1、设 Ax|x1，Bx|x2x20，则（RA）B（ ） Ax|x1 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 2 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z|+i|，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应 点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知向量，若，则实数 m 的值为（ ） A B C D 4 （5 分）设 alog1.10.5，blog1.10.6，c1.10.6，则（ ） Aabc Bbca Ccab Dbac 5 （5 分）我国古代名著九章算术中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺， 重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是：
2、 “现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤， 尾部 1 尺，重 2 斤” ，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少 斤？（ ） A6 斤 B7 斤 C9 斤 D15 斤 6 （5 分）设光线通过一块玻璃，强度损失 10%、如果光线原来的强度为 k（k0） ，通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y， 则 yk0.9x（xN*） ， 那么光线强度减弱到原来的以下时， 至少通过这样的玻璃块数为（ ） （参考数据：1g20.3011g30.477） A12 B13 C14 D15 7 （5 分） 已知 F 为抛物线 y24x 的焦点， 过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物
3、线于 A， B 两点， 则|FA|FB|的值等于（ ） A B8 C D4 8 （5 分）图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号的同学的成绩依次为 A1，A2，A16，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么 该程序框图输出的结果是（ ） 第 2 页（共 22 页） A6 B10 C7 D16 9 （5 分）函数 y的大致图象是（ ） A B C D 10 （5 分）如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四 面体内的概率为（ ） 第 3 页（共 22 页） A B C D 11 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b
4、0）的两条渐近线均与圆 x2+y26x+5 0 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则 C 的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 g（x）ex有两个不同极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，e） B （e，+） C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a2，a3成等差数列若 a11，则 S4 14 （5 分）若关于 x 的二项式（2x+）7的展开式中一次项的系数是70，则 a 15 （5 分）已知函数 f（x）与 ykx（kR）
5、的图象有三个不同交点， 则实数 k 的取值区间为 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABBDADCD3，ACBC4，用平行于 AB，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形 EFGH，则四边形 EFGH 面积的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是 城市环
6、境卫生大为改观，深得市民好评 “创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和 第 4 页（共 22 页） 保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出 200 人，并将这 200 人 按年龄分组：第 1 组15，25） ，第 2 组25，35） ，第 3 组35，45） ，第 4 组45，55） ，第 5 组55，65） ，得到的频率分布直方图如图所示 （1）求出 a 的值； （2）若已从年龄较小的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，现要再从这 5 人中随 机抽取 3 人进行问卷调查， 设第 2 组抽到 人， 求随机变量 的分布列及数学期望 E （） 18 （12 分）已知函
7、数的最大值为 1 （1）求 t 的值； （2）设锐角ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，ABC 的面 积为，且 f（A），求 b+c 的值 19 （12 分）如图，菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2，它们所在平面互相垂直， FD平面 ABCD，EF平面 ABCD （1）求证：平面 ACF平面 BDF； （2）若CBA60，求二面角 ABCF 的大小 20 （12 分）已知函数 f（x）aex，g（x）lnxlna，其中 a 为常数，e 是自然对数的底 数，e2.72，曲线 yf（x）在其与 y 轴的交点处的切线记作 l1，曲线 yg（x）在其与 x
8、 轴的交点处的切线记作 l2，且 l1l2 （1）求 l1，l2之间的距离； 第 5 页（共 22 页） （2）对于函数 f（x）和 g（x）的公共定义域中的任意实数 x0，称|f（x0）g（x0）|的值 为函数 f（x）和 g（x）在 x0处的偏差求证：函数 f（x）和 g（x）在其公共定义域内的 所有偏差都大于 2 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点 和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线 l 与椭圆 C 交于 A（x1， y1） ，B（x2，y2）两点，其中直线 l 不过原点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 OA，l，O
