1、若复数 z（i 是虚数单位） ，则|z|（ ） A B C1 D 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，集合，则 AB（ ） A0，1 B1，2 C1 D2 3 （5 分）已知平面 l，m 是 内不同于 l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A若 m，则 ml B若 ml，则 m C若 m，则 ml D若 ml，则 m 4 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+1an+a（nN*，a 为常数） ，若平面内的 三个不共线的非零向量，满足，A，B，C 三点共线 且该直线不过 O 点，则 S2010等于（ ） A1005 B1006 C2010 D2012 5 （5 分）执行如
2、图所示的程序框图，令 yf（x） ，若 f（a）1，则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，2）（2，5 B （，1）（1，+） 第 2 页（共 21 页） C （，2）（2，+） D （，1）（1，5 6 （5 分）已知 mR， “函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减 函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）已知某班学生的数学成绩 x（单位：分）与物理成绩 y（单位：分）具有线性相 关 关 系 ， 在 一 次 考 试 中 ， 从 该 班 随 机 抽 取 5 名 学 生 的 成 绩 ， 经 计 算
3、 ： ，设其线性回归方程为： 0.4x+ 若该班某学生的数学成 绩为 105，据此估计其物理成绩为（ ） A66 B68 C70 D72 8 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S22，S36，则 S5（ ） A18 B10 C14 D22 9 （5 分）函数 f（x）2x4sinx，x，的图象大致是（ ） A B C D 10 （5 分）已知直线 x+ya0 与圆 x2+y22 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，向量、 满足条件|+|，则实数 a 的值为（ ） A B C D1 11 （5 分）已知 F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，设双曲线的 离心率为 e若在
4、双曲线的右支上存在点 M，满足|MF2|F1F2|，且 esinMF1F21，则 该双曲线的离心率 e 等于（ ） A B C D 第 3 页（共 21 页） 12 （5 分） 定义在 R 上的可导函数 f（x）满足 f（1） 1， 且 2f （x）1， 当 x， 时，不等式的解集为（ ） A （，） B （，） C （0，） D （，） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上.） 13 （5 分）已知二项式展开式所有项的系数和为1，则展开式中 x 的系数 为 14（5 分） 已
5、知 x0， y0， 且 x+2yxy， 若 x+2ym2+2m 恒成立， 则 xy 的最小值为 ， 实数 m 的取值范围为 15 （5 分）某班从 6 名班干部（其中男生 4 人，女生 2 人）中选出 3 人代表本班参加“学 生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率 是 16 （5 分）如图，平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿 对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD四面体 ABCD 顶点 在同一个球面上，则该球的体积为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写
6、出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共） （一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知向量 （sinx，cosx） ， （cosx，cosx） ，f（x） （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.，若 f（A） 1，求ABC 的周长 18 （12 分） “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020 年春节前夕，某市 质检部门随机抽取了
7、100 包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分 布直方图所示 第 4 页（共 21 页） （1）求所抽取的 100 包水饺该项质量指标值的样本平均数 （2）由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2） ，其中 近似为样本平均数，经计算得11.95，求 Z 落在（14.55，38.45）内的概 率 （3） 将频率视为概率， 若某人买了 3 包该品牌水饺， 记这 3 包水饺中质量指标值位于 （10， 30）内的包数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E（X） 附：若 ZN（，2） ，则：P（+）0.6826，P（3+3） 0.9974 19 （12 分）如图
