1、第十八讲 最值问题二 一、最值问题中的常用方法 a) 极端思考 在分析某些最值问题时，可以考虑把问题推向“极端” ，因为当某 一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问 题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解 b) 枚举比较 根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步 缩小范围，筛选比较出题目的答案 c) 分析推理 根据两个事物在某些属性上都相同， 猜测它们在其他属性上也有可 能相同的推理方法 d) 构造调整 在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取 得出奇制胜的效果 二、求最大值和最小值的结论 1 和一定的两个数，差越小，积越大；
2、 2 积一定的两个数，差越小，和越小； 3 两点之间线段最短 例1 用一根长 80 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的 体积最大是多少立方厘米？ 分析分析题目的限制条件是铁丝长为 80 厘米，要求体积的最大值，通过什么可以把这 二者联系起来呢？ 练习 1、 （1）用一根长 100 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这 个长方体的体积最大是多少立方厘米？ （2） 有一根铁丝， 它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是 36 立方厘米， 这根铁丝的长度是多少厘米？ 例2 有 5 袋糖，其中任意 3 袋的总块数都超过 60这 5 袋糖块总共最少有多
3、少块？ 分析分析每 3 袋的总块数都超过 60，要求 5 袋的总块数事实上我们以前做过类似的 题： “已知三个数两两的和数，求这三个数的总和 ”这样的题大家是怎么处理的呢？它 的处理方法能否应用到本题中来呢？ 练习 2、有 5 个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数） 如 果其中每三人的积分之和都不少于 500 分，那这五人的总积分最少是多少？ 例3 用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 各一个组成 3 个三位数，使得它们都是 9 的倍数，并 且要求乘积最大，请写出这个乘法算式 分析分析为了让这样的三个数的乘积最大，我们当然要让三个数的首位最大那么首位 应该是多少呢？注意
4、到这三个数都是 9 的倍数， 9 的倍数有什么特征呢？它对这三个数 提出了怎样的要求？ 练习 3、用 1、2、3、4、5、6 各一个组成两个三位数，使得它们都是 3 的倍数，并且 要求乘积最大，请写出这个乘法算式 例4 把 1 至 99 依次写成一排，行成一个多位数：1234 9899从中划去 99 个数字，剩下 的数字组成一个首位不是 0 的多位数 请问： 剩下的数最大可能是多少？最小可能是多 少？ 分析分析要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？如果要最小呢？ 练习 4、 把 1 至 20 依次写成一排， 行成一个多位数：1234 1920 从中划去 20 个数字， 剩下的数字组成一
5、个首位不是 0 的多位数 请问： 剩下的数最大可能是多少？最小可能 是多少？ 例5 邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长 1 千米如果邮递员从邮局出发，必 须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？ 分析分析 如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道， 则这样走的总路程就是最短的 那 么邮递员能做到这一点吗？实际上这是一个一笔画问题， 同学们回想一下， 什么样的图 形才能一笔画出来呢？ 1 1 1 1 1 1 邮局 例6 如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从左下角的 A 点出发，沿柜子表面爬到右上 角的 B 点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图 中表
6、示出来 分析分析众所周知，两点之间线段最短然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能 在柜子表面爬行这样一来，我们就要在柜子表面寻找一条从 A 到 B 的最短路线可 是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢？ A B 3 3 1 罐头装箱问题 我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题， 怎么摆放才能最有效地利用 包装箱内的空间呢？ 一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状， 像图 1 这样 它是一种较优排法， 但不是最优的办法 没有最大限度地利用空间， 浪费不少， 圆的面积只占总共的 78.5% 比上述办法好得多的办法，是将罐头摆放成图 2 所示的六边形不难算出，正六边 形内圆所覆盖的面积超过了
