1、第十六讲 数论综合提高二 本讲知识点汇总： 一、约数、倍数 1 基本概念 （1） 如果 a 能被 b 整除（也就是） ，则 b 是 a 的约数（因数） ，a 是 b 的倍数； （2） 约数具有“配对”性质：大约数对应小约数 2 约数个数 （1） 分解质因数，指数加 1 再相乘； （2） 平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数 3 约数和公式 （1） 如果一个数的质因数分解式为， 则约数和为 ； （2） 如 果 一 个 数 的 质 因 数 分 解 式 为， 则 约 数 和 为 ； 二、公约数、公倍数 1 基本概念 （1） 如果 a 是若干个数公有的约数， 则称 a 是它们的公约数， 其中最大的
2、叫做最大 公约数； （2） 如果 b 是若干个数公有的倍数， 则称 b 是它们的公倍数， 其中最小的叫做最小 公倍数； （3） 公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 2 计算方法 （1） 短除法； （2） 分解质因数法； （3） 辗转相除法（只用于计算两个数的最大公约数） 3 基本性质 （1） ； （2） 两个数的最大公约数是它们和或差的约数； （3） 已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来： 例如，甲、乙的最大公约数是 5，则可以把甲乙分别设为 5a 和 5b，其中 a、b 互质，此时甲乙的最小公倍数是 5ab 4 两个最简分数的最大公约数、最小公倍数：
3、 ,a ba ba b 2 111abcc 2 abc 223 11aabbb 23 ab |b a ； 一、 约数、倍数 1 约数的配对思想； 2 约数个数与完全平方数的关系； 3 求约数个数； 4 求约数的和； 5 利用约数个数反推原数的质因数分解形式 二、 公约数、公倍数 1 基本计算； 2 带有应用题背景的公约数公倍数计算； 3 有关最大公约数和最小公倍数的反求问题； 4 最大公约数、最小公倍数的质因数的分配 例1 庆祝高思学校 4 周岁的生日，预计在 12 月 5 日高思成立日的当天举行大型的庆祝活 动，由编号 1100 的 100 名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一
4、次所 有编号是 1 的倍数的向左转， 第二次所有编号是 2 的倍数的小朋友再向左转， 第三次编 号是 3 的倍数的小朋友再向左转， ， 最后一次所有编号是 100 的倍数的小朋友再向 左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？ 分析分析 首先分析出转几次的人会面朝南方， 这些次数排成一列， 找出这组数列的规律 练习 1、有 2012 盏灯，分别对应编号为 1 至 2012 的 2012 个开关现在有编号为 1 至 2012 的 2012 个人来按动这些开关已知第 1 个人按的开关的编号是 1 的倍数，第 2 个 人按的开关的编号是 2 的倍数，第 3 个人按的开关的编号是 3 的倍数，依次
5、做下 去，第 2012 个人按的开关的编号是 2012 的倍数如果最开始的时候，灯全是亮着的， 那么这 2012 个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？ 经典题型 ac ac bdbd , , , acac bdbd , , , 例2 一个数有 15 个约数，这个数最小是多少？第二小是多少？ 分析分析根据约数个数公式分析出含有 15 个约数的数的分解质因数形式 练习2、有10个约数的自然数最小是多少？有8个约数的最小的奇数是多少？ 例3 在 35 的倍数中，恰有 35 个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式） 分析分析 所求数一定含有 35 的质因数， 再结合含有 35 个约数的数的分解质因数
6、形式即 可找到解题的突破口 练习 3、42 的倍数中，恰好有 42 个约数的数有多少个？ 例4 三个自然数乘积为 86400，且这三个数的约数个数分别为 8、9、10 个那么这三个自 然数分别是多少？ 分析分析把含有 8、9、10 个约数的数的分解质因数形式及 86400 中个质因数的个数结 合在一起进行分析 练习 4、三个自然数乘积为 5184，且这三个数的约数个数分别为 A 个、A+1 个、A+2 个那么这三个自然数分别是多少？ 例5 两个整数的差为 7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是 689，则这两个数分别是 多少？ 分析分析列不定方程求解 例6 大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发
7、沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长， 亮亮每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留 下 60 个脚印问：这个花圃的周长是多少米？ 分析分析这是一道公约数、公倍数的问题，首先回忆一下公约数、公倍数的求法，再思 考一下题中各数据之间的关系 亲和数（Amicable Pair） 亲和数是一种古老的数 遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数 a 和 b，a 的所 有真因数之和等于 b，b 的所有真因数之和等于 a，则称 a，b 是一对亲和数 相传，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题： “我结交朋友时，存在着数 的作用吗？”毕达哥拉斯
8、毫不犹豫地回答： “朋友是你的灵魂的倩影，要象 220 和 284 一样亲密什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我 ”后来，毕氏学派宣 传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱” 从此，把 220 和 284 叫做“亲和数” （也叫“朋友数”或叫“相亲数” ） 这就是“亲和数”这个名称的来源 毕达哥拉斯首先发现 220 与 284 就是一对亲和数，在以后的 1500 年间，世界上有 很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的 穷思苦想， 有些人甚至为此耗尽毕生心血， 却始终没有收获 公元九世纪， 伊拉克哲学、 医学、天文学和物理学家泰比特 依本库拉曾提