8、直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACCC12，ABBC，D 是 BA1上一点， 且 AD平面 A1BC （1）求证：BC平面 ABB1A1； （2）在棱 BB1是否存在一点 E，使平面 AEC 与平面 ABB1A1的夹角等于 60，若存在， 试确定 E 点的位置，若不存在，请说明理由 20 （12 分）已知 P 是圆上任意一点，F2（1，0） ，线段 PF2的垂直 平分线与半径 PF1交于点 Q，当点 P 在圆 F1上运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点的直线 l 与（1）中曲线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求 AOB 面积的最大值及此时直线 l
9、的方程 21 （12 分）已知函数 f（x）（x1）lnx， 第 5 页（共 21 页） （）求函数 f（x）的单调区间； （） 令 h （x） mf （x） +g （x） （m0） 两个零点 x1， x2（x1x2） ， 证明： 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做如果多做，则，则 按所做的第一题计分按所做的第一题计分.选修选修
10、 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：（ 为参数） ，点 P 在直线 l： x+y40 上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求圆 C 和直线 l 的极坐标方程； （）射线 OP 交圆 C 于 R，点 Q 在射线 OP 上，且满足|OP|2|OR|OQ|，求 Q 点轨迹 的极坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x1|x+2| （）若不等式 f（x）|m1|有解，求实数 m 的最大值 M； （）在（）的条件下，若正实数 a，b 满足 3
11、a2+b2M，证明：3a+b4 第 6 页（共 21 页） 2020 年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（理科）年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项符合分，在每小题的四个选项中，只有一项符合 要求要求.） 1 （5 分）若复数 z（i 是虚数单位） ，则|z|（ ） A B C1 D 【分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算 【解答】解：z 所以|z| 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是
12、基础题 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，集合，则 AB（ ） A0，1 B1，2 C1 D2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 A0，1，2，集合， Bx|1x2， AB1 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 3 （5 分）已知平面 l，m 是 内不同于 l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A若 m，则 ml B若 ml，则 m C若 m，则 ml D若 ml，则 m 【分析】 由题设条件， 平面 l， m 是 内不同于 l 的直线，结合四个选项中的条件， 对结论进行证明，找出不能推出结论的即可 【
13、解答】解：A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行； 第 7 页（共 21 页） B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一 个平面； C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线； D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这 个平面； 综上 D 选项中的命题是错误的 故选：D 【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较强的空间想 像能力以及熟练掌握点线面位置关系判断的一些定义，定理及条件，并能灵活组织这些 材料作出证明，故也考查了推理论证的能力 4 （5
14、 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+1an+a（nN*，a 为常数） ，若平面内的 三个不共线的非零向量，满足，A，B，C 三点共线 且该直线不过 O 点，则 S2010等于（ ） A1005 B1006 C2010 D2012 【分析】先可判断数列an为等差数列，而根据，及三点 A，B， C 共线即可得出 a1+a20101，从而根据等差数列的前 n 项和公式即可求出 S2010的值 【解答】解：由 an+1an+a 得，an+1ana； an为等差数列； 由，所以 A，B，C 三点共线； a1005+a1006a1+a20101， S201020101005 故选：A 【点
