1、已知集合 My|y3x，x0，Nx|ylg（3xx2），则 MN 为（ ） A B （1，+） C3，+） D （1，3） 2 （5 分）设 i 是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数 a 的值为 （ ） A B C3 D3 3 （5 分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试 结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用若这三人中仅 有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A丙被录用了 B乙被录用了 C甲被录用了 D无法确定谁被录用了 4 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m
2、，n，则 m，n 为异面直线； 若 m，m，则 ； 若 ，则 ； 若 m，n，mn，则 则上述命题中真命题的序号为（ ） A B C D 5 （5 分）若正整数 n 除以正整数 m 后的余数为 r，则记为 nr（bmodm） ，例如 103 （bmod7） 如图程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的中国剩余定理 ，执行 该程序框图，则输出 n 的值等于（ ） 第 2 页（共 23 页） A29 B30 C31 D32 6 （5 分）曲线在 x1 处的切线的倾斜角为 ，则 cos+sin 的值为（ ） A B C D 7 （5 分）已知函数g（x）x2，则函数 yf（x） g（x）的大致图
3、象是（ ） A B C D 8 （5 分） 等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 S2n3 （a1+a3+a5+a2n1） （nN*） ， a1a2a3 8，则 S8（ ） A510 B255 C127 D6540 9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） 第 3 页（共 23 页） A B9 C12 D16 10 （5 分）已知 t1，xlog2t，ylog3t，zlog5t，则（ ） A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x5z 11 （5 分）设 F1、F2分别是椭圆+1（ab0）的焦点，过 F2的直线交椭圆于 P、 Q 两点，且
4、 PQPF1，|PQ|PF1|，则椭圆的离心率为（ ） A B C2 D96 12 （5 分）已知函数，若函数 F（x）f（x） 3 的所有零点依次记为 x1，x2，x3，xn，且 x1x2x3xn，则 x1+2x2+2x3+2xn 1+xn（ ） A B445 C455 D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在（x+y） （xy）5的展开式中，x3y3的系数是 14 （5 分） 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有 女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日
5、？” 其中“日 减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数 为 15 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的两条渐近线均与圆 C：x2+y28x+12 0 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则双曲线的方程为 16 （5 分）平行四边形 ABCD 中，AB3，AD2，BAD120，P 是平行四边形 ABCD 内一点，且 AP1，若x，则 3x+2y 的最大值为 第 4 页（共 23 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须
6、作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 b2+c2a26，且 bsinC+csinB4asinBsinC （1）求 cosA； （2）求ABC 的面积 18 （12 分）某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂 60 元，对于提供的软件服务每次 10 元； 方案二： 软件服务公司每日收取工厂 200 元， 若每日软件服务不超过 15 次， 不另外收费， 若超过 15 次，超过部分的软件服务每次收费标准为 20 元 （
7、1）设日收费为 y 元，每天软件服务的次数为 x，试写出两种方案中 y 与 x 的函数关系 式； （2）该工厂对过去 100 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据 该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个 方案更合适？请说明理由 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ABCD，CD2AB （1）设 AC 与 BD 相交于点 M，（m0） ，且 MN平面 PCD，求实数 m 的值； （2）若 ABADDPAD，且 PDAD，求二面角 BPC D 的余弦值 第 5 页（共 23 页） 20 （12 分）设函数 f（x）xex+a（1ex
8、）+1 （）求函数 f（x）的单调区间； （）若函数 f（x）在（0，+）有零点，证明：a2 21 （12 分）设 A、B 为曲线 C：y上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4 （1）求直线 AB 的斜率； （2）设弦 AB 的中点为 N，过点 A、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为 E，过点 E 作直线 l，交抛物线于 P、Q 两点，连接 NP、NQ证明：kEA+kEBkNP+kNQ2kAB 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清 题号题号选修选修 4-4：坐标系与参数方
