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    湖北省2020年5月高三调研模拟考试数学试卷(文科)含答案解析

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    湖北省2020年5月高三调研模拟考试数学试卷(文科)含答案解析

    1、湖北省湖北省 2020 届高三(届高三(5 月)调研模拟考试数学(文科)试卷月)调研模拟考试数学(文科)试卷 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设全集 UN*,集合 A1,2,3,4,5,B2,4,6,8,则图中的阴影部分表示 的集合为( ) A1,3,5 B2,4 C6,8 D2,4,6,8 2已知 i 是虚数单位,复数 = +1,则 z 的虚部为( ) A1 2 B 1 2 C1 2 D 1 2 3已知数列an的前项和=

    2、 22+ 1, ,则 a5a1( ) A13 B14 C15 D16 4若( 2) = 2 3 则(2 2) =( ) A 1 9 B1 9 C 5 9 D5 9 5如图所示,网格纸上每个小格都是边长为 1 的正方形,粗线画出的是一个几何体的三视 图,则该几何体的体积为( ) A4 B2 C4 3 D2 3 6若ABC 三边长分别为 3,5,7,则ABC 的面积为( ) A153 8 B53 2 C153 4 D213 8 7某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试,测试结果发现这 l00 名同学的 得分都在50,100内,按得分分成 5 组:50,60) ,60,70) ,70

    3、,80) ,80,90) ,90, 100,得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为( ) A72.5 B75 C77.5 D80 8ABC 中,点 D 为 BC 的中点, = 3 ,M 为 AD 与 CE 的交点,若 = ,则 实数 ( ) A1 4 B1 3 C2 5 D1 2 9甲、乙、丙、丁四人等可能分配到 A、B、C 三个工厂工作,每个工厂至少一人,则甲、 乙两人不在同一工厂工作的概率为( ) A1 6 B1 3 C1 2 D5 6 10函数 = 4 2的值域为( ) A2 22,4 B0,4 C0,2 + 22 D2 22,2+ 22 11 已知函数() =

    4、 ( 3)(0)在0, 有且仅有 4 个零点, 则 的取值范围为 ( ) A10 3 , 13 3 ) B13 3 , 16 3 ) C7 3 , 17 6 ) D7 3 , 16 3 ) 12已知 f(x)a(exe x)sinx(a0)存在唯一零点,则实数 a 的取值范围( ) A( 2 ,+ ) B 2 ,+ ) C(1 2, + ) D1 2 ,+ ) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13已知直线 l 过圆 x2+y26x2y+60 的圆心且与直线 x+y+10 垂直则 l 的方程 是 14已知双曲线: 2 2 2

    5、2 = 1(0,0)的左焦点 F1(c,0)关于直线 bx+ay0 的 对称点 P 在双曲线上则双曲线 C 的离心率为 15半径为 2 的球 O 内内置一圆锥,则此圆锥的体积最大值为 16已知函数 f(x)是定义在(0,+)的单调函数,对定义域内任意 x,均有 ff(x) lnxx22,则函数在点(e,f(e) )处切线的纵截距为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题第题第 21 题为题为 必考题, 每个试题考生都必须作答 第必考题, 每个试题考生都必须作答 第 22 题第题第 23 题为选考题, 考

    6、生根据要求作答 (一)题为选考题, 考生根据要求作答 (一) 必考题:共必考题:共 60 分分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an2Sn+1(nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)若 bn(2n+1) an,求数列bn的前 n 项和 Tn 18 已知如图 1 直角ABC 中, ACBC, AC6, BC= 63, 点 D 为 AB 的中点, BC3BF, 将ACD 沿 CD 折起,使面 ACD面 BCD,如图 2 (1)求证:ACDF; (2)图 2 中,求 C 点到平面 ADF 的距离 19如图,已知椭圆: 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1、

    7、F2,|12| = 25, Q 是 y 轴的正半轴上一点,QF2交椭圆于 P,且 PF1PF2,PQF1的内切圆M 半径为 1 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 N 点为圆 M 上一点,求1 2 的取值范围 20 如表是某原料在市场上从 2013 年至 2019 年这 7 年中每年的平均价格 (单位: 千元/吨) 数据: 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 x 1来源:Z+xx+k.Com 2 3 4 5 6 7 平均价格 y(单位:千元/ 吨) 2.96 3.22 3.49 3.70 4.05 4.46 4.81 (1)从表中数据可认