15、评】考查等差数列的定义，三点 A，B，C 共线的充要条件：x+y，且 x+y 1，等差数列的通项公式，及等差数列的前 n 项和公式 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，令 yf（x） ，若 f（a）1，则实数 a 的取值范围是 （ ） 第 8 页（共 21 页） A （，2）（2，5 B （，1）（1，+） C （，2）（2，+） D （，1）（1，5 【分析】执行该程序的功能是计算并输出分段函数 f（x） ，讨论 a 的取值情况，求出 f（a） 1 时的解集即可 【解答】解：执行该程序的功能是计算并输出分段函数 f（x）， 当 a2 时，由 f（a）a21，解得：a（，1）（1，2， 当
16、2a5 时，由 f（a）2a31，解得 a（2，5； 当 a5 时，由 f（a）1，解得 a； 综上所述，a 的取值范围是（，1）（1，5 故选：D 【点评】本题考查了程序框图与分段函数的应用问题，也考查了不等式与分类讨论的应 用问题，是综合题 6 （5 分）已知 mR， “函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减 函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 9 页（共 21 页） 【分析】根据函数的性质求出 m 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断 即可 【解答】解：若函数 yf（x）2x+m1 有零点
17、，则 f（0）1+m1m1， 当 m0 时，函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数不成立，即充分性不成立， 若 ylogmx 在（0，+）上为减函数，则 0m1，此时函数 y2x+m1 有零点成立， 即必要性成立， 故“函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数”的必要不 充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求 出等价条件是解决本题的关键 7 （5 分）已知某班学生的数学成绩 x（单位：分）与物理成绩 y（单位：分）具有线性相 关 关 系 ， 在 一 次 考 试 中 ， 从 该 班 随 机 抽 取
18、5 名 学 生 的 成 绩 ， 经 计 算 ： ，设其线性回归方程为： 0.4x+ 若该班某学生的数学成 绩为 105，据此估计其物理成绩为（ ） A66 B68 C70 D72 【分析】由题意求出 、 ，代入线性回归方程求得 ，再计算 x105 时 的值 【解答】解：由题意知， xi47595， yi32064， 代入线性回归方程 0.4x+ 中，得 640.495+ ，解 26； 所以线性回归方程为 0.4x+26， 当 x105 时， 0.4105+2668， 即该班某学生的数学成绩为 105 时，估计它的物理成绩为 68 故选：B 【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，
19、是基础题 8 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S22，S36，则 S5（ ） A18 B10 C14 D22 第 10 页（共 21 页） 【分析】运用等比数列的通项公式和前 n 项和公式列方程解方程可解决此问题 【解答】解：根据题意得，q1 a +a22 a38 又 a1（1+q）2，a1q28 q244q 解得 q2，a12 S522 故选：D 【点评】本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用及二元一次方程的解法 9 （5 分）函数 f（x）2x4sinx，x，的图象大致是（ ） A B C D 【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由 f（x）2x4sin（x）（
20、2x4sinx） f（x） ，故函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 AB，再由函数的极值确 定答案 【解答】解：函数 f（x）2x4sinx，f（x）2x4sin（x）（2x4sinx） f（x） ，故函数 f（x）为奇函数， 所以函数 f（x）2x4sinx 的图象关于原点对称，排除 AB， 函数 f（x）24cosx，由 f（x）0 得 cosx，故 x2k（kZ） ， 所以 x时函数取极值，排除 C， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决 函数图象选择题常用的方法 10 （5 分）已知直线 x+ya0 与圆 x2+y22 交
21、于 A、B 两点，O 是坐标原点，向量、 第 11 页（共 21 页） 满足条件|+|，则实数 a 的值为（ ） A B C D1 【分析】根据|+|，可知AOB90，故原点 O 到直线的 x+ya0 的 距离为 1，可求得 a 的值 【解答】解：由|+|，两边平方，得0， 所以AOB90，则AOB 为等腰直角三角形， 而圆 x2+y22 的半径 AO，则原点 O 到直线的 x+ya0 的距离为 1， 所以1，即 a 的值为或 故选：C 【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，熟练正确运用已知条件以及点到直线的距离 是解决此问题的关键 11 （5 分）已知 F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左
22、、右焦点，设双曲线的 离心率为 e若在双曲线的右支上存在点 M，满足|MF2|F1F2|，且 esinMF1F21，则 该双曲线的离心率 e 等于（ ） A B C D 【分析】 由题意可得 sinMF1F2， 运用双曲线的定义可得 4b2c2a， 结合 a， b，c 的关系，以及离心率公式，可得 e 的方程，解方程可得 e 【解答】解：依题设，|MF2|F1F2|2c， esinMF1F21，sinMF1F2， 等腰三角形 MF1F2底边上的高为 2a，底边 MF1的长为 24b， 由双曲线的定义可得 4b2c2a，2ba+c， 4b2（a+c）2，即 4b2a2+2ac+c2， 3e22e