9、程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程（ 为参数） ，以 O 为极 点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 2sin（+）3，射线 OM：与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|x1| （1）求不等式 f（3+x）+f（3x）6 的解集； （2）若不等式 f（x1）f（x+4）ax+b 的解集为实数集 R，求 a+b 的取值范围 第 6 页（共 23 页）
10、2020 年云南省大理市、丽江市、怒江市高考数学模拟试卷（理年云南省大理市、丽江市、怒江市高考数学模拟试卷（理 科） （科） （1 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 My|y3x，x0，Nx|ylg（3xx2），则 MN 为（ ） A B （1，+） C3，+） D （1，3） 【分析】求出集合 A，B，再计算即可 【解答】解：已知集合 My|y3x
11、，x0（1，+） ， Nx|ylg（3xx2）（0，3） ， 则 MN（1，3） ， 故选：D 【点评】考查集合的交集运算，考查了指数与对数函数定义域，中档题 2 （5 分）设 i 是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数 a 的值为 （ ） A B C3 D3 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部的和为 0 求解 a 值 【解答】解：的实部与虚部是互为相反数， 2a+1+2a0，即 a3 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试 结果以后
12、，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用若这三人中仅 有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A丙被录用了 B乙被录用了 C甲被录用了 D无法确定谁被录用了 【分析】利用反证法，即可得出结论 第 7 页（共 23 页） 【解答】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成 立； 假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话， 若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用； 若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立 故选：C 【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 4 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是三个不
13、同的平面，给出下列四个命题： 若 m，n，则 m，n 为异面直线； 若 m，m，则 ； 若 ，则 ； 若 m，n，mn，则 则上述命题中真命题的序号为（ ） A B C D 【分析】直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，对选项进行逐 一判断，推出结果即可 【解答】解：若 m，n，则 mn 或 m，n 是异面直线，不正确； 若 m，m，则 ，由于 推出 ，满足平面和平面垂直的定义，正 确； 若 ，则由平行公理可得 ，正确 若 m，mn，则 n，由于 n，则 ；不正确 故选：C 【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力， 属于中档题 5 （5 分
14、）若正整数 n 除以正整数 m 后的余数为 r，则记为 nr（bmodm） ，例如 103 （bmod7） 如图程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的中国剩余定理 ，执行 该程序框图，则输出 n 的值等于（ ） 第 8 页（共 23 页） A29 B30 C31 D32 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：n26， 第一次执行循环体后，n27，不满足循环的条件 n2（bmod3） ； 第二次执行循环体后，n28，不满足循环的条件 n2（bmod3） ； 第三次执行循环体
15、后， n29， 满足循环的条件 n2 （bmod3） ， 不满足条件 n2 （bmod5） ； 第四次执行循环体后，n30，不满足循环的条件 n2（bmod3） ， 第五次执行循环体后，n31，不满足循环的条件 n2（bmod3） ， 第六次执行循环体后，n32，满足循环的条件 n2（bmod3） ，满足条件 n2（bmod5） ； 故输出 n 值为 32， 故选：D 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 6 （5 分）曲线在 x1 处的切线的倾斜角为 ，则 cos+sin 的值为（ ） A B C D 【分析】通过函数的导数求出
16、切线的斜率，求出切线的倾斜角的正切值，结合同角基本 关系式，解方程，即可得到所求和 【解答】解：f（x）lnx， 第 9 页（共 23 页） 函数 f（x）+， yf（x）在 x1 处的切线的倾斜角为 ， tan3，0，即 sin3cos， 又 sin2+cos21， 解得 sin，cos， cos+sin 的值为 故选：A 【点评】本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查同角的三角函数的基本关系式， 学生的计算能力，属于基础题 7 （5 分）已知函数g（x）x2，则函数 yf（x） g（x）的大致图 象是（ ） A B C D 【分析】根据题意，求出函数 yf（x） g（x）的解析式，分析
