1、已知全集 UR，集合 Ax|0x2，Bx|x2x0，则图中的阴影部分表 示的集合为（ ） A （，1（2，+） B （，0）（1，2） C1，2） D （1，2 2 （5 分）设，则（ ） A1i B1+i C1i D1+i 3 （5 分）已知数列an为等差数列，Sn为其前 n 项和，2+a5a6+a3，则 2S7（ ） A2 B7 C14 D28 4 （5 分）已知，则 sin2（ ） A B C D 5（5 分） 已知函数 f （x） 满足： 对任意 x1、 x2 （0， +） 且 x1x2， 都有； 对定义域内的任意 x，都有 f（x）f（x）0，则符合上述条件的函数是（ ） Af（x）
2、x2+|x|+1 B Cf（x）ln|x+1| Df（x）cosx 6 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（3x）f（3+x） ，且函数 f（x）在（0，3） 上为单调递减函数，若，则下面结论正确的是（ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（c）f（a）f（b） Cf（c）f（b）f（a） Df（a）f（c）f（b） 7 （5 分）已知 a0，b0，若不等式恒成立，则 n 的最大值为（ ） A9 B12 C16 D20 8 （5 分）函数 y3cosxe|x|的图象可能是（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 9 （ 5分 ） 在 由 正 数 组 成 的 等 比
3、数 列 an 中 ， 若， 则 的值为（ ） A B C D 10 （5 分）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边形 ABCDEFGH，其中|OA|1，则给出下列结论： ；|在向量上的投影 为 其中正确结论的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）且 f（x+2）f（x） 若 方程 f（x）kx20 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 第 3 页（共 22 页） 12 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+）上递减，若不等式 2f（ax+lnx+1
4、） +f（axlnx1）3f（1）对 x1，3恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A2，e B，+） C，e D， 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）已知函数 f（x）lnx 与直线 yax 相切，则 a 的取值是 14 （5 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题： “今有垣厚若干尺， 两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿 几何？”题意是： “有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加 倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半
5、”如果一墙厚 10 尺，请问两只老鼠最少在 第 天相遇 15 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0）满足，f（）0，且 f（x） 在区间上单调，则 的值有 个 16 （5 分）已知函数 f（x）x22x+3a，g（x）若对x10，3，总x22，3， 使得 f（x1）g（x2）成立，则实数 a 的取值集合为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题个小题，共，共 70 分 ）分 ） 17 （10 分）已知数列an中，an+1an2 且 a1+a2+a39， （1）求an的通项公式； （2）求的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD
6、C90，CDAB，AB2，ADCD 1，将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示 （1）求证：BC平面 ACD； （2）求二面角 DABC 的正弦值 19 （12 分）已知函数 第 4 页（共 22 页） （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，b1，c，且 ab，试求角 B 和角 C 20 （12 分） 中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定：机动车行经人行横道 时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线” ， 中 华人民共和国道路交通安全
7、法第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚 （）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人，调查驾驶员不“礼让 斑马线”行为与驾龄的关系，得到如表列联表：能否据此判断有 97.5%的把握认为“礼 让斑马线”行为与驾龄有关？ 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过 1 年 22 8 30 驾龄 1 年以上 8 12 20 合计 30 20 50 （）如图是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为 的折线图： 请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程，并 预测该路口 7 月份的不“礼