9、B 的斜率分别为 k1，k，k2，其中 k0 且 k2k1k2记OAB 的面 积为 S分别以 OA，OB 为直径的圆的面积依次为 S1，S2，求的最小值 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多 做，则按所做的第一题计分 【选修做，则按所做的第一题计分 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （本小题满分：坐标系与参数方
10、程】 （本小题满分 10 分分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的值 【选修【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分：不等式选讲】 （本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|xa|+|2x1|1（aR）的一个零点为 1 （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若+a（m0，n1） ，求证：m+2n11 第 6 页（共
11、 22 页） 2020 年云南省曲靖市高考数学一模试卷（理科）年云南省曲靖市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设 Ax|x1，Bx|x2x20，则（RA）B（ ） Ax|x1 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 【分析】可求出集合 B，然后进行交集、补集的运算即可 【解答】解：RAx|x1，Bx|1x2； （RA）Bx|1x1 故选：B 【点评】
12、考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算 2 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z|+i|，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应 点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 【解答】解：由（1+i）z|+i|， 得 z， 对应点的坐标为（1，1） ，在第四象限， 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）已知向量，若，则实数 m 的值为（ ） A B C D 【分析】根据条件即可求出，而
13、根据即可得出 ，从而求出 m 的值 【解答】解：； 第 7 页（共 22 页） ； ； 解得 故选：D 【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，向量数量积的坐标运算 4 （5 分）设 alog1.10.5，blog1.10.6，c1.10.6，则（ ） Aabc Bbca Ccab Dbac 【分析】先利用函数的单调性比较 a 与 b 的大小，再利用中间量比较 c 与 a、b 大小 【解答】解：因为对数函数 ylog1.1x 在（0，+）上单调递增，且 0.50.61 所以 ab0， 又 c1.10.61， 所以 abc， 故选：A 【点评】本题考察比较大小，属基础题，比较三者的
14、大小时常用中间量（0、1）法 5 （5 分）我国古代名著九章算术中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺， 重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是： “现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤， 尾部 1 尺，重 2 斤” ，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少 斤？（ ） A6 斤 B7 斤 C9 斤 D15 斤 【分析】由每一尺的重量构成等差数列an，a14，a52，利用求和公式即可得出 【解答】解：由每一尺的重量构成等差数列an，a14，a52， 该金锤共重15 斤 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属
15、于中档题 6 （5 分）设光线通过一块玻璃，强度损失 10%、如果光线原来的强度为 k（k0） ，通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y， 则 yk0.9x（xN*） ， 那么光线强度减弱到原来的以下时， 至少通过这样的玻璃块数为（ ） （参考数据：1g20.3011g30.477） 第 8 页（共 22 页） A12 B13 C14 D15 【分析】推导出，从而 xlog0.90.25，由此能求出结果 【解答】解：设需要这样的玻璃 x 块，则经过 x 块这样的玻璃后光线强度为 yk0.9x， 由题意得，化得， 两边同时取常用对数，可得，因为 lg0.90， 所以，则至少通过 14 块玻璃， 故
16、选：C 【点评】本题考查函数在生产生活中的实际运用，考查函数、对数等基础知识，考查运 算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 7 （5 分） 已知 F 为抛物线 y24x 的焦点， 过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点， 则|FA|FB|的值等于（ ） A B8 C D4 【分析】将直线方程 yx1 代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即 可得出|FA|FB|的值 【解答】解：F（1，0） ，故直线 AB 的方程为 yx1， 联立方程组，可得 x26x+10， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由根与系数的关系可知 x1+x26，x1x21 由抛物线
17、的定义可知：|FA|x1+1，|FB|x2+1， |FA|FB|x1x2|4 故选：C 【点评】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题 8 （5 分）图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号的同学的成绩依次为 A1，A2，A16，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么 该程序框图输出的结果是（ ） 第 9 页（共 22 页） A6 B10 C7 D16 【分析】 模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于 90 的人数， 由茎叶图知： 数学成绩大于等于 90 的人数为 10，从而得解 【解答】解：由算法流程图可知，其统