17、其奇偶性，进而分析可得 当 0xln4 时，F（x）（ex4）x20，当 xln4 时，F（x）（ex4）x20，据 此分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数，g（x）x2， 则函数 yf（x） g（x），设 F（x）， 当 x0 时，F（x）（ex4）x2，有x0，则有 F（x）（e （x）4）x2（ex 第 10 页（共 23 页） 4）x2， 则有 F（x）F（x） ，函数 F（x）为偶函数， 当 0xln4 时，F（x）（ex4）x20，当 xln4 时，F（x）（ex4）x20， 分析选项：A 符合； 故选：A 【点评】本题考查函数的图象的判断，涉及分段函数的应用，属于中档题 8
18、（5 分） 等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 S2n3 （a1+a3+a5+a2n1） （nN*） ， a1a2a3 8，则 S8（ ） A510 B255 C127 D6540 【分析】由已知结合等比数列的性质及求和公式可求 q，进而可求 a1，然后代入等比数 列的求和公式即可求解 【解答】解：设等比数列an的公比为 q， S2n3（a1+a3+a5+a2n1） （nN*） ， 3， q2， a1a2a38， a22，a11， 则 S8255 故选：B 【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本 题的关键 9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则
19、该几何体的外接球的表面积为（ ） 第 11 页（共 23 页） A B9 C12 D16 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，最后求出表面积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 所以：设外接球的半径为 r， 则： （2r）222+22+12， 解得， 所以 S 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公 式的应用，球的体积公式和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及 思维能力，属于基础题 10 （5 分）已知 t1，xlog2t，ylog3t，zlog5t，则（ ） A2x3y5z B5z2
20、x3y C3y5z2x D3y2x5z 【分析】t1，可得 lgt0又 0lg2lg3lg5，可得 2x20，3y30， 5z0，通过作商即可得出 【解答】解：t1，lgt0 又 0lg2lg3lg5， 2x20，3y30，5z0， 1，可得 5z2x 1可得 2x3y 综上可得：3y2x5z 第 12 页（共 23 页） 故选：D 【点评】本题考查了对数运算性质、作商法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）设 F1、F2分别是椭圆+1（ab0）的焦点，过 F2的直线交椭圆于 P、 Q 两点，且 PQPF1，|PQ|PF1|，则椭圆的离心率为（ ） A B C2 D96 【分
21、析】由题意 PQPF1，|PQ|PF1|可得|QF1|，再由椭圆的定义可得 |PF1|+2|PF1|4a，求出 PF1，然后由题意的定义可得 PF2的值，在直角三角形 F1PF2 中求出 a，c 的关系，进而求出离心率 【解答】解：由 PQPF1，|PQ|PF1|可得|QF1|，所以由题意的定义可得： |PF1|+2|PF1|4a， 所以|PF1|2（2）a，|PF2|2a|PF1|2（）a， 在直角三角形 F1PF2中，|F1F2|2|PF1|2+|PF2|2， 即（2c）22（2）a2+2（1）a2，整理可得：c2（96）a2，解得 e ， 故选：B 【点评】考查椭圆的性质，属于中档题 1
22、2 （5 分）已知函数，若函数 F（x）f（x） 3 的所有零点依次记为 x1，x2，x3，xn，且 x1x2x3xn，则 x1+2x2+2x3+2xn 1+xn（ ） A B445 C455 D 【分析】函数 F（x）f（x）3 的所有零点，转化为函数与 y 3 的交点问题，求出函数 f（x）的对称轴，根据 f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的 第 13 页（共 23 页） 和，从而得出答案 【解答】解：函数， 令 2x+k 得 x+，kZ，即 f（x）的对称轴方程为 x+， kZ f（x）的最小正周期为 T，0x， 当 k0 时，可得第一根对称轴 x，当 k30 时，可得 x， f（x）
23、在0，上有 31 条对称轴， 根据正弦函数的性质可知：函数与 y3 的交点有 31 个点，即 x1， x2关于对称，x2，x3关于对称，即 x1+x22，x2+x32， x30+x312， 将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+2x28+2x29+2x30+x31 2（+）（2+5+8+89）455 故选：C 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在（x+y） （xy）5的展开式中，x3y3的系数是 0 【分析】把（xy）5的按照二项式定理展开，可
24、得在（x+y） （xy）5的展开式中，x3y3 的系数 【解答】解：（x+y） （xy）5（x+y） （x55x4y+10x3y210x2y3+5xy4y5） ， 故展开式中 x3y3的系数为 10100， 故答案为：0 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 14 （5 分） 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有 女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？” 其中“日 减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为 第 14 页（共 23 页） 【分析】
