1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 12019 年“五一”期间，某景点接待海内外游客共 688000 人次，688000 这个数用科学记 数法表示为（ ） A68.8104 B0.688106 C6.88105 D6.88106 2如图，BDEF，AE 与 BD 交于点 C，B30，A75，则E 的度数为（ ） A135 B125 C115 D105 3 在数轴上， 点 A， B 在原点 O 的两侧， 分别表示数 a， 2， 将点 A 向右平移 1 个单位长度， 得到点 C，若 COBO，则 a 的值为（ ） A3 B2 C1 D1 4如果分式的值为 0，那么 x 的值
2、为（ ） A3 B3 C3 或 3 D3 或 0 5点点同学对数据 26，36，46，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字 被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A平均数 B中位数 C方差 D标准差 6在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 7如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（ ） A B C D 8如图摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转 90得到，第 2020 个图案中箭头的指向是（ ） A上方 B左方 C下方 D右方 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题
3、 3 分，共 24 分） 9分解因式：xy24x 10数据 2，7，5，7，9 的众数、中位数、平均数分别是 、 、 11 若关于 x 的一元二次方程 （k1） x2+x+10 有两个实数根， 则 k 的取值范围是 12如图，D，E 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，ADEACB，若 AD2，AB6， AC4，则 AE 13如图，在ABC 中，CACB4，cosC，则 sinB 的值为 14二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论： 3ab0； b24ac0； 5a2b+c0； 4b+3c0， 其中错误结论的序号是 15九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如
4、下问题：“今有善行者行 一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其 意思为：速度快的人走 100 步，速度慢的人只走 60 步，现速度慢的人先走 100 步，速度 快的人去追赶，则速度快的人要走 步才能追到速度慢的人 16已知有理数 a1，我们把为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是1，1 的差 倒数是如果 a12，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差倒 数依此类推，那么 a1+a2+a100的值是 三、（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分） 17计算：|（5+）0+2sin45+（） 1 18解不等式组： 四、（本题共 2
5、 个小题，每小题 6 分，共 12 分） 19先化简，再求值：（），其中 a3 20如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中 OP 为下水管道 口直径，OB 为可绕转轴 O 自由转动的阀门平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出 城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中若阀门的 直径 OBOP100cm，OA 为检修时阀门开启的位置，且 OAOB （1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中POB 的取值范围； （2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 OB 位置时，在点 A 处测得俯角CAB 67.5，若此时点 B 恰好与下水道的水平面
6、齐平，求此时下水道内水的深度（结果 保留小数点后一位） （1.41， sin67.50.92， cos67.50.38， tan67.52.41， sin22.50.38， cos22.5 0.92，tan22.50.41） 五、（本题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分） 21为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个 方面的人数进行调查统计现从该校随机抽取 n 名学生作为样本，采用问卷调查的方法 收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）并根据调查得到的数据绘制 成了如图所示的两幅不完整的统计图由图中提供的信息，解答下列问题： （1）求 n
7、 的值； （2）若该校学生共有 1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数； （3）若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名学生中任 意抽取 2 名学生，求恰好抽到 2 名男生的概率 22如图，A 为反比例函数 y（其中 x0）图象上的一点，在 x 轴正半轴上有一点 B， OB4连接 OA，AB，且 OAAB2 （1）求 k 的值； （2）过点 B 作 BCOB，交反比例函数 y（其中 x0）的图象于点 C，连接 OC 交 AB 于点 D，求的值 六、（本题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分） 23如图，直线 l 与O 相离，OAl 于点 A
