1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 1截止 2020 年 4 月 24 日，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者累计确诊达到 274 万人，将 数据 274 万用科学记数表示为（ ） A2.74102 B2.74105 C2.74106 D2.74107 2下列各式中正确的是（ ） A| B5 C2 D 3如图是由 3 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 4已知，则 a+b 等于（ ） A3 B C2 D1 5在“新冠肺炎”疫情中，某班 15 名同学积极捐款，捐款情况如下表，下列说法正确的是 （ ） 捐款数额（元） 10 20 30 50 1
2、00 人数 2 4 5 3 1 A众数是 100 元 B中位数是 30 元 C极差是 20 元 D平均数是 30 元 6“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨 季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这一 任务设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A B C D 7如图，两条直线 l1l2，RtACB 中，C90，ACBC，顶点 A、B 分别在 l1和 l2 上，120，则2 的度数是（ ） A45 B55 C65 D75 8均匀地向一个容器注水，最后将容器注满在注水过程中，水
3、的高度 h 随时间 t 的变化 规律如图所示，这个容器的形状可能是（ ） A B C D 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）. 9分解因式：x3x 10计算：（） 2+| 2| 11七年级某班有 50 名同学，其中男生 28 名，女生 22 名，从中随机选出一名学生做明天 的英语值日报告，选中女生的概率是 12某品牌的衬衣每件进价是 80 元，售价为 120 元，“五 一”期间搞活动打 9 折，则销 售 1 件衬衣的利润是 元 13若线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 A（2，3）的对应点为 C（3，6），则点 B （5，2）的对应点 D 的坐标是 14关于
4、x 的一元二次方程（k+1）x22x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是 15如图，已知反比例函数 y （k 为常数，k0）的图象经过点 A，过 A 点作 ABx 轴， 垂足为 B若AOB 的面积为 1，则 k 16如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，AB2，则图中阴影部分的面积为 三、解答题（本题共有 6 个小题，每小题 0 分，共 36 分） 17先化简，再求值：（），其中 a 18解不等式组 19在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A（3，3），B（1，3），C（1， 1） （1）画出ABC，并画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1 （2）以 O 为位似中心，在第一象限内
5、把ABC 扩大到原来的两倍，得到A2B2C2 20为了解学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等 5 项体育活动的喜欢程度，某校 随机抽查部分学生，对他们最喜欢的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，并将 统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图： 请解答下列问题： （1）m %，这次共抽取了 名学生进行调查；请补全条形统计图； （2）若全校有 800 名学生，则该校约有多少名学生喜爱打篮球？ （3）学校准备从喜欢跳绳活动的 4 人（二男二女）中随机选取 2 人进行体能测试，求抽 到一男一女学生的概率是多少？ 21如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BABC，BD 平分ABC （1）求证：
6、四边形 ABCD 是菱形； （2）过点 D 作 DEBD，交 BC 的延长线于点 E，若 BC5，BD8，求四边形 ABED 的周长 22为“创建文明城市，构建和谐社会”，更好的提高垃圾分类意识，某小区决定安装垃圾 分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 3 个温馨提示牌和 4 个垃圾箱共需 580 元，购买 5 个温馨提示牌和 2 个垃圾箱共需 500 元 （1）购买 1 个温馨提示牌和 1 个垃圾箱各需多少元？ （2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，费用不超过 8000 元，问：最多购买 垃圾箱多少个？ 四、解答题（本题共 4 道题，其中 23、24 题每题 8 分，25、26 题