    8、为 x 和 y 线性相关性较强,求出以 x 为解释变量 y 为预报变量的线 性回归方程(系数精确到 0.01) ; (2)以(1)的结论为依据,预测 2032 年该原料价格预估该原料价格在哪一年突破 1 万元/吨? 参考数据: 1 = 26.69, 1 = 115.31, 1 2 104.43, 1 2 140; 参考公式:回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b= =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 , = 21已知函数 f(x)x(x+a)2(aR) (1)若 a3,求过点 P(4,4)且与 yf(x)相切的直线方程; (2)若 a0,证明:(:;2) 2

    9、 2: (2 + 4)2 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在分请考生在 22,23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题计分作答时写清题号一题计分作答时写清题号选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系中 xOy,曲线 E 的参数方程为 = 3 = 22 32 + 2( 为参数) , 若以直角坐标系中的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 F 的极坐 标方程为( 4) = 2(t 为参数) (1)求曲线 E 的普通方程和曲线 F 的直角坐标方程; (2)若曲线 E 与曲线 F 有公共点

    10、,求 t 的取值范围 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数() = 1 2|x|x1|,f(x)+10 的解集为 M (1)求 M; (2)若 aM,b(2,0) ,且|a2|b|,证明:| + | 4|2 + 2 + 来 源:Zxxk.Com 参考答案解析参考答案解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设全集 UN*,集合 A1,2,3,4,5,B2,4,6,8,则图中的阴影部分表示 的集合为( ) A1

    11、,3,5 B2,4 C6,8 D2,4,6,8 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(UA)B,根据集合的运算求解即可 根据条件及图形,即可得出阴影部分表示的集合为: (UA)B6,8 故选:C 本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识, 考查数形结 合思想属于基础题 2已知 i 是虚数单位,复数 = +1,则 z 的虚部为( ) A1 2 B 1 2 C1 2 D 1 2 直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案 = +1 = (1) (1+)(1) = 1+ 2 = 1 2 + 1 2 , 则 z 的虚部为:1 2 故选:C 本题考查了复数代数形式的乘除运算

    12、,考查了复数的基本概念,是基础题 3已知数列an的前项和= 22+ 1, ,则 a5a1( ) A13 B14 C15 D16 数列an的前项和= 22+ 1, ,可得 a1S13,a5S5S4,即可得出 数列an的前项和= 22+ 1, , a1S13,a5S5S4(252+1)(242+1)18 则 a5a118315 故选:C 本题考查了数列的递推关系、通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题 4若( 2) = 2 3 则(2 2) =( ) A 1 9 B1 9 C 5 9 D5 9 由已知利用诱导公式可得 sin,进而根据诱导公式,二倍角的余弦函数公式即可求解 (

    13、2) = 2 3 ,可得 sin= 2 3 , (2 2) = cos2(12sin 2)2( 2 3 )21= 5 9 故选:C 本题主要考查了诱导公式,二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查 了转化思想,属于基础题 5如图所示,网格纸上每个小格都是边长为 1 的正方形,粗线画出的是一个几何体的三视 图,则该几何体的体积为( ) A4 B2 C4 3 D2 3 通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据求出几何体的体积即可 如图三棱锥 ABCD 是该几何体的直观图,三棱锥的高为 2,底面三角形 ABC 的底边长 为 1,高为 2, 则此几何体的体积为 V= 1 3 1 2 1

    14、 2 2 = 2 3, 故选:D 本题考查三视图与几何体的关系,考查几何体的体积的求法,考查计算能力 6若ABC 三边长分别为 3,5,7,则ABC 的面积为( ) A153 8 B53 2 C153 4 D213 8 可设ABC 的三边分别为 a3,b5,c7,运用余弦定理可得 cosC,由同角的平方关 系可得 sinC,进而根据三角形的面积公式即可计算得解 可设ABC 的三边分别为 a3,b5,c7, 由余弦定理可得,cosC= 2+22 2 = 9+2549 235 = 1 2, 可得 sinC= 1 2 = 3 2 , 可得ABC 的面积为 S= 1 2absinC= 1 2 3 5