23、50，解得 e（1 舍去） 故选：B 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查定义法 和转化思想，以及运算能力，属于中档题 第 12 页（共 21 页） 12 （5 分） 定义在 R 上的可导函数 f（x）满足 f（1） 1， 且 2f （x）1， 当 x， 时，不等式的解集为（ ） A （，） B （，） C （0，） D （，） 【分析】构造函数 g（x）f（x），可得 g（x）在定义域 R 上是增函数，且 g （1）0，进而根据 f（2cosx）2sin2可得 2cosx1，解得答案 【解答】解：令 g（x）f（x）， 则 g（x）f（x）0， g（x）在定
24、义域 R 上是增函数， 且 g（1）f（1）0， g（2cosx）f（2cosx）cosxf（2cosx）cosx， 令 2cosx1， 则 g（2cosx）0，即 f（2cosx）+cosx， 又x，且 2cosx1 x（，） ， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，余弦函数的图象和性质，难 度中档 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上.） 13（5 分） 已知二项式展开式所有项的系数和为1， 则展开式中 x 的系数为 80 【分析】根据所有项的系数
25、之和为（1+a）51，求得 a2，可得展开式中 x 的系数 【解答】解：在的展开式中，令 x1，可得所有项的系数之和为（1+a）5 1， a2， 展开式的通项为 Tr+1（2）rC5rx10 3r， 第 13 页（共 21 页） 令 103r1， 解得 r3， 展开式中 x 的系数为（2）3C5380， 故答案为：80 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题 14 （5 分） 已知 x0， y0， 且 x+2yxy， 若 x+2ym2+2m 恒成立， 则 xy 的最小值为 8 ， 实数 m 的取值范围为 （4，2） 【分析】x+2yxy 等价于+1，根据基本不等式得
26、出 xy8，再次利用基本不等式求 出 x+2y 的最小值，进而得出 m 的范围 【解答】解：x0，y0，x+2yxy， +1， 1+， xy8，当且仅当 x4，y2 时取等号， x+2y28（当 x2y 时，等号成立） ， m2+2m8，解得4m2 故答案为：8； （4，2） 【点评】考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换应注意基本不等式中等号成立 的条件 15 （5 分）某班从 6 名班干部（其中男生 4 人，女生 2 人）中选出 3 人代表本班参加“学 生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率 是 【分析】需从剩余的 5 个人中再选出 2 个，所有的选
27、法有种，女生乙被选中的选法有 种，由此求得要求事件的概率 【解答】解：由于甲已经选中，故需从剩余的 5 个人中再选出 2 个，问题转化为古典概 率来求 所有的选法有10 种，则女生乙被选中的选法有4 种， 故在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率等于 ， 第 14 页（共 21 页） 故答案为 【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题 16 （5 分）如图，平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿 对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD四面体 ABCD 顶点 在同一个球面上，则该球的体积为 【分析】由题意可知，四面体 A
28、BCD 顶点在同一个球面上，BC 的中点就是球心，求 出球的半径，即可得到球的体积 【解答】解：平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对 角线 BD 折成四面体 ABCD， 使平面 ABD平面 BCD四面体 ABCD 顶点在同一个球面上，BCD 和ABC 都是 直角三角形， BC 的中点就是球心，所以 BC，球的半径为：； 所以球的体积为：； 故答案为： 【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的体积的求法，找出外接球的球心，是解 题的关键，考查计算能力，空间想象能力 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证
29、明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共） （一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知向量 （sinx，cosx） ， （cosx，cosx） ，f（x） （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.，若 f（A） 1，求ABC 的周长 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式 f （x）sin（2x
