1、海南省海南省 2020 届高考调研测试数学试题届高考调研测试数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|21x4，Bx|x24x120，则 A（RB）（ ） A （2，1） B （3，6） C （3，6 D （6，2） 2已知复数 z1i，为 z 的共轭复数，则1: =（ ） A3: 2 B1: 2 C1;3 2 D1:3 2 3已知向量 =（0，2） ， =（23，x） ，且 与 的夹角为 3，则 x（
2、） A2 B2 C1 D1 4 “lnmlnn”是“m2n2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5若双曲线 mx2+ny21（m0）的离心率为5，则 =（ ） A1 4 B 1 4 C4 D4 6张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于 八分之五已知三棱锥 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上AB底面 BCD，BC CD，且 ABCD= 3，BC2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（ ） A30 B1010 C33 D1210 7 已知 f （x） = 1 +是定义在 R 上的奇函数， 则不等式 f （
3、x3） f （9x 2） 的解集为 （ ） A （2，6） B （6，2） C （4，3） D （3，4） 8已知等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，且 = :5 2;1，则 7 6 =（ ） A6 7 B12 11 C18 25 D16 21 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的全部选对的得多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9为了了解运动健身减肥的效果，
4、某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重（单 位：kg）情况如柱形图 1 所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图 2 所示 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A他们健身后，体重在区间90，100）内的人数增加了 2 个 B他们健身后，体重在区间100，110）内的人数没有改变 C因为体重在100，110）内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影 响 D他们健身后，原来体重在区间110，120）内的肥胖者体重都有减少 10将函数() = 3 33 + 1的图象向左平移 6个单位长度，得到函数 g（x）的 图象，给出下列关于 g（x）的结
5、论：它的图象关于直线 = 5 9 对称；它的最小正周 期为2 3 ；它的图象关于点(11 18 ，1)对称；它在5 3 ， 19 9 上单调递增其中正确的 结论的编号是（ ） A B C D 11若 10a4，10b25，则（ ） Aa+b2 Bba1 Cab81g22 Dbalg6 12已知函数 f（x）x+sinxxcosx 的定义域为2，2） ，则（ ） Af（x）为奇函数 Bf（x）在0，）上单调递增 Cf（x）恰有 4 个极大值点 Df（x）有且仅有 4 个极值点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知函数 f（x）
6、= ( 1 3) 2， 0 4 + 2，0 ，则 f（f（8） ） 14某工厂质检部要对即将出厂的 1000 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为 X，则随机变量 X 的方差 DX 15已知 ab0，且 a+b2，则5 + 1 5的最小值是 16在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 上一点，且 CE2DE，F 为棱 AA1的中点， 且平面 BEF 与 DD1交于点 G，与 AC1交于点 H，则 1 = ， 1 = 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证
7、明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在cos2B3sinB+202bcosC2ac = :1 3 三个条件中任选一个，补充 在下面问题中，并加以解答， 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 ，且 a，b，c 成等差数 列，则ABC 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18设等差数列anbn的公差为 2，等比数列an+bn的公比为 2，且 a12，b11 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列2an+2n的前 n 项和 Sn 19在四棱锥 PABCD 中，PAB 是边长为 2
8、的等边三角形，底面 ABCD 为直角梯形，AB CD，ABBC，BCCDl，PD= 2 （l）证明：ABPD （2）求二面角 APBC 的余弦值 20某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择， 生产线： 有 A， B 两道独立运行的生产工序， 且两道工序出现故障的概率依次是 0.02， 0.03若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 15 万元；若 A 工序出现故障，则生产 成本增加 2 万元；若 B 工序出现故障，则生产成本增加 3 万元；若 A，B 两道工序都出 现故障，则生产成本增加 5 万元生产线：有 a，b 两道独立运行的生产工序，且两道 工序出现故