7、每题 10 分，共 36 分） 23如图，ABC 内接于O，B60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上一点， 且 APAC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 PD1，求O 的直径 24随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化 宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共 享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为 x（单位：千米），乘坐地铁的时间 y1 （单位：分钟）是关于 x 的一次函数，其关系如下表： 地铁站 A B C D E x（千米） 8 9 10 11.5 13 y1（分钟） 18 2
8、0 22 25 28 （1）求 y1关于 x 的函数表达式； （2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受 x 的影响，其关系可以用 y2x211x+78 来描述， 请问： 李华应选择在那一站出地铁， 才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？ 并求出最短时间 25如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且关于直 线 x1 对称，点 A 的坐标为（1，0） （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，若点 P 在 y 轴上时，BP 和 BC 的夹角为 15，求线段 CP 的长度 26 如图在ABC 中， C90， AC3cm， BC4cm， 点 P
9、 是边 BC 上由 B 向 C 运动 （不 与点 B、C 重合）的一动点，P 点的速度是 1cm/s，设点 P 的运动时间为 t，过 P 点作 AC 的平行线交 AB 与点 N，连接 AP， （1）请用含有 t 的代数式表示线段 AN 和线段 PN 的长， （2）当 t 为何值时，APN 的面积等于ACP 面积的三分之一？ （3）在点 P 的运动过程中，是否存在某一时刻的 t 的值，使得APN 的面积有最大值， 若存在请求出 t 的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由 参考答案 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中只有一个是 符合题目要求的）
10、1截止 2020 年 4 月 24 日，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者累计确诊达到 274 万人，将 数据 274 万用科学记数表示为（ ） A2.74102 B2.74105 C2.74106 D2.74107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将数据 274 万用科学记数表示为 2.74106 故选：C 2下列各式中正确的是（ ） A| B5 C2 D 【分析】直接利用二次根式的
11、性质以及绝对值的性质分别化简得出答案 解：A、|，故此选项错误； B、5，故此选项错误； C、2，故此选项错误； D、，正确 故选：D 3如图是由 3 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】 根据左视图就是从物体的左边进行观察， 得出左视图有 1 列， 小正方形数目为 2 解：如图所示：它的左视图是： 故选：D 4已知，则 a+b 等于（ ） A3 B C2 D1 【分析】+得出 4a+4b12，方程的两边都除以 4 即可得出答案 解：， +得：4a+4b12， a+b3 故选：A 5在“新冠肺炎”疫情中，某班 15 名同学积极捐款，捐款情况如下表，下列
12、说法正确的是 （ ） 捐款数额（元） 10 20 30 50 100 人数 2 4 5 3 1 A众数是 100 元 B中位数是 30 元 C极差是 20 元 D平均数是 30 元 【分析】根据中位数、众数和极差的概念及平均数的计算公式，分别求出这组数据的中 位数、平均数、众数和极差，得到正确结论 解： A 该组数据中出现次数最多的数是 30， 故众数是 30 不是 100， 所以选项 A 不正确； B该组共有 15 个数据，其中第 8 个数据是 30，故中位数是 30，所以选项 B 正确； C该组数据的极差是 1001090，故极差是 90 不是 20，所以选项 C 不正确； D该组数据的平
13、均数是，不是 30，所以选 项 D 不正确 故选：B 6“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨 季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这一 任务设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A B C D 【分析】设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，根据工作时间工作总量工作效率 结合提前 30 天完成任务，即可得出关于 x 的分式方程 解：设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，则实际工作每天绿化的面积为（1+25%）x 万平方米， 依题意得： 故选：A 7如图，两条直线 l1l