9、出过一个求亲和数的法则，因为他的公 式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者 走出困境数学家们仍然没有找到第二对亲和数 距离第一对亲和数诞生 2500 多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636 年，法国 “业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数 17296 和 18416，这个发现也重新点 燃寻找亲和数的火炬两年之后， “解析几何之父”法国数学家笛卡尔于 1638 年 3 月 31 日宣布找到了第三对亲和数 9437506 和 9363584 费马和笛卡尔在两年的时间里， 打破了二千五百年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛 在十七世纪以后的岁月，
10、 许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列， 他们企图用灵 感与枯燥的计算发现新大陆可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷 宫，不可能出现法国人的辉煌了 正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷1747 年，年仅 39 岁的 瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了 30 对亲和数，后来又扩展到 60 对，不仅列 出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程 时间又过了 120 年，到了 1867 年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的 16 岁中学 生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏让眼皮下的一对较小的亲和数 1184 和 1210 溜掉了这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹 在
11、以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找 到了许多对亲和数到了 1923 年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的 研究所得，发表了 1095 对亲和数，其中最大的数有 25 位同年，另一个荷兰数学家里 勒找到了一对有 152 位数的亲和数 电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史，人们利用计算机，可以更有 效率的寻找和分析亲和数，但直到今天，亲和数仍有许多未解之谜，等待着数学家和计 算机专家来解决 作业 1. 300 共多少个约数？其中有多少个是 6 的倍数？有多少个不是 4 的倍数？ 2. 把一张长 108 厘米，宽 84 厘米的长方形纸裁成同样
12、大小的正方形，且纸无剩余，至少 能裁成多少个正方形？ 3. 一个小于 200 的自然数，其最小的三个约数之和是 31，那么这个自然数是多少？（请 写出所有答案） 4. 已知两个三位数 M 和 N 互为反序数（MN） ，且它们的最大公约数是 6，那么 N 最小 值是多少？ 5. 两个自然数的差是 5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是 203，则这两个数的和是 多少？ 第十六讲 数论综合提高二 例7 答案：5 详解： 从向东转向南方， 可以转3次、 7次、 11次、 15次等， 即约数个数是3、 7、 11、 100 之内的数的约数个数最多的只有 12 个（有 5 个） 有 3 个约数的是 4、
13、9、25、49；有 7 个约数的是 64；有 11 个约数的数最小是 1024所以有 5 名小朋友最后是面朝南方 例8 答案：144、324 详解：有 15 个约数的数，质因数分解式为 14或24 前者最小是 14 2，次小的是 14 3， 都很大； 后者最小的是 42 23， 次小的是 42 32， 这个数最小是 144， 次小是 324 例9 答案： 64 57 详解：因为 35 含有质因数 5、7，恰有 35 个约数的数只能含有这两个质因数，所以这 个数最小是 64 57 例10 答案：30，36，80 详解详解：，易知所求三个数为 30， 36，80 例11 答案：23 和 30 详详
14、解解：两数之差为 7，则他们的最大公约数可能为 7 或 1，而 689 也可被最大公约数整 除，所以两数的最大公约数为 1，即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为 690，易知相差 7 且乘积为 690 的两个数为 23 和 30 例12 答案：答案： 21.6 米 102593 3 8222 732 86400235 练习： 练习 1、答案：1968 简答： 易知第n号灯被按的次数等于n的约数的个数， 如果n号灯被按灭则灯被按了奇数次， 即 n 有奇数个约数， 也就是 n 每个质因子的质数为偶数， 即 n 为完全平方数 易知小于 2012 的完全平方数有 44 个,所以还有 1968
15、 盏灯亮着 练习 2、答案：48；105 练习 3、答案：4032 个 简答：因为 42 含有质因数 2、3、7，恰有 42 个约数的数只能含有这三个质因数，所以这个 数最小是 62 2374032 练习 4、答案：12、16、27 简答：把 5184 分解质因数得： 64 518423 ，可凑出三个数是 12、16、27，质数个数分 别是 6 个、5 个、4 个 作业 6. 答案：答案：18，6，12 简答简答：通过分解质因数可得答案为 18，6，12 7. 答案：答案：63 简答简答：正方形边长为 108 和 84 的最大公约数 12，所以可裁成 63 个正方形 8. 答案：答案：25，1
16、25，161 简答简答：首先最小的约数可知为 1，则另外两个较小的约数之和为 30，可知另外两个较小 约数可以是 5 和 25，则答案为 25 和 125；7 和 23，则答案为 161；11 和 19，则答案为 209；13 和 17，则答案为 221其中小于 200 的为 25，125，161 9. 答案：答案：204 简答简答：设这Mabc，Ncba，则由 M 和 N 是 6 的倍数，可知99()MNac是 6 的倍数，则ac是 2 的倍数，又由 M 是偶数可知，c 可能取 2、4、6 或 8，带入尝试 可求得 N 可以为 204，228，246，258，294，426，438，456，498，618，678，最小的 是 204 10. 答案：答案：29 简答简答：两数相差 5，所以它们的最大公约数为 5 或 1，所以分类讨论可得这两个数为 12 与 17，其和为 29
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