1、第十五讲 数论综合提高一 本讲知识点汇总： 一一 整除 1 整除的定义 如果整数 a 除以整数 b ，所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，也可以说 b 能整除 a，记作 如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被 b 整除，也可以说 b 不整除 a 2 整除判定 （1） 尾数判断法 能被 2、5 整除的数的特征：个位数字能被 2 或 5 整除； 能被 4、25 整除的数的特征：末两位能被 4 或 25 整除； 能被 8、125 整除的数的特征：末三位能被 8 或 125 整除 （2） 截断求和法 能被 9、99、999 及其约数整除的数的特征 （3） 截断求差法 能被 11
2、、101、1001 及其约数整除的数的特征 （4） 分解判定：一些复杂整数的整除性，例如 63、72 等，可以把它们分拆成互 质的整数，分别验证整除性 3 常用整除性质 （1） 已知、，则以及 （bc） （2） 已知，则 （3） 已知且，则 （4） 已知且，则 4 整除的一些基本方法： （1） 分解法： 分解得到的数有整除特性； 两两互质. （2） 数字谜法： 被除数的末位已知； 除数变为乘法数字谜的第一个乘数. （3） 试除法： , a bc |b c |a c |a c ,1a b |a bc |b c |ab ac |abc |abc |a c |a b |b a 0b 除数比较大； 被
3、除数的首位已知. （4） 同除法： 被除数与除数同时除以相同的数； 简化后的除数有整除特性. 二二、质数与合数 1 质数与合数的定义 质数是只能被 1 和自身整除的数；合数是除了 1 和它本身之外，还能被其它数整除 的数 2 分解质因数 分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式 如：， 典型题型 一一整除 1 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是 9 和 11 这种常见数字； （1） 9 的考点：乱切法； （2） 11 的考点： 奇位和减偶位和； 两位截断求和； 三位截断，奇段和减 偶段和 2 整除性质的使用； 3 整除与位值原理； 4 整除方法在数字谜中的应用 二二质数合数
4、1 质数合数填数字：注意 2 和 5 的特殊性； 2 判断大数是否为质数：逐一试除法； 3 末尾 0 的个数问题：层除法 例1 （1） 五位数365没有重复数字， 如它能被 75 整除， 那么这个五位数可能是多少？ （2）如果六位数387能被 624 整除，则三个方格中的数是多少？ （3）末三位是 999 的自然数能被 29 整除，这个数最小是多少？ 3 28025 7 22 10025 分析分析 （1）75 可以分解为 3 和 25； （2）试除法解答这道题目； （3）试着把这道题目 改为数字谜的形式进行解答 练习 1、 （1）六位数1037没有重复数字，如它能被 36 整除，那么这个六位数
5、是多 少？ （2）如果六位数374能被 324 整除，则三个方格中的数是多少？ （3）末三位是 999 的自然数能被 23 整除，这个数最小是多少？ 例2 将自然数 1，2，3，依次写下去组成一个数：12345678910111213，如果写到 某个自然数 N 时，所组成的数恰好第一次能被 36 整除，那么这个自然数 N 是多少？ 分析分析36 可以分解为 4 和 9，然后分别满足 N 能被 4 和 9 整除，接下来就要用到整 除特性了，尤其是 9 的整除特性如何运用是关键 练习 2、将自然数 1，2，3，依次写下去组成一个数：12345678910111213，如 果写到某个自然数 N 时，
6、所组成的数恰好第一次能被 45 整除，那么这个自然数 N 是多 少？ 例3 已知3 70ab c是 495 的倍数，其中 a，b，c 分别代表不同的数字请问：三位数abc 是多少？ 分析分析分解 495=5911，可知只要两个三位数分别满足是 5、9、11 的倍数即可， 分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？ 练习 3、已知003 5abc是 396 的倍数，其中 a、b、c 分别代表不同的数字请问：三 位数abc是多少？ 例4 一个各位数字互不相同的五位数可以被 9 整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被 23 整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？ 分析分析根据“去掉末两位之后形成
7、的三位数可以被 23 整除”及最大值或最小值可确 定五位数的前三位，然后根据 9 的整除特性确定其余数字 练习 4、一个各位数字互不相同的四位数可以被 9 整除，去掉末两位之后形成的两位数 可以被 29 整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？ 例5 72 乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这个三位数最大是多少？ 分析分析 立方数需满足所含质因数个数均为 3 的倍数， 分解 72 可以确定质因数的种类， 满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数 例6 在数列 1、4、7、10、13、16、19、中，如果前 n 个数的乘积的末尾 0 的个数比 前个数的乘积的末尾 0 的个数少 3 个，那
8、么 n 最小是多少？ 分析分析末尾 0 的个数决定于 2 和 5 的对数，有一对 2、5 就可以确定一个 0，而题目 数列中 2 的个数一定多于 5 的个数，所以只要使数列中数字满足有三个质因数 5 即可 1n 数学王国里的一颗明珠梅森素数 早在公元前 300 多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究的先河，他在名 著几何原本第九章中论述完美数时指出：如果是素数，则是完 美数（Perfect number） 1640 年 6 月，费马在给马林 梅森的一封信中写道： “在艰深的数论研究中，我发 现了三个非常重要的性质我相信它们将成为今后解决素数问题的基础” 这封信讨论 了形如的数（其中 p 为素数
