1、已知全集 UR，Ax|1x2，Bx|x0，则U（AB）（ ） Ax|0x2 Bx|x0 Cx|x1 Dx|x1 2 （5 分） “x2”是“x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）下列四个命题中，假命题为（ ） AxR，2x0 BxR，x2+3x+10 CxR，lgx0 DxR， 4 （5 分）已知集合 My|y2x，集合 Nx|ylg（2xx2），则 MN（ ） A （0，2） B （2，+） C0，+ D （+，0）（2，+） 5 （5 分）已知下列命题：xR，|x1|+|x+2|2；函数的零点有 2 个；x2 是 x23x+
2、20 的充分不必要条件；命题：xR，x3x210 的否定 是：xR，x3x210其中真命题有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6 （5 分）若函数 f （x） ，g （x） 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 f （x）g （x） e x，则有（ ） Af （2）f （3）g （0） Bg （0）f （3）f （2） Cf （2）g （0）f （3） Dg （0）f （2）f （3） 7 （5 分）已知 a，b，c，d 是实数，且 cd则“ab”是“ac+bdbc+ad”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）设集合 A
3、1，2，则满足 AB1，2，3的集合 B 的个数是（ ） A1 B3 C4 D8 9 （5 分）设函数 yxsinx+cosx 的图象上的点（x，y）处的切线的斜率为 kg（x） ，则函 第 2 页（共 22 页） 数 kg（x）的图象大致为（ ） A B C D 10 （5 分）若命题“a1，3，使 ax2+（a2）x20”为真命题，则实数 x 的取值范 围（ ） A B C （，1）（2，+） D 11 （5 分）已知函数 f（x）x22x，g（x）ax+2（a0） ，若对任意 x11，2，总存 在 x21，2，使得 f（x1）g（x2） ，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C （0
4、，3 D3，+） 12 （5 分）我们常用以下方法求形如 yf（x） g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得： lnyg（x）lnf（x） ，再两边同时求导得到：yg（x）lnf（x）+g（x） f （x） ，于是得到：yf（x）g （x）g（x）lnf（x）+g（x） f（x），运用此方 法求得函数 y的一个单调递增区间是（ ） A （e，4） B （3，6） C （0，e） D （2，3） 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设 g（x）则 g 14 （5 分）已知函数，若x1，x2R，x1x2，使得 f（
5、x1）f （x2）成立，则实数 a 的取值范围是 15 （5 分）设 S 为非空数集，若x，yS，都有 x+y，xy，xyS，则称 S 为封闭集下列 命题 实数集是封闭集； 第 3 页（共 22 页） 全体虚数组成的集合是封闭集； 封闭集一定是无限集； 若 S 为封闭集，则一定有 0S； 若 S，T 为封闭集，且满足 SUT，则集合 U 也是封闭集， 其中真命题是 16 （5 分）若函数 f（x）是函数 f（x）的导函数，且满足 f（0）1，3f（x）f（x） 3，则不等式 4f（x）f（x）的解集为 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分）分） 17 （12
6、分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a24，S535 （）求数列an的前 n 项和 Sn； （）若数列bn满足，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）已知函数的最小正周期为 （）求的值； （）求函数 f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程 19 （12 分）在ABC 中，a、b、c 为角 A、B、C 所对的三边，已知 b2+c2a2bc （）求角 A 的值； （）若 a，cosC，求 c 的长 20 （12 分）已知函数 （）若曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线与直线 yx+2 垂直，求函数 yf （x）的单调区间； （）若对于x（0，+）都有 f（x）