8、，与O 相交于点 P，OA5C 是直线 l 上一 点，连结 CP 并延长交O 于另一点 B，且 ABAC （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若O 的半径为 3，求线段 BP 的长 24 攀枝花得天独厚， 气候宜人， 农产品资源极为丰富， 其中晚熟芒果远销北上广等大城市 某 水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为 10 元/千克，售价不低于 15 元/千克，且不超过 40 元/千克根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元 /千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系 销售量 y（千 克） 32.5 35 35.5 38 售价 x（元/ 千克） 27.5 25
9、24.5 22 （1）某天这种芒果的售价为 28 元/千克，求当天该芒果的销售量 （2）设某天销售这种芒果获利 m 元，写出 m 与售价 x 之间的函数关系式，如果水果店 该天获利 400 元，那么这天芒果的售价为多少元？ 七、（本题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分） 25如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与点 A，B 不重合）， 连接 CE，过点 B 作 BFCE 于点 G，交 AD 于点 F （1）求证：ABFBCE； （2）如图 2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG，求证：DCDG； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点
10、 C 作 CMDG 于点 H，分别交 AD，BF 于点 M， N，求的值 26如图，抛物线 yax2+bx+4 交 x 轴于 A（3，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C， 连接 AC，BC点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 m （1）求此抛物线的表达式； （2）过点 P 作 PMx 轴，垂足为点 M，PM 交 BC 于点 Q试探究点 P 在运动过程中， 是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出 此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点 P 作 PNBC，垂足为点 N请用含 m 的代数式表示线段 PN 的长
11、，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？ 参考答案 一、选择题（本大题共 8 个小题，每题 4 个选项中只有一个符合题意，答对得 3 分，共 24 分） 12019 年“五一”期间，某景点接待海内外游客共 688000 人次，688000 这个数用科学记 数法表示为（ ） A68.8104 B0.688106 C6.88105 D6.88106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是
12、负数 解：将 688000 用科学记数法表示为 6.88105 故选：C 2如图，BDEF，AE 与 BD 交于点 C，B30，A75，则E 的度数为（ ） A135 B125 C115 D105 【分析】直接利用三角形的外角性质得出ACD 度数，再利用平行线的性质分析得出答 案 解：B30，A75， ACD30+75105， BDEF， EACD105 故选：D 3 在数轴上， 点 A， B 在原点 O 的两侧， 分别表示数 a， 2， 将点 A 向右平移 1 个单位长度， 得到点 C，若 COBO，则 a 的值为（ ） A3 B2 C1 D1 【分析】根据 COBO 可得点 C 表示的数为
13、2，据此可得 a213 解：点 C 在原点的左侧，且 COBO， 点 C 表示的数为2， a213 故选：A 4如果分式的值为 0，那么 x 的值为（ ） A3 B3 C3 或 3 D3 或 0 【分析】直接利用分式的定义以及分式的值为零则分子为、分母不为零进而得出答案 解：分式的值为 0， |x|30 且 x+30， 解得：x3 故选：B 5点点同学对数据 26，36，46，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字 被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A平均数 B中位数 C方差 D标准差 【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断 解：这
14、组数据的平均数、方差和标准差都与第 4 个数有关，而这组数据的中位数为 46， 与第 4 个数无关 故选：B 6在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在 y 左侧，a，b 同号，对称轴在 y 轴右侧 a，b 异号，以及当 a 大于 0 时开口向上，当 a 小于 0 时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图 象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系 数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数
15、项为正，交 y 轴于正半轴，常数项为 负，交 y 轴于负半轴如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案 解：由方程组得 ax2a， a0 x21，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除 B A：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；但是一次函数 b 为一 次项系数，图象显示从左向右上升，b0，两者矛盾，故 A 错； C：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；b 为一次函数的一次 项系数，图象显示从左向右下降，b0，两者相符，故 C 正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故 D 错 故选：C 7如图是由四个相同的小