18、计的是数学成绩大于等于 90 的人数， 所以由茎叶图知：数学成绩大于等于 90 的人数为 10， 因此输出结果为 10 故选：B 【点评】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一 道综合题 9 （5 分）函数 y的大致图象是（ ） A B C D 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断函数的图象即可 第 10 页（共 22 页） 【解答】解：函数 y是奇函数，排除选项 A，D 当 x+时，y0 排除 B 故选：C 【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函 数的图象的常用方法 10 （5 分）如图是某个四面体的三视图，若在
19、该四面体的外接球内任取一点，则点落在四 面体内的概率为（ ） A B C D 【分析】通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体，再求 出外接球的体积，即可求出点落在四面体内的概率 【解答】解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为 6，底面三角形的高 为：3， 棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：4 则几何体的体积：63412 外接球的直径为2， 外接球的半径为，体积为， 点落在四面体内的概率为 故选：C 第 11 页（共 22 页） 【点评】本题考查几何概型的概率，可以为长度、面积、体积等，而且这个“几何度量” 只与“大小”有关，而与形状和位
20、置无关 11 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线均与圆 x2+y26x+5 0 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意圆 C：x2+y26x+50 把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0） ，利用 双曲线的右焦点为圆 C 的圆心及双曲线的标准方程建立 a，b 的方程再利用双曲线 C： 1（a0，b0）的两条渐近线均和圆 C：x2+y26x+50 相切，建立另一个 a，b 的方程求出 a，b，然后求解离心率 【解答】解：因为圆 C：x2+y26x+50（x3）2+y24， 由此知道圆心 C（3，0） ，圆的半径为 2， 又
21、因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 而双曲线 C：1（a0，b0） ，a2+b29 又双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线均和圆 C：x2+y26x+50 相切， 而双曲线的渐近线方程为：yxbxay0， 2 连接得，可得 c3， 所以双曲线的离心率为： 故选：C 【点评】此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及 利用方程的思想进行解题 12 （5 分）已知函数 g（x）ex有两个不同极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，e） B （e，+） C D 【分析】g（x）exax，记 f（x）g（x） ，通过 a0 时，当 a0 时，判断函数的单 第 1
22、2 页（共 22 页） 调性，转化求解 f（x）min，得到，求和求解 a 的范围 【解答】解：g（x）exax，记 f（x）g（x） ，则题设条件转化为函数 f（x）有两个 不同零点 当 a0 时，f（x）在 R 上单调递增，不符合题意； 当 a0 时，f（x）exa，令 f（x）exa0，解得：xlna 当 x（，lna）时，f（x）0，此时 f（x）单调递减 当 x（lna，+）时，f（x）0，此时 f（x）单调递增； f（x）有两个不同零点，f（x）minf（lna）aalna0， 由，解得 ae，即实数 a 的取值范围为（e，+） ， 故选：B 【点评】本题考查函数的导数的应用，考查
23、函数的最值的求法，考查转化思想以及计算 能力，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a2，a3成等差数列若 a11，则 S4 15 【分析】由题意知 2a24a1a32a2，即 2q4q22q，由此可知 q2，a11，a2 2，a34，a48，于是得到 S41+2+4+815 【解答】解：2a24a1a32a2， 2q4q22q， q24q+40， q2， a11，a22，a34，a48， S41+2+4+815 答案：15 【点评】本题考查数列的应用，解题
24、时要注意公式的灵活运用 14 （5 分）若关于 x 的二项式（2x+）7的展开式中一次项的系数是70，则 a 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 01，求出 r 的值，即可求得一 第 13 页（共 22 页） 次项，再根据一次项等于70，求得实数 a 的值 【解答】解：展开式的通项公式为 Tr+1ar27 rx72r，由 72r1，得 r3， 所以一次项的系数为24a370，得 a， 故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 15 （5 分）已知函数 f（x）与 ykx（kR）的图象有三个不同交点， 则实数 k
25、的取值区间为 【分析】构造函数 g（x）f（x）kx，利用函数的零点， 转化求解即可 【解答】解：记 g（x）f（x）kx， 依题意为：方程 g（x）0 有三个不等实数根， 当 0x 时，由 xsinxkx0 得 ksinx，k（0，1）时有两个不等实数根， 当 x 时，由得，时有一个实数根， 综上：时方程 g（x）0 有三个不等实数根 故答案为： 【点评】本题考查函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABBDADCD3，ACBC4，用平行于 AB，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形 EFGH，则四边形 EFGH 面积的最大值为
26、【分析】 由直线 AB 平行于平面 EFGH， 且平面 ABC 交平面 EFGH 于 HG， 可得 HGAB， 同理 EFAB，FGCD，EHCD，可得 FGEH，EFHG四边形 EFGH 为平行四 边形又 ADBD，ACBC 的对称性，可知 ABCD从而四边形 EFGH 为矩形建立 二次函数关系求解四边形 EFGH 面积的最大值 【解答】解：直线 AB 平行于平面 EFGH，且平面 ABC 交平面 EFGH 于 HG， 第 14 页（共 22 页） HGAB， 同理：EFAB，FGCD，EHCD， FGEH，EFHG 四边形 EFGH 为平行四边形 又ADBD，ACBC 的对称性，可知 AB