7、2（a1）成立，试求 a 的取值范围； （）记 g（x）f（x）+xb（bR） 当 a1 时，函数 g（x）在区间e 1，e上有两 个零点，求实数 b 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）lnax（a0，aR） ，g（x） （）解关于 x 的不等式：1+ef （x）+g（x）0； （）当 al 时，过点（1，1）是否存在函数 yf（x）图象的切线？若存在，有多少 条？若不存在，说明理由； 第 4 页（共 22 页） （）若 a 是使 f（x）g（x） （x1）恒成立的最小值，试比较与 f（1+n） 2n（1）的大小（01，nN*） 选做题：请考生在选做题：请考生在 22，23 题中
8、任选一题作答，如果多答，以所答的第一题题中任选一题作答，如果多答，以所答的第一题计分，其余不计计分，其余不计 分分选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 22 （10 分）设函数 f（x）|22x|+|x+3| （1）解不等式 f（x）6； （2）若关于 x 的不等式 f（x）|2a1|的解集不是空集，试求实数 a 的取值范围 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23已知曲线 C1：（t 为参数） ，C2：（ 为参数） （1）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 C1上的点 P 对应的参数为 t，Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到
9、直线 C3： （t 为参数）距离的最小值 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年四川省绵阳市南山中学高三（上）学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9 月月考数学月月考数学 试卷（理科）试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，Ax|1x2，Bx|x0，则U（AB）（ ） Ax|0x2 Bx|x0 Cx|x1 Dx|x1 【分析】本题为集合的运算问题，结合数轴有集合运算的定义求解即可 【解答】解：Ax|1x2，Bx|x0， ABx|x1， U
10、（AB）x|x1 故选：C 【点评】本题考查集合的运算问题，考查数形集合思想解题属基本运算的考查 2 （5 分） “x2”是“x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先后分析“x2”“x24”与“x24”“x2”的真假，进而根据充要条 件的定义，得到答案 【解答】解：当 x2 时，x24 成立， 故“x2”“x24”为真命题 故“x2”是“x24”的充分条件； 当 x24 时，x2 或 x2，即 x2 不成立 故“x24”“x2”为假命题 故“x2”是“x24”的不必要条件； 综上“x2”是“x24”的充分不必要条件； 故选：A 【点评
11、】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中判断“x2” “x24”与“x24”“x2”的真假，是解答本题的关键 3 （5 分）下列四个命题中，假命题为（ ） 第 6 页（共 22 页） AxR，2x0 BxR，x2+3x+10 CxR，lgx0 DxR， 【分析】据指数函数的性质知，可判断 A 的真假，取当 x2 时，可判断 B 的真假；根 据当 x10 时，可判断 C 的真假；解不等式可判断 D 的真假，进而得到答案 【解答】解：根据指数函数的性质知，当 xR 时，2x0，故 A 中“xR，2x0”为真 命题； 当 x2 时，x2+3x+146+110，故 B 中“xR，x
12、2+3x+10”为假命题； 当 x10 时，lg1010，故 C 中“xR，lgx0” ，故 C 为真命题； 当 x4 时，故 D 为真命题； 故选：B 【点评】本题考查的知识点是全（特）称命题的真假判断，要判断一个全称命题为假命 题，只须举出一个反例，但要判断一个全称命题为真命题，则需要严谨的论证 4 （5 分）已知集合 My|y2x，集合 Nx|ylg（2xx2），则 MN（ ） A （0，2） B （2，+） C0，+ D （+，0）（2，+） 【分析】由指数函数的值域得到集合 A，求解对数型复合函数的定义域化简集合 B，然后 直接利用交集运算求解 MN 【解答】解：集合 My|y2xy