14、2，RtACB 中，C90，ACBC，顶点 A、B 分别在 l1和 l2 上，120，则2 的度数是（ ） A45 B55 C65 D75 【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可 解：l1l2， 1+CAB2， RtACB 中，C90，ACBC， CAB45， 220+4565， 故选：C 8均匀地向一个容器注水，最后将容器注满在注水过程中，水的高度 h 随时间 t 的变化 规律如图所示，这个容器的形状可能是（ ） A B C D 【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的 粗细，作出判断 解：注水量一定，从图中可以看出，OA 上升较快，AB
15、上升较慢，BC 上升最快， 由此可知这个容器下面容积较大，中间容积最大，上面容积最小， 故选：D 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）. 9分解因式：x3x x（x+1）（x1） 【分析】本题可先提公因式 x，分解成 x（x21），而 x21 可利用平方差公式分解 解：x3x， x（x21）， x（x+1）（x1） 故答案为：x（x+1）（x1） 10计算：（） 2+| 2| 11 【分析】先计算负整数指数幂、去绝对值符号，再计算加减可得 解：原式9+2 11， 故答案为：11 11七年级某班有 50 名同学，其中男生 28 名，女生 22 名，从中随机选出一名学生做明
16、天 的英语值日报告，选中女生的概率是 【分析】根据概率公式计算可得 解：从 50 名学生中抽 1 人， 选中女生的概率是， 故答案为 12某品牌的衬衣每件进价是 80 元，售价为 120 元，“五 一”期间搞活动打 9 折，则销 售 1 件衬衣的利润是 28 元 【分析】设销售 1 件衬衣的利润为 x 元，根据进价+利润现售价，即可得出关于 x 的一 元一次方程，解之即可得出结论 解：设销售 1 件衬衣的利润为 x 元， 依题意，得：80+x1200.9， 解得：x28 故答案为：28 13若线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 A（2，3）的对应点为 C（3，6），则点 B （5，2）
17、的对应点 D 的坐标是 （0，1） 【分析】根据点 A（2，3）的对应点为 C（3，6），可知横坐标由2 变为 3，向右移 动了 5 个单位，3 变为 6，表示向上移动了 3 个单位，以此规律可得 D 的对应点的坐标 解：点 A（2，3）的对应点为 C（3，6），可知横坐标由2 变为 3，向右移动了 5 个 单位，3 变为 6，表示向上移动了 3 个单位， 于是 B（5，2）的对应点 D 的横坐标为5+50，点 D 的纵坐标为2+31， 故 D（0，1） 故答案为：（0，1） 14关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是 k0 且 k1 【分析】 根
18、据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k+10 且 （2） 24 （k+1） 0，然后求出两个不等式的公共部分即可 解：根据题意得 k+10 且（2）24（k+1）0， 解得 k0 且 k1 故答案为 k0 且 k1 15如图，已知反比例函数 y （k 为常数，k0）的图象经过点 A，过 A 点作 ABx 轴， 垂足为 B若AOB 的面积为 1，则 k 2 【分析】根据反比例函数的性质可以得到AOB 的面积等于|k|的一半，由此可以得到它 们的关系 解：依据比例系数 k 的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|1，解得 k2， 故答案为：2 16如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，AB
19、2，则图中阴影部分的面积为 2 【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化 为扇形面积求解即可 解：如图，连接 BO，FO，OA 由题意得，OAF，AOB 都是等边三角形， AOFOAB60， ABOF， OAB 的面积ABF 的面积， 六边形 ABCDEF 是正六边形， AFAB， 图中阴影部分的面积等于扇形 OAB 的面积332， 故答案为：2 三、解答题（本题共有 6 个小题，每小题 0 分，共 36 分） 17先化简，再求值：（），其中 a 【分析】先对通分，再对 a21 因式分解，进行化简求值 解：（） 原式 18解不等式组 【分析】先分别解两个不等