27、CD 四边形 EFGH 为矩形 设 BF：BDBG：BCFG：CDx， （0x1） ， FG3x，HG3（1x） ， ， 当时，四边形 EFGH 的面积有最大值 故答案为： 【点评】本题考查了四面体 ABCD 中的对称性来证明四边形是矩形同时考查了动点的 问题以及灵活性的运用，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）某市在开展
28、创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是 城市环境卫生大为改观，深得市民好评 “创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和 保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出 200 人，并将这 200 人 按年龄分组：第 1 组15，25） ，第 2 组25，35） ，第 3 组35，45） ，第 4 组45，55） ，第 5 组55，65） ，得到的频率分布直方图如图所示 （1）求出 a 的值； （2）若已从年龄较小的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，现要再从这 5 人中随 机抽取 3 人进行问卷调查， 设第 2 组抽到 人， 求随机变量 的分布列及数学期
29、望 E （） 第 15 页（共 22 页） 【分析】 （1）由频率分布直方图能求出 a （2）第 1，2 组的人数分别为 20 人，30 人，从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人， 则第 1，2 组抽取的人数依次为 2 人，3 人随机变量 的所有可能取值为 1，2，3分 别求出相应的概率，由此能求出随机变量 的分布列和数学期望 【解答】解： （1）由 10（0.010+0.015+a+0.030+0.010）1， 解得 a0.035 （2）第 1，2 组的人数分别为 20 人，30 人， 从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人， 则第 1，2 组抽取的人数依次为 2 人，3
30、人 随机变量 的所有可能取值为 1，2，3 其中， ， ， 所以随机变量 的分布列为： 1 2 3 P 【点评】本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查 频率分布直方图、排列组合等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是 中档题 第 16 页（共 22 页） 18 （12 分）已知函数的最大值为 1 （1）求 t 的值； （2）设锐角ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，ABC 的面 积为，且 f（A），求 b+c 的值 【分析】 （1）对 f（x）化简，利用 f（x）最大值为 1，求出 t； （2）由，求出 A，利用面积公式，
31、结合余弦定理求出 b+c 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） ， f（x）的最大值为 1，解得， （2）， 又ABC 是锐角三角形，得， ，解得， 由三角形面积公式得，可得 bc4， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA， 可得 8（b+c）23bc， （b+c）220，而 b+c0， 【点评】考查两角和与差公式的应用，正弦函数的性质，三角形面积公式，正余弦定理 等，中档题 19 （12 分）如图，菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2，它们所在平面互相垂直， FD平面 ABCD，EF平面 ABCD （1）求证：平面 ACF平面 BDF； （2）若CBA60，求二面角 ABCF
32、的大小 第 17 页（共 22 页） 【分析】 （1）推导出 ACBD，FD平面 ABCD，从而 FDAC，进而 AC平面 BDF， 由此能证明平面 ACF平面 BDF （2）设 ACBDO，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OA 为 y 轴，过 O 作平面 ABCD 的垂线 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 ABCF 的大小 【解答】证明： （1）菱形 ABCD，ACBD， FD平面 ABCD，FDAC， BDFDD，AC平面 BDF， AC平面 ACF，平面 ACF平面 BDF 解： （2）设 ACBDO，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OA 为 y 轴， 过 O
33、作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（，0，0） ，C（0，1，0） ，F（，0，） ， （，1，0） ，（2，0，） ， 设平面 BCF 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，2） ， 平面 ABC 的法向量 （0，0，1） ， 设二面角 ABCF 的大小为 ， 则 cos， 二面角 ABCF 的大小为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面 第 18 页（共 22 页） 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）aex，g（x）lnxlna，其中 a 为常数，e
34、是自然对数的底 数，e2.72，曲线 yf（x）在其与 y 轴的交点处的切线记作 l1，曲线 yg（x）在其与 x 轴的交点处的切线记作 l2，且 l1l2 （1）求 l1，l2之间的距离； （2）对于函数 f（x）和 g（x）的公共定义域中的任意实数 x0，称|f（x0）g（x0）|的值 为函数 f（x）和 g（x）在 x0处的偏差求证：函数 f（x）和 g（x）在其公共定义域内的 所有偏差都大于 2 【分析】 （1）分别求得 yf（x） ，yg（x）与 y，x 轴的交点，求得 f（x） ，g（x）的导 数，由两直线平行的条件，解方程可得 a，求得两条切线的方程，由两直线平行的距离公 式可得