13、|y0（0，+） ， 由 2xx20，得：0x2 则集合 Nx|ylg（2xx2）x|0x2（0，2） ， 所以，MN（0，+）（0，2）（0，2） 故选：A 【点评】本题考查了指数函数的值域，对数型复合函数的定义域的求法，对数型函数的 定义域需要保证真数大于 0， 底数大于 0 且不等于 1， 考查了交集的运算， 此题是基础题 5 （5 分）已知下列命题：xR，|x1|+|x+2|2；函数的零点有 2 个；x2 是 x23x+20 的充分不必要条件；命题：xR，x3x210 的否定 是：xR，x3x210其中真命题有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 第 7 页（共 22 页）
14、【分析】根据条件分别判断四个命题的真假即可 【解答】解：xR，|x1|+|x+2|21|3，xR，|x1|+|x+2|2 为真命题， 故正确， 函数的定义域为（0，+） ， 由0 得lgx+x230， 即 lgxx23， 则两个函数 ylgx 和 yx23 的图象，由图象知两个函数有 2 个交点，即函数 f（x）有 2 个零点，故正确， 由 x23x+20 得 x2 或 x1，即 x2 是 x23x+20 的充分不必要条件，故正 确， 命题：xR，x3x210 的否定是：xR，x3x210正确， 故正确的是，共 4 个， 故选：D 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强
15、，难度不大 6 （5 分）若函数 f （x） ，g （x） 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 f （x）g （x） e x，则有（ ） Af （2）f （3）g （0） Bg （0）f （3）f （2） Cf （2）g （0）f （3） Dg （0）f （2）f （3） 【分析】根据题意，由 f （x）g （x）ex结合函数的奇偶性的性质可得 f（x）g （x）f（x）g（x）e x，变形可得 f （x）+g （x）ex，联立两个式子解 第 8 页（共 22 页） 可得：f（x），g（x），即可得 g（0）1，f（2）， f（3），比较即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f （x）
16、，g （x） 分别是 R 上的奇函数、偶函数， 则有 f（x）f（x） ，g（x）g（x） ， 又由 f （x）g （x）ex， 则 f（x）g（x）f（x）g（x）e x，即 f （x）+g （x）ex， 联立解可得：f（x），g（x）， g（0）1，f（2），f（3）， 分析可得：g（0）f （2）f （3） ； 故选：D 【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键是利用函数的奇偶性求出 f（x） 、g（x）的解 析式 7 （5 分）已知 a，b，c，d 是实数，且 cd则“ab”是“ac+bdbc+ad”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析
17、】 因为 cd， 所以 cd0， 由 ab， 得 ab0， 利用同向不等式相乘得到 ac+bd bc+ad；反之，由 ac+bdbc+ad，移向后因式分解得到（cd） （ab）0，而 cd， 所以可得 ab，从而得到要选的结论 【解答】解：因为 cd，所以，cd0 由 ab，则 ab0 得： （cd） （ab）0， 即 acbcad+bd0， 则 ac+bdbc+ad 若 ac+bdbc+ad， 则 acbcad+bd0， 即（cd） （ab）0， 因为 cd，所以，cd0 则 ab0，所以，ab 第 9 页（共 22 页） 所以，在 a，b，c，d 是实数，且 cd 的前提下， “ab”是
18、ac+bdbc+ad 的充要条件 故选：C 【点评】本题考查了充分条件、必要条件及充要条件的判断 判断充要条件的方法是： 若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件； 若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 此题是基础题 8 （5 分）设集合 A1，2，则满足 AB1，2，3的集合 B 的个数是（ ） A1 B3 C4 D8 【分析】根据题意，分析可得，该问
19、题可转化为求集合 A1，2的子集个数问题，再 由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案 【解答】解：A1，2，AB1，2，3， 则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为求集合 A1，2的子集个数问题， 所以满足题目条件的集合 B 共有 224 个 故选：C 【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想 9 （5 分）设函数 yxsinx+cosx 的图象上的点（x，y）处的切线的斜率为 kg（x） ，则函 数 kg（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】g（x）为该函数在点 P 处切线的斜率，结合导数的几何意义，得到 g（x） （xsinx+cosx）
