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    2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高三(下)第二次联考数学试卷(理科)含详细解答

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    2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高三(下)第二次联考数学试卷(理科)含详细解答

    1、已知集合 A1,1,3,4,集合 Bx|x24x+30,则 AB( ) A1,4 B1,1,4 C1,3,4 D (,1)(3,+) 2 (5 分)已知复数 z,则|z|( ) A1 B C2 D3 3 (5 分)已知实数 0ab,则下列说法正确的是( ) A Bac2bc2 Clnalnb D ()a()b 4 (5 分)已知命题 p:x2m+1,q:x25x+60,且 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为( ) Am Bm Cm1 Dm1 5 (5 分)若数列an为等差数列,且满足 3+a5a3+a8,Sn为数列an的前 n 项和,则 S11 ( ) A27 B33 C3

    2、9 D44 6 (5 分)已知 , 是空间中两个不同的平面,m,n 是空间中两条不同的直线,则下列说 法正确的是( ) A若 m,n,且 ,则 mn B若 m,n,且 m,n,则 C若 m,n,且 ,则 mn D若 m,n,且 ,则 mn 7 (5 分)已知抛物线 y220x 的焦点与双曲线1(a0,b0)的一个焦点重 合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为( ) 第 2 页(共 22 页) A B C D 8 (5 分)如图,在ABC 中,P 是 BN 上的一点,若 m,则实 数 m 的值为( ) A B C1 D2 9 (5 分)已知实数 a0,b1 满足 a+b

    3、5,则+的最小值为( ) A B C D 10 (5 分)已知集合 A1,2,3,4,5,6的所有三个元素的子集记为 B1,B2,B3, Bn,nN*记 bi为集合 Bi中的最大元素,则 b1+b2+b3+bn( ) A45 B105 C150 D210 11 (5 分)关于圆周率 ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验 和查理斯实验受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值:先请全校 m 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对(x,y) ;再统计两数能与 1 构成钝角三形 三边的数对(x,y)的个数 a;最后再根据统计数 a 估计 的值,那么可以估计 的值 约

    4、为( ) A B C D 12 (5 分)已知 (2sin,cos) , (cos,2cos) ,函数 f(x) 在区间0,上恰有 3 个极值点,则正实数 的取值范围为( ) A,) B (, C,) D (,2 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)实数 x,y 满足,则 z2x+y 的最大值为 14 (5 分) 成都市某次高三统考, 成绩 X 经统计分析, 近似服从正态分布 XN (100, 2) , 且 P(86X100)0.15,若该市有 8000 人参考,则估计成都市该次统考中成绩 X 大 第 3 页(共

    5、 22 页) 于 114 分的人数为 15 (5 分)已知函数 f(x)x3+x+a,x,e与 g(x)3lnxx1 的图象上存在关 于 x 轴对称的点,则 a 的取值范围为 16 (5 分)在四面体 ABCD 中,ABCD,ACBD,ADBC5,E,F 分 别是 AD,BC 的中点则下述结论: 四面体 ABCD 的体积为 20; 异面直线 AC,BD 所成角的正弦值为; 四面体 ABCD 外接球的表面积为 50; 若用一个与直线 EF 垂直,且与四面体的每个面都相交的平面 去截该四面体,由此 得到一个多边形截面,则该多边形截面面积最大值为 6 其中正确的有 (填写所有正确结论的编号) 三、解

    6、答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。题为选考题,考生根据要求作答。(一一)必考题:共必考题:共 60 分。分。 17 (12 分)某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间,对每个工人组装一个该产品的 用时作了记录,得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本, 得到如图所示的茎叶图(单位:分钟) 若用时不超过 40(分钟) ,则称这个工人为优秀 员工 (1)求

    7、这个样本数据的中位数和众数; (2)以这 9 个样本数据中优秀员工的频率作为概率,任意调查 4 名工人,求被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x 分布列和数学期望 18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的菱形,PAPC5,点 M,N 分别是 AB,PC 的中点 (1)求证:MN平面 PAD; 第 4 页(共 22 页) (2)若 cosPCD,DAB60,求直线 AN 与平面 PAD 所成角的正弦值 19 (12 分)已知数列an满足对任意 nN*都有 2an+1an+an+2,其前 n 项和为 Sn,且 S7 49,a3是 a1与 a13的等比中项,