    15、3 2 = 153 4 故选:C 本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式以及三角形的面积公式的应用,考 查了计算能力和转化思想,属于基础题 7某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试,测试结果发现这 l00 名同学的 得分都在50,100内,按得分分成 5 组:50,60) ,60,70) ,70,80) ,80,90) ,90, 100,得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为( ) A72.5 B75 C77.5 D80 由频率分布直方图求出50,70)的频率为 0.4,70,80)的频率为 0.4,由此能求出这 100 名同学的得分的中位数

    16、由频率分布直方图得: 50,70)的频率为: (0.010+0.030)100.4,来源:学.科.网 Z.X.X.K 70,80)的频率为:0.040100.4, 这 100 名同学的得分的中位数为: 70+ 0.50.4 0.4 10 =72.5 故选:A 本题考查中位数的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 8ABC 中,点 D 为 BC 的中点, = 3 ,M 为 AD 与 CE 的交点,若 = ,则 实数 ( ) A1 4 B1 3 C2 5 D1 2 根据 D 为 BC 的中点可得出 = 1 2 + 1 2 , 再根据 = 3 即可得出 = 3 2

    17、+ 2 ,而根据 E,M,C 三点共线即可得出3 2 + 2 = 1,解出 即可 如图,D 为 BC 的中点, = 1 2 + 1 2 , 又 = ,且 = 3 , = 2 + 2 = 3 2 + 2 ,且 E,M,C 三点共线, 3 2 + 2 = 1,解得 = 1 2 故选:D 本题考查了向量加法的平行四边形法则, 向量数乘的几何意义, 向量的数乘运算, 三点A, B,C 共线,且 = + 时,+1,考查了计算能力,属于基础题 9甲、乙、丙、丁四人等可能分配到 A、B、C 三个工厂工作,每个工厂至少一人,则甲、 乙两人不在同一工厂工作的概率为( ) A1 6 B1 3 C1 2 D5 6

    18、基本事件总数 n= 4 233 =36,甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数 m= 2 233 =6,由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人不在同一工厂工作的概 率 甲、乙、丙、丁四人等可能分配到 A、B、C 三个工厂工作,每个工厂至少一人, 基本事件总数 n= 4 233 =36, 甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数 m= 2 233 =6, 则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为 p1 = 1 6 36 = 5 6 故选:D 本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是 基础题 10函数 = 4 2的值域为( ) A2 22,4 B0,4

    19、C0,2 + 22 D2 22,2+ 22 由 4xx20, 解得 0x4 可得函数 f (x) = = 4 2的定义域为: 0, 4 f (x)= 42(2) 42 利用导数研究函数的单调性即可得出值域 由 4xx20,解得 0x4 可得函数 f(x)= = 4 2的定义域为:0,4 f(x)1 2 42 = 42(2) 42 令4 2(2x)0,解得 x22, 可得 22为极小值点, f(22)222,f(0)0,f(4)4 函数 = 4 2的值域为222,4 故选:A 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题 11 已知函数() = ( 3)(0

    20、)在0, 有且仅有 4 个零点, 则 的取值范围为 ( ) A10 3 , 13 3 ) B13 3 , 16 3 ) C7 3 , 17 6 ) D7 3 , 16 3 ) 由题意利用正弦函数的零点, 正弦函数的周期性, 可得 3 3 4, 由此得出结论 函数() = ( 3)(0)在0,有且仅有 4 个零点, 此时,x 3 3, 3,3 3 4,求得10 3 13 3 , 故选:A 本题主要考查正弦函数的零点,正弦函数的周期性,属于基础题 12已知 f(x)a(exe x)sinx(a0)存在唯一零点,则实数 a 的取值范围( ) A( 2 ,+ ) B 2 ,+ ) C(1 2, + )

    21、 D1 2 ,+ ) 先由题设条件得到 f(0)0,再研究 f(x)的奇偶性,把问题转化为当 x0 时,函数 f (x)无零点利用放缩法与单调性求出 a 的取值范围 由题意知 f(0)0,f(x)a(exe x)sinx(a0)存在唯一零点,f(x)只 有一个零点 0 f(x)sinx+a(e xex)f(x) ,f(x)是奇函数,故只考虑当 x0 时,函 数 f(x)无零点即可 当 x0 时,有 xsinx,f(x)a(exe x1 sinx)a(e ; ) 令 g(x)e ; ,x0,则 g(0)0, g(x)ex+e x1 ,x0, g(x)exe x0,g(x)在(0,+)上单调递增,