25、利用等差数列的通项公式求和公式即可得出 【解答】解：已知数列an为等差数列，其中，a15，an1，Sn90 设公差为 d，则 90，15+（n1）d， 解得：d 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 15 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的两条渐近线均与圆 C：x2+y28x+12 0 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则双曲线的方程为 1 【分析】由两条渐近线均与圆 C：x2+y28x+120 相切，可得 结合双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 即可求得 a，b，从而求得双曲线方程 【解答】解：圆 C：x2+y28x+120
26、的圆心（4，0） ，半径为 2， 两条渐近线均与圆 C：x2+y28x+120 相切， 双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，c242a2+b2/ ， 则双曲线的方程为： 故答案为： 【点评】本题考查了双曲线的性质、圆的性质，属于中档题 16 （5 分）平行四边形 ABCD 中，AB3，AD2，BAD120，P 是平行四边形 ABCD 内一点，且 AP1，若x，则 3x+2y 的最大值为 2 第 15 页（共 23 页） 【分析】根据，得出1，利用基本不等式得出 3x+2y 的最大值 【解答】解：， 9x2+4y2+2xy32（） （3x+2y）233x2y（3x+2y）2（3x+2y）2 （3x+
27、2y）2； 又1， 即（3x+2y）21， 所以 3x+2y2，当且仅当 3x2y， 即 x，y时， 3x+2y 取得最大值 2 故答案为：2 【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长的应用问题，也考查了基本不等式的应用 问题，是基础题目 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必题为必考考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
28、b2+c2a26，且 bsinC+csinB4asinBsinC （1）求 cosA； （2）求ABC 的面积 【分析】 （1）由已知结合正弦定理可求 sinA，结合同角平方关系即可求解 A； （2）由已知角 A 及余弦定理可求 bc，然后代入三角形的面积公式即可求解 【解答】解： （1）因为 bsinC+csinB4asinBsinC， 由正弦定理得：sinBsinC+sinCsinB4sinAsinBsinC， 又 sinBsinC0，所以 4sinA2，即， 又 b2+c2a26，由余弦定理得 cosA0， 所以； 第 16 页（共 23 页） （2）因为， 所以，即， 所以 【点评】本
29、题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应 用，属于中档试题 18 （12 分）某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂 60 元，对于提供的软件服务每次 10 元； 方案二： 软件服务公司每日收取工厂 200 元， 若每日软件服务不超过 15 次， 不另外收费， 若超过 15 次，超过部分的软件服务每次收费标准为 20 元 （1）设日收费为 y 元，每天软件服务的次数为 x，试写出两种方案中 y 与 x 的函数关系 式； （2）该工厂对过去 100 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据 该统计数据，把频率视为概率，从
30、节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个 方案更合适？请说明理由 【分析】 （1）依题意，根据题目给出的信息列出函数关系式即可，注意定义域 （2）根据频数条形图中的数据列出两种方案对应的分布列，计算出期望，以期望作为判 断条件判断即可 【解答】解： （1）由题可知，方案一中的日收费 y 与 x 的函数关系式为 y10x+60，xN 方案二中的日收费 y 与 x 的函数关系式为 y （2）设方案一中的日收费为 X，由条形图可得 X 的分布列为 第 17 页（共 23 页） X 190 200 210 220 230 P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2 所以 E（X）1900.1+2
31、000.4+2100.1+2200.2+2300.2210（元） 方案二中的日收费为 Y，由条形图可得 Y 的分布列为 Y 200 220 240 P 0.6 0.2 0.2 E（Y）2000.6+2200.2+2400.2212（元） 所以从节约成本的角度考虑，选择方案一 【点评】本题考查了函数的解析式的求法，离散型随机变量的分布列与数学期望，决策 问题等本题属于中档题 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ABCD，CD2AB （1）设 AC 与 BD 相交于点 M，（m0） ，且 MN平面 PCD，求实数 m 的值； （2）若 ABADDPAD，且 PDAD，求二面角 BPC D
32、的余弦值 【分析】（1） 由 ABCD， 得到， 由 MN平面 PCD， 得 MNPC， 从而， 由此能实数 m 的值 （2）由 ABAD，BAD60，知ABD 为等边三角形，推导出 PDDB，PDAD， 从而 PD平面 ABCD，以 D 为坐标原点，的方向为 x，y 轴的正方向建立空间 直角坐标系，由此能求出二面角 BPCD 的余弦值 【解答】解： （1）因为 ABCD， 所以 （2 分） 因为 MN平面 PCD，MN平面 PAC，平面 PAC平面 PCDPC， 第 18 页（共 23 页） 所以 MNPC （4 分） 所以，即 （5 分） （2）因为 ABAD，BAD60，可知ABD 为等
