1、第二讲 余数问题综合提高 本讲知识点汇总： 一 求余数 1 直接做除法 2 特征求余（注意和整除特征对比） ； 3 替换求余 4 周期求余 5 分解求余 二 物不知数问题（求被除数） 1 也称“韩信点兵” ，关于它的解法，后人总结出“中国剩余定理” （也 称“孙子定理” ） 物不知数问题的基本解法是：逐步增加条件，逐步找寻 2 分解求余 三 同余 1 概念 如果 a 和 b 除以 c 的余数相同，则称 a、b 对 c 同余，例如：10 和 28 对 9 同余 2 如果 a、b 对 c 同余，则是 c 的倍数 例1 （1）418 814 1616除以 7、8、9、11 的余数分别是多少？ （2）
2、 89 2除以 7 的余数是多少？ （3） 89 143的个位数字是多少？除以 7 的余数是多少？除以 11 和 13 的余数呢？ 分析分析 （1）替换求余法； （2）周期求余法解这道题目； （3）同上 ab 练习 1、的个位数字是多少？除以 7 的余数是多少？ 例2 20032003 2003032003200320 个 除以 9 的余数是多少？除以 11 的余数是多 少？除以 99 的余数是多少？ 分析分析截段求和法 练习 2、 20132013 2003200320032003除以 9 的余数是多少？除以 11 的余数是 多少？除以 99 的余数是多少？ 例3 有一种三位数， 它除以 9
3、 所得的余数等于它的各位数字的平方和， 这样的三位数可能是多少？请写出所有可能答案 分析分析尝试枚举出一个符合题意数来，总结一下这样的数有什么特点 练习 3、一个布袋中装有 5000 多个小球，如果 10 个一包，最后还剩 9 个；如 果 9 个一包，最后还剩 8 个；如果 5 个一包，最后还剩 4 个那么如果 13 个一包，最后还剩多少个？ 例4 （1）一个三位数除以 9 余 2，除以 12 余 2，那么这个三位数最小是多少？ （2）一个数除以 4 余 3，除以 6 余 5，除以 7 余 6，那么这个数最小是多少？ （3）一个三位数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，那么这
4、个三位数最小是多少？ 分析分析 （1）余数相同； （2）余数和除数的差相同； （3）逐步满足条件法 2013 2013 练习 4、（1）一个三位数除以 6 余 2，除以 8 余 2，那么这个三位数最小是多 少？ （2） 一个数除以 3 余 2， 除以 5 余 4， 除以 7 余 6， 那么这个数最小是多少？ （3）一个数除以 6 余 2，除以 11 余 1，那么这个数最小是多少？ 例5 三个连续自然数依次是 13、11、7 的倍数，那么这三个连续自然 数之和最小为多少？ 分析分析能否将这道题目中三个连续的被除数，转化为同一个数，而这个数又有什么样 的特点呢？ 例6 有一个整数，用它分别去除 1
5、57、234 和 324，得到的三个余数 之和是 100，这个整数是多少？ 分析分析如果把余数都去掉后，剩余的数有什么特点？ 作业 1 的个位数字是多少？除以 7 的余数是多少？ 2 （1）一个三位数除以 4 余 2，除以 6 余 2，那么这个三位数最小是多少？ （2）一个三位数除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 6 余 4，那么这个三位数最小是多少？ （3）一个数除以 9 余 2，除以 12 余 5，那么这个数最小是多少？ 3 一个盒子中装有棒棒糖 100 多个， 如果每次取 5 个最后剩 4 个， 如果每次取 4 个最后剩 3 个，如果每次取 3 个最后剩 2 个那么如果每次取 12
6、 个，最后剩多少个？ 4 一个两位数去除 531，得到的余数是 69，这个两位数是多少？ 5 有一个自然数，用它分别去除 61、90、130 都有余数，3 个余数的和是 26，这 3 个余数 中最大的一个是多少？ 366 29 第二讲 余数问题综合提高 例7 答案：答案： （1）4、0、8、0； （2）4； （3）3；5；0；0解答： （1）按替换求余计算即可； （2）按周期 求余：2、 2 2、 3 2、 4 2、除以的余数依次是 2、4、1、2、4、每三个数一个周期，所以， 89 2 除以 7 的余数是 4； （3）按周期求余即可，143=1113，143 是 11 和 13 的倍数 例8
7、 答案：答案：7；1；34解答：除以 9 的余数，按“特性求余”数字和为2003200310015，而 1 00 1 57 ，所以， 20032003 2003200320032003除以 9 的余数是 7；除以 11 的余数，也可用“特性 求余”法；除以 99 的余数，两位截段求和判断即可 例9 答案：答案：100、101、110、111 解答：解答： 一个数除以 9 的余数就是等于这个数的数字和除以 9 的余数， 又要等于它的各位数字的平方和， 所以只有上述的 4 种答案 例10 答案：答案：110；83；158 解答：（1） 余数相同， 9和12的最小公倍数时36， 所以， 除以9余2，
8、 除以12余2， 的数最小是36238， 又由于要符合三位数这个条件， 所以，3836 2110；（2）“差同” 差为 1，4, 6, 784，84183 ； （3）逐步满足条件 例11 答案：答案：627 解答： 一个数满足： 是13的倍数， 且加1后是11的倍数， 那么这个数最小是65， 下一个是65 143208， 而 209、210 分别是 11、7 的倍数，所以和最小是208209210627 例12 答案：答案：41 解答：解答： 157、 234 和 324 的和是 715， 减去 100 的差是 615， 615 是这个整数的倍数， 而 615 的约数有 1、 3、5、15、4
9、1、123、205、615，验算只有 41 满足余数和是 100 练习： 练习 1、答案：答案：3；1简答： 2013 2013的个位数字只与个位数字有关相当于 2013 3的个位数字，3n的个 位数字依次 3、 9、 7、 1、 ， 每四个数一周期，20134余 1， 所以， 2013 2013的个位数字是 3；20137 余 1，1 的 2013 次方除以 7 的余数也是 1 练习 2、答案：答案：3；0；66简答：同例题 2 练习 3、答案：答案： 8简答：布袋中的小球数除以 10 余 9，除以 9 余 8，除以 8 余 7，除以 5 余 4， 5,6,7,8,9,105,7,8,957
10、8 92520 ，所以，布袋中球数是2520 125205039 ，5039 13 余 8 练习 4、答案：答案： （1）122； （2）104； （3）56简答：同例题 4 作业 1. 答案：1；1简答：29n的个位数字依次是 9、1、9，所以， 366 29的个位数字是 1；297余 1， 所以， 366 29除以 7 余 1 2. 答案：110；106；29简答： （1）4,612，1412 8110 ； （2）按“差同”计算； （3）按“差同” 计算 3. 答案：11简答：除以 5 余 4，除以 4 余 3，除以 3 余 2 的数最小是 59，满足上述条件的 100 以上的 数是 59 加上若干个 60，如 119、179 等，这些数除以 12 余 11 4. 答案：77简答：53169462，462 的约数中比 69 大的两位数只有 77 5. 答案：11 简答：61、90 和 130 的和减去 26 得到 255，255 的约数中验证得满足条件的只有 17，所以这个自然数是 17，所以余数中最大的是 130 除以 17 的余数 11
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