1、设集合 A1，3，5，7，Bx|2x5，则 AB（ ） A1，3 B3，5 C5，7 D1，7 2 （5 分）设，则|z|（ ） A0 B1 C D3 3 （5 分）如图为某地区 2007 年2019 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折 线图 根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 4 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 zx2y 的最小值为（
2、 ） A1 B2 C5 D7 5 （5 分）设 f（x），则 ff（11）的值是（ ） A1 Be Ce2 De 1 6 （5 分）数列an是等差数列，a11，a1，a2，a5构成公比为 q 的等比数列，则 q（ ） A1 或 3 B0 或 2 C3 D2 第 2 页（共 23 页） 7 （5 分）我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题： “今有垣厚十 尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框 图描述，如图所示，则输出结果 n（ ） A4 B5 C2 D3 8 （5 分）要得到函数 ysin（2x）的图象，只需将函数 ysinx 的图象经过
3、下列两次 变换，则下面结论正确的是（ ） A先将函数 ysinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再将所得图象向右平移 个单位长度 B 先将函数ysinx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 再将所得图象向右平移 个单位长度 C先将函数 ysin x 的图象向右平移单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍 D先将函数 ysinx 的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩 短到原来的倍 9 （5 分）已知双曲线 C：y21 的右焦点为 F，第一象限内的点 A 在双曲线 C 的渐近 线上，O 为坐标原点，若AOFOAF，则OAF 的面积为（ ） 第 3 页（共
4、 23 页） A1 B C D2 10 （5 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是棱 AD 上一动点，则下列选 项中不正确的是（ ） A异面直线 AD1与 A1B 所成的角的大小为 B直线 A1M 与平面 BB1C1C 一定平行 C三棱锥 B1BCM 的体积为定值 4 DABD1M 11 （5 分）函数 f（x）x2bx+c 满足 f（x+1）f（1x） ，且 f（0）3，则 f（bx）与 f （cx）的大小关系是（ ） A与 x 有关，不确定 Bf（bx）f（cx） Cf（bx）f（cx） Df（bx）f（cx） 12 （5 分）已知 F1，F2是椭圆和双曲线的
5、公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF2 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则的最大值为（ ） A B C D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）某学校美术室收藏有 4 幅国画，分别为山水、花鸟各 2 幅，现从中随机抽取 2 幅进行展览，则恰好抽到 2 幅不同种类的概率为 14 （5 分） 设向量 （1， 1） ， （1， 3） ， （2， 1） ， 且 （） ， 则 15 （5 分）已知圆柱的高为 2，侧面积为 8，它的两个底面的圆周在球心为 O，半 径为 R 的同一个球的球面上，则该球
6、 O 的表面积为 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn，满足 a11，3Sn （n+m） an（mR） ， 且 anbn， 若对nN*， Tn恒成立， 则实数 的最小值为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）某微商对某种产品每天的销售量（x 件）进行为期一个月的数据统计分析，并 得出了该月销售量的直方图（一个月按 30 天计算）如图所示假设用直方图中所得的频 率来估计相应的事件发生的概率 （）求频率分布直方图中的
7、a 的值； （）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； 第 4 页（共 23 页） （）若微商在一天的销售量不低于 25 件，则上级商企会给微商赠送 100 元的礼金，估 计该微商在一年内获得的礼金数 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PDDCBC，AB 2，ABDC，BCD90 （）求证：PCBC； （）求点 A 到平面 PBC 的距离 19（12 分） 在锐角三角形 ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若bsinC+csinB 4asinBsinC （）求角 A 的大小； （）若 2bsinB+2c
8、sinCbc+a，求ABC 面积的最大值 20 （12 分）已知 M 是抛物线 C：y24x 上一点，F 是抛物线 C 的焦点，|MF|4 （）求直线 MF 的斜率； （）已知动圆 E 的圆心 E 在抛物线 C 上，点 D（2，0）在圆 E 上，且圆 E 与 y 轴交于 A，B 两点，令|DA|m，|DB|n，求的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）exax3（aR） （）若函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线与直线 xy0 平行，求实数 a 的值； （）当 a2，k 为整数，且当 x1 时， （xk）f（x）+2x+10 求 k 的最大值 第 5 页（共 23 页） 选考题选考