    8、a1a2 (1)求数列an的通项公式 an; (2)已知数列bn满足 bn2,cnanbn,设数列cn的前 n 项和为 Tn,求 大于 1000 的最小的正整数 n 的值 20 (12 分)已知点 P(1,) , (x1,y) , (x+1,y) ,且| |+| |4,满足条件 的点 Q(x,y)的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在过点(0,1)的直线 l,直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,直线 PA, PB 与 y 轴分别交于 M, N 两点, 使得|PM|PN|?若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在, 请说明理由 21 (12 分)已知函数 f(x)

    9、ln(x+1)ax1a(aR) (1)若 f(x)0 对任意 x1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)求证:ln(x+1)+xex 1x+10 (二二)选考题:共选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一则按所做的第一 题计分。题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数,以坐 标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线 C2的极坐 标方程为 4cos (1)求曲线 C1的极坐标方

    10、程和曲线 C2的普通方程; (2)设射线 OP:与曲线 C1交于不同于极点的点 A,与曲线 C2交于不同于极点 第 5 页(共 22 页) 的点 B,求线段 AB 的长 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分分) 23设函数 f(x)|x+a|+|x1|(aR) (1)当 a1 时,求不等式 f(x)4 的解集; (2)若对任意 xR 都有 f(x)2,求实数 a 的取值范围 第 6 页(共 22 页) 2019-2020 学年四川省蓉城名校联盟高三(下)第二次联考数学学年四川省蓉城名校联盟高三(下)第二次联考数学 试卷(理科)试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一

    11、、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 (5 分)已知集合 A1,1,3,4,集合 Bx|x24x+30,则 AB( ) A1,4 B1,1,4 C1,3,4 D (,1)(3,+) 【分析】求出集合 A,集合 B,由此能求出 AB 【解答】解:集合 A1,1,3,4, 集合 Bx|x24x+30x|x1 或 x3, AB1,4 故选:A 【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 2

    12、(5 分)已知复数 z,则|z|( ) A1 B C2 D3 【分析】直接由商的模等于模的商求解 【解答】解:z, |z| 故选:C 【点评】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题 3 (5 分)已知实数 0ab,则下列说法正确的是( ) A Bac2bc2 Clnalnb D ()a()b 【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误 第 7 页(共 22 页) 【解答】解:对于 A实数 0ab,(c0 不成立) , 对于 Bc0 不成立 对于 C利用对数函数的单调性即可得出 对于 D.,因此不成立 故选:C 【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性,考查了

    13、推理能力与计算能力, 属于基础题 4 (5 分)已知命题 p:x2m+1,q:x25x+60,且 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为( ) Am Bm Cm1 Dm1 【分析】p 是 q 的必要不充分条件,推导出(2,3)(,2m+1) ,由此能求出实数 m 的取值范围 【解答】解:命题 p:x2m+1,q:x25x+60,即:2x3, p 是 q 的必要不充分条件, (2,3)(,2m+1) , 2m+13,解得 m1 实数 m 的取值范围为 m1 故选:D 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查必要条件、充分条件、充要条件等基础 知识,考查运算求解能力,是基础题 5

    14、 (5 分)若数列an为等差数列,且满足 3+a5a3+a8,Sn为数列an的前 n 项和,则 S11 ( ) A27 B33 C39 D44 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出 【解答】解:设等差数列an的公差为 d,且满足 3+a5a3+a8, a63 Sn为数列an的前 n 项和,则 S1111a633 故选:B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能 第 8 页(共 22 页) 力,属于基础题 6 (5 分)已知 , 是空间中两个不同的平面,m,n 是空间中两条不同的直线,则下列说 法正确的是( ) A若 m,n,且 ,则 mn

    15、 B若 m,n,且 m,n,则 C若 m,n,且 ,则 mn D若 m,n,且 ,则 mn 【分析】根据空间线面位置关系,逐一判定即可 【解答】解:对于 A,当 m,n,且 ,则 m 与 n 的位置关系不定,故错; 对于 B,当 mn 时,不能判定 ,故错; 对于 C,若 m,n,且 ,则 m 与 n 的位置关系不定,故错; 对于 D,由 m, 可得 m,又 n,则 mn 故正确 故选:D 【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识,是中档题 7 (5 分)已知抛物线 y220x 的焦点与双曲线1(a0,b0)的一个焦点重 合,且抛物线的准线被双曲线截得

