1、第十二讲 复杂行程问题 这一讲，是我们最后一次系统地学习行程问题，我们将针对扶梯问题、 优化配置问题、往返接送问题等几类特殊的行程问题进行详细讲解它们都 是整个行程问题中复杂度较高，难度较大的问题，需要大家对以前学过的各 种分析方法有比较好的掌握，并能够将它们综合运用 本讲知识点汇总： 一 扶梯问题 1 扶梯问题类似于流水行船问题，解题时要注意人速和电梯速度的合成 2 和流水行船的不同，扶梯问题通常会考虑“人走的路程”和“电梯带 人走的路程” ，所以在解题时通常需要把路程分拆 3 解题时注意比例法的应用 二 优化配置问题 注意“极值”发生时的状况； 三 往返接送 一般的往返接送问题的过程如下：
2、 1 车载甲出发，乙步行前进； 2 在某地甲下车，甲、乙步行，车返回接乙； 3 车接上乙后继续向目的地前进，甲、乙同时到达终点 往返接送的不同类型： 1 车速不变，人速相同； 此时图是对称的，即甲、乙会走同样多路程，此时只要把和两个 过程合并起来考虑即可 2 车速不变，人速不同； 此时两人走的路程不同（走的快的人会多走一些） ，所以需要先把、 过程合并，再把、过程合并，用这两次过程分别计算比例 3 车速不同，人速相同； 4 车速不同，人速不同； 5 多组往返接送 A B 甲 乙 例1 自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒向上移动了 1 级台阶卡莉娅在扶梯向上行走， 每秒走两级台阶已知自动扶梯的可见
3、部分共 120 级，卡莉娅沿扶梯向上走，从底部走 到顶部的过程中，她共走了多少级台阶？ 分析分析当卡莉娅顺着扶梯向前进时，她所走过的路程应该小于扶梯可见部分长度，因 为除了她自身向前走了一段距离外， 扶梯还把她往前带了一段， 这两段路程加起来才是 扶梯可见部分的总长 练习 1、自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒向上移动了 1 级台阶卡莉娅在 扶梯向下行走，每秒走两级台阶已知自动扶梯的可见部分共 120 级，卡莉 娅沿扶梯向下走，从底部走到顶部的过程中，她共走了多少级台阶？ 例2 自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了 150 级；乙从底部向上 走到顶部，共走了 75 级如果甲的速
4、度是乙的速度的 3 倍，那么扶梯可见部分共有多 少级？ 分析分析 甲逆着扶梯走， 他走过的台阶数比扶梯可见部分台阶数多还是少？乙顺着扶梯 走，他走过的台阶数比扶梯可见部分台阶数多还是少？ 练习 2、自动扶梯由上向下匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了 90 级；乙从底 部向上走到顶部，共走了 120 级如果乙的速度是甲的速度的 2 倍，那么扶梯可见部分 共有多少级？ 例3 四辆汽车分别停在一个十字路口的四条岔路上，它们与路口的距离都是 18 千米，四 辆车的最大时速分别为 40 千米、50 千米、60 千米和 70 千米现在四辆汽车同时出发 沿着公路行驶，那么最少要经过多少分钟，它们才能设法
5、相聚在同一地点？ 扶梯 卡莉娅 扶梯可见部分 分析分析4 辆车要能够相聚在同一地点，一个前提要求是在相应的时间内，任意两辆车 必须能够相聚到同一地点 练习 3、一个边长为 4 千米的正方形环路，它的四个顶点处各有一辆汽车，最 大时速分别为 10 千米、10 千米、40 千米、40 千米允许调整四辆车的初始 位置，但必须保证每个环路四个顶点处各有一辆车如果 4 辆车同时出发， 开到环路上的某个地方集合，最少需要多少分钟？ 例4 某种小型飞机满油最多能飞行 1500 千米，但不够从 A 地飞到 B 地如果从 A 地派 3 架这样的飞机，通过实现空中供给油料，可以使其中一架飞机飞到 B 地，另两架安