9、） 梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对作了大量的计算、验证工 作，并于 1644 年在他的物理数学随感一书中断言：对于 p=2，3，5，7，13，17， 19，31，67，127，257 时，是素数；而对于其他所有小于 257 的数时，是 合数前面的 7 个数（即 2，3，5，7，13，17 和 19）属于被证实的部分，是他整理前 人的工作得到的； 而后面的 4 个数 （即 31，67， 127 和 257） 属于被猜测的部分不过， 人们对其断言仍深信不疑 虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究型素 数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位梅森的工作是素数
10、研究的一个转折 点和里程碑 由于梅森学识渊博， 才华横溢， 为人热情以及最早系统而深入地研究 型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数” ；并以 Mp 记之（其中 M 为梅 森姓名的首字母） ， 即 如果梅森数为素数， 则称之为 “梅森素数” （即 型素数） 2300 多年来，人类仅发现 47 个梅森素数由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们 誉为“数海明珠”自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数； 因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程 21 p 21 p Mp 21 p 21 p 21 p 21 p 21 p 21 p (1) 22 pp
11、（ -1） 21 p 21 p 作业 1. 五位数305没有重复数字，如它能被 225 整除，那么这个五位数是多少？ 2. （1）已知六位数2 012是 99 的倍数，那么这个六位数是多少？ （2）已知六位数1949是 72 的倍数，那么这个六位数是多少？ 3. 201 202203500的末尾有多少个连续的 0？ 4. 两个连续自然数的乘积是 1190，这两个数中较小的是多少？ 5. 太上老君炼仙丹， 第一次炼一丹， 第二次炼三丹， 第三次炼五丹， 第四次炼七丹， ， 颗颗炼成不老长生丹然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干已知丹数 不足千，问共炼多少颗仙丹？ 第十五讲 数论综合提高
12、一 例7 答案：答案： （1）30675、38625、39675； （2）504； （3）26999 详解详解： （1）据分解法可知，75 能分成 25 与 3，满足是 25 的倍数，末两位要是 25 的倍 数，即后一个空填 2 或 7，填 2 时，没有重复数字又是 3 的倍数，所以只能是 38625， 填 7 时，满足条件是 30675 或 39675，所以答案是 30675、38625、39675 （2）将六位数补成 387999，387999 除以 624 余 495，所以 387999 减去 495 的差 387504 一定是 624 的倍数，所以答案是 504 （3）改成竖式的数字谜
13、，29 乘以某某某答案后三位是 999，填完整就是 29 乘以 931 等于 26999 例8 答案：答案：36 详解详解：要是 36 的倍数，只要是 4 和 9 的倍数即可9 的整除特性是乱切法就可以，所 以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有 1+2+3+N是 9 的倍数，即 1 2 N N 是 9 的倍数，即 N 或1N 是 9 的倍数，所以 满足条件的 N 是 8、9、17、18、26、27、35、36，写到 36 时，第一次满足是 4 的倍数， 所以 N 最小是 36 例9 答案：答案：865 详解详解：，即只要满足是 5、9、11 的倍数即可对，不论
14、 a 取哪一个 一位数都不可能是 11 和 5 的倍数， 所以一定是 11 和 5 的倍数， 即是 605 于是 是 9 的倍数，所以 a 是 8，所以 a、b、c 组成的三位数是 865 例10 答案：答案：13806、94365 详解详解： 最小且数字不同， 则前三位只能是 138， 再根据 9 的整除特性， 所以最小是 13806； 最大且数字不同，则前三位只能是 943，再根据 9 的整除特性，所以最大是 94365 3 7a 0b c 3 7a 49559 11 例11 答案：答案：648 例12 答案：答案：83 详解详解： 这是一个首项为 1， 公差为 3 的等差数列， 由题意知
15、第个数应为 125 的倍数， 即，可知 k 取 2 时符合要求，此时 n 为 83 练习： 练习 1、答案：答案： （1）105372； （2）220、544 或 868； （3）20999 练习 2、答案：答案：35 练习 3、答案：答案：548 或 908 简答：简答：即003 5abc要分别被 4、9 和 11 整除，由00ab与3 5c整除特性且 a、b、c 代表 不同数字可知00ab与3 5c分别要被（4、9）与 11 整除，所以可求得abc是 548 或 908 练习 4、答案答案：最小值是 2907；最大是 8793 31125nk 1n 作业 6. 答案：答案： 38025 简
16、答简答：能被 225 整除，即能分别被 9 和 25 整除，所以可得该五位数为 38025 7. 答案：答案： （1）260172； （2）197496 简答简答： （1）设该六位数为2 01 2ab，其为 99 的倍数，即212ab 能被 99 整除，又 a、 b 为个位数，所以易知67ab，所以该六位数为 260172； （2）能被 72 整除，即能 分别被 8 和 9 整除，所以可得该六位数为 197496 8. 答案：答案：75 简答简答：500！所含 0 的个数减去 200！所含 0 的个数个数即可，答案为 75 9. 答案：答案：34 简答简答：易知 22 34119035，所以所以可估算出所求的数为 34 10. 答案：答案：900 简答简答：前 n 次共炼制 n2颗仙丹，且 n2是 60 的倍数，所以 n 含有质因数 2、3 和 5，于 是当23 530n 时， 2 900n 为所求答案
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