    16、的线段长为,那么该双曲线的离心率为( ) A B C D 【分析】先求出双曲线的焦点坐标,再利用抛物线 y220x 的准线被双曲线截得的线段 长为,可得,借助于 c2a2+b2,求出 a,即可求出双曲线的离心率 【解答】解:由抛物线 y220x,可得 2p20,则 p10,故其准线方程为 x5, 抛物线 y220x 的准线过双曲线1(a0,b0)的左焦点, c5 抛物线 y220x 的准线被双曲线截得的线段长为, ,又 c225a2+b2, a4,b3, 第 9 页(共 22 页) 则双曲线的离心率为 e 故选:A 【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质,考查计算能力是中档题 8 (5 分)

    17、如图,在ABC 中,P 是 BN 上的一点,若 m,则实 数 m 的值为( ) A B C1 D2 【分析】依题意,又 B,P,N 三点共线,则, 解出即可求得实数 m 的值 【解答】解:依题意, 又 B,P,N 三点共线, ,解得 故选:B 【点评】本题主要考查平面向量基本定理的运用,属于基础题 9 (5 分)已知实数 a0,b1 满足 a+b5,则+的最小值为( ) A B C D 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解:因为 a0,b1 满足 a+b5, 则+(+)a+(b1), , 当且仅当时取等号, 故选:A 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性

    18、质,属于基础题 10 (5 分)已知集合 A1,2,3,4,5,6的所有三个元素的子集记为 B1,B2,B3, 第 10 页(共 22 页) Bn,nN*记 bi为集合 Bi中的最大元素,则 b1+b2+b3+bn( ) A45 B105 C150 D210 【分析】集合 M 含有 3 个元素的子集共有,所以 k20由此利用分类讨论思想能求 出 b1+b2+b3+b4+b5的值 【解答】解:集合 M 含有 3 个元素的子集共有20,所以 k20 在集合 Bi(i1,2,3,k)中: 最大元素为 3 的集合有1 个; 最大元素为 4 的集合有3; 最大元素为 5 的集合有6; 最大元素为 6 的

    19、集合有10; 所以 b1+b2+b3+b4+b531+43+56+610105 故选:B 【点评】本题考查集合中 k 个元素的和的求法,考查集合的子集等基础知识,考查函数 与方程思想,考查函数与方程思想,数列求和,是中档题 11 (5 分)关于圆周率 ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验 和查理斯实验受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值:先请全校 m 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对(x,y) ;再统计两数能与 1 构成钝角三形 三边的数对(x,y)的个数 a;最后再根据统计数 a 估计 的值,那么可以估计 的值 约为( ) A B C D 【分析

    20、】由不等式组中实数对(x,y)对应的平面区域, 分析两数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x,y)对应的区域面积, 利用几何概型公式列式求得 的解析式 【解答】解:根据题意知,m 名同学取 m 对都小于 l 的正实数对(x,y) ,即, 对应区域为边长为 1 的正方形,其面积为 1, 第 11 页(共 22 页) 若两个正实数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边,则有, 其面积 S; 则有, 解得 故选:D 【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题,涉及几何概率的计算问题,是基础题 12 (5 分)已知 (2sin,cos) , (cos,2cos) ,函数 f(x) 在区间0

    21、,上恰有 3 个极值点,则正实数 的取值范围为( ) A,) B (, C,) D (,2 【分析】化简函数 f(x)得,根据正弦函数的性质结合题意可 得,解出即可 【解答】解: , 令,解得, 令,解得, 又函数 f(x)在区间恰有 3 个极值点, ,解得 故选:B 【点评】本题考查平面向量的数量积,三角恒等变换,正弦型函数的图象及性质,考查 逻辑推理以及运算求解能力,属于中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 第 12 页(共 22 页) 13 (5 分)实数 x,y 满足,则 z2x+y 的最大值为 【分析】作出不等式

    22、组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,利用数形结合,即可得到 结论 【解答】解:作出可行域如图所示, 则当直线 z2x+y 过点 C 时直线的截距最大,z 取最大值 由, C(,) ,z 取最大值:2+ 故答案为: 【点评】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识,意在考查直观想象与数学运算 等数学核心素养利用数形结合是解决本题的关键 14 (5 分) 成都市某次高三统考, 成绩 X 经统计分析, 近似服从正态分布 XN (100, 2) , 且 P(86X100)0.15,若该市有 8000 人参考,则估计成都市该次统考中成绩 X 大 于 114 分的人数为 2800 【分析】直接利用正态