16、正方体堆成的物体，它的正视图是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可 解：从正面看可得从左往右 2 列正方形的个数依次为 2，1， 故选：A 8如图摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转 90得到，第 2020 个图案中箭头的指向是（ ） A上方 B左方 C下方 D右方 【分析】直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案 解：如图所示：每次旋转 4 个图形为一个周期，20204505， 则第 2020 个图案中箭头的指向与第 4 个图案方向一致，箭头的指向是左方 故选：B 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 9分解因式：xy24
17、x x（y+2）（y2） 【分析】原式提取 x，再利用平方差公式分解即可 解：原式x（y24）x（y+2）（y2）， 故答案为：x（y+2）（y2） 10数据 2，7，5，7，9 的众数、中位数、平均数分别是 7 、 7 、 6 【分析】分别利用众数、中位数、平均数的定义求出相应数据即可 解：因为 7 出现了 2 次，其它数字都只出现一次，所以众数是 7； 把数据按从小到大的顺序排列得到 2、5、7、7、9，最中间的一个数是 7，所以中位数是 7； 平均数为（2+5+7+7+9）56 故答案为：7，7，6 11若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是
18、 k 且 k1 【分析】 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k10 且124 （k1） 0， 然后求出两不等式的公共部分即可 解：根据题意得 k10 且124（k1）0， 解得 k且 k1 故答案为 k且 k1 12如图，D，E 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，ADEACB，若 AD2，AB6， AC4，则 AE 3 【分析】证明ADEACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 解：ADEACB，AA， ADEACB， ， 即， 解得，AE3 故答案为：3 13如图，在ABC 中，CACB4，cosC，则 sinB 的值为 【分析】过点 A 作 ADBC，垂足为 D，在 R
19、tACD 中可求出 AD，CD 的长，在 Rt ABD 中，利用勾股定理可求出 AB 的长，再利用正弦的定义可求出 sinB 的值 解：过点 A 作 ADBC，垂足为 D，如图所示 在 RtACD 中，CDCA cosC41， AD； 在 RtABD 中，BDCBCD413，AD， AB2， sinB 故答案为： 14二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论： 3ab0； b24ac0； 5a2b+c0； 4b+3c0， 其中错误结论的序号是 【分析】 对称轴为 x， 得 b3a； 函数图象与 x 轴有两个不同的交点， 得b24ac0；当 x1 时，ab+c0，当 x3 时
20、，9a3b+c0，得 5a 2b+c0；由对称性可知 x1 时对应的 y 值与 x4 时对应的 y 值相等，根据 x1 时，a+b+c0 计算，判断即可 解：由图象可知 a0，c0，对称轴为 x， x， b3a，正确； 函数图象与 x 轴有两个不同的交点， b24ac0，正确； 当 x1 时，ab+c0， 当 x3 时，9a3b+c0， 10a4b+2c0， 5a2b+c0，正确； 由对称性可知 x1 时对应的 y 值与 x4 时对应的 y 值相等， 当 x1 时，a+b+c0， b3a， 4b+3c3b+b+3c3b+3a+3c3（a+b+c）0， 4b+3c0，错误； 故答案为： 15九章
21、算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行 一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其 意思为：速度快的人走 100 步，速度慢的人只走 60 步，现速度慢的人先走 100 步，速度 快的人去追赶，则速度快的人要走 250 步才能追到速度慢的人 【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为 t，根据二者的速度差时间路程， 即可求出 t 值，再将其代入路程速度时间，即可求出结论 解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为 t， 根据题意得：（10060）t100， 解得：t2.5， 100t1002.5250 答：走路快的人要走 250
22、步才能追上走路慢的人 故答案是：250 16已知有理数 a1，我们把为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是1，1 的差 倒数是如果 a12，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差倒 数依此类推，那么 a1+a2+a100的值是 7.5 【分析】求出数列的前 4 个数，从而得出这个数列以2，依次循环，且2+ ，再求出这 100 个数中有多少个周期，从而得出答案 解：a12， a2 ，a3，a42， 这个数列以2，依次循环，且2+， 1003331， a1+a2+a10033（ ）27.5， 故答案为7.5 三、（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分） 17计算：|
23、（5+）0+2sin45+（） 1 【分析】先去绝对值符号、计算零指数幂、代入三角函数、计算负整数指数幂，再计算 乘法、加减可得 解：原式 18解不等式组： 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 解：， 由得：x2， 由得：x3， 不等式组的解集为2x3 四、（本题共 2 个小题，每小题 6 分，共 12 分） 19先化简，再求值：（），其中 a3 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将 a 的值代入进行计算即可 解：原式 ， 当 a3 时，原式 20如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中 OP 为下水管道 口直径，OB 为可