20、xcosx，再讨论函数 g（x）的奇偶性，得到函数为奇函数，图象关于 原点对称，最后通过验证当 0x时，g（x）的符号，可得正确选项 【解答】解：yxsinx+cosx 第 10 页（共 22 页） y（xsinx）+（cosx）sinx+xcosxsinxxcosx g（x）为该函数在点 P 处切线的斜率 g（x）xcosx g（x）xcos（x）xcosxg（x） 函数 yg（x）是奇函数，图象关于原点对称 再根据当 0x时，x 与 cosx 均为正值 可得：0x时，f（x）0， 因此符合题意的图象只有 A 故选：A 【点评】本题以含有三角函数表达式的函数为载体，考查了导数的几何意义、函数
21、奇偶 性与图象间的联系等知识点，属于基础题 10 （5 分）若命题“a1，3，使 ax2+（a2）x20”为真命题，则实数 x 的取值范 围（ ） A B C （，1）（2，+） D 【分析】令 f（a）（ x2+x）a2x2，由题意得 f（1）0 且 f（2）0，由此求出 实数 x 的取值范围 【解答】解：令 f（a）ax2+（a2）x2（ x2+x）a2x2，是关于 a 的一次函数， 由题意得： （ x2+x）2x20，或 （ x2+x） 32x20 即 x2 x20 或 3x2+x20 解得 x1 或 x 故选：D 【点评】本题是一个存在性问题，由题设条件转化得到（ x2+x）2x20，
22、或（ x2+x） 32x20，是解题的关键 11 （5 分）已知函数 f（x）x22x，g（x）ax+2（a0） ，若对任意 x11，2，总存 在 x21，2，使得 f（x1）g（x2） ，则实数 a 的取值范围是（ ） 第 11 页（共 22 页） A B C （0，3 D3，+） 【分析】根据二次函数的性质求出 f（x）在1，2时的值域为1，3，再根据一次 g （x）ax+2（a0）为增函数，求出 g（x2）2a，2a+2，由题意得 f（x）值域是 g （x）值域的子集，从而得到实数 a 的取值范围 【解答】解：函数 f（x）x22x 的图象是开口向上的抛物线，且关于直线 x1 对称 x1
23、1，2时，f（x）的最小值为 f（1）1，最大值为 f（1）3， 可得 f（x1）值域为1，3 又g（x）ax+2（a0） ，x21，2， g（x）为单调增函数，g（x2）值域为g（1） ，g（2） 即 g（x2）2a，2a+2 x11，2，x21，2，使得 f（x1）g（x2） ， a3 故选：D 【点评】本题着重考查了函数的值域，属于中档题本题虽然是一道小题，但完全可以 改成一道大题，处理的关键是对“任意” 、 “存在”的理解 12 （5 分）我们常用以下方法求形如 yf（x） g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得： lnyg（x）lnf（x） ，再两边同时求导得到：yg（x）lnf
24、（x）+g（x） f （x） ，于是得到：yf（x）g （x）g（x）lnf（x）+g（x） f（x），运用此方 法求得函数 y的一个单调递增区间是（ ） A （e，4） B （3，6） C （0，e） D （2，3） 【分析】根据定义，先求原函数的导数，令导数大于 0，解不等式即可 【解答】解：由题意知， （x0） 令 y0，得 1lnx0 0xe 原函数的单调增区间为（0，e） 故选：C 【点评】本题考查函数的单调性，要求首先读懂定义，并熟练掌握导数运算，同时要注 第 12 页（共 22 页） 意函数的定义域属简单题 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分
25、，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设 g（x）则 g 【分析】利用自变量的范围首先求得 的值，然后求解所要求解的函数的值即可 【解答】解：由函数的解析式可得：， 则 故答案为： 【点评】本题考查分段函数，对数的运算法则等，重点考查学生对基础概念的理解和计 算能力，属于基础题 14 （5 分）已知函数，若x1，x2R，x1x2，使得 f（x1）f （x2）成立，则实数 a 的取值范围是 （，2） 【分析】若x1，x2R，x1x2，使得 f（x1）f（x2）成立，则 f（x）不是单调函数，结 合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结 果可得答案 【解答
