1、已知集合 A1，0，1，Bx|2x1，则 AB（ ） A1，0，1 B1，0 C0，1 D1，1 2 （5 分）若 z（3+4i）7+i，则 z（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3 （5 分）中秋佳节即将来临之际，有 3 名同学各写一张贺卡，混合后每个同学再从中抽取 一张，则每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率是（ ） A B C D 4 （5 分） “二万五千里长征”是 1934 年 10 月到 1936 年 10 月中国工农红军进行的一次战 略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发 生了许多可歌可泣的英雄故事在中国共产党建党 98 周年之际某
2、中学组织了“长征英雄 事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生 2700 名，用分层抽样的方法从该校高中学生 中抽取一个容量为 45 的样本参加活动， 其中高三年级抽了 12 人， 高二年级抽了 16 人， 则该校高一年级学生人数为（ ） A720 B960 C1020 D1680 5 （5 分）椭圆+1（0m4）的离心率为，则 m 的值为（ ） A1 B C2 D2 6 （5 分）函数 f（x）cosx+sinx 在，0上的最大值为（ ） A1 B C2 D1+ 7 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S927，则 a5（ ） A3 B3 C6 D6 8 （5 分）在正方体
3、ABCDA1B1C1D1中，E 为 AD1的中点，F 为 BD 的中点，则（ ） AEFC1D1 BEFAD1 CEF平面 BCC1B1 DEF平面 AB1C1D 9 （5 分）已知函数 f（x）ex （asinx+bcosx） ，若 x0 是 f（x）的一个极小值点，且 a2+b2 第 2 页（共 21 页） 2，则 a（ ） A1 B0 C1 D1 10 （5 分）执行如图所示的程序框图输出的 S 的值为（ ） A25 B24 C21 D9 11 （5 分）若点 P 在不等式组内，点 Q 在曲线 x2+（y+2）21 上，那么|PQ| 的最小值为（ ） A B C D 12 （5 分）偶函
4、数 f（x）在（，0上为减函数，若不等式 f（1ax）f（2+x2）对任 意的 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 （1，2） ， （3，m） ，且 ，则 m 14 （5 分）已知等比数列an的各项都是正数，a51，a3a119，则an的公比为 15 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，以 F2为圆心，|F1F2|为半径的圆交双曲线 C 的右支于 A，B 两点，若|
5、AB|F1F2|，则双 曲线 C 的离心率为 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAB 和ABC 均为边长为 2 的等边三角形，若三棱锥 PABC 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积 第 3 页（共 21 页） 为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题；题； 共共 60 分分 17 （12 分
6、）某学校为了解本校文理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科 班学生中随机抽取 60 人的成绩得到样本甲， 从文科班学生中随机抽取 n 人的成绩得到样 本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在70，80）的有 10 个 （1）求 n 和乙样本直方图中 a 的值； （2） 试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试 数学成绩的中位数（同组中的数据用该组区间中点值为代表） 18 （12 分）已知在ABC 中，ACB120，BC2AC （1）求 tanA 的值； （2）若 AC1，ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D，求 CD 的长
7、 19 （12 分）图 1 是由正方形 ABCD，直角梯形 ABED，三角形 BCF 组成的一个平面图形， 其中 AB2DE2，BEBFCF，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的 D，E，C，G 四点共面，且平面 ABD平面 DEC； （2）求图 2 中的点 A 到平面 BCE 的距离 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分）过 F（0，1）的直线 l 与抛物线 C：x24y 交于 A，B 两点，以 A，B 两点为切 点分别作抛物线 C 的切线 l1，l2设 l1与 l2交于点 Q（x0，y0） （1）求 y0； （2）过 Q