30、+）+，利用正弦函数的单调性即可计算得解 （2）由题意可得 sin（2A+），结合范围 0A，可求 A 的值，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，由正弦定理利用 sinB3sinC，可得 b3c，根据余弦定理可求 c 的值，进而可求 b 的值，从而可求三角形的周长 【解答】 解：（1） 因为 （sinx， cosx） ， （ cosx， cosx） ， f （x） sinxcosx+cos2x sin2x+cos2x+sin（2x+）+， 由+2k2x+2k，kZ，可得：+kx+k，kZ， 可得 f（x）的单调递增区间是：+k，+k，kZ， （2）由题意可得：sin（2A+）， 又 0
31、A， 所以 2A+， 所以 2A+，解得 A， 设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则：a2b2+c22bccosA， 所以 aBC， 又 sinB3sinC，可得 b3c， 故 79c2+c23c2，解得 c1， 所以 b3，可得ABC 的周长为 4+ 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理， 余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分） “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020 年春节前夕，某市 质检部门随机抽取了 100 包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分 布直
32、方图所示 （1）求所抽取的 100 包水饺该项质量指标值的样本平均数 （2）由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2） ，其中 近似为样本平均数，经计算得11.95，求 Z 落在（14.55，38.45）内的概 率 第 16 页（共 21 页） （3） 将频率视为概率， 若某人买了 3 包该品牌水饺， 记这 3 包水饺中质量指标值位于 （10， 30）内的包数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E（X） 附：若 ZN（，2） ，则：P（+）0.6826，P（3+3） 0.9974 【分析】 （1）所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 （2）通过正态分
33、布，求出标准差，然后求解 P（14.55Z38.45）0.6826， （3）根据题意得 XB（3，） ，求出概率得到分布列，然后求解期望值 【解答】解： （1）所抽取的 100 包水饺该项质量指标值的样本平均数 为： （2）Z 服从正态分布 N（，2） ，且 26.5，11.95， P（14.55Z38.55）P（26.5511.95Z26.5+11.95）0.6826， Z 落在（14.55，38.45）内的概率为 0.6826 （3）根据题意得：XB（3，） ， P（X0）；P（X1）； P（X2）；P（X3） X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（X） 【点评】本题考查了统计的基
34、础知识，正态分布，以及分布列和期望的求法，属于中档 题 19 （12 分）如图直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACCC12，ABBC，D 是 BA1上一点， 且 AD平面 A1BC 第 17 页（共 21 页） （1）求证：BC平面 ABB1A1； （2）在棱 BB1是否存在一点 E，使平面 AEC 与平面 ABB1A1的夹角等于 60，若存在， 试确定 E 点的位置，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）证明 BC平面 ABB1A1，利用线面垂直的判定，证明 ADBC，AA1BC 即可； （2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，设存在满足条件的点 E 坐标为（0，0， a） （0a2）
35、 ，求出平面 ABB1A1的法向量，平面 ACE 的法向量 ，利用平面 AEC 与平面 ABB1A1的夹角等于 60，结合向量的夹角公 式，即可求得结论 【解答】 （1）证明：AD平面 A1BC，BC平面 A1BC ADBC ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面 ABC， BC平面 ABC，AA1BC ADAA1A，AD平面 ABB1A1，AA1平面 ABB1A1， BC平面 ABB1A1 （2）解：BC平面 ABB1A1，AB平面 ABB1A1 BCAB 又 BB1AB，BB1BC，于是可建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz ABC 是等腰直角三角形，且斜边 AC2， 从而， 设存在满
36、足条件的点 E 坐标为（0，0，a） （0a2） 由（1）知平面 ABB1A1的法向量， 第 18 页（共 21 页） 令平面 ACE 的法向量，由，可得 令得 平面 AEC 与平面 ABB1A1的夹角等于 60 ，解得 a1 所以当 E 为棱 BB1中点时平面 AEC 与平面 ABB1A1的夹角等于 60 【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确 掌握线面垂直的判定定理，合理建立空间直角坐标系是关键 20 （12 分）已知 P 是圆上任意一点，F2（1，0） ，线段 PF2的垂直 平分线与半径 PF1交于点 Q，当点 P 在圆 F1上运动时，记点 Q 的轨