    23、分布的关系式求出概率的值,进一步利用比例的关系的应用求出 结果 【解答】解:根据正态分布 XN(100,2) ,且 P(86X100)0.15, 故 P(100X114)0.15, 第 13 页(共 22 页) 所以 P(X114) 故该市有 8000 人参考, 则估计成都市该次统考中成绩 X 大于 114 分的人数为 80000.35 2800 故答案为:2800 【点评】本题考查的知识要点:正态分布的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力,属于基础题型 15 (5 分)已知函数 f(x)x3+x+a,x,e与 g(x)3lnxx1 的图象上存在关 于 x 轴对称的点,则 a 的

    24、取值范围为 2,e32 【分析】根据题意,可以将原问题转化为方程 a1x33lnx 在区间,e上有解,构 造函数 g(x)x33lnx,利用导数分析 g(x)的最大最小值,可得 g(x)的值域,进 而分析可得方程 a1x33lnx 在区间,e上有解,必有 1a1e33,解可得 a 的取值范围,即可得答案 【解答】解:根据题意,若函数 f(x)x3+x+a(xe)与 g(x)3lnxx1 的图象上存在关于 x 轴对称的点, 则方程x3+x+a3lnx+x+1 在区间,e上有解, 即方程 a1x33lnx 在区间,e上有解, 设函数 g(x)x33lnx,其导数 g(x)3x2, 又由 x,e,可

    25、得:当x1 时,g(x)0,g(x)为减函数, 当 1xe 时,g(x)0,g(x)为增函数, 故函数 g(x)x33lnx 有最小值 g(1)1, 又由 g()+3,g(e)e33;比较可得:g()g(e) , 故函数 g(x)x33lnx 有最大值 g(e)e33, 故函数 g(x)x33lnx 在区间,e上的值域为1,e33; 若方程 a+1x33lnx 在区间,e上有解, 必有 1a1e33,则有 2ae32, 即 a 的取值范围是2,e32; 第 14 页(共 22 页) 故答案为:2,e32; 【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围;关键是将已知存在关于 x 轴对 称的点

    26、转化为方程方程 a1x33lnx 在区间,e上有解 16 (5 分)在四面体 ABCD 中,ABCD,ACBD,ADBC5,E,F 分 别是 AD,BC 的中点则下述结论: 四面体 ABCD 的体积为 20; 异面直线 AC,BD 所成角的正弦值为; 四面体 ABCD 外接球的表面积为 50; 若用一个与直线 EF 垂直,且与四面体的每个面都相交的平面 去截该四面体,由此 得到一个多边形截面,则该多边形截面面积最大值为 6 其中正确的有 (填写所有正确结论的编号) 【分析】补成长,宽,高分别为 3,4,5 的长方体,在长方体中可解决 【解答】解:补成长,宽,高分别为 3,4,5 的长方体,在长

    27、方体中: ,四面体 ABCD 的体积为 V345420,故正确 ,异面直线 AC,BD 所成角的正弦值等价于边长为 5,3 的矩形的对角线夹角正弦值, 可得正弦值为,故错; ,四面体 ABCD 外接球就是长方体的外接球,半径 R,其表面 积为 50,故正确; ,由于 EF,故截面为平行四边形 MNKL,可得 KL+KN5, 设异面直线 BC 与 AD 所成的角为 ,则 sinsinHFBsinLKN,算得 sin, S四边形MNKLNKKLsinNKL()26故正确 故答案为: 第 15 页(共 22 页) 【点评】本题考查空间图形中点、线、面的位置关系,截面面积的最大值等,用了割补 法,中档

    28、题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写岀文字说明、分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。题为选考题,考生根据要求作答。(一一)必考题:共必考题:共 60 分。分。 17 (12 分)某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间,对每个工人组装一个该产品的 用时作了记录,得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本, 得到如图所示的茎叶图(单位:分钟) 若用时不超过 40(分钟) ,则称这个工人为优秀 员工

    29、 (1)求这个样本数据的中位数和众数; (2)以这 9 个样本数据中优秀员工的频率作为概率,任意调查 4 名工人,求被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x 分布列和数学期望 【分析】 (1)根据茎叶图,求出即可; (2)被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x0,1,2,3,4,任取一名优秀员工的概率 为,故 xB(4,) ,求出分布列和数学期望 【解答】解: (1)中位数为 43,众数为 47; (2)被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x0,1,2,3,4, 任取一名优秀员工的概率为,故 xB(4,) , 第 16 页(共 22 页) P(xk),k0,1,2,3,4, x 的分布列如