8、，F 的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，求四边形 AMBN 面积的最小值 21 （12 分）已知函数（x）（x2）ex+alnxax 在区间（1，2）内没有极值点， （1）求实数 a 的取值范围； （2）若函数 f（x）在区间1，2的最大值为 M 且最小值为 m，求 Mm 的取值范围 参考数据：e2.718，In20.693 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22.23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系：坐标系与参数方程与参数方程 22 （10 分）如在直角坐标系 xOy
9、中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为（3，） ，曲线 C 的极坐标方程为 2+4sin0 （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若点 Q 为曲线 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l 的距离的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正数 a，b，c 满足等式 a+b+c1证明： （1）+； （2）+ 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年云南省昆明一中高三（上学年云南省昆明一中高三（上）第一次摸底数学试卷）第一次摸底数学试卷 （文科） （文科）
10、（9 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A1，0，1，Bx|2x1，则 AB（ ） A1，0，1 B1，0 C0，1 D1，1 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：A1，0，1，Bx|x0， AB1，0 故选：B 【点评】考查列举法、描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算 2 （5 分）若 z（3+4i）7+i，则 z（
11、） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 z（3+4i）7+i，得 z 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 （5 分）中秋佳节即将来临之际，有 3 名同学各写一张贺卡，混合后每个同学再从中抽取 一张，则每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率是（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n6，每个同学抽到的都不是自己写的贺卡包含的基本事件 个数 m2，由此能求出每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率 【解答】解：中秋佳节即将来临之际，有 3 名同学各写一张贺卡，混合后每个同学再从 中抽取一张
12、， 基本事件总数 n6， 第 6 页（共 21 页） 每个同学抽到的都不是自己写的贺卡包含的基本事件个数 m2， 则每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率是 p 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 4 （5 分） “二万五千里长征”是 1934 年 10 月到 1936 年 10 月中国工农红军进行的一次战 略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发 生了许多可歌可泣的英雄故事在中国共产党建党 98 周年之际某中学组织了“长征英雄 事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生 2700 名，用分层抽样
13、的方法从该校高中学生 中抽取一个容量为 45 的样本参加活动， 其中高三年级抽了 12 人， 高二年级抽了 16 人， 则该校高一年级学生人数为（ ） A720 B960 C1020 D1680 【分析】设该校高一年级学生人数为 x 人，由此利用列举法得，由此 能求出该校高一年级学生人数 【解答】解：设该校高一年级学生人数为 x 人， 由题意得：， 解得 x1020 故选：C 【点评】本题考查高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 5 （5 分）椭圆+1（0m4）的离心率为，则 m 的值为（ ） A1 B C2 D2 【分析】利用椭圆方程，结合离心率
14、公式求解即可 【解答】解：椭圆1（0m4）的离心率为， 可得，解得 m2 故选：C 第 7 页（共 21 页） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 6 （5 分）函数 f（x）cosx+sinx 在，0上的最大值为（ ） A1 B C2 D1+ 【分析】化函数 f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出 f（x）在， 0上的最大值 【解答】解：函数 f（x）cosx+sinx2（cosx+sinx）2sin（x+） ， 则 x，0时，x+， sin（x+）1， 2sin（x+）2，1， f（x）在，0上的最大值为 1 故选：A 【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函