8、让斑马线”违章驾驶员人数 附注：参考数据：， 第 5 页（共 22 页） 参考公式： ， ，（其 中 na+b+c+d） P（K2k） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分） 已知椭圆的左、 右焦点为 F1、 F2， 若圆 Q 方程，且圆心 Q 满足|QF1|+|QF2|2a （）求椭圆 C1的方程； （）过点 P（0，1）的直线 l1：ykx+1 交椭圆 C1于 A、B 两点，过 P 与 l1垂直的直 线 l2交圆 Q 于 C、D 两点，M
9、 为线段 CD 中点，若MAB 的面积为，求 k 的值 22 （12 分）已知函数 f（x）axlnx1（aR） （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 a0，令 g（x）f（tx+1）+，若 x1，x2是 g（x）的两个极值点，且 g（x1） +g（x2）0，求正实数 t 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年四川省成都市新都区高三（上）学年四川省成都市新都区高三（上）10 月诊断数学试月诊断数学试 卷（理科）卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。每小
10、题有且只有一个正确选项。 ）分。每小题有且只有一个正确选项。 ） 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|0x2，Bx|x2x0，则图中的阴影部分表 示的集合为（ ） A （，1（2，+） B （，0）（1，2） C1，2） D （1，2 【分析】先求出集合 B，再求集合 A 与集合 B 的交集即可 【解答】解：阴影部分表示的是 AB，集合 Bx|x0 或 x1， AB（1，2 故选：D 【点评】本题主要考查集合的交集运算，考查 Venn 图表示集合，考查识图能力，属于基 础题 2 （5 分）设，则（ ） A1i B1+i C1i D1+i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案
11、【解答】解：， 则i+11i 故选：C 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3 （5 分）已知数列an为等差数列，Sn为其前 n 项和，2+a5a6+a3，则 2S7（ ） A2 B7 C14 D28 【分析】由 2+a5a6+a3，求出 a4，进而可得 2S7的值 【解答】解：依题意，a6+a3a5+a42+a5， a42， 第 7 页（共 22 页） 2S7214a428， 故选：D 【点评】本题考查了等差中项的性质，考查了等差数列的前 n 项和，主要考查计算能力， 属于基础题 4 （5 分）已知，则 sin2（ ） A B C D 【分析】由题意利用二
12、倍角的正弦公式，求得 sin2 的值 【解答】解：已知，平方可得 1+2sincos1+sin2， 则 sin2， 故选：A 【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题 5（5 分） 已知函数 f （x） 满足： 对任意 x1、 x2 （0， +） 且 x1x2， 都有； 对定义域内的任意 x，都有 f（x）f（x）0，则符合上述条件的函数是（ ） Af（x）x2+|x|+1 B Cf（x）ln|x+1| Df（x）cosx 【分析】根据题意，分析可得 f（x）在（0，+）上为减函数，且是偶函数，据此分析 选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（
13、x）满足：对任意 x1、x2（0，+）且 x1x2，都有 ；对定义域内的任意 x，都有 f（x）f（x）0， 则 f（x）在（0，+）上为减函数，且是偶函数； 据此分析选项： 对于 A，f（x）x2+|x|+1，是偶函数，但在区间（0，+）为增函 数，不符合题意； 第 8 页（共 22 页） 对于 B，f（x）（）|x|，为偶函数，且在区间（0，+）上为减函 数，符合题意； 对于 C，f（x）ln|x+1|，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于 D，f（x）cosx，为余弦函数，是偶函数，但在区间（0，+）不是奇函数，不符 合题意； 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，注意分析
14、函数的奇偶性，属于基础题 6 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（3x）f（3+x） ，且函数 f（x）在（0，3） 上为单调递减函数，若，则下面结论正确的是（ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（c）f（a）f（b） Cf（c）f（b）f（a） Df（a）f（c）f（b） 【分析】根据题意，分析可得函数 f（x）的图象关于直线 x3 对称，据此可得 f（c） f（2） ，又由 01log232，结合函数的单调性分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（3x）f（3+x） ，即函数 f（x）的图象关于 直线 x3 对称， 又由 celn44，则 f（c）f
15、（4）f（2） ， 又由 01log232，且函数 f（x）在（0，3）上为单调递减函数， 则有 f（c）f（b）f（a） ； 故选：C 【点评】本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意分析函数的对称轴，属于基础 题 7 （5 分）已知 a0，b0，若不等式恒成立，则 n 的最大值为（ ） A9 B12 C16 D20 【分析】不等式恒成立，n（a+3b） （+）的最小值，利用不等式 的基本性质求出即可 【解答】解：a0，b0，若不等式恒成立n（a+3b） （+）的最 第 9 页（共 22 页） 小值， a0，b0， （a+3b） （+）6+ 6+212，当且仅当 a3b 时取等号 n12，