6、全 返回 A 地，那么 A、B 两地最远相距多少千米？ 分析分析只需让一架飞机飞到 B 地即可，其余两架安全返回返回的两架飞机其实就 是给飞往 B 地的飞机供油的 练习 4、一支轻骑摩托小分队奉命把一份重要文件送到距驻地很远的指挥 部每辆摩托车装满油最多能行 120 千米，且途中没有加油站由于一辆摩 托车无法完成任务，队长决定派四辆摩托车执行任务，其中一辆摩托车负责 把文件送到指挥部，另三辆则在中途供给油料后安全返回驻地请问：指挥 部距小分队驻地最远可能是多少千米？ 例5 高思学校的 80 名同学去距学校 36 千米的铁路博物馆参观但学校只有一辆接送车， 车上最多只能载 40 人（除了司机）
7、已知车速每小时 45 千米，同学们步行速度是每小 时 5 千米那么他们最少需要多少分钟才能到达博物馆？ 分析分析首先要把全部同学等分成两队，然后保证两队同时达目的地，为了保证尽可能 快的到达目的地，汽车送一个队走的时候，另外一个队也要步行往前走，这样显然会更 快一点另外，汽车把第一拨人到底送到哪里放下呢？如果送到终点，那么汽车回去接 另一拨人时，第一拨人就在目的地干等着，这显然不合理；若是放下的较早，则汽车回 头把第二拨人接到终点时第一拨人还没到， 还得再回去接第一拨人， 这显然也不合理 因 此，放下第一拨人的时间应该恰到好处：汽车把第一拨人送到某个地方放下，回去接第 二拨人，将第二拨人送到目
8、的地时第一拨人恰好也到目的地 例6 超人队和蝙蝠侠队从同一地点同时出发，到 29 千米远的体育馆参加比赛，但只有一 辆接送车，一次只能乘坐一个队的队员超人队的步行速度是 6 千米/时，蝙蝠侠队的 步行速度是 3 千米/时，汽车速度是 42 千米/时为了尽快到达体育馆，那么超人队步 行的距离是多少千米？ 分析分析同上一题目，注意这一次两队步行路程是不一样的 同时性的妙用苏步青的狗 苏步青是我国著名的数学家他小时候，有人曾给他出了这样一道数学题：甲、乙两人 同时从两地出发，相向而行，距离是 50 公里，甲小时走 6 公里，乙每小时走 4 公里甲有 一条狗， 每小时跑 8 公里 这只狗和甲一起出发朝
9、乙跑去， 碰到乙的时候它又掉转头跑回甲， 碰到甲又掉头跑向乙就这样来回跑， 直到两人碰头为止 那么这条狗一共跑了多少公里 路？ 空中霸主空中霸主-战斗机战斗机 歼击机又称战斗机，二战时期称驱逐机相对于战略空军的轰炸机，战斗机是指战术空 军的机种，战斗机包括歼击机，截击机，强击机歼击机是夺取制空权的主力机型，通常中 低空机动性好，装备中近程空对空导弹，通过中距空中格斗，近距离缠斗击落敌机以获得空 中优势，或为己方军用飞机护航截击机是高空高速的本土防空型机种，机动性通常不如歼 击机，装备远程空对空导弹或反辐射导弹，主要任务是拦截高空高速入侵的敌方侦察机，超 音速战 战略轰炸机，洲际导弹，还可以用远
10、程反辐射导弹攻击远处的敌方预警指挥机早期的 歼击机是在飞机上安装机枪来进行空中战斗的；每架歼击机都装有 20 毫米以上的航空机关 炮， 还可携带多枚雷达制导的中距拦射导弹和红外线制导的近距格斗导弹和炸弹或命中率很 高的激光制导炸弹，以及其他对地面目标攻击武器歼击机最大飞行时速达 3000 千米，最 大飞行高度 20 千米，最大航程不带副油箱 2000 千米，带油箱时可达 5000 千米机上还带 有先进的电子对抗设备主要用来歼灭空中敌机和其他空袭兵，其特点是速度大，上升快， 升限高，机动性好 课 堂 内 外 作业 1. 自动扶梯由下向上匀速运动， 每秒向上移动了 1 级台阶 阿呆在扶梯顶部开始往