24、绕转轴 O 自由转动的阀门平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出 城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中若阀门的 直径 OBOP100cm，OA 为检修时阀门开启的位置，且 OAOB （1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中POB 的取值范围； （2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 OB 位置时，在点 A 处测得俯角CAB 67.5，若此时点 B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度（结果 保留小数点后一位） （1.41， sin67.50.92， cos67.50.38， tan67.52.41， sin22.50.38， cos22
25、.5 0.92，tan22.50.41） 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）根据余角的定义得到BAO22.5，根据等腰三角形的性质得到BAOABO 22.5，由三角形的外角的性质得到BOP45，解直角三角形即可得到结论 解： （1） 阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中POB 的取值范围为： 0POB 90； （2）如图，CAB67.5， BAO22.5， OAOB， BAOABO22.5， BOP45， OB100， OEOB50， PEOPOE1005029.5cm， 答：此时下水道内水的深度约为 29.5cm 五、（本题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分） 21为了
26、解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个 方面的人数进行调查统计现从该校随机抽取 n 名学生作为样本，采用问卷调查的方法 收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）并根据调查得到的数据绘制 成了如图所示的两幅不完整的统计图由图中提供的信息，解答下列问题： （1）求 n 的值； （2）若该校学生共有 1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数； （3）若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名学生中任 意抽取 2 名学生，求恰好抽到 2 名男生的概率 【分析】（1）用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到 n 的值
27、； （2）先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用 1200 乘以样本中喜爱看电视人数所占 的百分比可估计该校喜爱看电视的学生人数； （3）画树状图展示 12 种等可能的结果数，再找出恰好抽到 2 名男生的结果数，然后根 据概率公式求解 解：（1）n510%50； （2）样本中喜爱看电视的人数为 501520510（人）， 1200240， 所以估计该校喜爱看电视的学生人数为 240 人； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到 2 名男生的结果数为 6， 所以恰好抽到 2 名男生的概率 22如图，A 为反比例函数 y（其中 x0）图象上的一点，在 x 轴正半轴上有一点
28、B， OB4连接 OA，AB，且 OAAB2 （1）求 k 的值； （2）过点 B 作 BCOB，交反比例函数 y（其中 x0）的图象于点 C，连接 OC 交 AB 于点 D，求的值 【分析】（1）过点 A 作 AHx 轴，垂足为点 H，AH 交 OC 于点 M，利用等腰三角形的 性质可得出 DH 的长，利用勾股定理可得出 AH 的长，进而可得出点 A 的坐标，再利用 反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值； （2）由 OB 的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出 BC 的长，利用三角形中 位线定理可求出 MH 的长，进而可得出 AM 的长，由 AMBC 可得出ADMBDC， 利用
29、相似三角形的性质即可求出的值 解：（1）过点 A 作 AHx 轴，垂足为点 H，AH 交 OC 于点 M，如图所示 OAAB，AHOB， OHBHOB2， AH6， 点 A 的坐标为（2，6） A 为反比例函数 y图象上的一点， k2612 （2）BCx 轴，OB4，点 C 在反比例函数 y上， BC3 AHBC，OHBH， MHBC， AMAHMH AMBC， ADMBDC， 六、（本题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分） 23如图，直线 l 与O 相离，OAl 于点 A，与O 相交于点 P，OA5C 是直线 l 上一 点，连结 CP 并延长交O 于另一点 B，且 ABAC （1）
30、求证：AB 是O 的切线； （2）若O 的半径为 3，求线段 BP 的长 【分析】 （1）连接 OB，由 ABAC 得ABCACB，由 OPOB 得OPBOBP， 由 OAl 得OAC90，则ACB+APC90，而APCOPBOBP，所以 OBP+ABC90，即OBA90，于是根据切线的判定定理得到直线 AB 是O 的切线； （2）根据勾股定理求得 AB4，PC2，过 O 作 ODPB 于 D，则 PDDB，通过 证得ODPCAP，得到，求得 PD，即可求得 PB 【解答】（1）证明：如图，连结 OB，则 OPOB， OBPOPBCPA， ABAC， ACBABC， 而 OAl，即OAC90，
31、 ACB+CPA90， 即ABP+OBP90， ABO90， OBAB， 故 AB 是O 的切线； （2）解：由（1）知：ABO90， 而 OA5，OBOP3， 由勾股定理，得：AB4， 过 O 作 ODPB 于 D，则 PDDB， OPDCPA，ODPCAP90， ODPCAP， ， 又ACAB4，APOAOP2， ， ， 24 攀枝花得天独厚， 气候宜人， 农产品资源极为丰富， 其中晚熟芒果远销北上广等大城市 某 水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为 10 元/千克，售价不低于 15 元/千克，且不超过 40 元/千克根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元