15、数的图象与性质的应用问题，是基础题 7 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S927，则 a5（ ） A3 B3 C6 D6 【分析】由等差数列an的性质可得：a1+a92a5，再利用求和公式即可得出 【解答】解：由等差数列an的性质可得：a1+a92a5， S9279a5， a53 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 8 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 AD1的中点，F 为 BD 的中点，则（ ） AEFC1D1 BEFAD1 CEF平面 BCC1B1 DEF平面 AB1C1D 【分
16、析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出结果 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2， 第 8 页（共 21 页） 则 E（1，0，1） ，F（1，1，0） ，C1（0，2，2） ，D1（0，0，2） ，A（2，0，0） ， 在 A 中，（0，1，1） ，（0，2，0） ， EF 与 C1D1不平行，故 A 错误； 在 B 中，（2，0，2） ，2， EF 与 AD1不垂直，故 B 错误； 在 C 中，平面 BC
17、C1B1的法向量 （0，1，0） ， 1，EF 与平面 BCC1B1不平行，故 C 错误； 在 D 中，（2，0，0） ，（0，2，2） ， ，0，EFDA，EFDC1， DADC1D，EF平面 AB1C1D 故选：D 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 9 （5 分）已知函数 f（x）ex （asinx+bcosx） ，若 x0 是 f（x）的一个极小值点，且 a2+b2 2，则 a（ ） A1 B0 C1 D1 第 9 页（共 21 页） 【分析】先写出导函数 f（x） ，得 f（0）a+b0，又因为 a2+b22
18、，所以或 ，分别代入解析式，检验哪个符合题意 【解答】解：f（x）exa（sinx+cosx）+b（cosxsinx）， f（0）a+b0， 又a2+b22， 或， 当 a1，b1 时，f（x）2exsinx， 在区间（，0）上 f（x）0，在区间（0，）上 f（x）0， x0 是 f（x）极大值点，不符合题意 当 a1，b1 时，f（x）2exsinx， 在区间（，0）上 f（x）0，在区间（0，）上 f（x）0， x0 是 f（x）极小值点，符合题意 a1， 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究函数的的极值，考查分析与运算能力，属于中档题 10 （5 分）执行如图所示的程序框图输出的 S
19、 的值为（ ） A25 B24 C21 D9 【分析】根据程序框图依次写出每次循环的结果，再根据判断框内的条件，确定输出的 S 的值即可 【解答】解：初始值 S0，i9；第一步，S0+99，T9+9216，此时 ST，故 第 10 页（共 21 页） i927； 第二步：S9+716，T16+7221，此时 ST，故 i725； 第三步：S16+521，T21+5224，此时 ST，故 i523； 第四步：S21+324，T24+3225，此时 ST，故 i321； 第五步：S24+125，T25+1224，此时 ST，故输出 S25； 故选：A 【点评】本题考查程序框图，难度较小，属于基础题
20、 11 （5 分）若点 P 在不等式组内，点 Q 在曲线 x2+（y+2）21 上，那么|PQ| 的最小值为（ ） A B C D 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：B（1，0） ，曲线 x2+（y+2）21 的 半径为 1，圆心 D（0，2） 由图象可知圆心 D（0，2）到 B 的距离 d， 由图象可知|PQ|的最小值为1， 故选：D 【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线和圆的位置关系的应用，通过数形结合 第 11 页（共 21 页） 是解决本题的关键 12 （5 分）偶函数 f（x）在（，0上为减函数，若不等式
21、f（1ax）f（2+x2）对任 意的 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 【分析】根据偶函数图象关于 y 轴对称，得 f（x）在（，0上是单调减函数，且在（0， ）上单调增，由此结合 2+x2是正数，将原不等式转化为|ax1|2+x2恒成立，去绝对 值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数 a 的取值范围 【解答】解：f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称 f（x）在（，0的单调性与（0，）的单调性相反，可得 f（x）在（0，+）上 是增函数 不等式 f（ax1）f（2+x2）恒成立，等价于|ax1|2+x2恒
22、成立 即不等式2x2ax12+x2恒成立，的解集为 R， 结合一元二次方程根的判别式，得：a240 且（a）2120 解之得2a2 故选：D 【点评】本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于 x 的不等式恒成立的问题，着重考 查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 （1，2） ， （3，m） ，且 ，则 m 【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出 m 的值 【解答】解：， ， 故答案为： 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算