37、迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点的直线 l 与（1）中曲线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求 AOB 面积的最大值及此时直线 l 的方程 【分析】 （1）根据垂直平分线的性质，利用定义法可求得曲线 C 的方程； （2）设直线 l 的方程为 xty与椭圆交于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立直线与椭圆的方程消去 x， 利用韦达定理结合三角形的面积， 经验换元法以及基本不 等式求解最值，然后推出直线方程 【解答】解： （1）由已知|QF1|+|QF2|QF1|+|QP|PF1|4， 所以点 Q 的轨迹为以为 F1，F2焦点，长轴长为 4 的椭圆， 第 19
38、 页（共 21 页） 则 2a4 且 2c2，所以 a2，c1，则 b23， 所以曲线 C 的方程为； （2）设直线 l 的方程为 xty与椭圆交于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立直线与椭圆的方程消去 x，得（3t2+4）y26ty30， 则 y1+y2，y1y2， 则S AOB|OM| |y1 y2| ， 令 3t2+2u，则 u1，上式可化为， 当且仅当 u，即时等号成立， 因此AOB 面积的最大值为，此时直线 l 的方程为 xy 【点评】本小题考查圆锥曲线中的问题等知识考查分析问题解决问题的能力 21 （12 分）已知函数 f（x）（x1）lnx， （）求函数 f（x）
39、的单调区间； （） 令 h （x） mf （x） +g （x） （m0） 两个零点 x1， x2（x1x2） ， 证明： 【分析】 （）求出函数 f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调 区间； （）求出 h（x）mf（x）+g（x） （m0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判 断定理，转化两个零点 x1，x2（x1x2） ，所在位置，即可证明： 【解答】解： （）由题可知，f（x）单调递增，且 f（1）0， 当 0x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0； 因此 f（x）在（0，1）上单调递减，在1，+）上单调递增 （）证明：由有两个零点可知 第 20 页（共 21
40、 页） 由且 m0 可知， 当 0x1 时，h（x）0，当 x1 时，h（x）0； 即 h（x）的最小值为， 因此当时， 可知 h（x）在上存在一个零点； 当 xe 时， 可知 h（x）在（1，e）上也存在一个零点； 因此，即 【点评】本小题考查函数与导数的相关知识函数的单调性以及函数的最值的求法，零 点判断定理的应用，是难题 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答
41、题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则如果多做，则 按所做的第一题计分按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：（ 为参数） ，点 P 在直线 l： x+y40 上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求圆 C 和直线 l 的极坐标方程； （）射线 OP 交圆 C 于 R，点 Q 在射线 OP 上，且满足|OP|2|OR|OQ|，求 Q 点轨迹 的极坐标方程 【分析】 （）圆 C：（ 为参数） ，可得直角坐标方程：x2+y24，利用互 化公式可得圆 C 的极坐标方程点 P 在直线 l：
42、x+y40 上，利用互化公式可得直线 l 的极坐标方程 （ ） 设 P ， Q ， R 的 极 坐 标 分 别 为 （ 1， ） ， （ ， ） ， （ 2， ） ， 由 ，又|OP|2|OR|OQ|，即可得出 【解答】解： （）圆 C：（ 为参数） ，可得直角坐标方程：x2+y24， 圆 C 的极坐标方程 2 点 P 在直线 l：x+y40 上，直线 l 的极坐标方程 第 21 页（共 21 页） （）设 P，Q，R 的极坐标分别为（1，） ， （，） ， （2，） ， 因为， 又因为|OP|2|OR|OQ|，即， 【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能
43、 力与计算能力，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x1|x+2| （）若不等式 f（x）|m1|有解，求实数 m 的最大值 M； （）在（）的条件下，若正实数 a，b 满足 3a2+b2M，证明：3a+b4 【分析】 （）不等式 f（x）|m1|有解，只需 f（x）的最大值 f（x）max|m1|即可； （）3a2+b24，由柯西不等式可得（3a2+b2） （3+1）（3a+b）2 【解答】解： （）若不等式 f（x）|m1|有解，只需 f（x）的最大值 f（x）max|m 1|即可 |x1|x+2|（x1）（x+2）|3，|m1|3，解得2m4， 实数 m 的最大值 M4 （）根据（）知正实数 a，b 满足 3a2+b24，由柯西不等式可知（3a2+b2） （3+1） （3a+b）2， （3a+b）216，a，b 均为正实数，3a+b4（当且仅当 ab1 时取“” ） 【点评】本题考查了绝对值不等式有解问题和柯西不等式，考查了转化思想，属中档题
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