1、第二十讲 计数综合提高下 一、上楼梯模型 找寻每种情况与前面若干种情况之间的关系 二、几何图形分平面增量分析 考虑每次增加一个图形时，所增加的平面数，在分析问题时，要注意以下几点： 1. 交点越多越好； 2. 交点多决定段数多（两种情况，即封闭图形和不封闭图形） ； 3. 有几段则增加几部分（有直线要先画直线） 三、传球法 1. 传球法是树形图的简化版本； 2. 传球规则决定累加规则； （1）首先从传球者角度考虑传球方法； （2）其次从接球者角度考虑如何累加； 3. 可以使用传球法的题型； （1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数问题； （2）环形染色问题 四、插板法 用于求解“把 m 个相同
2、相同 的球放到 n 个不同不同 的盒子中”这类问题 a) 注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的 b) 如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为 1 1 n m C （把1n个板插到1m个 空隙中） c) 如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为 1 1 n m n C （先借 n 个球，然后按照每 个盒子至少 1 个去放，最后再从每个盒子中拿出 1 个还回去） d) 对其它情况，如：每个盒子至少 2 个，或者某些盒子可以没有，某些盒子至少 2 个等，则需要做相应调整后才可应用上述结果 五、对应法解计数问题 关键在于看出问题的本质，根据问题本质找到合适的方法，进行解题 六、对于可以旋转或者可以翻
3、转的题目，解题时要注意区分是否是不同情形 这种题目通常要先固定一个部分，使之不能旋转或翻转，如果固定一个不够，则还 需要再固定一个 例1 满足下面性质的三位数称为“红数” ：它的个位比十位大，十位比百位大，并且任意 相邻两位数字的差都不超过 3例如 246、367 是“红数” ，但 278 就不是“红数” 请 问：一共有多少个“红数”？ 分析分析大家还记得“传球法”吗？ 练习 1、满足以下条件的四位数称为“N 数” ：它的个位比十位大，十位比百位小，百 位比千位大，并且任意相邻两位数字差不超过 2，例如 3524 是“N 数” ，但 1234 不是 “N 数” 一共有多少个“N 数”？ 例2
4、（1）在一个平面上画出 6 个正方形，最多可以把平面分成几个部分？ （2） 在一个平面上画出 3 个三角形、 2 个圆、 1 条直线， 最多可以把平面分成几个部分？ 分析分析本题可以采用递推计数法 练习 2、在一个平面上画 1 条直线，2 个三角形和 3 个长方形，那么最多可把这个平面 分成多少部分？ 例3 一个长方形被分成 7 部分，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四 种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？ 分析分析这道题目是否可以转化为一道环形染色问题呢？ 练习 3、将如图的 8 部分用 3 种不同的颜色着色，且相邻的部分不能 使用同一种颜色，不相邻部分可以同色，那么共
5、有多少种着色方法？ A B C D E F G H 例4 0、1、6、8、9 颠倒过来后分别为 0、1、9、8、6，而 2、3、4、5、7 颠倒过来后不 是一个数字， 如果一个自然数颠倒过来看等于它本身， 则称其为 “混沌数” ， 如 69、 101、 8118 等，那么六位数中有多少个“混沌数”？ 分析分析大家先判断哪些数字可以出现在“混沌数”中 练习 4、如果一个自然数反过来写等于它本身，则称其为“回文数” ，如 12321、22、232 等都是“回文数” ，那么六位数中有多少个“回文数”？ 例5 把一条均匀木棍五等分， 然后用 5 种颜色给这 5 部分染色， 要求相邻的部分不能同色， 那
6、么一共有多少种不同的染法？（旋转或翻转后相同算同一种） 分析分析 大家可以先不考虑旋转或翻转的情况算出染法数， 再减去反转后相同的染色情 况 例6 给一个正四面体的 4 个面染色，每个面只允许用一种颜色，且 4 个面的颜色互不相 同现有 5 种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种） 分析分析大家可以采用固定一个面开始染色的方法进行分析 解析几何之父笛卡尔 勒内笛卡尔（Rene Descartes，15961650），著名的法国哲学家、科学家和 数学家笛卡尔常作笛卡儿，1596 年 3 月 31 日生于法国安德尔-卢瓦尔省，1650 年 2 月 11 日逝于瑞典斯德哥尔摩）