26、】解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的 分情况讨论： （1）若 x1 时，f（x）x2+ax 不是单调的， 即对称轴在 x满足1， 解得：a2 （2）x1 时，f（x）是单调的， 此时 a2，f（x）为单调递增 最大值为 f（1）a1 故当 x1 时，f（x）ax1 为单调递增，最小值为 f（1）a1， 因此 f（x）在 R 上单调增，不符条件 综合得：a2 第 13 页（共 22 页） 故实数 a 的取值范围是（，2） 故答案为： （，2） 【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数 f（x）不是 单调函数，是解答的关键 15 （5 分）设 S 为非空数集，
27、若x，yS，都有 x+y，xy，xyS，则称 S 为封闭集下列 命题 实数集是封闭集； 全体虚数组成的集合是封闭集； 封闭集一定是无限集； 若 S 为封闭集，则一定有 0S； 若 S，T 为封闭集，且满足 SUT，则集合 U 也是封闭集， 其中真命题是 【分析】实数集是封闭集，若 S 为封闭集，则一定有 0S，全体虚数组成的集合不是封 闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数，封闭集不一定是无限集，若 S，T 为封闭 集，且满足 SUT，则集合 U 不一定是封闭集 【解答】解：若x，yS，都有 x+y，xy，xyS， 实数集是封闭集，正确； 全体虚数组成的集合是封闭集，错误，如 i （i）1R
28、； 若 S 为封闭集，则一定有 0S，正确，错误； 全体虚数组成的集合不是封闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数， 封闭集不一定是无限集，故不正确， 对于，例如 S0，U0，1，TR，不满足封闭集的定义，所以若 S，T 为封闭 集且满足 SUT，则集合 U 也是封闭集，不正确， 综上可知正确， 故答案为： 【点评】本题考查康托的集合论，本题解题的关键是正确理解封闭集的意义，能够辨别 一个集合是不是封闭集 16 （5 分）若函数 f（x）是函数 f（x）的导函数，且满足 f（0）1，3f（x）f（x） 3，则不等式 4f（x）f（x）的解集为 （，+） 第 14 页（共 22 页） 【分析】
29、根据题意，设函数 f（x）aebx+c，由 f（0）1 得 a+c1；再由 3f（x）f （x）3，得方程组；由此求出 f（x）的解析式，再解不等式 4f（x）f（x）即可 【解答】解：3f（x）f（x）3， f（x）3f（x）+3； 可设 f（x）aebx+c， 由 f（0）1，a+c1； 又 3f（x）f（x）3， 3aebx+3cabebx3， 即（3aab）ebx33c， ， 解得 b3，c1，a2； f（x）2e3x1，xR； 又 4f（x）f（x） ， 8e3x46e3x， 即 e3x2， 解得 x， 所求不等式的解集为（，+） 故答案为： （，+） 【点评】本题考查了函数的导数应
30、用问题，也考查了构造函数与转化思想的应用问题， 是难题 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分）分） 17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a24，S535 （）求数列an的前 n 项和 Sn； （）若数列bn满足，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （I）利用等差数列的首项 a1及公差 d 表示 a2，S5，联立方程可求首项 a1及公差 d，再利用等差数列的求和公式可求 （II）由（1）可得数列bn为等比数列，利用等比数列的求和公式可求 【解答】 （本小题共 13 分） 第 15 页（共 22 页） 解： （）设数列an的首项为 a1
31、，公差为 d 则，（5 分） an3n2 前 n 项和 （7 分） （）an3n2， bne3n 2，且 b 1e （8 分） 当 n2 时，为定值，（10 分） 数列bn构成首项为 e，公比为 e3的等比数列 （11 分） （13 分） 数列bn的前 n 项的和是 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式的应用，利用基本量首项 a1及 公差 d 表示等差数列的通项及和是数列部分最基本的考查 18 （12 分）已知函数的最小正周期为 （）求的值； （）求函数 f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程 【分析】 （）利用两角差的正弦公式的应用，化简 f（x）的解析式，和周期，即可求出
32、 ，把代入函数解析式即可求得结果； （II）根据正弦曲线的对称轴，写出函数的对称轴的形式，写出对称轴，根据正弦曲线的 增区间，写出函数的增区间 【解答】解： （） ， 因为 f（x）最小正周期为 ，所以，解得 1， 第 16 页（共 22 页） 所以， 所以 （）由， 得， 所以，函数 f（x）的单调增区间为； 由得， 所以，f（x）图象的对称轴方程为 【点评】本题考查三角函数的解析式和有关性质，是一个基础题，这种题目是高考卷中 每一年都要出现的一种题目，注意题目的开始解析式不要出错 19 （12 分）在ABC 中，a、b、c 为角 A、B、C 所对的三边，已知 b2+c2a2bc （）求角