9、题:请考生在第请考生在第 22、23 两道题中任选一题作答两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线 C 的极坐标方程； （）设 A，B 为曲线 C 上两点（均不与 O 重合） ，且满足AOB，求|OA|+|OB|的 最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|x1| （）求不等式 f（x）8 的解集 M； （）
10、若 m 为 M 中的最大元素，正数 a，b 满足m，证明4 第 6 页（共 23 页） 2020 年云南师大附中高考数学模拟试卷（文科） （年云南师大附中高考数学模拟试卷（文科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求）一项符合题目要求） 1 （5 分）设集合 A1，3，5，7，Bx|2x5，则 AB（ ） A1，3 B3，5 C5，7 D1，7 【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可 【解
11、答】解：集合 A1，3，5，7，Bx|2x5， 则 AB3，5 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力 2 （5 分）设，则|z|（ ） A0 B1 C D3 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解 【解答】解：， |z|1 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）如图为某地区 2007 年2019 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折 线图 根据该折线图，下列结论正确的是（ ） 第 7 页（共 23 页） A财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐
12、年增长速度相同 C财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 【分析】由图知，财政预算内收入 08、09、10 没有明显变化，即可判断出正误 【解答】解：由图知，财政预算内收入 08、09、10 没有明显变化，故 A 错，B、C 也不 正确， 故选：D 【点评】本题考查了折线图的应用、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 4 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 zx2y 的最小值为（ ） A1 B2 C5 D7 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 【
13、解答】解：由 zx2y 得 yx 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分 ABC） ： 平移直线 yx， 由图象可知当直线 yx，过点 A 时，直线 yx 的截距最大，此时 z 最小， 由，解得 B（3，4） 代入目标函数 zx2y， 得 z385， 目标函数 zx2y 的最小值是5， 故选：C 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关 键，利用数形结合是解决问题的基本方法 5 （5 分）设 f（x），则 ff（11）的值是（ ） A1 Be Ce2 De 1 【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f（11）的值，进而计算可得答
14、案 【解答】解：根据题意，f（x）， 则 f（11）log392，则 ff（9）f（2）e； 故选：B 【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题 6 （5 分）数列an是等差数列，a11，a1，a2，a5构成公比为 q 的等比数列，则 q（ ） A1 或 3 B0 或 2 C3 D2 【分析】设等差数列an的公差为 d，由已知列式求得 d，进一步求得公比得答案 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，a1，a2，a5构成公比为 q 的等比数列， ，即（1+d）21（1+4d） ， 解得 d0 或 d2， 当 d0 时，q1，当 d2 时，q3， 故选：A 第 9 页（共
15、23 页） 【点评】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，是基础的计算题 7 （5 分）我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题： “今有垣厚十 尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框 图描述，如图所示，则输出结果 n（ ） A4 B5 C2 D3 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 a，A，S 的值，当 S时，满足 条件 S10，退出循环，输出 n 的值为 4，从而得解 【解答】解：模拟执行程序，可得 a1，A1，S0，n1 S2 不满足条件 S10，执行循环体，n2，a，A2，S 不满足条件 S10，执行循环体，n3，a
16、，A4，S 不满足条件 S10，执行循环体，n4，a，A8，S 满足条件 S10，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：A 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环 得到的 a，A，S 的值是解题的关键，属于基础题 第 10 页（共 23 页） 8 （5 分）要得到函数 ysin（2x）的图象，只需将函数 ysinx 的图象经过下列两次 变换，则下面结论正确的是（ ） A先将函数 ysinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再将所得图象向右平移 个单位长度 B 先将函数ysinx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 再将所得图象向右平移 个单位长度 C