33、边三角形， 所以 BDADPD，又，故 BP2PD2+DB2，所有 PDDB 由已知 PDAD，ADBDD，所以 PD平面 ABCD， 如图，以 D 为坐标原点，的方向为 x，y 轴的正方向建立空间直角坐标系， 设 AB1，则 ABADDP1，CD2， 所以， 则， 设平面 PBC 的一个法向量为 n1（x1，y1，z1） ， 则有，即 设 x11，则，所以，（8 分） 设平面 PCD 的一个法向量为 n2（x2，y2，z2） ， 由已知可得，即 令 z21，则，所以 （10 分） 所以 ， （11 分） 设二面角 BPCD 的平面角为 ，则 故二面角 BPCD 的余弦值为 （12 分） 第
34、19 页（共 23 页） 【点评】本题考查实数值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 20 （12 分）设函数 f（x）xex+a（1ex）+1 （）求函数 f（x）的单调区间； （）若函数 f（x）在（0，+）有零点，证明：a2 【分析】 （I）f（x）x（a1）ex，对 a 分类讨论即可得出单调性 （II） 函数 f （x） 在 （0， +） 有零点， 可得方程 f （x） 0 有解 可得 ax+， 有解令 g（x）x+，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出 a 的取值范围 【解答】 （I）解
35、：f（x）x（a1）ex，xa1 时，f（x）0，函数 f（x） 在（a1，+）上单调递增；xa1 时，f（x）0，函数 f（x）在（，a1） 上单调递减 （II）证明：函数 f（x）在（0，+）有零点，可得方程 f（x）0 有解 ax+，有解 令 g（x）x+，g（x）1+ 设函数 h（x）exx2，h（x）ex10， 函数 h（x）在（0，+）上单调递增， 又 h（1）e30，h（2）e240 函数 h（x）在（0，+）上单调递增 存在 x0（1，2） ， 当 x（0，x0）时，g（x）0；当 x（x0，+）时，g（x）0 第 20 页（共 23 页） 函数 g（x）存在唯一最小值 x0，
36、满足x0+2 g（x0）x0+x0+1（2，3） ag（x）x+，有解 ag（x0）2 a2 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化问题、分类讨论 方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21 （12 分）设 A、B 为曲线 C：y上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4 （1）求直线 AB 的斜率； （2）设弦 AB 的中点为 N，过点 A、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为 E，过点 E 作直线 l，交抛物线于 P、Q 两点，连接 NP、NQ证明：kEA+kEBkNP+kNQ2kAB 【分析】 （1）设 A，B 的坐标，代入抛物线方程，相减可得斜率的表达式，然
37、后由 A，B 的横坐标之和求出斜率； （2）设 A，B，C，D 的坐标，求出 AB 的中点 N 的坐标，求出在 A，B 的切线方程，两 个方程联立求出 E 的坐标，设过 E 的直线方程与排污池联立求出两根之和及两根之积， 进而求出直线 NP，NQ 的斜率之和，证得结论 【解答】 解：设 A （x1，y1） ，B （x2，y2） ，则， （1）直线 AB 的斜率， （2）由（1）知，等价于证明 kEA+kEBkNP+kNQ2， ， 设直线 lAB：yx+m， 过 A（x1，y1）点的切线方程为，整理得 同理，过 B（x2，y2）点处切线的方程为， 第 21 页（共 23 页） 联立方程组解得：，
38、E（2，m） ， 设 P（x3，y3） ，Q（x4，y4） ，易知割线的斜率存在，因为 E（2，m） ，设割线的方程为 y+mk（x2） ，代入抛物线，整理得 x24kx+8k+4m0， 则 x3+x44k，x3x48k+4m 所以， ， ， 因为 N（2，2+m） ， 所以， 所以 ， 综上可得 kEA+kEBkNP+kNQ2， 所以 kEA+kEBkNP+kNQ2kAB 【点评】考查直线与抛物线的综合，属于中难题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清 题号题号选修选修 4-
39、4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程（ 为参数） ，以 O 为极 点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 2sin（+）3，射线 OM：与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 【分析】解： （I）利用 cos2+sin21，即可把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程 第 22 页（共 23 页） （II）设（1，1）为点 P 的极坐标，由，联立即可解得设（2，2） 为点 Q 的极坐标，同理可解得利用|PQ|12|即可得
40、出 【解答】解： （I）利用 cos2+sin21，把圆 C 的参数方程为参数） 化为（x1）2+y21， 22cos0，即 2cos （II）设（1，1）为点 P 的极坐标，由，解得 设 （2， 2） 为点 Q 的极坐标， 由， 解得 12，|PQ|12|2 |PQ|2 【点评】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|x1| （1）求不等式 f（3+x）+f（3x）6 的解集； （2）若不等式 f（x1）f（x+4）ax+b 的解集为实数集 R，求 a+b 的取值范围 【分析】 （1）利用已知条件化简不等式，通过分段函数与不等式，转化求解即可 （2）化简函数的解析式，利用数形结合转化求解即可 【解答】解： （1）， 由 f（x）6，得 x（，33，+） （2）， yf（x1）f（x+4）的图象如图所示： 第 23 页（共 23 页） ， 由 f（x1）f（x+4）ax+b 的解集为实数集 R，可得 a0，b5， 即 a+b5 【点评】本题考查含绝对值的函数，分段函数以及不等式的应用，考查数形结合以及转 化思想的应用，是中档题
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