7、他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐 标体系公式化而被认为是解析几何之父 他还是西方现代哲学思想的奠基人， 是近代唯 物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张 他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人， 开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学 物理学方面物理学方面 笛卡尔靠着天才的直觉和严密的数学推理，在物理学方面做出了有益的贡 献自从 1619 年读了开普勒的光学著作后，笛卡儿就一直关注着透镜理论；并从 理论和实践两方面参与了对光的本质、 反射与折射率以及磨制透镜的研究 他把光 的理论视为整个知识体系中最重要的部分 笛卡尔运用他的坐标几何学从事光学研究，在屈光学中第一次对折射定律 提出了理论上的
8、推证笛卡尔发现了动量守恒原理他还发展了宇宙演化论、漩涡 说等理论学说， 虽然具体理论有许多缺陷， 但依然对以后的自然科学家产生了影响 他认为光是压力在以太中的传播，他从光的发射论的观点出发，用网球打在布 面上的模型来计算光在两种媒质分界面上的反射、 折射和全反射，从而首次在假定 平行于界面的速度分量不变的条件下导出折射定律不过他的假定条件是错误的， 他的推证得出了光由光疏媒质进入光密媒质时速度增大的错误结论 他还对人眼进 行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形，设计了矫正视力的透镜在力 学上，笛卡尔发展了伽利略的运动相对性的思想，例如在哲学原理一书中，举 出在航行中的海船上海员怀表的表轮
9、这一类生动的例子， 用以说明运动与静止需要 选择参照物的道理 笛卡尔在哲学原理第二章中以第一和第二自然定律的形式比较完整地第一 次表述了惯性定律：只要物体开始运动，就将继续以同一速度并沿着同一直线方向 运动，直到遇到某种外来原因造成的阻碍或偏离为止 这里他强调了伽利略没有明 确表述的惯性运动的直线性 在这一章中， 他还第一次明确地提出了动量守恒定律： 物质和运动的总量永远保持不变笛卡儿对碰撞和离心力等问题曾作过初步研究， 给后来惠更斯的成功创造了条件 天文学方面天文学方面 笛卡尔把他的机械论观点应用到天体，发展了宇宙演化论，形成了他关于宇宙 发生与构造的学说他认为，从发展的观点来看而不只是从已
10、有的形态来观察，对 事物更易于理解他创立了漩涡说他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星 不断运转物质的质点处于统一的漩涡之中，在运动中分化出土、空气和火三种元 素，土形成行星，火则形成太阳和恒星他认为天体的运动来源于惯性和某种宇宙 物质漩涡对天体的压力， 在各种大小不同的漩涡的中心必有某一天体，以这种假说 来解释天体间的相互作用 笛卡尔的太阳起源的以太漩涡模型第一次依靠力学而不是神学，解释了天体、 太阳、行星、卫星、彗星等的形成过程，比康德的星云说早一个世纪，是 17 世纪 中最有权威的宇宙论 数学方面数学方面 笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学在笛卡儿时代，代数 还是一个比较
11、新的学科， 几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位 笛卡尔 致力于代数和几何联系起来的研究，于 1637 年，在创立了坐标系后，成功地创立 了解析几何学他的这一成就为微积分的创立奠定了基础 解析几何直到现在仍是 重要的数学方法之一此外，现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这 包括了已知数 a、 b、 c 以及未知数 x、 y、 z 等，还有指数的表示方法他还发 现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式还有微积分 中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的 笛卡尔心形线：r=a(1sin) 用的就是直角坐标图（注：实际上是极坐标系） 当 =0 时，r=a(10)=a A 点