17、先将函数 ysin x 的图象向右平移单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍 D先将函数 ysinx 的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩 短到原来的倍 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：将函数 ysinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数函数 y sin2x 的图象； 再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数 ysin（2x）的图象； 或者先将 ysinx 的图象向右平移个单位长度，得到函数 ysin（x）的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数 ysin（2x）的图象， 故选
18、：D 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 9 （5 分）已知双曲线 C：y21 的右焦点为 F，第一象限内的点 A 在双曲线 C 的渐近 线上，O 为坐标原点，若AOFOAF，则OAF 的面积为（ ） A1 B C D2 【分析】根据题意知，a2，b1，过 F 作 DFOA 于点 D，所以 DFb1，ODDA a2，结合三角形的面积公式解答即可 【解答】解：如图，过 F 作 DFOA 于点 D， 所以 DFb1， 因为AOFOAF， 第 11 页（共 23 页） 所以 ODDAa2， SOAF2， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了双曲
19、线图象与系数的关系，考查了 学生综合分析问题和解决问题的能力 10 （5 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是棱 AD 上一动点，则下列选 项中不正确的是（ ） A异面直线 AD1与 A1B 所成的角的大小为 B直线 A1M 与平面 BB1C1C 一定平行 C三棱锥 B1BCM 的体积为定值 4 DABD1M 【分析】A，通过线线平行，找出异面直线 AD1与 A1B 的平面角为A1BC1，求之即可； B，利用面面平行的性质定理即可判断； C，根据棱锥的体积公式求之即可； D，利用线面垂直的性质定理即可判断 【解答】解：对于 A 选项，AD1BC1，A1BC1为异面
20、直线 AD1与 A1B 所成的角， A1BC1为等边三角形， A1BC1， 异面直线 AD1与 A1B 所成角的大小为， 即 A 正确； 第 12 页（共 23 页） 对于 B 选项， 平面 AA1D1D平面 BB1C1C， A1M平面 AA1D1D， A1M平面 BB1C1C， 即 B 正确； 对于C选项， ，即 C 错 误； 对于 D 选项，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB平面 AA1D1D，D1M平面 AA1D1D， 所以 ABD1M，即 D 正确， 故选：C 【点评】本题考查空间中立体几何的综合，涉及异面直线的夹角、线面平行、线线垂直、 棱锥体积等问题， 灵活运用空间中线面平
21、行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键， 考查学生空间立体感和推理论证能力，属于基础题 11 （5 分）函数 f（x）x2bx+c 满足 f（x+1）f（1x） ，且 f（0）3，则 f（bx）与 f （cx）的大小关系是（ ） A与 x 有关，不确定 Bf（bx）f（cx） Cf（bx）f（cx） Df（bx）f（cx） 【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得 b、c 的值，则有 bx2x，cx3x，由指 数的性质分情况讨论 x 的值，比较 f（bx）和 f（cx）的大小，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）x2bx+c 满足 f（x+1）f（1x） ，则有1， 即 b
22、2， 又由 f（0）3，则 c3， bx2x，cx3x， 若 x0，则有 cxbx1，而 f（x）在（，1）上为减函数，此时有 f（bx）f（cx） ， 第 13 页（共 23 页） 若 x0，则有 cxbx1，此时有 f（bx）f（cx） ， 若 x0，则有 1bxcx，而 f（x）在（1，+）上为增函数，此时有 f（bx）f（cx） ， 综合可得 f（bx）f（cx） ， 故选：D 【点评】本题考查二次函数的性质，涉及对数的大小比较，属于基础题 12 （5 分）已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF2 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则的最
23、大值为（ ） A B C D1 【分析】不妨设椭圆的方程为+1（ab0） ，双曲线方程为1（m 0，n0） ，可设点 P 在第一象限，|PF1|s，|PF2|t，|F1F2|2c，分别运用椭圆和双曲 线的定义和三角形的余弦定理，结合离心率公式可得+4，再由基本不等式可 得所求最大值 【解答】解：不妨设椭圆的方程为+1（ab0） ，双曲线方程为1 （m0，n0） ， 可设点 P 在第一象限，|PF1|s，|PF2|t，|F1F2|2c， 由椭圆和双曲线的定义得 s+t2a，st2m， 解得 sa+m，tam， 在F1PF2中，由余弦定理得（2c）2s2+t22stcos， 即（a+m）2+（am
24、）2（a+m） （am）4c2，化为 a2+3m24c2， 即+4，即为+4， 由+2， 可得，当且仅当 e2e1时取得等号， 第 14 页（共 23 页） 所以的最大值为， 故选：B 【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的余弦定理和基本不 等式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）某学校美术室收藏有 4 幅国画，分别为山水、花鸟各 2 幅，现从中随机抽取 2 幅进行展览，则恰好抽到 2 幅不同种类的概率为 【分析】现从中随机抽取 2 幅进行展览，基