20、式得到 x2 和 x2，然后根据“大小小大中间找”确定不 等式组的解集 解：， 解得 x2， 解得 x2， 所以不等式组的解集为2x2 19在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A（3，3），B（1，3），C（1， 1） （1）画出ABC，并画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1 （2）以 O 为位似中心，在第一象限内把ABC 扩大到原来的两倍，得到A2B2C2 【分析】（1）根据关于 x 轴对称点的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）把 A、B、C 点的横纵坐标都乘以 2 得到 A2、B2、C2的坐标，然后描点即可 解：（1）如图，ABC 和A1B1C1为所作；
21、（2）如图，A2B2C2为所作 20为了解学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等 5 项体育活动的喜欢程度，某校 随机抽查部分学生，对他们最喜欢的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，并将 统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图： 请解答下列问题： （1）m 20 %，这次共抽取了 50 名学生进行调查；请补全条形统计图； （2）若全校有 800 名学生，则该校约有多少名学生喜爱打篮球？ （3）学校准备从喜欢跳绳活动的 4 人（二男二女）中随机选取 2 人进行体能测试，求抽 到一男一女学生的概率是多少？ 【分析】（1）由扇形统计图的知识，可求得 m 的值，继而求得抽取了的学生数，则可补 全
22、条形统计图； （2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到一男一女学 生的情况，再利用概率公式即可求得答案 解：（1）m%114%8%24%34%20%， m20， 喜欢跳绳的占 8%，有 4 人， 48%50（名）， 共抽取了 50 名学生； 故答案为：20，50； 喜欢乒乓球的：5020%10（名）， 条形统计图如图所示； （2）80024%192， 该校约有 192 名学生喜爱打篮球； （3）画树状图得： 可能的情况一共有 12 种，抽到“一男一女”学生的情况有 8 种， 抽到“一男一女”学生的概率是： 21如图，在四
23、边形 ABCD 中，ADBC，BABC，BD 平分ABC （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）过点 D 作 DEBD，交 BC 的延长线于点 E，若 BC5，BD8，求四边形 ABED 的周长 【分析】（1）根据平行线的性质得到ADBCBD，根据角平分线定义得到ABD CBD，等量代换得到ADBABD，根据等腰三角形的判定定理得到 ADAB，根据 菱形的判定即可得到结论； （2）由垂直的定义得到BDE90，等量代换得到CDEE，根据等腰三角形的 判定得到 CDCEBC，根据勾股定理得到 DE6，于是得到结论 【解答】（1）证明：ADBC， ADBCBD， BD 平分ABC， ABDC
24、BD， ADBABD， ADAB， BABC， ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， BABC， 四边形 ABCD 是菱形； （2）解：DEBD， BDE90， DBC+EBDC+CDE90， CBCD， DBCBDC， CDEE， CDCEBC， BE2BC10， BD8， DE6， 四边形 ABCD 是菱形， ADABBC5， 四边形 ABED 的周长AD+AB+BE+DE26 22为“创建文明城市，构建和谐社会”，更好的提高垃圾分类意识，某小区决定安装垃圾 分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 3 个温馨提示牌和 4 个垃圾箱共需 580 元，购买 5 个温馨提示牌和 2 个垃圾箱共
25、需 500 元 （1）购买 1 个温馨提示牌和 1 个垃圾箱各需多少元？ （2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，费用不超过 8000 元，问：最多购买 垃圾箱多少个？ 【分析】（1）根据题意可得方程组，根据解方程组，可得答案； （2）根据费用不超过 8000 元，可得不等式，根据解不等式，可得答案 解：（1）设购买 1 个温馨提示牌需要 x 元，购买 1 个垃圾箱需要 y 元，依题意得， ， 解得：， 所以，购买 1 个温馨提示牌需要 60 元，购买 1 个垃圾箱需要 100 元； （2）设购买垃圾箱 m 个，则购买温馨提示牌（100m）个，依题意得： 60（100m）+100m
26、8000， 解得 m50， 答：最多购买垃圾箱 50 个 四、解答题（本题共 4 道题，其中 23、24 题每题 8 分，25、26 题每题 10 分，共 36 分） 23如图，ABC 内接于O，B60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上一点， 且 APAC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 PD1，求O 的直径 【分析】（1）连接 OA，根据圆周角定理首先求得AOC 的度数，然后根据等腰三角形 的性质求得OAP90，从而求解； （2）根据直角三角形的性质，直角三角形中 30所对的边等于斜边的一半，即可求解 【解答】（1）证明：连接 OA， B60， AOC2B120，
