1、第七讲 不定方程 不定方程， 顾名思义就是 “不确定” 的方程， 这里的不确定主要体现在方程的解上 之 前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程3419x 只有一个解5x ，方程组 25 238 xy xy 只有一组解 1 2 x y 什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程25xy的解就不 唯一，因为每当 y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样 一来就会有无穷多组解通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时 ，这个方程（或 方程组）就会有无穷多个解 可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这 无穷多个解都是正确的但
2、在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这 样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对 练一练 求下列方程的自然数解： （1）25xy； （2）238xy； （3）321xy； （4）4520xy 本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组） ：它们所含未知数的个数往往 大于方程的个数， 而未知数本身又有一定的取值范围， 这个范围通常都是自然数这 类方程就是“不定方程” 形如axbyc（a、b、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式解 这样的方程， 最基本的方法就是枚举 那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们 下面结合例题来进行讲解 例1
3、甲级铅笔 7 角一支， 乙级铅笔 3 角一支， 张明用 5 元钱买这两种铅笔， 钱恰好花完 请 问：张明共买了多少支铅笔？ 分析分析设张明买了甲级铅笔x支，乙级铅笔y支，可以列出不定方程：7350xy， 其中x和y都是自然数怎么求解呢？ 练习 1、 （1）求3535xy的所有自然数解； （2）求1112160xy的所有自然数解 一般地，如果 xm yn 是axbyc的一组解，那么 xmb yna （当na时）也是 axbyc的一组解这是因为 ambbnaamabbnabambnc 另外， xmb yna （当mb时） 也是axbyc的一组解，理由相同 这条性质有什么用呢？我们以求2350xy的
4、自然数解为例，我们容易看出它有 一组自然数解 10 10 x y 应用上面的规律，x每次增加 3，y每次减少 2（只要y还是自 然数） ， 所得结果仍然是2350xy的一组解， 所以 13 8 x y 、 16 6 x y 、 19 4 x y 、 22 2 x y 、 25 0 x y 都是2350xy的自然数解另外x每次减少 3（只要x还是自然数） ，y每次 增加 2，所得结果也是2350xy的自然数解，所以 7 12 x y 、 4 14 x y 、 1 16 x y 也都 是2350xy的自然数解而且这样就已经求出了2350xy的所有自然数解，它们 是： 1 16 x y 、 4 14
5、 x y 、 7 12 x y 、 10 10 x y 、 13 8 x y 、 16 6 x y 、 19 4 x y 、 22 2 x y 、 25 0 x y 这就告诉我们，在求形如ax byc （a、b、c 为正整数）的不定方程的自然数解时， 我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的x值每次变化b，y值每 次变化a得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证ax by 的 大小不变） 例2 采购员去超市买鸡蛋每个大盒里有 23 个鸡蛋，每个小盒里有 16 个鸡蛋采购员要 恰好买 500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？ 分析分析 采购员要买多少个大盒， 多少个小
6、盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？ 练习 2、点心店里卖大、小两种蛋糕一个大蛋糕恰好够 7 个人吃，一个小蛋糕恰好够 4 个人吃，现在有 100 个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每 个大蛋糕 10 元，每个小蛋糕 7 元，那么至少要花多少钱？ 前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然 数”外，还会有一些其它的约束下面我们就来看几道这样例题 例3 甲、乙两个小队去植树甲小队有一人植树 12 棵，其余每人植树 13 棵；乙小队有一 人植树 8 棵，其余每人植树 10 棵已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都 是四百多棵问：甲、乙两小
7、队共有多少人？ 分析分析不妨设甲小队有x人，乙小队有y人由“两小队植树棵数相等” ，你能列出 一个关于x与y的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？ 练习 3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干每台大空调每天耗电 38 度，每 台小空调每天耗电 13 度已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之 和少 1 度请问：单位里最少购进了多少台空调？ 例4 将一根长为 380 厘米的合金铝管截成若干根长为 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管， 加工损耗忽略不计问：剩余部分最少是多少厘米？ 分析分析不妨设已经截出了x根长 36 厘米的管子和y根长 24 厘米的管子合金铝管如 果刚
8、好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？ 练习 4、酒店里有 500 升女儿红，李一白每次路过这里就打走 35 升，杜二甫每次路过 这里就打走 21 升那么若干天后，酒店剩余的女儿红最少是多少升？ 二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能利用方程系数有规律地写出所有自然 数解而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢？ 例5 我国古代数学家张丘建在算经一书中提出了“百鸡问题” ：鸡翁一值钱五， 鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个 问题是说： 每只公鸡价值 5 文钱， 每只母鸡价值 3 文钱， 每 3 只小鸡价值 1 文钱 要 想用 100 文钱