    22、 g(0)0,g(x)g(0)2 1 0a 1 2 故选:D 本题主要考查函数的性质及导数的综合应用,属于基础题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13已知直线 l 过圆 x2+y26x2y+60 的圆心且与直线 x+y+10 垂直则 l 的方程是 x y20 根据题意,求出圆的圆心,由直线垂直与斜率的关系可得直线 l 的斜率,由直线的点斜 式方程即可得答案 根据题意,圆 x2+y26x2y+60 的圆心为(3,1) , 直线 l 与直线 x+y+10 垂直,则直线 l 的斜率 k1, 则直线 l 的方程为 y1(x3) ,变

    23、形可得 xy20; 故答案为:xy20 本题考查直线的点斜式方程以及圆的一般方程,注意分析圆的圆心,属于基础题 14已知双曲线: 2 2 2 2 = 1(0,0)的左焦点 F1(c,0)关于直线 bx+ay0 的 对称点 P 在双曲线上则双曲线 C 的离心率为 5 设左焦点的对称点 P 的坐标,由对称点之间的关系求出 P 的坐标,代入双曲线的方程可 得 a,c 的关系,进而求出离心率 设左焦点关于 bx+ay0 的对称点为 P(x,y) , 由题意可得 + = 2 + 2 = 0 解得:x= 22 ,y= 2 , 即 P( 2;2 ,2 ) ,而 P 在双曲线上,( 2;2)2 22 422

    24、22 =1, 即( 2;22)2 22 42 2 =1,整理可得(c22a2)24a4a2c20,即 c45a2c2, 整理可得:c25a2,所以离心率 e= = 5, 故答案为:5 本题考查双曲线的性质及对称点的求法,属于中档题 15半径为 2 的球 O 内内置一圆锥,则此圆锥的体积最大值为 256 81 画出过球心的一个轴截面,有图找出圆锥的高和底面半径之间的关系式,再代入圆锥的 体积公式,利用求它的导数和导数为零的性质,求出圆锥体积最大时圆锥的高 设圆锥的高是 h,过球心的一个轴截面如图: 则圆锥的底面半径 r= 22 ( 2)2, 圆锥的体积 V= 1 3r 2h=1 3(h 3+4h

    25、2) , V= 1 3 (3h2+8h) ,由 V0 解得,h= 8 3, 由导数的性质知,当 h= 8 3R 时,圆锥的体积最大最大值为: 256 81 故答案为:256 81 本题是有关旋转体的综合题,需要根据轴截面和体积公式列出函数关系,再由导数求出 函数最值问题,考查了分析和解决问题的能力 16已知函数 f(x)是定义在(0,+)的单调函数,对定义域内任意 x,均有 ff(x) lnxx22,则函数在点(e,f(e) )处切线的纵截距为 1e2 由题意得 f(x)lnxx2是定值,令 f(x)lnxx2t,得到 lnt+t2+t2,求出 t 的值, 从而求出 f(x)的表达式,求得 f

    26、(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程 可得切线的方程,再令 x0,计算可得所求纵截距 函数 f(x)对定义域内的任意 x,均有 f(f(x)lnxx2)2, 则 f(x)lnxx2是定值, 不妨令 f(x)lnxx2t, 则 f(t)lnt+t2+t2, 由 g(x)lnx+x2+x 在(0,+)递增,且 g(1)2, 可得 lnt+t2+t2 的解为 t1, f(x)lnx+x2+1, 则 f(x)= 1 +2x, 在点(e,f(e) )处切线的斜率为 2e+ 1 ,切点为(e,2+e 2) , 则在点(e,f(e) )处切线方程为 y(2+e2)(2e+ 1 ) (xe) ,

    27、可令 x0,可得 y1e2 故答案为:1e2 本题主要考查导数的运用:求切线的方程,考查函数的解析式的求法和方程的解法,注 意运用函数的单调性,考查方程思想和运算能力,本题是一道中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题第题第 21 题为题为 必考题, 每个试题考生都必须作答 第必考题, 每个试题考生都必须作答 第 22 题第题第 23 题为选考题, 考生根据要求作答 (一)题为选考题, 考生根据要求作答 (一) 必考题:共必考题:共 60 分分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an