23、14 （5 分）已知等比数列an的各项都是正数，a51，a3a119，则an的公比为 第 12 页（共 21 页） 【分析】设等比数列an的公比为 q0，根据 a51，a3a119，可得 a99 a5q4q4，即可得出 q 【解答】解：设等比数列an的公比为 q0，a51，a3a119， a99a5q4q4， 解得 q 故答案为： 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 15 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，以 F2为圆心，|F1F2|为半径的圆交双曲线 C 的右支于 A，B 两点，若|AB|F1F2|，则
24、双 曲线 C 的离心率为 【分析】设 F2（c，0） ，圆和双曲线关于 x 轴对称，可得 A 的纵坐标为c，再由等腰三 角形的性质和勾股定理，求得 A 的横坐标，将 A 的坐标代入双曲线方程，结合离心率公 式，解方程即可得到所求值 【解答】解：设 F2（c，0） ，由|AB|F1F2|2c，且圆和双曲线关于 x 轴对称， 可得 A 的纵坐标为c， 在等腰三角形 ABF2中，|AF2|BF2|2c，|AB|2c， 可得|F2H|c， 则 A 的横坐标为 c+c2c，即 A（2c，c） ， 代入双曲线的方程可得1， 由 e，b2c2a2，可得 4e21， 化为 4e48e2+10， 由 e1，可得
25、 e2， 第 13 页（共 21 页） 解得 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查圆和双曲线的对称 性，等腰三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAB 和ABC 均为边长为 2 的等边三角形，若三棱锥 PABC 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 20 【分析】取 AB 中点 E，连结 PE，DE，延长 CE，交ABC 外接圆于点 D，连结 PD， ABC 外接圆半径为 2，且 CE3，ED1，求出 PC，sinPCE，PD ，在直角PCD 中，由正弦定理得 2R
26、2，该球的半径 R，由此能求出该球的表面积 【解答】解：由题意，如图所示，取 AB 中点 E，连结 PE，DE， 延长 CE，交ABC 外接圆于点 D，连结 PD， ABC 是边长为 2的等边三角形， ABC 外接圆半径为2，且 CE3，ED1， 平面 PAB平面 ABC，PAB 和ABC 均为边长为 2的等边三角形， 在直角PAB 中，PE平面 ABC，且 PECE3， 在直角PCE 中，PC，且 sinPCE， 在直角PED 中，PD， 第 14 页（共 21 页） 在直角PCD 中，由正弦定理得 2R2， 该球的半径 R， 该球的表面积 S4R220 故答案为：20 【点评】本题考查球的
27、表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题；题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题； 共共 60 分分 17 （12 分）某学校为了解本校文理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科 班学生中随机抽取 60 人的成绩得到样本甲， 从文科班学生中随机抽取 n 人的成绩得到样
28、本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在70，80）的有 10 个 （1）求 n 和乙样本直方图中 a 的值； （2） 试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试 数学成绩的中位数（同组中的数据用该组区间中点值为代表） 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （1）由频率分布直方图得乙样本中数据在70，80）的频率为 0.2，这个组学生 有 10 人，由此能求出 n，由乙样本数据直方图能求出 a （2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校理科学生本次模拟测试数学成 绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数 【解答】解： （
29、1）由频率分布直方图得： 乙样本中数据在70，80）的频率为 0.020100.2， 这个组学生有 10 人，则0.20， 解得 n50， 由乙样本数据直方图得： （0.006+0.016+0.020+0.040+a）101， 解得 a0.018 （2）甲样本数据的平均值估计值为： （550.005+650.010+750.020+850.045+950.020）1081.5， 乙样本数据直方图中前三组的频率之和为： （0.006+0.016+0.020）100.420.50， 前四组的频率之和为： （0.006+0.016+0.020+0.040）100.820.5， 乙样本数据的中位数在第