9、恰好买 100 只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？ 分析分析题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？ 张丘建算经 张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有张丘建算 经 该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作 张丘建算经 现传本有 92 问， 比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算， 各种等差数列问题的解决， 某些不定方程问题的求解 百鸡问题就是其中一个著名的不 定方程问题 张丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期尽管当时的中国战火连年，朝代更迭 频繁，且一直处于分裂状态，但数学发展的脚步依然没有停下与张丘建算经同时 代的算经
10、还有孙子算经和夏侯阳算经 ，而与张丘建本人同时代的数学家还有大 名鼎鼎的祖冲之 例6 卡莉娅到商店买糖，巧克力糖 13 元一包，奶糖 17 元一包，水果糖 7.8 元一包，酥糖 10.4 元一包，最后她共花了 360 元，且每种糖都买了请问：卡莉娅买了多少包奶糖？ 分析分析题目中出现了四种糖果，我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包 、y包 、z包 和w包 ， 再 由 已 知 的 单 价 、 总 价 可 以 列 出 方 程 13177.810.4360xyzw这是一个四元一次方程，如果按通常的解法枚举出所有 解，势必会有太多可能性需要讨论，过于繁琐而且题目也没要我们求出所有解，只要
11、 我们求出奶糖的数量即可那有没有办法不求其它糖果，只求奶糖的数量呢？ 练习 6、求22263365194xyzw的所有自然数解 蝴蝶效应 气象学家 Lorenz 提出一篇论文，名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在德克萨斯州引起 龙卷风？”论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做蝴 蝶效应 就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点 数也不一定是相同的Lorenz 为何要写这篇论文呢？ 这故事发生在 1961 年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑平时，他只 需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下
12、 一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图 这一天， Lorenz 想更进一步了解某段纪录的后续变化， 他把某时刻的气象数据重新输入 电脑，让电脑计算出更多的后续结果当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之 前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵在一小时后，结果出来了，不过令他目瞪口呆结 果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两 笔资讯而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了 0.000127，而这些微的差异却造成 天壤之别所以长期的准确预测天气是不可能的 课 堂 内 外 作业 1. （1）求的所有自然数解； （2）求 的所有自然数解 2. 在一次植
13、树节的活动中，参加活动的男生每个人种 11 棵树，女生每个人种 7 棵树，最 后所有人一共种了 100 棵树，那么参加活动的一共有多少人？ 3. 一张纸上写有 25 个 1.21 和 25 个 1.3现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和 为 20.08，那么应划去多少个 1.3？ 4. 樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃 （1） 第一天早上， 樱木同学花了 6 元买了一些冬菜包和豆香包， 两种包子他都买了 已 知冬菜包每个 7 角，豆香包每个 5 角，那么樱木同学一共买了多少个包子？ （2）第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子于是樱木邀请晴子一起去 吃包子到学
14、一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串已知羊肉 串每串 1.2 元，最后一共花了 18 元，所点包子与羊肉串数量总和是 25那么两人最多 吃了多少串羊肉串？ 5. 甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书已知甲班有 1 人捐 6 册，有 2 人各捐 7 册，其 余都各捐 11 册；乙班有 1 人捐 6 册，3 人各捐 8 册，其余各捐 10 册；丙班有 2 人各捐 4 册，6 人各捐 7 册，其余各捐 9 册已知甲班捐书总数比乙班多 28 册，乙班比丙班多 101 册，且每个班捐赠的册数都在 400 与 600 之间各班各有多少人？ 52460 236 xyz xyz 5731xy
15、第七讲 不定方程 例题： 例题1. 答案：14 或 10 详解：由于方程两边除以 3 的余数相同，73mod3xyx，502 mod3，所以x 除以 3 余 2 又因为750x ， 所以x是不超过 7 的自然数， 只能取 2 或 5 当2x 时， 502 73 12y ，14xy； 当5x 时，505 735y ，10xy 所 以张明共买了 14 支或 10 支铅笔 例题2. 答案：26 详解：设买了大盒鸡蛋x盒，小盒鸡蛋y盒，则2316500xy考虑方程两边除以 16 的余数，得：7x除以 16 的余数是 4首先要求7x是 4 的倍数，所以x是 4 的倍数， 验证x 4、8、12、发现满足7