    30、下: x 0 1 2 3 4 P 故 E(x) 【点评】本题考查茎叶图,考查二项分布求分布列和数学期望,基础题 18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的菱形,PAPC5,点 M,N 分别是 AB,PC 的中点 (1)求证:MN平面 PAD; (2)若 cosPCD,DAB60,求直线 AN 与平面 PAD 所成角的正弦值 【分析】 (1)取 PD 的中点 H,连接 NH,AH,利用三角形中位线定理、平行四边形的 判定与性质定理即可得出 MNAH,再利用线面平行的判定定理即可证明结论 (2)利用已知条件、勾股定理的逆定理,线面垂直的判定定理性质定理可得:P

    31、D平 面 ABCD,ACBD,建立空间直角坐标系 Oxyz设平面 PAD 的法向量为 (x,y, z) ,则 0,可得 ,即可得出 sin|cos, | 【解答】 (1)证明:取 PD 的中点 H,连接 NH,AH N 是 PC 的中点,NHDC,又 AMDC, NHAM,四边形 AMNH 是平行四边形 MNAH,又 MN平面 PAD,AH平面 PAD, MN平面 PAD 第 17 页(共 22 页) (2)解:PC5,DC4,cosPCD,PD3,PC2PD2+CD2,PDDC, 同理可得:PDAD,又 ADCDD,PD平面 ABCD 连接 AC,BD,设 ACBDO,则 ACBD,建立空间

    32、直角坐标系 Oxyz A(2,0,0) ,C(2,0,0) ,D(0,2,0) ,P(0,2,3) ,N(, 1,) ,(3,1,) ,(2,2,0) ,(0,0,3) 设平面 PAD 的法向量为 (x,y,z) , 则 0,则2x2y0,3z0,取 (1,0) sin|cos, | 直线 AN 与平面 PAD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、平行四边形的判定与性质定理,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题 19 (12 分)已知数列an满足对任意 nN*都有 2an+1an+an+2,其前 n 项和为 Sn,且 S7 49,a3是 a1与 a13的等比中项,a1a

    33、2 (1)求数列an的通项公式 an; (2)已知数列bn满足 bn2,cnanbn,设数列cn的前 n 项和为 Tn,求 大于 1000 的最小的正整数 n 的值 【分析】 (1)由任意 nN*都有 2an+1an+an+2可得数列an是等差数列,再利用等差数 列的通项公式和前 n 项和公式即可求解; ( 2 ) 由 题 意 可 知 , 利 用 错 位 相 减 法 求 得 第 18 页(共 22 页) ,由1000 得,22n+21000,解得 n4,所以满足条 件的最小的正整数 n 的值为 4 【解答】解: (1)任意 nN*都有 2an+1an+an+2, 数列an是等差数列, S749

    34、,7a449,a47, 又a3是 a1与 a13的等比中项,a1a2,设数列an的公差为 d,且 d0, 则(7d)2(73d) (7+9d) ,解得 d2, a173d1, an1+2(n1)2n1; (2)由题意可知, , , 得:, , 4n+122n+2, 由1000 得,22n+21000, 2n+210, n4, 满足条件的最小的正整数 n 的值为 4 【点评】本题主要考查了等差数列的性质,考查了错位相减法数列求和,是中档题 20 (12 分)已知点 P(1,) , (x1,y) , (x+1,y) ,且| |+| |4,满足条件 的点 Q(x,y)的轨迹为曲线 C (1)求曲线

    35、C 的方程; (2)是否存在过点(0,1)的直线 l,直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,直线 PA, PB 与 y 轴分别交于 M, N 两点, 使得|PM|PN|?若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在, 请说明理由 【分析】 (1)设 F1(1,0) ,F2(1,0) ,由向量的模和两点的距离公式,结合椭圆的 第 19 页(共 22 页) 定义可得 c1,a2,求得 b,进而得到所求曲线的方程; (2)假设存在这样的直线符合题意讨论直线 l 的斜率不存在,检验不成立;当直线 l 的斜率存在时,设方程为 ykx1,A(x1,kx11) ,B(x2,kx21) ,由|PM|PN|