30、 4 组，设中位数为 80+x， 由（0.006+0.016+0.020）10+0.040x0.5， 解得 x2，中位数为 80+282 根据样本估计总体思想，可以估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为 81.5， 文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为 82 【点评】本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 18 （12 分）已知在ABC 中，ACB120，BC2AC （1）求 tanA 的值； （2）若 AC1，ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D，求 CD 的长 【分析】 （1） 由已知利用正弦定理， 三角
31、形内角和定理可得 sinA2sinB2sin （A） ， 利用两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求 tanA 的值 第 16 页（共 21 页） （2）由已知可求ACD60，利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，cosA 的值，利 用两角和的正弦函数公式可求 sinADC 的值，根据正弦定理即可解得 CD 的值 【解答】解： （1）BC2AC， 由正弦定理，可得 sinA2sinB2sin（A） ， sinAcosAsinA，可得 tanA， （2）CD 是角平分线， ACD60， 由 tanA，可得 sinA，cosA， sinADCsin（A+ACD）sinAcosACD+
32、cosAsinACD， 由，可得 CD 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，同角 三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和 转化思想，属于中档题 19 （12 分）图 1 是由正方形 ABCD，直角梯形 ABED，三角形 BCF 组成的一个平面图形， 其中 AB2DE2，BEBFCF，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的 D，E，C，G 四点共面，且平面 ABD平面 DEC； （2）求图 2 中的点 A 到平面 BCE 的距离 【分析】 （1）推导出 DECG，
33、从而 DECG 四点共面，由 AGAB，得 AGDE，由 AD 第 17 页（共 21 页） DE，得 DE平面 ADG，从而 DEDG，求出 ADDG，ADDE，从而 AD平面 DEG，由此能证明平面 ABD平面 DEC （2）点 D 到平面 ABC 的距离为 1，点 E 到平面 ABC 的距离 h1，设点 A 到平面 BCE 的距离为 d，由 VABCEVEABC，能求出点 A 到平面 BCE 的距离 【解答】解： （1）证明：正方形 ABCG 中，ABCG， 梯形 ABED 中，DEAB，DECG， DECG 四点共面， AGAB，AGDE， ADDE，ADAGA，DE平面 ADG， D
34、G平面 ADG，DEDG， 在直角梯形 ABED 中，AB2，DE1，BE，解得 AD， 同理，在直角梯形 GCED 中，解得 DG， AGBC2，AD2+DG2AG2，ADDG， ADDE，DEDGD，AD平面 DEG， AD平面 ABD，平面 ABD平面 DEG， 平面 ABD平面 DEC （2）解：在等腰直角ADG 中，AG 边上的高为 1， 点 D 到平面 ABC 的距离为 1， DE 与平面 ABC 平行，点 E 到平面 ABC 的距离 h1， ， BCE 中，BC 边上的高为：， ， 设点 A 到平面 BCE 的距离为 d， 由 VABCEVEABC，得 d 点 A 到平面 BCE
35、 的距离为 第 18 页（共 21 页） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）过 F（0，1）的直线 l 与抛物线 C：x24y 交于 A，B 两点，以 A，B 两点为切 点分别作抛物线 C 的切线 l1，l2设 l1与 l2交于点 Q（x0，y0） （1）求 y0； （2）过 Q，F 的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，求四边形 AMBN 面积的最小值 【分析】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 l 的方程为 ykx+1，联立抛物线方程， 运用韦达定
36、理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求 值； （2）求得，的坐标和数量积，可得 QFAB，即 MNAB，运用抛物线的弦长公 式可得|AB|，|MN|，由四边形的面积公式，结合基本不等式可得所求最小值 【解答】解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 l 的方程为 ykx+1， 联立抛物线方程 x24y，可得 x24kx40， 即有 x1+x24k，x1x24， 由yx2的导数为yx， 可得l1的方程为yy1x1（xx1） ， 化为yx1x， 同理可得 l2的方程为 yx2x， 联立两直线方程解得 x02k，y01， 故 y01； （2）由（，2）