16、即 n 的最大值为 12 故选：B 【点评】本题考查不等式恒成立，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键 8 （5 分）函数 y3cosxe|x|的图象可能是（ ） A B C D 【分析】由题意，可根据 x0 时，函数值为 2，以及通过求导研究出函数在（0，+） 上是减函数，选出正确选项 【解答】解：函数 y3cosxe|x|是一个偶函数，且当 x0 时，函数值为 2，故可排除 C， 又当 x0 时，y3sinxex0，即函数在（0，+）上是减函数，由此排除 AD， 故选：B 【点评】本题考查函数图象的识别，识别方法主要是函数的性质以及特殊值这些特征， 此类题是高考的热点题，要注意总结解答规律
17、方法 9 （ 5分 ） 在 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 an 中 ， 若， 则 的值为（ ） A B C D 【分析】根据等比中项的性质，求出 a4，进而将+转化为 a4 第 10 页（共 22 页） 求解即可 【解答】解：依题意，所以 a4， sin sinsin2sin（） 故选：D 【点评】本题考查了等比中项的性质，考查了对数运算和三角函数的求值，主要考查计 算能力，属于基础题 10 （5 分）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边形 ABCDEFGH，其中|OA|1，则给出下列结论： ；|在向量上的投影 为 其中正确结论的个数
18、为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果 【解答】解：图 2 中的正八边形 ABCDEFGH，其中|OA|1， 对于；故正确 对于，故错误 对于，所以| 不成立故错误 对于在向量上的投影为，故正确 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学 第 11 页（共 22 页） 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）且 f（x+2）f（x） 若 方程 f（x）kx20 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】
19、作函数 f（x）与 g（x）kx+2 的图象，求直线 l，m， n，q 的斜率，从而求实数 k 的取值范围 【解答】解：作函数 f（x）与 g（x）kx+2 的图象如下， ， 直线 g（x）kx+2 恒过点（0，2） ， kl， km1， kn1， kq， 结合图象可知， 实数 k 的取值范围是， 故选：C 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及直线的斜率与应用，熟练作图是关键，属于 第 12 页（共 22 页） 中档题 12 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+）上递减，若不等式 2f（ax+lnx+1） +f（axlnx1）3f（1）对 x1，3恒成立，则实数 a 的取值
20、范围是（ ） A2，e B，+） C，e D， 【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得 0axlnx2 对 x1，3恒成立即 a且 a对 x1，3恒成立求得相应的最大值和最小值，从而求得 a 的范 围 【解答】解：定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+）上递减，f（x）在（，0） 上单调递增， 若不等式 2f（ax+lnx+1）+f（axlnx1）3f（1）对 x1，3恒成立， 即 f（axlnx1）f（1）对 x1，3恒成立 1axlnx11 对 x1，3恒成立， 即 0axlnx2 对 x1，3恒成立， 即 a且 a对 x1，3恒成立 令 g（x），则 g（x），在1，e）上递增，
21、 （e，3上递减，g（x） max 令 h（x），h（x）0，在1，3上递减，h（x）min 综上所述，a， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了 转化的数学思想，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）已知函数 f（x）lnx 与直线 yax 相切，则 a 的取值是 【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由切点处的导数等于 a 及切点处的函数 值相等列式求解 【解答】解：由 f（x）lnx，得 f（x）， 第 13 页（共 22 页） 设切点
22、为 P（x0，lnx0） ，则， ，解得 x0e，a 故答案为： 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题 14 （5 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题： “今有垣厚若干尺， 两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿 几何？”题意是： “有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加 倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”如果一墙厚 10 尺，请问两只老鼠最少在 第 4 天相遇 【分析】由题意，根据等比数列的前 n 项和，可将 n 天后两只老鼠打洞之和表示为 n 的 形式，由墙厚 10
