n 为奇数时，n1 为偶数， Tnb1+b2+b3+b4+bn2+bn1+bn 3+57+9（2n3）+（2n1）（2n+1） （3+5）+（7+9）+（2n3）
30、+（2n1）（2n+1） 2+2+2（2n+1） 2 1 2 （2n+1） n2， 综上所述，可得 Tn= 2，为奇数 ，为偶数 本题主要考查数列求通项公式，以及正负号交错出现的数列的求和问题考查了转化与 化归思想，分类讨论思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属中 档题 18 已知如图 1 直角ABC 中， ACBC， AC6， BC= 63， 点 D 为 AB 的中点， BC3BF， 将ACD 沿 CD 折起，使面 ACD面 BCD，如图 2 （1）求证：ACDF； （2）图 2 中，求 C 点到平面 ADF 的距离来源:Zxxk.Com （1）取 CD 中点 E，连结 AE
31、，推导出 CDDF，AE面 BCD，由此能证明 ACDF （2）由 VACDFVCADF，能求出 C 点到平面 ADF 的距离 （1）证明：在三棱锥 ABCD 中，取 CD 中点 E，连结 AE， 在 RtABC 中，ACBC，AC6，BC63， ACB90，CAB60， 又 D 为 AB 中点，BC3BF，CD6，BF23，CF43， DF2CD2+CF22CDCFcos3012， DF23，CF2CD2+DF2，DCF 为直角三角形，CDDF， 将ACD 没 CD 折起，使面 ACD面 BCD，如图， 由点 E 为 CD 的中点，在等边ACD 中，AECD，面 ACD面 BCDCD， 故
32、AE面 BCD，又 AC面 ACD，则 ACDF （2）解：由 VACDFVCADF，设 C 点到平面 ADF 的距离为 h， 由（1）知点 A 到面 CDF 的距离为 AE，则 h= ， = 1 2 23 6 = 63，AE33， 由（1）知 DFAD，有 AFCF43，SADFSCDF63， C 点到平面 ADF 的距离 hAE33 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19如图，已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1、F2，|12| = 25， Q 是 y 轴的正半轴
33、上一点，QF2交椭圆于 P，且 PF1PF2，PQF1的内切圆M 半径为 1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 N 点为圆 M 上一点，求1 2 的取值范围 （1）设内切圆与三角形各边的切点，再由直角三角形 PF1F2中，由勾股定理可得椭圆的 a 值，再由|12| = 25可得 c 的值，由 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）由（1）得直线 PF1的方程，由圆心到直线的距离为半径 1，求出圆 M 的圆心坐标， 可得圆的方程，设 M 的参数坐标，可得数量积的表达式，进而求出其取值范围 （1）设PQF1的内切圆 M 切 PF1，QF1，PQ 于 E，F，G 连接 MG，MF，
34、因为 PF1PF2，因为 PGPF，所以四边形 MFGP 为正方形，所以 PFPG1， 设 EF1FF1x， （x0） ，由 PF1PF2，且 PFPG1，有 GF2F1EFF1x，则 PF2 x1，PF1F1F+PFx+1， 由 PF12+PF22F1F22得（x1）2+（x+1）2（25）2 （x0） ，有 x3， 故 2aPF1+PF22x6，即 a3，b= 2 2=2， 所以椭圆的方程的标准方程： 2 9 + 2 4 =1； （2）设点 M（0，m） ，所以 M 到直线 PF1的距离 MF1为 1， 由（1）tanPF1F2= 2 1 = 1 +3 = 2 4 = 1 2 直线 PF1
35、的方程 x2y5，即 x2y+5 =0， 所以 d= |2+5| 5 =1，m= 5或 m0（舍） ，即 M（0，5） ， 故圆 M 的方程为：x2+（y5）21，设圆上 N（cos，5 +sin） ， 由 F1（5，0） ，F2（5，0） ，有1 2 =（cos+5） （cos5）+（sin+5）2 1+25sin125，1+25， 故1 2 的范围为125，1+25 本题考查三角形的内切圆的半径与边长的关系，及求椭圆的标准方程的方法，数量积的 求法，属于中难题 20 如表是某原料在市场上从 2013 年至 2019 年这 7 年中每年的平均价格 （单位： 千元/吨） 数据： 年份 2013
36、 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 平均价格 y（单位：千元/ 吨） 2.96 3.22 3.49 3.70 4.05 4.46 4.81 （1）从表中数据可认为 x 和 y 线性相关性较强，求出以 x 为解释变量 y 为预报变量的线 性回归方程（系数精确到 0.01） ； （2）以（1）的结论为依据，预测 2032 年该原料价格预估该原料价格在哪一年突破 1 万元/吨？ 参考数据： 1 = 26.69， 1 = 115.31， 1 2 104.43， 1 2 140； 参考公式：回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公
37、式分别为：b= =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = （1）由已知数据求得 与 的值，可得线性回归方程； （2）在（1）中求得的线性回归方程中取 x20，预测 2032 年该原料价格；求解不等式 0.31x+2.5710，可得该原料价格突破 1 万元/吨的年份 （1） = 1+2+3+4+5+6+7 7 = 4， = 1 7 7 1 = 26.69 7 3.81 = =1 =1 22 = 115.317426.69 7 140112 = 8.55 28 0.31， = =3.810.3142.57 y 关于 x 的线性回归方程为 = 0.31 + 2.57； （2）203
38、0 年对应的年份代号为 20， 由（1）可知， = 0.31 20 + 2.57 = 8.77 故预测 2030 年该原料的价格为 8.77 千克来源:学+科+网 又解不等式 0.31x+2.5710，得 x23.9 故年份代号至少为 24 时，该原料价格才能突破 1 万元/吨 年份代号为 24 时，对应 2036 年 故预估该原料价格在 2036 年突破 1 万元/吨 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题 21已知函数 f（x）x（x+a）2（aR） （1）若 a3，求过点 P（4，4）且与 yf（x）相切的直线方程； （2）若 a0，证明：(:;2) 2 2: (2 + 4)
39、2 （1）根据导数的几何意义，需要分类讨论，即可求出切线方程； （2）判断函数的单调性，要证：(:;2) 2 2: (2 + 4)2，a0，只要证 2 sin2xsinx，根据正弦函数的性质即可证明 （1）若 a3，则 f（x）x（x3）2x36x2+9x， f（x）3x212x+9， f（4）4， 点 P（4，4）在 yf（x）上， 当切点为 P（4，4）时，f（4）9，切线方程为 y9（x4）+4，即 y9x32， 切点不为 P（4，4）时，设切点为 Q（x0，y0） ，k切f（x0）3x0212x0+9， 切线方程为 y（3x0212x0+9） （xx0）+x0（x03）2， 其过切点（
40、4，4） ，有 4（3x0212x0+9） （4x0）+x0（x03） 2，易知 x04 是其一解， 即（3x0212x0+9） （x04）+（x04） （x022x0+1）0， 即（x04）2（x01）20，故点 Q 的横坐标 x01，有 Q（1，4） ， 又 f（1）0， 切线方程为 y4， 综合可知，有 a3，故过点 P（4，4）且与 yf（x）相切的直线方程为 y9x32， 或 y4 （2）f（x）x（x+a）2x2+2ax2+a2x， f（x）3x2+4ax+a2（3x+a） （x+a） ，a0， 当 x（， 4 3） ， （a，+）时，f（x）0，f（x）单调递增， 由 0 3 a，有 f（x）在（，1上单调递增， 由 sinx1，1，有 sinx21，则 sin2x41， 要证：(:;2) 2 2: (
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