16、x除以 16 的余数是 4 的最小x值是 12，相应的y的 值是 14，即 12 14 x y 由于1216且1423，所以方程没有其它自然数解，采购员一共 买了121426盒鸡蛋 例题3. 答案：76 详解：设甲、乙两小队分别有x人和y人则两队植树棵数分别为131x 棵和102y 棵由分析得：10131yx将y 0、1、2、代入方程验证x是否是自然数，可 以求出方程的y值最小的一组自然数解 4 3 y x ，此时每队的植树棵数均为 38 棵 方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y值增加 13 且同时x值增加 10” 得到（也就是方程的其他所有自然数解是 17 13 y x ， 30
17、 23 y x ， 43 33 y x ，） ，每次“y 值增加 13 且同时x值增加 10”意味着每队植树棵数增加 130 棵，38 棵要变为四百多 棵，意味着要增加 3 次，符合要求的自然数解是 43 33 y x 所以甲队有 33 人，乙队有 43 人，两队共有334376人 例题4. 答案：8 详解：设已经截出了x根长 36 厘米的管子和y根长 24 厘米的管子，那么被截出的管 子一共长3624xy厘米由36,2412，得：3624xy一定是 12 的倍数而 380 不是 12 的倍数，所以3624380xy是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少 会剩下多少厘米呢？ 由于36
18、24xy一定是 12 的倍数，小于 380 且能被 12 整除的最大自然数是 372，而 3624372xy的自然数解是存在的，如 1 14 x y ，也就是截出 1 根长 36 厘米的管子和 14 根长 24 厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值 372 厘米所以剩余 部分最少是3803728厘米 例题5. 答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡 0 只，母鸡 25 只，小鸡 75 只；公鸡 4 只， 母鸡 18 只，小鸡 78 只；公鸡 8 只，母鸡 11 只，小鸡 81 只；公鸡 12 只，母鸡 4 只， 小鸡 84 只 详解： 设公鸡、 母鸡和小鸡分别买了x只、y只和z只 依题
19、意， 得： 100 1 53100 3 xyz xyz 要 求这个方程的自然数解，我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然 数解的问题我们选择“消去”z：将第二个方程乘以 3，然后减去第一个方程，得： 148200xy，即74100xy，它的所有自然数解是 0 25 x y 、 4 18 x y 、 8 11 x y 、 12 4 x y 它们对应的z值分别为 75、78、81、84 都是自然数，于是原不定方程的所 有自然数解是： 0 25 75 x y z 、 4 18 78 x y z 、 8 11 81 x y z 和 12 4 84 x y z 所以我们有四种符合要求的买
20、鸡方案：公鸡 0 只，母鸡 25 只，小鸡 75 只；公鸡 4 只，母鸡 18 只，小鸡 78 只；公 鸡 8 只，母鸡 11 只，小鸡 81 只；公鸡 12 只，母鸡 4 只，小鸡 84 只 例题6. 答案：12 详解：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x包、y包、z包和w包，则 13177.810.4360xyzw把系数都化成整数，得：658539521800xyzw由于 我们只关心奶糖的数量，我们将未知数y分为一组，其余未知数分为另一组： 653952851800xzwy也就是13 534851800xzwy令534uxzw，则 13851800uy它的自然数解只有 60 12 u
21、 y ，所以阿奇共买了 12 包奶糖 练习： 1. 答案： （1）有三组解： 0 7 x y ； 5 4 x y ； 10 1 x y ； （2）有一组解： 8 6 x y 简答： （1）考虑方程两边除以 3 的余数； （2）考虑方程两边除以 11 的余数 2. 答案：有四种购买方案：12 个大蛋糕，4 个小蛋糕；8 个大蛋糕，11 个小蛋糕；4 个大 蛋糕，18 个小蛋糕；0 个大蛋糕，25 个小蛋糕；第一个方案最省钱，只要花 12 1047148元 简答：求不定方程74100xy的自然数解即可 3. 答案：4 台 简答：38131xy的最小自然数解为 1 3 x y ，最少需要大空调 1
22、台，小空调 3 台 4. 答案：3 简答：注意3521xy是 7 的倍数 5. 答案： （1）有三组解： 7 1 2 x y z 、 6 3 1 x y x 、 5 5 0 x y x ； （2）1；2；6 简答： （1）消去x可解； （2）求 9 161210100 xyz xyz 的正整数解即可 作业： 1. 答案： （1）； （2）； 简答： （1） 考虑方程两边除以 3 的余数； （2） 消去未知数 y， 转化成二元一次不定方程 2. 答案：12 简答：由，得：，所以参加活动的共有人 3. 答案：17 简答：设留下来的数中有 x 个 1.21 和 y 个 1.3，则由于总和的百分 1.
23、211.320.08 xy 4812 4 8 x y 117100 xy 0 14 8 x y z 6 15 0 x y z 2 3 x y 位是 8， 说明8 或 18 仅当相应的 y 是整数， 求得， 所以应该划去 个 1.3 4. 答案： （1）10； （2）7 简答： （1）设买了冬菜包 x 个，豆香包 y 个由，得：，所以樱木同 学一共买了个包子；（2） 由， 得：、 或，所以羊肉串最多有 7 串 5. 答案：甲 51；乙 53；丙 49 简 答 ： 设 甲 、 乙 、丙三 个 班 分 别 有 x 人 、y 人 、 z 人 ， 则 由 已知 可 得 ： ，即，所以可知 x 是除以 10 余 1 的数，y 是除以 9 余 8 的数又因为每班捐书册数在 400 与 600 之间，所以 x 只能取 51，此时 才同时满足 y 是除以 9 余 8 的数，即为 53，则 z 为 49 113110 10899 xy yz 2011(3)3010(4)28 3010(4)509(8)101 xy yz 3 15 7 x y z 10 10 5 x y z 17 5 3 x y z 24 0 1 x y z 7512180 25 xyz xyz 5510 5 5 x y 7560 xy 25817 8 y 8 x x
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