7、90 实际上， 数学家已经证明了如果空间是无限延展的， 这种六边形摆放法是最紧密的包装方式 但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的， 尤其在盒子不太大的时候 例如要放 9 个罐头，正六边形摆法需要的正方形不是最小的如图 3，它的放法就不比图 4 好 当罐头数目增加时，放罐头的最佳包装法会不断在变，越来越 倾向于正六边形排法 比如，13 个罐头的最优包装法，用边长大约为圆直径 3.7 倍的 正方形就够了如图 5，虽然它看上去乱糟糟，但已被证明为最优 解我们可以看到，12 个罐头紧紧地靠在一起，而第 13 个（黄色的 那个）则自由自在地放在中间 最后，大家思考一个问题：设 1 角钱硬币的直径为 a
8、 厘米，那么我们在边长为 10a 厘米的正方形中，最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢？是 100 枚吗？能否放进去更 多？ 图 4 图 3 图 2 图 1 图 5 作业 1. 用一根长 120 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架， 这个长方体的体 积最大是多少立方厘米？ 2. 高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于 10 块， 那么这四人的勋章合起来最多有多少块？ 3. 用 1、2、3、4、5、6、7、8 各一个组成两个四位数，使得它们都是 3 的倍数，并且要 求乘积最大，请写出这个乘法算式 4. 把 21 至 40 依次写成一排，行成一个多位数：21
9、2223243940从中划去 20 个数字， 剩下的数字组成一个首位不是 0 的多位数 请问： 剩下的数最大可能是多少？最小可能 是多少？ 5. 如果例题 5 中的街道由“土”字形变成如下所示的形状，那么邮递员从邮局出发，要走 遍所有的街道，最少需要走多少千米？ 1 1 1 1 1 1 邮局 第十八讲 最值问题二 例7 答案：294 详解详解：长方体满足：80420长宽高厘米，要使体积最大，就应该使三边长度 尽量接近 所以当三边长度分别为 7 厘米、 7 厘米和 6 厘米时， 体积最大， 为7 7 6 2 9 4 立方厘米 例8 答案：103 详解详解：任意 3 袋糖果总块数都不少于 61，必
10、能取出一袋不少于 21 块糖果；现在余下 4 袋，同样可以有糖果数超过 21 块的袋子，再取走这袋现在余下三袋了，这三袋糖果 总和不少于 61， 所以总的糖果不少于 61+21+21=103 块 由于 5 袋糖果分别有 21、 21、 21、20、20 块，是符合要求的，所以 103 就是最小值 例9 答案：954 873 621 详解详解：每个数都是 9 的倍数，说明每个数的各位数字之和都是 9 的倍数由于 1 到 9 总的数字和是 45，而且每个数的各位数字之和都不超过 7+8+9=24，因而三个数的各位 数字之和分别为 18、18 和 9各位数字之和为 9 的数最大只能是 621其余两个
11、数乘积 要尽量大且各自的各位数字之和是 18，百位取 9 和 8，十位取 7 和 5，个位取 4 和 3， 有最大乘积 954 872，故所求的乘法算式是 954 873 621 例10 答案：最大为 9999975859609899；最小是 100000123450616263649899 详解详解： （1）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的 9首先，最开头 的 12345678 这 8 个数字是要去掉的，留下了第一个 9；然后去掉 1011121314151617181 共 19 个数字，留下了第二个 9；再去掉 3 次的 19 个数，使得剩下第 3、4、5 个 9现 在已
12、经去掉了一共 8+19 4=84 个数，剩下的数前 5 个数字都是 9，然后是 50515253545556575859 一直写到 9899， 还能再去掉 15 个数 但我们到下一个 9 要去掉 19 个数，到下一个 8 要去掉 17 个数，到下一个 7 要去掉 15 个数，于是最后结果的第 6 个数字最大是 7，应该去掉的 15 个数字为 505152535455565所以剩下的数最大为 9999975859609899 （2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是 1，第二位起是尽量多的 0首位上的 1 取第一个数字 1 就行了然后去掉 234567891 共 9 个数，留下第一个 0；再去