11、下行走， 每秒走 3 级台阶 已知自动扶梯的可见部分共 100 级， 那么阿呆从顶部走到底部的过程 中，自动扶梯移动了多少级台阶？ 2. 自动扶梯匀速向上行驶， 男孩与女孩同时从自动扶梯底部向上走， 男孩速度是女孩的两 倍，男孩走了 27 级到达顶部，女孩走了 18 级到达顶部，扶梯露在外面的有多少级？ 3. 一个边长为 36 千米的正方形环路，它的四个顶点处各有一辆汽车，最大时速分别为 32 千米、36 千米、40 千米、50 千米允许调整四辆车的初始位置，但必须保证每个环路 四个顶点处各有一辆车如果 4 辆车同时出发，开到环路上的某个地方集合，最少需要 多少分钟？ 4. 在一个沙漠地带，汽
12、车每天行驶 250 千米，每辆汽车最多可载行驶 24 天的汽油现有 甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成探测任务后，沿原路返回那么通过合理安 排，其中一辆车能探测的最远距离为多少千米？（两车均要回到出发点，汽车不可在沙 漠中停留） 5. 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园， 甲班步行速度是每小时 4 千米， 乙班步行速度 是每小时 3 千米，学校有一辆汽车，速度是每小时 36 千米这辆汽车恰好能坐一个班 的学生，为了使两班学生能在最短时间内到达公园，那么甲、乙两班学生需要步行的路 程之比是多少？ 第十二讲 复杂行程问题 例题：例题： 例题1. 答案：96 详解：卡莉娅每秒走 2 级，自动扶梯
13、每秒走 0.5 级，速度比为2:0.54:1卡莉娅沿扶梯向上从 底部走到顶部的过程中，卡莉娅和扶梯走的时间相同，所以二者的路程比也为4:1而路程和就是 楼梯可见部分的长 120 级，所以卡莉娅共走了1201 4496级台阶 例题2. 答案：120 详解： 如图， 甲逆着扶梯向下走， 行走的距离比扶梯可见部分要长， 同时扶梯又把他向上带了一段， 这段距离就是图中甲所走路程比扶梯可见部分长出来的那段乙顺着扶梯向上走，同时扶梯把它向 上带了一段，两者相加恰好等于扶梯可见部分的总长 由于甲、乙两人的路程比为150:752:1，速度比为3:1，故所花的时间比为 2 1 :2:3 3 1 因此 图中左侧扶
14、梯与右侧扶梯运行的时间比也为2:3，相应的路程比也是2:3而这两段扶梯运行的 路程总和等于1507575级，所以两段扶梯分别为 30 级和 45 级，扶梯可见部分的总长等于 15030120级 例题3. 答案：24 详解：速度最慢的两辆车的速度和为每小时405090千米，它们要相聚到一起，走过的总路程 最少为18236千米，需要的时间最少为36900.4小时，即 24 分钟于是 24 分钟即为所 求的最少时间， 此时速度最慢的两辆车都沿最短路径超对方所在的岔路开， 直到相遇于某个点C 其 余两辆车只要以适当的速度往相遇地点C行驶就可以了 例题4. 答案：2250 千米 详解：不妨设甲飞机从 A
15、 地飞往 B 地，乙、丙两架飞机给甲飞机供油乙、丙有两种不同的方式供 油给甲，分情况讨论： （1）甲、乙、丙同时起飞，中途 C 点乙、丙同时将自己的油给甲，然后返回，此时甲满油前进到 B 点， 如图所示 设能够支持飞机飞过 1500 千米的油量为“1”份， 可知 AC 一段， 是乙、 丙共“2”份油， 使甲、乙、丙共走过 5 个 AC 的距离，而“1”份油可走过 1500 米，那么 AC 一段的长度就是 2 15005600千米接下来的 CB 段，甲满油飞过 1500 米这种情况下，AB 两地相距 15006002100千米 甲 乙 丙 B C A 甲 扶梯可见部分 150 级 乙 75 级