33、A 的值； （）若 a，cosC，求 c 的长 【分析】 （）把题设等式代入关于 cosA 的余弦定理中求得 cosA 的值，进而求得 A （）先利用同角三角函数的基本关系求得 sinC 的值，然后利用正弦定理求得 b 【解答】解： （）b2+c2a2bc， 0A （）在ABC 中， 由正弦定理知：， b 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用考查了学生对这两个定理的熟练 掌握 第 17 页（共 22 页） 20 （12 分）已知函数 （）若曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线与直线 yx+2 垂直，求函数 yf （x）的单调区间； （）若对于x（0，+）都有 f（x）2
34、（a1）成立，试求 a 的取值范围； （）记 g（x）f（x）+xb（bR） 当 a1 时，函数 g（x）在区间e 1，e上有两 个零点，求实数 b 的取值范围 【分析】 （） 求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于 0 的区间，即为函数的 增区间， 求出导数小于 0 的区间即为函数的减区间 （） 根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使 f（x）2（a1）恒成立，需使 函数的最小值大于 2（a1） ， 从而求得 a 的取值范围 （）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数 g（x）在区间e 1，e上有两个零点， 得到， 解出实数 b 的取值范围 【解答】解： （）直线 yx+2 的斜率为
35、1，函数 f（x）的定义域为（0，+） ， 因为，所以，所以，a1 所以， 由 f（x）0 解得 x2；由 f（x）0，解 得 0x2 所以 f（x）的单调增区间是（2，+） ，单调减区间是（0，2） （） ，由 f（x）0 解得 ； 由 f（x）0 解得 所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减 所以，当时，函数 f（x）取得最小值，因为对于x（0，+）都有 f（x）2（a1）成立， 第 18 页（共 22 页） 所 以 ，即 可 则 由解 得 所以，a 的取值范围是 （） 依题得 ，则 由 g（x）0 解得 x1； 由 g（x）0 解得 0x1 所以函数 g（x）在区间（0，1）为
36、减函数，在区间（1，+）为增函数 又因为函数 g（x）在区间e 1，e上有两个零点，所以 ， 解得 所以，b 的取值范围是 【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以 及函数的最值 21 （12 分）已知函数 f（x）lnax（a0，aR） ，g（x） （）解关于 x 的不等式：1+ef （x）+g（x）0； （）当 al 时，过点（1，1）是否存在函数 yf（x）图象的切线？若存在，有多少 条？若不存在，说明理由； （）若 a 是使 f（x）g（x） （x1）恒成立的最小值，试比较与 f（1+n） 2n（1）的大小（01，nN*） 【分析】 （I）由函数 f
37、（x）lnax（a0，aR） ，当 a0 时，f（x）的定义域为： （0，+ ） ；当 a0 时，f（x）的定义域为： （，0） 分类讨论：当 a0 时，x0原 不等式等价于：1+ax+0，ax2+2x10，可得其解集当 a0 时，x0原 不等式等价于：1+ax+0，ax2+2x10，可得解集 （II） 设 yf （x） 图象上的切点为 （x0， f （x0） ） ， 则 x01， 可得： f （x0） ， 第 19 页（共 22 页） 可得：lnx0设 h（x）lnx+（x0，且 x1） 利用导数研究其单调性极值即 可判断出结论 （III）lnax对 x1 恒成立，lna+lnxlna1ln
38、x令 h（x）1 lnx利用导数研究其在（1，+）上单调性故 lnah（1）0，amin1可得：lnx ， （x1） f（x）lnx令 x（kN*） 可得 1+k21 （1+k），即可 得出 【解答】解： （I）由函数 f（x）lnax（a0，aR） ，当 a0 时，f（x）的定义域为： （0，+） ；当 a0 时，f（x）的定义域为： （，0） 当a0时， x0 原不等式等价于： 1+ax+0， ax2+2x10， 解得x， 其解集为（，+） 当 a0 时，x0原不等式等价于：1+ax+0，ax2+2x10，解得 x0， 其解集为（，0） （II） 设 yf （x） 图象上的切点为 （x0，