32、/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系 销售量 y（千 克） 32.5 35 35.5 38 售价 x（元/ 千克） 27.5 25 24.5 22 （1）某天这种芒果的售价为 28 元/千克，求当天该芒果的销售量 （2）设某天销售这种芒果获利 m 元，写出 m 与售价 x 之间的函数关系式，如果水果店 该天获利 400 元，那么这天芒果的售价为多少元？ 【分析】（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值； （2）根据利润销量（售价成本），列出 m 与 x 的函数关系式，再由函数值求出自 变量的值 解：（1）设该一次函数解析式为 ykx+b（k0），则 ， 解得，
33、yx+60（15x40）， 当 x28 时，y32， 答：芒果售价为 28 元/千克时，当天该芒果的销售量为 32 千克； （2）由题易知 my（x10）（x+60）（x10）x2+70x600， 当 m400 时，则x2+70x600400， 解得，x120，x250， 15x40， x20， 答：这天芒果的售价为 20 元 七、（本题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分） 25如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与点 A，B 不重合）， 连接 CE，过点 B 作 BFCE 于点 G，交 AD 于点 F （1）求证：ABFBCE； （2）如图
34、 2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG，求证：DCDG； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点 C 作 CMDG 于点 H，分别交 AD，BF 于点 M， N，求的值 【分析】（1）先判断出GCB+CBG90，再由四边形 ABCD 是正方形，得出CBE 90A，BCAB，即可得出结论； （2）设 ABCDBC2a，先求出 EAEBABa，进而得出 CEa，再求出 BGa，CG a，再判断出CHDBGC（AAS），进而判断出 GHCH， 即可得出结论； （3）先求出 CHa，再求出 DHa，再判断出CHDDHM，求出 HMa， 再用勾股定理求出 GHa，最后判断出GHNCHG，得出
35、HNa，即可 得出结论 【解答】（1）证明：BFCE， CGB90， GCB+CBG90， 四边形 ABCD 是正方形， CBE90A，BCAB， FBA+CBG90， GCBFBA， ABFBCE（ASA）； （2）证明：如图 2，过点 D 作 DHCE 于 H， 设 ABCDBC2a， 点 E 是 AB 的中点， EAEBABa， CEa， 在 RtCEB 中，根据面积相等，得 BG CECB EB， BGa， CGa， DCE+BCE90，CBF+BCE90， DCECBF， CDBC，CHDCGB90， CHDBGC（AAS）， CHBGa， GHCGCHaCH， DHDH，CHDGH
36、D90， DGHCDH（SAS）， CDGD； （3）解：如图 3，过点 D 作 DQCE 于 Q， SCDG DQ CGCH DG， CHa， 在 RtCQD 中，CD2a， DHa， MDH+HDC90，HCD+HDC90， MDHHCD， CHDDHM， ， HMa， 在 RtCHG 中，CGa，CHa， GHa， MGH+CGH90，HCG+CGH90， CGHCNG， GHNCHG， ， HNa， MNHMHNa， 26如图，抛物线 yax2+bx+4 交 x 轴于 A（3，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C， 连接 AC，BC点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 P
37、 的横坐标为 m （1）求此抛物线的表达式； （2）过点 P 作 PMx 轴，垂足为点 M，PM 交 BC 于点 Q试探究点 P 在运动过程中， 是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出 此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点 P 作 PNBC，垂足为点 N请用含 m 的代数式表示线段 PN 的长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？ 【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解； （2）分 ACAQ、ACCQ、CQAQ 三种情况，分别求解即可； （3）由 PNPQsinPQN（m2+m+4+m4）即可求解 解：（1
38、）由二次函数交点式表达式得：ya（x+3）（x4）a（x2x12）ax2 ax12a， 即：12a4，解得：a， 则抛物线的表达式为 yx2+x+4； （2）存在，理由： 点 A、B、C 的坐标分别为（3，0）、（4，0）、（0，4）， 则 AC5，AB7，BC4，OBCOCB45， 将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：ykx+b 并解得：yx+4， 同理可得直线 AC 的表达式为：yx+4， 设直线 AC 的中点为 K（，2），过点 M 与 CA 垂直直线的表达式中的 k 值为， 同理可得过点 K 与直线 AC 垂直直线的表达式为：yx+， 当 ACAQ 时，如图 1， 则 ACAQ5， 设：QMMBn，则 AM7n， 由勾股定理得：（7n）2+n225，解得：n3 或 4（舍去 4）， 故点 Q（1，3）； 当 ACCQ 时，如图 1， CQ5，则 BQBCCQ45， 则 QMMB， 故点 Q（，）； 当 CQAQ 时， 联立并解得：x（舍去）； 故点 Q 的坐标为：Q（1，3）或（，）； （3）设点 P（m，m2+m+4），则点 Q（m，m+4）， OBOC，ABCOCB45PQN， PNPQsinPQN（m2+m+4+m4）（m2）2+， 0，PN 有最大值， 当 m2 时，PN 的最大值为：
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