16、扶梯 扶梯 （2）甲、乙、丙同时起飞，中途 C 点的时候，丙将油分给甲和乙，使甲、乙满油前进，到达 D 点的 时候，乙将自己的油分给甲，然后返回，使甲满油前进到 B，如图所示同样设能支持飞机飞行 1500 千米的油为“1”份，可知丙的“1”份油支持甲、乙、丙走过 4 个 AC，那么 AC 的长度为 15004375千米然后考虑，乙的“1”份油支持甲、乙走过 3 个 CD 段和乙单独走过 1 个 AC 段（返回时） 可知，CD 段的长度是15003753375 千米，然后甲满油走过 DB 为 1500 千米，此时 AB 的路程是37537515002250千米，大于 2100 千米，为 AB 的
17、最远距离 例题5. 答案：112 分钟 详解：如图所示同学步行速度均为 5/千米 时，汽车的速度为 45/千米 时，所以汽 车满载时和队员速度比为9:1，路程比也为9:1设汽车把第一部分同学（40 名）放 下时已经走了 9 份，那么这时另外 40 名同学走了 1 份然后汽车回来接乙队，做相 遇运动，这时汽车和乙队的距离为918 份，同学步行速度均为 5/千米 时，汽车的 速度为 45/千米 时，汽车和同学速度比为9:1，所以汽车走了的 7.2 份，第二拨同学 走了的 0.8 份这段时间第一拨也走了 0.8 份汽车此时离第一拨的距离为 8 份此 后汽车和甲队同时到达终点速度比为9:1，所以路程为
18、9:1，相差 8 份所以这段 时间汽车走了 9 份路程，第一拨走了 1 份路程经分析可知，全程为 10.8 份，36 千 米，可知 1 份为 10 3610.8 3 千米那么整个过程所用的时间就是，汽车满载开过 10 930 3 千 米 ， 队 员 步 行 10 1.86 3 千 米 所 用 的 时 间 ， 即 为 30456560112分钟 放下第一拨 回接第二拨 9 份 1 份 8 份 9 份 0.8 份 7.2 份 1 份 0.8 份 甲 乙 丙 B C A D 例题6. 答案：6.5 千米 详解：如图所示汽车先送 蝙蝠侠队，然后回来接超人 队，最终蝙蝠侠队和汽车同 时到达 练习：练习：
19、 1. 答案：160 简答：1204 14160 2. 答案：108 简答：由 90 120 :3:2 12 ，1209030，得：扶梯可见部分共有9030233 108 级 3. 答案：12 简答：相遇时，两辆时速 10 千米的车的路程和最少是 4 千米，所以相遇最少需410 100.2小 时，即 12 分钟 4. 答案：192 千米 简答：不妨设甲送文件到指挥部，乙、丙、丁三车给甲供油按照例题 4 中方法 2 供油，第一段由丁 供油，然后丁返回；第二段由丙供油，然后丙返回；第三段有乙供油，然后乙返回最后甲满油前进 到指挥部与例题同样的方法计算，可知最远的路程是 192 千米 作业：作业：
20、1. 答案：50简答：整个过程经历了 秒，自动扶梯移动了级 50 150 100(3 1)50 起点 体育馆 “7”份 “1”份 “ 3 4 ”份 “ 21 4 ”份 “ 3 8 ”份 “ 45 104 ”份 2. 答案：54 级简答：男女生的路程比是 3:2，速度比是 2:1，那么他们上扶梯的时间比是 3:4，所以男 生上扶梯时，扶梯走了 3 份；女生上扶梯时，扶梯走了 4 份，因为男生比女生多走 9 级，所以扶梯走 的 1 份就是 9 级，所以男生走扶梯时，扶梯共走 27 份，加上男生自己走的，共 54 份 3. 答案：72简答：必有两辆车合走了三条正方形的边才能到达相遇点，所以需要最少时间为 小时，即 72 分钟 4. 答案：4500 千米简答：甲、乙同时出发，中途乙将自己的油给甲，将甲的油装满，注意此处留下一 份能够返回出发点的油，等甲回来的时候，用这份留下的油回到出发点 5. 答案：11:8简答：先让甲送乙班前进，到达一点后返回接甲班，然后与乙班一起到达公园，具体做 法见例题 36 3(4050)1.2
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