23、 尺求出结果 【解答】解：依题意，n 天后两只老鼠打洞之和： Sn+2n+1， 墙厚 10 尺， 2n+110， 解得 n4 故答案为：4 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和，考查了指数不等式，主要考查计算能力，属 于基础题 15 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0）满足，f（）0，且 f（x） 在区间上单调，则 的值有 9 个 【分析】由 f（x）在区间上单调，可得，故，进一步 求出 范围即可 【解答】解：由，f（）0 知，kN 第 14 页（共 22 页） 故，kN； 又f（x）在区间上单调， ，故， ，即， ，kN， k0，1，2，8 符合条件的 的值有 9 个 故
24、答案为：9 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想，属中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）x22x+3a，g（x）若对x10，3，总x22，3， 使得 f（x1）g（x2）成立，则实数 a 的取值集合为 【分析】依题意，函数 f（x）在0，3的最大值小于等于函数 g（x）在2，3的最大值， 求出两函数在给定区间的最大值，建立不等式求解即可 【解答】解：由题意，函数 f（x）在0，3的最大值小于等于函数 g（x）在2，3的最大 值， 函数 g（x）在2，3上为减函数，故其最大值为 g（2）2， 函数 f（x）的对称轴为 x1，其在0，1上为减函数，在（1，3上为增函数，故其
25、最大 值为 f（x）3a+3， 则 3a+32，解得 故答案为： 【点评】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键在于把题干的文字语言转化为数学 符号语言，属于基础题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分 ）分 ） 17 （10 分）已知数列an中，an+1an2 且 a1+a2+a39， （1）求an的通项公式； （2）求的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由题意可得等差数列的公差为 2，运用等差数列的通项公式解方程可得首项 第 15 页（共 22 页） 为 1，进而得到所求通项公式； （2）运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所
26、求和 【解答】解： （1）an+1an2，等差数列an的公差为 2， a1+a2+a3a1+（a1+2）+（a1+22）3a1+69，解得 a11， 因此 an1+2（n1）2n1； （2）， 前 n 项和 Sn（1+3+5+2n1）+（2+4+2n） ， 因此 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和 数列的分组求和，化简运算能力，属于基础题 18 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB2，ADCD 1，将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示 （1）求证：BC平面 AC
27、D； （2）求二面角 DABC 的正弦值 【分析】 （1）只需证明 ACBC，ODBC，即可得证； （2）易知DFO 为二面角 DABC 的平面角，进而得解 【解答】解： （1）证明：在图 1 中，由题意知，ACBC2， AC2+BC2AB2， ACBC， 取 AC 中点 O，连接 DO，则 DOAC，又平面 ADC平面 ABC， 且平面 ADC平面 ABCAC，DO平面 ACD，从而 OD平面 ABC， ODBC， 又 ACBC，ACODO， 第 16 页（共 22 页） BC平面 ACD； （2）过 D 作 DOAC 于 O，再过 O 作 OFAB 于 F，连接 DF，易知DFO 为二面角
28、 DABC 的平面角， 易知，即所求二面角的正弦值 为 【点评】本题考查线面垂直的判定及二面角正弦值的求法，考查逻辑推理能力及运算能 力，属于基础题 19 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，b1，c，且 ab，试求角 B 和角 C 【分析】 （1）将 f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函 数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数 的递增区间为2k，2k+，xZ 列出关于 x 的不等式，求出不等式的解集即可 得到 f（x）的递增区间； （2）由
29、（1）确定的 f（x）解析式，及 f（），求出 sin（B）的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数，再由 b 与 c 的值，利用正弦 定理求出 sinC 的值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数，由 a 大于 b 得到 A 大于 B，检验后即可得到满足题意 B 和 C 的度数 第 17 页（共 22 页） 【解答】 解： （1） f （x） cos （2x） cos2xsin2xcos2xsin （2x） ， 令 2k2x2k+，xZ， 解得：kxk+，xZ， 则函数 f（x）的递增区间为k，k+，xZ； （2）f（B）sin（B），
30、sin（B）， 0B， B， B，即 B， 又 b1，c， 由正弦定理，得：sinC， C 为三角形的内角， C或， 当 C时，A；当 C时，A（不合题意，舍去） ， 则 B，C 【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值，两角和与 差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，特殊角的三角函数值，正弦定理等知识的综合 应用，考查了转化思想，属于中档题 20 （12 分） 中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定：机动车行经人行横道 时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线” ， 中 华人民共和国道路交通安全法第 90 条规定：对不礼让行