27、又OAOC， OACOCA30， 又APAC， PACP30， OAPAOCP90， OAPA， PA 是O 的切线 （2）设该圆的半径为 x 在 RtOAP 中，P30， PO2OAOD+PD，又OAOD， 1+x2x， 解得：x1 OAPD1， 所以O 的直径为 2 24随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化 宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共 享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为 x（单位：千米），乘坐地铁的时间 y1 （单位：分钟）是关于 x 的一次函数，其关系如下表： 地铁站 A B C D
28、 E x（千米） 8 9 10 11.5 13 y1（分钟） 18 20 22 25 28 （1）求 y1关于 x 的函数表达式； （2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受 x 的影响，其关系可以用 y2x211x+78 来描述， 请问： 李华应选择在那一站出地铁， 才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？ 并求出最短时间 【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得 y1关于 x 的函数表达式； （2）设李华从文化宫回到家所需的时间为 y，则 yy1+y2x29x+80，根据二次函数 的性质，即可得出最短时间 解：（1）设 y1kx+b，将（8，18），（9，20），代入得： ，
29、解得：， 故 y1关于 x 的函数表达式为：y12x+2； （2）设李华从文化宫回到家所需的时间为 y，则 yy1+y22x+2+x211x+78x29x+80， 当 x9 时，y 有最小值，ymin39.5， 答：李华应选择在 B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为 39.5 分钟 25如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且关于直 线 x1 对称，点 A 的坐标为（1，0） （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，若点 P 在 y 轴上时，BP 和 BC 的夹角为 15，求线段 CP 的长度 【分析】（1）
30、二次函数的对称轴是直线 x1，则1，故 b2，将 A（1， 0）代入 yx22x+c 中，即可求解； （2）分点 P 在点 C 上方 P1的位置、点 P 在点 C 下方 P2的位置两种情况，分别求解即 可 解：（1）二次函数的对称轴是直线 x1， 1， b2 将 A（1，0）代入 yx22x+c 中，解得 c3 二次函数的表达式为 yx22x3； （2）A（1，0），对称轴是直线 x1， B（3，0） 又当 x0 时，y3， C（0，3）， OBOC， OBC45 如图，当点 P 在点 C 上方 P1的位置时， P1BC15， P1BO30 在 RtP1BO 中，OP1OBtan30 ， CP
31、13； 当点 P 在点 C 下方 P2的位置时， P2BC15， P2BO60 在 RtP2BO 中，OP2OBtan 603 ， CP233 综上，线段 CP 的长度为 3或 33 26 如图在ABC 中， C90， AC3cm， BC4cm， 点 P 是边 BC 上由 B 向 C 运动 （不 与点 B、C 重合）的一动点，P 点的速度是 1cm/s，设点 P 的运动时间为 t，过 P 点作 AC 的平行线交 AB 与点 N，连接 AP， （1）请用含有 t 的代数式表示线段 AN 和线段 PN 的长， （2）当 t 为何值时，APN 的面积等于ACP 面积的三分之一？ （3）在点 P 的运
32、动过程中，是否存在某一时刻的 t 的值，使得APN 的面积有最大值， 若存在请求出 t 的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由 【分析】（1）利用勾股定理求出 AB，再利用平行线分线段成比例定理，求出 PN、BN 即可解决问题； （2）由题意： PN PC PC AC，推出 AC3PN，由此构建方程即可解决 问题； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 解：（1）在 RtABC 中，C90，AC3cm，BC4cm， AB5（cm）， PNAC，PBt， ， ， BNt，PNt， ANABBN5t （2）由题意： PN PC PC AC， AC3PN， 33t， t， 当 t 为s 时，APN 的面积等于ACP 面积的三分之一 （3）由题意：SAPN PN PCt（4t） （t2）2+， 0， t2 时，PAN 的面积最大，最大值为
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