25、本事件总数 n6，恰好抽到 2 幅不同种 类包含的基本事件个数 m4，由此能求出恰好抽到 2 幅不同种类的概率 【解答】解：某学校美术室收藏有 4 幅国画，分别为山水、花鸟各 2 幅， 现从中随机抽取 2 幅进行展览， 基本事件总数 n6， 恰好抽到 2 幅不同种类包含的基本事件个数 m4， 则恰好抽到 2 幅不同种类的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 14 （5 分）设向量 （1，1） ， （1，3） ， （2，1） ，且（） ，则 3 【分析】可以求出，然后根据即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 的值
26、【解答】解：，且， ，解得 3 故答案为：3 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，考 第 15 页（共 23 页） 查了计算能力，属于基础题 15 （5 分）已知圆柱的高为 2，侧面积为 8，它的两个底面的圆周在球心为 O，半 径为 R 的同一个球的球面上，则该球 O 的表面积为 36 【分析】由球的侧面积求出球的底面半径，进一步求出球的半径，代入球的表面积公式 得答案 【解答】解：设圆柱的底面半径为 r， 圆柱的高为 2，侧面积为 8， 得 r2， 又圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，如图， 该球的半径 R 满足， 则该球的表面积为 4R236 故
27、答案为：36 【点评】本题考查球的半径的球法和应用，考查空间想象能力，是中档题 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn，满足 a11，3Sn （n+m） an（mR） ， 且 anbn， 若对nN*， Tn恒成立， 则实数 的最小值为 【分析】利用 a11，3S1（1+m）a1求得 m 的值，再利用递推关系得到（n 2） ，利用累乘法可求得 an，从而得到 bn（） ，继而可 得 Tn（1） ，对nN*，Tn恒成立，于是实数 的最小值可求 【解答】解：a11，3Sn（n+m）an（mR） ， 3a1（1+m）a13，即 31（1+m）1， 解得：m2
28、 3Sn（n+2）an， 第 16 页（共 23 页） 3Sn1（n1+2）an1， 得：3an（n+2）an（n+1）an1（n2） ， 整理得：（n2） ， ana1 1（n2） ， 当 n1 时，a11 也符合上式， an 又 anbn， bn（） ， Tnb1+b2+bn（1）+（）+（）（1） ， 对nN*，Tn恒成立， 实数 的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查数列递推式，求得 an是关键，也是难点，考查“累乘法” 与“裂项法”的应用，考查等价转化思想与综合运算能力，属于难题 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或
29、演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）某微商对某种产品每天的销售量（x 件）进行为期一个月的数据统计分析，并 得出了该月销售量的直方图（一个月按 30 天计算）如图所示假设用直方图中所得的频 率来估计相应的事件发生的概率 （）求频率分布直方图中的 a 的值； （）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （）若微商在一天的销售量不低于 25 件，则上级商企会给微商赠送 100 元的礼金，估 计该微商在一年内获得的礼金数 第 17 页（共 23 页） 【分析】 （ I）由频率分布直方图能求出 a （ II）根据已知的频率分布直方图，能求出日销
30、售量的平均值 （ III）根据频率分布直方图，日销售量不低于 25 件的天数为（0.04+0.02）5309， 可获得的奖励为 900 元，由此可以估计一年内获得的礼金数 【解答】解： （ I）由题意可得 a1（0.01+0.06+0.07+0.04）50.02 （ II）根据已知的频率分布直方图，日销售量的平均值为： （12.50.01+17.50.06+22.50.07+27.50.04+32.50.02）522.5 （ III）根据频率分布直方图，日销售量不低于 25 件的天数为： （0.04+0.02）5309， 可获得的奖励为 900 元， 依此可以估计一年内获得的礼金数为 9001
31、210800 元 【点评】本题考查频率、平均值、礼金数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PDDCBC，AB 2，ABDC，BCD90 （）求证：PCBC； （）求点 A 到平面 PBC 的距离 第 18 页（共 23 页） 【分析】 （ I）推导出 PDBC，BCCD，从而 BC平面 PDC，由此能证明 BCPC （ II）设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，由 VAPBCVPABC，能求出点 A 到平面 PBC 的 距离 【解答】解： （ I）证明：PD平面 ABCD，BC平面
32、ABCD，PDBC， BCD90，BCCD， PDCDD，BC平面 PDC， PC平面 PCD，BCPC （ II）解：设点 A 到平面 PBC 的距离为 h， PD平面 ABCD，PD 为三棱锥 PABC 的高， PDDCBC，PC2， 由 VAPBCVPABC，得， 即，解得 h2， 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 2 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19（12 分） 在锐角三角形 ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若bsinC+csinB 4a