37、 ，（x2x1，y2y1） ， +2（y2y1）+20， 可得 QFAB，即 MNAB， 第 19 页（共 21 页） |AB|y1+y2+2k（x1+x2）+44k2+4， |MN|+4， 则四边形 AMBN 的面积 S|AB|MN|8（k2+1） （1+）8（k2+2）8 （2+2）32， 当且仅当 k1 时，四边形 AMBN 的面积取得最小值 32 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用 韦达定理，以及导数的几何意义，考查切线方程的求法，以及向量垂直的性质，考查基 本不等式的运用：求最值，属于中档题 21 （12 分）已知函数（x）（x2）ex+al
38、nxax 在区间（1，2）内没有极值点， （1）求实数 a 的取值范围； （2）若函数 f（x）在区间1，2的最大值为 M 且最小值为 m，求 Mm 的取值范围 参考数据：e2.718，In20.693 【分析】 （1）先求出导函数 f（x） ，再对 a 分情况讨论，分别分析函数 f（x）的单调性和 极值情况，求出符合题意的 a 的取值范围； （2）由（1）可知，f（x）（x2）ex+alnxax，对 a 分情况讨论，利用函数的单调性 求出 M 和 m 的值，在分析 Mm 的单调性，从而求出 Mm 的取值范围 【解答】解： （1）函数（x）（x2）ex+alnxax， f（x）（xexa） ，
39、 令 g（x）xexa，x（1，2） ， 则 g（x）（x+1）ex0，则 g（x）在（1，2）上单调递增， 若 ae，则 g（x）g（1）ea0，则 f（x）0，则 f（x）在（1， 2）上单调递增， 若 a2e2，则 g（x）g（2）2e2a0，则 f（x）0，则 f（x） 在（1，2）上单调递减， 若 ea2e2，则 g（1）ea0，g（2）2e2a0，又 g（x）在（1，2）上单 调递增， 结合零点存在定理知：存在唯一实数 x0（1，2） ，使得 g（x0）0， 第 20 页（共 21 页） 此时函数 f（x）在区间（1，2）内有极小值点 x0，矛盾， 综上所求，实数 a 的取值范围为
40、：ae 或 a2e2； （2）由（1）可知，f（x）（x2）ex+alnxax， 若 ae，则 f（x）在（1，2）上单调递减，则 mf（1）ea，而 Mf（2） aln22a， 则 Mma（ln21）+e 是关于 a 的减函数，故 Mme（ln21）+eeln2， 若 a2e2，则 f（x）在（1，2）上单调递减，则 Mf（1）ea，而 mf（2） aln22a， 则 Mma（1ln2）e 是关于 a 的增函数，故 Mm2e2（1ln2）e2e2e 2e2ln2， （2e12eln2）ln22e1（2e+1）ln20.0240， e（2e12eln2）eln2， 综上所求，Mm2e2e2e2
41、ln2，+） 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22.23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）如在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为（3，） ，曲线 C 的极坐标方程为 2+4sin0 （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若点 Q 为曲线
42、 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l 的距离的最小值 【分析】 （1）直接把直线参数方程中的参数 t 消去，可得直线的普通方程，由已知结合 极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程； （2）化 P 为直角坐标，设出 Q 的坐标，由中点坐标公式求得 M 的坐标，再由点到直线 的距离公式写出距离，利用三角函数求最值 【解答】解： （1）由（t 为参数） ，消去参数 t， 可得直线 l 的普通方程为 xy50， 由 2+4sin0，且 2x2+y2，xcos，ysin， 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2+4y0； 第 21 页（共 21 页） （2）点 P 的极坐标为
43、（3，） ，则点 P 的直角坐标为（3，3） ， 点 Q 为曲线 C 上的动点，设 Q（2cos，2sin2） ， 则 PQ 中点 M 为（，） ， 则点 M 到直线 l 的距离： d， 点 M 到直线 l 的最小距离为 【点评】本题考查点的直角坐标、曲线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的 中小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运 算求解能力，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正数 a，b，c 满足等式 a+b+c1证明： （1）+； （2）+ 【分析】 （1）利用基本不等式即可证明结论； （2）利用基本不等式即可证明结论 【解答】解： （1）要证不等式等价于，因为 a+b+c+21+2， ，当且仅当 abc时取等号 （2）（2a+3）+（2b+3）+（2x+3）11， 又， ， 当且仅当 abc时取等号 【点评】本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找不等式成立的充分条件，属于中档 题
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