39、 f （x0） ） ， 则 x01， 可得： f （x0） ， 可得 lnx0设 h（x）lnx+（x0，且 x1） h（x），可得 h（x）在（1，+）为增函数，在（0，1）上为减函数 h（x）h（1）1 h（x）0 没有实数根，故不存在切线 （III）lnax对 x1 恒成立，lna+lnxlna1lnx 令 h（x）1lnxh（x） h（x）在（1，+）上单调递减 故 lnah（1）0，amin1可得：lnx， （x1） f（x）lnx 令 x（kN*） 第 20 页（共 22 页） ln（1+k）lnk，而，即 1+k21 （1+k）， ln（1+k）lnkln（1+k）lnk+ln2
40、1 ， f（1+n）2n （1）（01，nN*） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分 类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 选做题：请考生在选做题：请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多答，以所答的第一题计分，其余不计题中任选一题作答，如果多答，以所答的第一题计分，其余不计 分分选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 22 （10 分）设函数 f（x）|22x|+|x+3| （1）解不等式 f（x）6； （2）若关于 x 的不等式 f（x）|2a1|的解集不是空集，试求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）将 f（x）改写为分段函数
41、的形式，然后根据 f（x）6，分别解不等式可得 解集； （2）由（1）得到 f（x）的最小值，然后由 f（x）|2a1|的解集不是空集，可得 f（x） min|2a1|，再解关于 a 的不等式即可 【解答】解： （1）f（x）|22x|+|x+3| f（x）6，或或， 或3x1 或 x3， x1 或， 不等式的解集为； （2）由（1）知，f（x）minf（1）4 不等式 f（x）|2a1|的解集不是空集， f（x）min|2a1|，或， a 的取值范围为 第 21 页（共 22 页） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查了分类讨论思想和转 化思想，属中档题 选修选修 4-
42、4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23已知曲线 C1：（t 为参数） ，C2：（ 为参数） （1）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 C1上的点 P 对应的参数为 t，Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3： （t 为参数）距离的最小值 【分析】 （1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线 C1表示一个圆；曲线 C2表示一个椭圆； （2）把 t 的值代入曲线 C1的参数方程得点 P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通 方程，根据曲线 C2的参数方程设出 Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出 M 的坐标，利 用
43、点到直线的距离公式表示出 M 到已知直线的距离， 利用两角差的正弦函数公式化简后， 利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值 【解答】解： （1）把曲线 C1：（t 为参数）化为普通方程得： （x+4）2+（y 3）21， 所以此曲线表示的曲线为圆心（4，3） ，半径 1 的圆； 把 C2：（ 为参数）化为普通方程得：+1，所以此曲线方程表述 的曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆； （2）把 t代入到曲线 C1的参数方程得：P（4，4） ， 把直线 C3：（t 为参数）化为普通方程得：x2y70， 设 Q 的坐标为 Q（8cos，3sin） ，故 M（2+4cos，2+sin） 所以 M 到直线的距离 d， （其中 sin ，cos） 从而当 cos，sin时，d 取得最小值 【点评】此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直 第 22 页（共 22 页） 线的距离公式及中点坐标公
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