    36、, 可得 kPA+kPB0,运用直线的斜率公式,化简整理,再联立直线方程和椭圆方程,运用 韦达定理,解 k 的方程,可得所求斜率,可判断存在直线 l 【解答】解: (1)设 F1(1,0) ,F2(1,0) , 由 (x1,y) , (x+1,y) ,| |+| |4, 可得+4,即为|QF1|+|QF2|4, 由 4|F1F2|,可得 Q 的轨迹是以 F1(1,0) ,F2(1,0)为焦点,且 2a4 的椭圆, 由 c1,a2,可得 b,可得曲线 C 的方程为+1; (2)假设存在过点(0,1)的直线 l 符合题意 当直线 l 的斜率不存在,设方程为 x0,可得 M,N 为短轴的两个端点,

    37、|PM|PN|不成立; 当直线 l 的斜率存在时,设方程为 ykx1,A(x1,kx11) ,B(x2,kx21) , 由|PM|PN|,可得 kPM+kPN0,即 kPA+kPB0, 可得+0,化为 2kx1x2(k+) (x1+x2)+50, 由可得(3+4k2)x28kx80, 由(0,1)在椭圆内,可得直线 l 与椭圆相交, x1+x2,x1x2, 则 2k()(k+) ()+50, 化为16k8k(k+)+5(3+4k2)0,即为 4k212k+50,解得 k或 k, 所以存在直线 l 符合题意,且方程为 yx1 或 yx1 【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质,考查直线方程和椭圆

    38、方程联立,运用韦达 定理,以及直线的斜率公式,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)ln(x+1)ax1a(aR) 第 20 页(共 22 页) (1)若 f(x)0 对任意 x1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)求证:ln(x+1)+xex 1x+10 【分析】 (1)分离变量可得对任意 x1 恒成立,构造新函数利用导 数即可求得实数 a 的取值范围; (2)由(1)知,ln(x+1)+x0,则问题转化证明ln(x+1)+x+xex 12x+10, 即证 h(x)xex 12x+1(x1)大于等于 0 即可 【解答】解: (1)问题等价于对任意

    39、x1 恒成立, 令 tx+1(x1) ,则 t0, 令,则, g(t)在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数, g(t)有最小值 g(1)1, a1; (2)由(1)知,ln(x+1)+x0,要证ln(x+1)+xex 1x+10,即证ln(x+1) +x+xex 12x+10, 令 h(x)xex 12x+1(x1) ,h(x)(x+1)ex12,h(x)(x+2)ex1 0, h(x)在(1,+)是增函数, 又 h(1)0, h(x)在(1,1)是减函数,在(1,+)是增函数, h(x)h(1)0,即 xex 12x+10, ln(x+1)+x+xex 12x+10,即得证 【点评

    40、】本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题,考查不等式的 证明,考查推理论证能力,属于中档题 (二二)选考题:共选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一则按所做的第一 题计分。题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数,以坐 标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线 C2的极坐 标方程为 4cos 第 21 页(共 22 页) (1)求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C

    41、2的普通方程; (2)设射线 OP:与曲线 C1交于不同于极点的点 A,与曲线 C2交于不同于极点 的点 B,求线段 AB 的长 【分析】 (1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 (2)利用极径的应用求出结果 【解答】解: (1)曲线 C1的参数方程为( 为参数,转换为直角坐标方 程为 x2+(y2)24 曲线 C2的极坐标方程为 4cos转换为直角坐标方程为(x2)2+y24 (2)设射线 OP:与曲线 C1交于不同于极点的点 A, 所以,解得 12 与曲线 C2交于不同于极点的点 B, 所以,解得, 所以 【点评】本题考查的知识要点:参数方程、极坐标

    42、方程和直角坐标方程之间的转换,极 径的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分分) 23设函数 f(x)|x+a|+|x1|(aR) (1)当 a1 时,求不等式 f(x)4 的解集; (2)若对任意 xR 都有 f(x)2,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)原不等式即为|x+1|+|x1|4,由绝对值的意义,去绝对值,解不等式,求 并集,可得所求解集; (2)由题意可得 f(x)min2,运用绝对值不等式的性质可得 f(x)的最小值,由绝对 值不等式的解法可得所求范围 【解答】解: (1)当 a1 时,不等式 f(x)4 即为|x+1|+|x1|4, 可得或或, 第 22 页(共 22 页) 解得 x2 或 x或 x2, 则原不等式的解集为(,22,+) ; (2)若对任意 xR 都有 f(x)2, 即为 f(x)min2, 由|x+a|+|x1|x+ax+1|a+1|,当(x+a) (x1)0 取得等号, 则 f(x)min|a+1|,由|a+1|2,可得 a1 或 a3, 则 a 的取值范围是(,31,+) 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法,考查分类讨论思想和 转化思想,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题


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