    28、2Sn+1(nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)若 bn(2n+1) an,求数列bn的前 n 项和 Tn 本题第(1)题先将 n1 代入题干表达式得到 a1的值,当 n2 时,由 an2Sn+1,可得 an12Sn1+1,两式相减并进一步计算转化可得到数列an是以1 为首项,1 为公比 的等比数列,由此可计算出数列an的通项公式; 第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列bn的通项公式,然后分 n 为偶数和n 为奇 数两种情况分别运用分组求和法求和,最后综合可得前 n 项和 Tn (1)由题意,当 n1 时,a12S1+12a1+1,解得 a11, 当 n2 时,由 an2Sn+

    29、1,可得 an12Sn1+1, 两式相减,可得 anan12an, 即 anan1, 数列an是以1 为首项,1 为公比的等比数列, 故 an1 (1)n 1(1)n,nN* (2)由(1)知,bn(2n+1) an(1)n (2n+1) , 当 n 为偶数时,n1 为奇数, Tnb1+b2+b3+b4+bn1+bn 3+57+9(2n1)+(2n+1) (3+5)+(7+9)+(2n1)+(2n+1) 2+2+2 2 2 n, 当 n 为奇数时,n1 为偶数, Tnb1+b2+b3+b4+bn2+bn1+bn 3+57+9(2n3)+(2n1)(2n+1) (3+5)+(7+9)+(2n3)

    30、+(2n1)(2n+1) 2+2+2(2n+1) 2 1 2 (2n+1) n2, 综上所述,可得 Tn= 2,为奇数 ,为偶数 本题主要考查数列求通项公式,以及正负号交错出现的数列的求和问题考查了转化与 化归思想,分类讨论思想,分组求和法,以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属中 档题 18 已知如图 1 直角ABC 中, ACBC, AC6, BC= 63, 点 D 为 AB 的中点, BC3BF, 将ACD 沿 CD 折起,使面 ACD面 BCD,如图 2 (1)求证:ACDF; (2)图 2 中,求 C 点到平面 ADF 的距离来源:Zxxk.Com (1)取 CD 中点 E,连结 AE

    31、,推导出 CDDF,AE面 BCD,由此能证明 ACDF (2)由 VACDFVCADF,能求出 C 点到平面 ADF 的距离 (1)证明:在三棱锥 ABCD 中,取 CD 中点 E,连结 AE, 在 RtABC 中,ACBC,AC6,BC63, ACB90,CAB60, 又 D 为 AB 中点,BC3BF,CD6,BF23,CF43, DF2CD2+CF22CDCFcos3012, DF23,CF2CD2+DF2,DCF 为直角三角形,CDDF, 将ACD 没 CD 折起,使面 ACD面 BCD,如图, 由点 E 为 CD 的中点,在等边ACD 中,AECD,面 ACD面 BCDCD, 故

    32、AE面 BCD,又 AC面 ACD,则 ACDF (2)解:由 VACDFVCADF,设 C 点到平面 ADF 的距离为 h, 由(1)知点 A 到面 CDF 的距离为 AE,则 h= , = 1 2 23 6 = 63,AE33, 由(1)知 DFAD,有 AFCF43,SADFSCDF63, C 点到平面 ADF 的距离 hAE33 本题考查线线垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 19如图,已知椭圆: 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1、F2,|12| = 25, Q 是 y 轴的正半轴

    33、上一点,QF2交椭圆于 P,且 PF1PF2,PQF1的内切圆M 半径为 1 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 N 点为圆 M 上一点,求1 2 的取值范围 (1)设内切圆与三角形各边的切点,再由直角三角形 PF1F2中,由勾股定理可得椭圆的 a 值,再由|12| = 25可得 c 的值,由 a,b,c 之间的关系求出椭圆的方程; (2)由(1)得直线 PF1的方程,由圆心到直线的距离为半径 1,求出圆 M 的圆心坐标, 可得圆的方程,设 M 的参数坐标,可得数量积的表达式,进而求出其取值范围 (1)设PQF1的内切圆 M 切 PF1,QF1,PQ 于 E,F,G 连接 MG,MF,

    34、因为 PF1PF2,因为 PGPF,所以四边形 MFGP 为正方形,所以 PFPG1, 设 EF1FF1x, (x0) ,由 PF1PF2,且 PFPG1,有 GF2F1EFF1x,则 PF2 x1,PF1F1F+PFx+1, 由 PF12+PF22F1F22得(x1)2+(x+1)2(25)2 (x0) ,有 x3, 故 2aPF1+PF22x6,即 a3,b= 2 2=2, 所以椭圆的方程的标准方程: 2 9 + 2 4 =1; (2)设点 M(0,m) ,所以 M 到直线 PF1的距离 MF1为 1, 由(1)tanPF1F2= 2 1 = 1 +3 = 2 4 = 1 2 直线 PF1