33、sinBsinC （）求角 A 的大小； （）若 2bsinB+2csinCbc+a，求ABC 面积的最大值 【分析】 （I）由已知结合正弦定理进行化简即可求解 sinA，进而可求 A； （II）由已知结合正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式即可求解面积的最大值 【 解 答 】 解 ：（ I ） 由bsinC+csinB 4asinBsinC 及 正 弦 定 理 得 ： sinBsinC+sinCsinB4sinAsinBsinC 第 19 页（共 23 页） ， 所以 sinB0，sinC0，所以 sinA， ，A， （ II）由正弦定理， 可得 sinB，sinC， 由2bsinB+2cs
34、inC bc+a ， 得 ： 2b+2c bc+a ， 即 a， 由余弦定理得，cosA， ，解得 a， 由余弦定理得 b2+c2a2bc，即 b2+c2bc+32bc， 得 bc3，当且仅当 bc 时，取等号， SABC，ABC 面积的最大值为， 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应 用，属于中档试题 20 （12 分）已知 M 是抛物线 C：y24x 上一点，F 是抛物线 C 的焦点，|MF|4 （）求直线 MF 的斜率； （）已知动圆 E 的圆心 E 在抛物线 C 上，点 D（2，0）在圆 E 上，且圆 E 与 y 轴交于 A，B 两点，令|DA|
35、m，|DB|n，求的最大值 【分析】 （）利用抛物线的定义先求出点 M 的横坐标，再代入抛物线方程求出纵坐标， 得到点 M 的坐标，再利用斜率公式即可求出直线 MF 的斜率； （）设圆心 E（，b） ，则圆 E 的方程为，化简 得，令 x0 求出点 A，B 的坐标，从而求出 m，n 的值， 再结合基本不等式即可求出的最大值为 【解答】解： （）抛物线 C 的方程为：y24x，准线方程为：x1， 设点 M（x0，y0） ，x0+14，x03， 第 20 页（共 23 页） y0212，y0， M（3，） ，且 F（1，0） ， 所以直线 MF 的斜率为； （）设圆心 E（，b） ，则圆 E 的方
36、程为，化简 得， 令 x0 得 y22by+b240，即y（b+2）y（b2）0，所以 yb+2 或 yb 2， 不妨设 A（0，b+2） ，B（0，b2） ， m|DA|，n|DB|， 2 22， 当且仅当，即 b2时，等号成立， 所以的最大值为 2 【点评】本题主要考查了抛物线与直线的综合，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）exax3（aR） （）若函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线与直线 xy0 平行，求实数 a 的值； （）当 a2，k 为整数，且当 x1 时， （xk）f（x）+2x+10 求 k 的最大值 【分析】 （）求出函数的导数，利用切线的斜率，求解 a
37、即可 （）题目等价于当 x1 时，k 令 g（x）x+（x1） ，则 g （x），x1， 再令 h（x）ex2x3（x1） ，则 h（x）ex20，利用函数的导数，结合函数 的零点，判断函数的单调性，转化求解即可 【解答】解： （I）因为函数 f（x）exax3，所以 f（x）exa，f（1）ea 1，所以 ae1， 第 21 页（共 23 页） （II）当 a2，且当 x1 时， （xk） （ex2）+2x+10 等价于 当 x1 时，k 令 g（x）x+（x1） ，则 g（x），x1， 再令 h（x）ex2x3（x1） ，则 h（x）ex20， 所以，h（x）在（1，+）上单调递增，且 h
38、（1）0，h（2）0， 所以，h （x）在 （1，2） 上有唯一的零点，设该零点为 x0， 则 x0 （1，2） ， 且， 当 x（1，x0）时，h（x）0，即 g（x）0；当 x（x0，+）时，h（x）0，即 g （x）0， 所以，g（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+）单调递增， 所以，g（x）ming（x0）x0+x0+1， 而 x0（1，2） ，故 x0+1（2，3） ，且 kg（x0） ，k 为整数 所以，k 的最大值为 2 【点评】本题考查函数的切线方程，函数的最值的求法，构造法以及转化思想的应用， 考查发现问题解决问题的能力，是难题 选考题选考题:请考生在第请考生在第 22
39、、23 两道题中任选一题作答两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线 C 的极坐标方程； （）设 A，B 为曲线 C 上两点（均不与 O 重合） ，且满足AOB，求|OA|+|OB|的 最大值 【分析】 （）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求 出结果 （）利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果 【解答】解： （
40、I）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，转换为直角坐标方 程为 x2+（y1）21， 第 22 页（共 23 页） 整理得 x2+y22y0，转换为极坐标方程为 2sin （ II）设 A（1，） ，则 B（） ， 故 12sin， 所以|OA|+|OB|2 当时，|OA|+|OB|的最大值为 2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|x1| （）求不等式 f（x）8 的解集 M； （）若 m 为 M 中的最大元素，正数 a，b 满足m，证明4 【分析】 （）化为分段函数，解不等式组即可； （）利用基本不等式即可得证 【解答】解： （ I）， 由得4x1； 由得1x1； 由得 1x4； 综上所述，Mx|4x4； （ II）证明：m 为 M 中的最大元素， ， 4ab 2a+b， （ 当且 仅 当 时等号成立） 即 【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，属于基础题
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