13、掉 1112131415161718192 共 19 个数，留下第 2 个 0；再去掉 3 次的 19 个数，就能得到第 3、4、5 个 0现在一共去掉了个数，剩下的数前六个数字是 1、0、0、0、 0、0，余下的部分是 515253545556575859 一直写到 9899，还能再去掉 14 个数下一 位取不到 0 了，只能去掉一个 5，留下 1；再下一位连 1 都取不到，只能去掉 1 个 5， 取 2；再去掉一个 5，留下 3；去掉一个 5，留下 4现在还能再去掉 10 个数字，而剩 下的是 55565758596061，接下来 11 个数中最小的数是 5，所以取一个 5然后剩 下的数前
14、 11 个数字为 55657585960， 因而我们去掉 10 个数字 5565758596， 使下一位达 到最小数字 0所以最后剩下的数最小是 100000123450616263649899 例11 答案：26 详解详解：如图 1，由于的 A、B 两点连出的边是 3 条，也就是奇数条，仅当 A 与 B 为出发 点和终点时，才能一笔画我们不能从邮局出发一笔把这个图画出，即邮递员不能只把 每条街道走一遍就回到邮局， 他至少应该多走 1 千米街道， 最小是 26 千米 在图 2 中， 我们给出了邮递员走 26 千米走遍所有街道的一种方法 例12 答案：最短的长度是 5；4 详解详解：为了表示方便
15、，我们把长方体的各个顶点都标上字母，如图 3蚂蚁要从 A 处爬 到 B 处， 途中必须经过两个相邻的面， 两个相邻面的交线必是 EH、 HF、 FG、 GC、 CD、 DE 六条线段中的一条一共六种情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：交线是 FG、DE 的情形为一类，交线是 HE、GC 的情形为一类，交线是 FH、DC 的情形为一 类 919485 1 1 1 1 1 1 邮局 A B 图 1 1 1 1 1 1 1 邮局 A B 图 2 情况 1：如果蚂蚁所经过的两相邻面是 ACGF 和 FGBH，那么我们可以沿着它们的交线 FG 把这两个面展开到同一个平面上，如图 4这样蚂蚁的整个行走
16、路线就在这一个平 面上，而且以 A 为起点，B 为终点此时从 A 到 B 的最短连线就是 A、B 两点的连线， 它恰好直角三角形 ABC 的斜边由于3AC ，314BC ，因此5AB 情况 2：如果两相邻面的交线是 GC同样我们也可以沿着 GC，把两个相邻面展开到同 一个平面上，如图 5此时 A、B 两点的连线是直角三角形 ABD 的斜边由于3BD ， 314AD ，因此5AB 情况 3：如果两相邻面的交线是 DC同样我们也可以沿着 DC，把两个相邻面展开到同 一个平面上，如图 6此时 A、B 两点的连线是直角三角形 AGB 的斜边，一定比直角边 AG 长而 AG 的长度是336，所以 AB
17、一定大于 6 其余三种情况的最短路线与上面的情况 1、 2、 3 对应相同 所以爬行路线长度最少是 5， （1） 和 （2） 的情形都符合要求， 加上与它们对应的两种， 所以一共会有 4 条最短路线 把 展开图还原到原来的图中，就是所求的最短路线（如图 7） 因此在长方体表面，从 A 到 B 的最短路线的长度是 5，一共有 4 条满足要求 A C G E D B 1 3 3 图 6 图 7 A B 3 3 1 C D E F G H A B 3 3 1 C D E F G H A B 3 3 1 C D E F G H 图 3 3 B A 3 1 C F G H 图4 3 B A 3 1 C
18、F G D 图5 练习 1、答案：576 简答： 100425889 ，8 8 9576 练习 2、答案：834 简答：总积分最少是167167500834，此时 5 人分数可以是 166、167、167、167、167 练习 3、答案：642531 简答：6 和 5 分别放在两个数的百位上，结合各位数字之和是 3 的倍数，可得到乘积最大的算式 642531 练习 4、答案：95617181920；10111111110 简答：同例 4，由于题目中数位较少枚举即可，注意计算的准确性 作业 6. 答案：1000 简答：120430101010，10 10 101000 7. 答案：17 简答：必有两人的勋章数都不多于 4 块，余下两人勋章数之和不多于 9 块，因而最多只能有 44917块 8. 答案：85327641 简答：首位要尽量大，取 8 和 7，次位也尽量大，取 6 和 5，然后是十位要尽量大，从 4 和 3 里取也 就是前三位分别取 853 和 764 能使乘积最大但还要保证都是 3 的倍数，故只能是 8532 和 7641，所 求的乘法算式是85327641 9. 答案：93333334353637383940；10123334353637383940 10. 答案：36 简答：这个图是可以一笔画画出的，最少路程等于街道全程 36 千米
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