    35、的方程 x2y5,即 x2y+5 =0, 所以 d= |2+5| 5 =1,m= 5或 m0(舍) ,即 M(0,5) , 故圆 M 的方程为:x2+(y5)21,设圆上 N(cos,5 +sin) , 由 F1(5,0) ,F2(5,0) ,有1 2 =(cos+5) (cos5)+(sin+5)2 1+25sin125,1+25, 故1 2 的范围为125,1+25 本题考查三角形的内切圆的半径与边长的关系,及求椭圆的标准方程的方法,数量积的 求法,属于中难题 20 如表是某原料在市场上从 2013 年至 2019 年这 7 年中每年的平均价格 (单位: 千元/吨) 数据: 年份 2013

    36、 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 平均价格 y(单位:千元/ 吨) 2.96 3.22 3.49 3.70 4.05 4.46 4.81 (1)从表中数据可认为 x 和 y 线性相关性较强,求出以 x 为解释变量 y 为预报变量的线 性回归方程(系数精确到 0.01) ; (2)以(1)的结论为依据,预测 2032 年该原料价格预估该原料价格在哪一年突破 1 万元/吨? 参考数据: 1 = 26.69, 1 = 115.31, 1 2 104.43, 1 2 140; 参考公式:回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公

    37、式分别为:b= =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 , = (1)由已知数据求得 与 的值,可得线性回归方程; (2)在(1)中求得的线性回归方程中取 x20,预测 2032 年该原料价格;求解不等式 0.31x+2.5710,可得该原料价格突破 1 万元/吨的年份 (1) = 1+2+3+4+5+6+7 7 = 4, = 1 7 7 1 = 26.69 7 3.81 = =1 =1 22 = 115.317426.69 7 140112 = 8.55 28 0.31, = =3.810.3142.57 y 关于 x 的线性回归方程为 = 0.31 + 2.57; (2)203

    38、0 年对应的年份代号为 20, 由(1)可知, = 0.31 20 + 2.57 = 8.77 故预测 2030 年该原料的价格为 8.77 千克来源:学+科+网 又解不等式 0.31x+2.5710,得 x23.9 故年份代号至少为 24 时,该原料价格才能突破 1 万元/吨 年份代号为 24 时,对应 2036 年 故预估该原料价格在 2036 年突破 1 万元/吨 本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是基础题 21已知函数 f(x)x(x+a)2(aR) (1)若 a3,求过点 P(4,4)且与 yf(x)相切的直线方程; (2)若 a0,证明:(:;2) 2 2: (2 + 4)

    39、2 (1)根据导数的几何意义,需要分类讨论,即可求出切线方程; (2)判断函数的单调性,要证:(:;2) 2 2: (2 + 4)2,a0,只要证 2 sin2xsinx,根据正弦函数的性质即可证明 (1)若 a3,则 f(x)x(x3)2x36x2+9x, f(x)3x212x+9, f(4)4, 点 P(4,4)在 yf(x)上, 当切点为 P(4,4)时,f(4)9,切线方程为 y9(x4)+4,即 y9x32, 切点不为 P(4,4)时,设切点为 Q(x0,y0) ,k切f(x0)3x0212x0+9, 切线方程为 y(3x0212x0+9) (xx0)+x0(x03)2, 其过切点(

    40、4,4) ,有 4(3x0212x0+9) (4x0)+x0(x03) 2,易知 x04 是其一解, 即(3x0212x0+9) (x04)+(x04) (x022x0+1)0, 即(x04)2(x01)20,故点 Q 的横坐标 x01,有 Q(1,4) , 又 f(1)0, 切线方程为 y4, 综合可知,有 a3,故过点 P(4,4)且与 yf(x)相切的直线方程为 y9x32, 或 y4 (2)f(x)x(x+a)2x2+2ax2+a2x, f(x)3x2+4ax+a2(3x+a) (x+a) ,a0, 当 x(, 4 3) , (a,+)时,f(x)0,f(x)单调递增, 由 0 3 a,有 f(x)在(,1上单调递增, 由 sinx1,1,有 sinx21,则 sin2x41, 要证:(:;2) 2 2: (


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