12、 当 =90 时，r=a(11)=0 B 点 当 =180 时，r=a(10)=a C 点 当 =270 时，r=a(1+1)=2a D 点 把 A、 B、 C、 D 四点用弧线连接起来， 就是有名的心形线！ 个人名言个人名言： 读杰出的书籍，有如和过去最杰出的人物促膝交谈 读一切好书，就是和许多高尚的人谈话 仅仅具备出色的智力是不够的，主要的问题是如何出色地使用它 世界之大，而能获得最公平分配的是常识 我思故我在 要以探求真理为毕生的事业 意志、悟性、想象力以及感觉上的一切作用，全由思维而来 越学习，越发现自己的无知 一个为情感所支配，行为便没有自主之权，而受命运的宰割 作业 1. 8 个人
13、围成一圈做游戏，共有多少种不同的方法？ 2. 满足下面性质的三位数称为“黑数” ：它的个位比十位小，十位比百位小，并且任意相 邻两位数字的差都不超过 3例如 642、520 是“黑数” ，但 872 就不是“黑数” 一共 有多少个“黑数”？ 3. 一个五位数只由 1、2、3、4 组成，它的每相邻两位数字的差都是 1，这样的五位数有 多少个？ 4. 如果在一个平面上画出 4 个凸五边形，最多可以把平面分成多少个部分？ 5. 给一个正四面体的 4 个面染色， 每个面只允许用一种颜色， 且 4 个面的颜色互不相同 现 有 8 种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种） 第二十讲 计
14、数综合提高下 例7 答案：45 详解：按十位数字分类枚举，十位数字取 2、8 的红数各有 3 个，取 3、7 的红数各有 6 个，取 4、5、6 的红数各有 9 个，因而共有 45 个 方法二、也可用传球法：1+3+6+8+9+9+9=45 种 例8 答案： （1）122； （2）68 详解： （1）； （2）先画直线，再画三角形和圆， 例9 答案：360 详解：先不考虑左下角那部分，其余 6 部分可看作 5 等分圆环染色问题 例10 答案：100 详解： 例11 答案：680 详解： 在不考虑旋转和翻转的情况下共有种方法， 其中包括翻转后和自己相同的， 以及翻转后和自己不同的，考虑旋转和翻转
15、时，前者被计 1 次，后者被计 2 次前者共 种，所以共有种不同的染法 例12 答案： 详解：每次染色只会用到五种颜色中的四种，先选出四种颜色，有种方法用所 选出的四种颜色染正四面体， 任何两种染色方式， 总能通过适当的旋转使得两种染色方 式的底面和某一个侧面颜色对应相同， 其他两个面的颜色可能相同， 也可能刚好是对换， 因而本质上只有两种不同的染色方式所以共有种不同的染色方式 4 5 210C 4 5 5C 4 5 210C 4 5 4802680 54480 4 54 45 5100 22814202268 2816243240122 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 百 0 1 1
16、 1 1 1 1 1 1 1 十 0 0 1 2 3 3 3 3 3 3 个 0 0 0 1 3 6 8 9 9 9 练习： 练习 1、答案：58 简答简答：传球法：1+4+7+8+8+8+8+8+6=58 种 练习 2、答案：78 简答：22814223078种 练习 3、答案：258 简答：假设三种颜色是红黄蓝，如果开始 A 涂红色，如下图有 86 种着色方式，而 A 有红黄 蓝三种颜色涂色，所以有种 练习 4、答案：900 简答：9 10 10900 红 黄 蓝 A 1 0 0 B 0 1 1 C 2 1 1 D 2 3 3 E 6 5 5 F 10 11 11 G 22 21 21 H
17、 42 43 43 863258 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 千 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 百 0 0 1 2 2 2 2 2 2 2 十 1 3 4 4 4 4 4 4 2 0 个 0 1 4 7 8 8 8 8 8 6 作业 6. 答案：答案：5040 简答简答：圆排列，共有种方法 7. 答案：答案：54 简答简答：百位是 2、3、4、5、6、7、8、9 时，分别有 1、3、6、8、9、9、9、9，共 54 个黑数 8. 答案：答案：26 简答：传球法：588526种 9. 答案：答案：62 简答简答：每增加一个五边形，可与已有的每一个五边形交出 10 个点进而把平面多分出 10 部分共有部分 10. 答案：答案：140 简答简答： 4 8 2140C 种染法 210203062 1 2 3 4 万 1 1 1 1 千 1 2 2 1 百 2 3 3 2 十 3 5 5 3 个 5 8 8 5 8! 85040
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