31、人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚 （）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人，调查驾驶员不“礼让 斑马线”行为与驾龄的关系，得到如表列联表：能否据此判断有 97.5%的把握认为“礼 让斑马线”行为与驾龄有关？ 第 18 页（共 22 页） 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过 1 年 22 8 30 驾龄 1 年以上 8 12 20 合计 30 20 50 （）如图是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为 的折线图： 请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程，并 预测该路口 7 月份的不“礼
32、让斑马线”违章驾驶员人数 附注：参考数据：， 参考公式： ， ，（其 中 na+b+c+d） P（K2k） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （I）由列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论； （II）利用所给数据计算 、 ，求出回归系数，写出回归方程， 利用回归方程计算 x7 时的预测值即可 【解答】解： （I）由列联表中数据，计算 ， 由此能判断有 97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关； 第 19 页（共 22 页） （II）
33、利用所给数据，计算 （1+2+3+4+5）3， 100； 8.5， 100（8.5）3125.5； y 与 x 之间的回归直线方程为； 当 x7 时， 即预测该路口 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有 66 人 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了线性回归方程计算问题，是 基础题 21 （12 分） 已知椭圆的左、 右焦点为 F1、 F2， 若圆 Q 方程，且圆心 Q 满足|QF1|+|QF2|2a （）求椭圆 C1的方程； （）过点 P（0，1）的直线 l1：ykx+1 交椭圆 C1于 A、B 两点，过 P 与 l1垂直的直 线 l2交圆 Q 于 C、D 两点，M 为线段
34、 CD 中点，若MAB 的面积为，求 k 的值 【分析】 （）由题意焦距及焦点在 x 轴的焦点坐标，和 Q 坐标即可求出，a，c 再 b2 a2c2，即可写出椭圆方程； （）设 l1的方程联立椭圆，设而不求的方法求出弦长 AB，再由题意直线 CD，联立圆， 设而不求求出 CD 的中点 M 坐标，再用点到直线的距离公式求出 M 到直线 AB 的距离， 由面积求出参数 k 的值 第 20 页（共 22 页） 【解答】解： （）由题意可知：， 2a|QF1|+|QF2|4a2，b2a2c22， 椭圆 C1的方程为； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由 消去 y，得（1+2k2）x2+
35、4kx20， 16k2+8 （ 2k2+1 ） 32k2+8 0 ， ， M 为线段 CD 中点，MQCD， 又l1l2，MQAB，SMABSQAB， 又点 Q 到 l1的距离， 此时， 圆心 Q 到 l2的距离，成立； 综上：即为所求 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）axlnx1（aR） （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 a0，令 g（x）f（tx+1）+，若 x1，x2是 g（x）的两个极值点，且 g（x1） +g（x2）0，求正实数 t 的取值范围 第 21 页（共 22 页） 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围
36、，求出函数的单调区间即可； （2）求出或，得到 x1为极小值点，x2为极大值点，求出 g（x1）+g （x2），令 u2t1，0t1 且，根据函数的单调性求 出 t 的具体范围即可 【解答】解： （1）x（0，+） ， 当 a0 时，f（x）0，f（x） （0，+）上为减函数， 当 a0 时，时，f（x）0，f（x）为减函数， 时，f（x）0，f（x）为增函数， 综上所述，当 a0 时，f（x）减区间为（0，+） ， 当 a0 时，f（x）减区间为，f（x）增区间为 （2）， ， 当 t1 时，g（x）0 恒成立， 故 g（x）在 x（0，+）上为减函数，不成立0t1， 令 g（x）0，得，
37、g（x）有两个极值点，g（x）0 有 2 个根， 故必有且， 得或， 且 x1为极小值点，x2为极大值点， g（x1）+g（x2） lnt2x1x2+t（x1+x2+1） ， 第 22 页（共 22 页） 令 u2t1，0t1 且， 当时，1u0，时，0u1， 令（0t1 且） ， 当1u0 时， h（u）在 u（1，0）上为增函数，h（u）h（1）40， 故当时，g（x1）+g（x2）0 成立， 当 0u1 时， h（u）在 u（0，1）上单调递增，h（u）h（1）0， 故当时，g（x1）+g（x2）0， 综上所述， 【点评】本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化 思想，是一道综合题
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