35、所求值； （2）方法一、求得函数 yf（x）和 yg（x）的偏差，并求导，判断单调性，极值点， 可得最值，进而得证； 方法二、 求得函数 yf （x） 和 yg （x） 的偏差 F （x） ， 设， F2（x）xlnx，x（0，+） ，分别求导，判断单调性，即可得证 【解答】解： （1）函数 f（x）aex的图象与 y 轴的交点为（0，a） ， 函数 yg（x）的图象与 x 轴的交点为（a，0） ， 而 f（x）aex， l1l2，f（0）g（a） ，得， 又a0，a1 f（x）ex，g（x）lnx， 切线 l1过点（0，1） ，斜率为； 切线 l2过点（1，0） ，斜率为 k2g（1）1，l
36、1：xy+10，l2：xy10， 两平行切线 l1，l2间的距离； （2）解法一：函数 yf（x）和 yg（x）的偏差为： F（x）|f（x）g（x）|exlnx，x（0，+） ， ，易得在 x（0，+）上是增函数， 第 19 页（共 22 页） 方程 F（x）0 有且只有一个正实根，记为 xx0，则， 当 x（0，x0）时，F（x）0；当 x（x0，+）时，F（x）0， 函数 F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增， ， F（1）e10， 故， 即函数 yf（x）和 yg（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 解法二：由于函数 yf（x）和 yg（x）的偏差：F（x）
37、|f（x）g（x）|exlnx，x （0，+） ， 令，F2（x）xlnx，x（0，+） ， F1（x）ex1，F2（x）1， F1（x）在（0，+）上单调递增，F2（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上 单调递增， F1（x）F1（0）1，F2（x）F2（1）1， 于是 F（x）exlnx（exx）+（xlnx）F1（x）+F2（x）2， 即函数 yf（x）和 yg（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和 化简运算能力、推理能力，属于中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的长轴是短轴的两倍，以
38、短轴一个顶点 和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线 l 与椭圆 C 交于 A（x1， y1） ，B（x2，y2）两点，其中直线 l 不过原点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 OA，l，OB 的斜率分别为 k1，k，k2，其中 k0 且 k2k1k2记OAB 的面 积为 S分别以 OA，OB 为直径的圆的面积依次为 S1，S2，求的最小值 【分析】 （1）利用已知条件列出方程组，求出，然后求解椭圆 C 的方程 第 20 页（共 22 页） （2） 设直线 l 的方程为 ykx+m （m0） ， 由消去 y 整理得 （1+4k2） x2+8kmx+4 （m21）0，利用判
39、别式以及韦达定理，转化表示三角形的面积，通过基本不等式求 解表达式的最值即可 【解答】解： （1）由题意知，解得， 所以椭圆 C 的方程为 （2）设直线 l 的方程为 ykx+m（m0） ， 由消去 y 整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）0，根据题设有：16 （1+4k2m2）0 且， 因为k2k1k2，所以 ， 将，代入，化简得：， k0， 此 时 16 （ 2 m2） 0且m 0 ， 解 得0 m2 2 故 ， 又 ，为定值 ， 当且仅当 m21 即 m1 时等号成立 第 21 页（共 22 页） 综上：的最小值为 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合
40、应用，考查转化思 想以及计算能力，是难题 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多 做，则按所做的第一做，则按所做的第一题计分 【选修题计分 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （本小题满分：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t
41、为参数） 以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的值 【分析】 （1）消去参数 t 能求出直线 l 的普通方程，由，得 ，由此能求出曲线 C 的直角坐标方程 （2）点是直线 l 上的点，设 A，B 两点所对应的参数分别为 t1，t2，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程， 得 由此能求出的 值 【解答】解： （1）消去参数 t 得直线 l 的普通方程为； 因为，所以， 因为 xcos，ysin， 所以曲线 C
42、的直角坐标方程为 （2）由题意判断点是直线 l 上的点， 设 A，B 两点所对应的参数分别为 t1，t2， 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 其中，t1t22 第 22 页（共 22 页） 于是 【点评】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程和代数式值的求法，考查直角 坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 【选修【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分：不等式选讲】 （本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|xa|+|2x1|1（aR）的一个零点为 1 （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若+a（m0，n1）
43、，求证：m+2n11 【分析】 （1）分类讨论去绝对值； （2）变形后，用基本不等式证明 【解答】解： （1）因为函数 f（x）|xa|+|2x1|1（aR）的一个零点为 1， 所以 a1，又当 a1 时，f（x）|x1|+|2x1|1， f（x）1|x1|+|2x1|2， 上述不等式可化为或或， 解得或或 所以 0x或x1 或 1， 所以原不等式的解集为x|0 （2）由（1）知a1，因为 m0，n1， 所以 m+2（n1）m+2（n1）（+）5+0， 当且仅当 m3n4 时取等号，所以 m+2n11 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，重要不等式在证明中的应用，运算能力，推 理论证能力，化归与转化思想属中档题
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