9、障的概率依次是 0.04，0.01若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 14 万元；若 a 工序出现故障，则生产成本增加 8 万元；若 b 工序出现故障，则生产成本增 加 5 万元；若 a，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加 13 万元 （1）若选择生产线，求生产成本恰好为 18 万元的概率； （2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由 21已知 O 为坐标原点，A（2，0） ，B（2，0） ，直线 AG，BG 相交于点 G，且它们的斜 率之积为 3 4记点 G 的轨迹为曲线 C （1）若射线 x= 2（y0）与曲线 C 交于点 D，且 E 为曲线 C 的最高
10、点，证明：OD AE （2）直线 l：ykx（k0）与曲线 C 交于 M，N 两点，直线 AM，AN 与 y 轴分别交于 P， Q 两点试问在 x 轴上是否存在定点 T，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 T？若存在，求出 T 的坐标；若不存在，请说明理由 22已知函数 f（x）ax2+ax+1e2x （1）若函数 g（x）f（x） ，试讨论 g（x）的单调性； （2）若x（0，+） ，f（x）0，求 a 的取值范围 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求
11、的有一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|21x4，Bx|x24x120，则 A（RB）（ ） A （2，1） B （3，6） C （3，6 D （6，2） 根据题意求出集合 A、B，由补集的运算求出RB，由并集的运算得到结果来源:学科网 ZXXK 因为 Ax|3x1，Bx|x2 或 x6，即RBx|2x6，所以 ARB （3，6） ， 故选：B 本题考查了并、补集的混合运算，属于基础题 2已知复数 z1i，为 z 的共轭复数，则1: =（ ）来源:学科网 A3: 2 B1: 2 C1;3 2 D1:3 2 把 z1i 代入1: ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 z1i， 1: = 2;
12、 1: = (2;)(1;) (1:)(1;) = 1;3 2 ， 故选：C 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知向量 =（0，2） ， =（23，x） ，且 与 的夹角为 3，则 x（ ） A2 B2 C1 D1 由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出 x 的值 向量 =（0，2） ， =（23，x） ，且 与 的夹角为 3， =0+2x212+2cos 3，即 2x= 12+ 2，求得 x2， 故选：B 本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题 4 “lnmlnn”是“m2n2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既
13、不充分也不必要条件 判断条件和结论，互推关系即可 lnmlnn，则 0mn，故 m2n2， 反之，m2n2，得|m|n|， 故前者是后者的充分不必要条件， 故选：A 本题考查四个条件的关系，考查了不等式的解法，基础题 5若双曲线 mx2+ny21（m0）的离心率为5，则 =（ ） A1 4 B 1 4 C4 D4 先将双曲线的方程化为标准方程，由定义可得离心率的表达式再由题意可得所求的值 由题意双曲线化为标准方程： 2 1 2 1 =1（m0） ，所以离心率 e=1 + 2 2 = 5， 则 2 2 = ;1 1 =4，即 = 4， 故选：D 本题考查双曲线的性质，属于基础题 6张衡是中国东汉
14、时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于 八分之五已知三棱锥 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上AB底面 BCD，BC CD，且 ABCD= 3，BC2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（ ） A30 B1010 C33 D1210 由题意将此三棱锥放在长方体中求出长方体的对角线，再由外接球的直径等于长方体的 对角线可得球的半径，进而求出球的表面积，圆周率的平方除以十六等于八分之五，求 出 的值进而求出面积 解由题意将此三棱锥放在长方体中，由题意可知长方体的长宽高分别为，3，2，3， 设外接球的半径为 R，则（2R）23+4+310， 所以外接球的表面积为 S4
15、R210， 又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即 2 16 = 5 8， 所以 = 10，所以 S1010， 故选：B 考查三棱锥的棱长与外接球半径的关系及球的表面积公式，属于中档题 7 已知 f （x） = 1 +是定义在 R 上的奇函数， 则不等式 f （x3） f （9x 2） 的解集为 （ ） A （2，6） B （6，2） C （4，3） D （3，4） 根据题意，由奇函数的性质可得 f（1）+f（1）0，即;1 : + 1 ;1 1 : = 0，解可得 a 的 值，即可得 f（x）的解析式，分析可得 f（x）在 R 上为增函数，据此可得原不等式等价 于 x39x2，解可得不等
16、式的解集，即可得答案 根据题意，因为() = 1 +是定义在 R 上的奇函数，所以 f（1）+f（1）0，即 ;1 : + 1 ;1 1 : = 0，解得 a1， 则() = 1 +1 = 1 2 +1，易知 f（x）在 R 上为增函数 又 f（x3）f（9x2） ，必有 x39x2，解得4x3，即不等式的解集为（4， 3） ； 故选：C 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题 8已知等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，且 = :5 2;1，则 7 6 =（ ） A6 7 B12 11 C18 25 D16 21 因为等差数列an， bn的前 n
17、 项和分别为 Sn和 Tn， 且 = :5 2;1， 可设 Snkn （n+5） ， Tnkn（2n1） ，k0，可得：a7S7S6，b6T6T5，即可得出 因为等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，且 = :5 2;1， 所以可设 Snkn（n+5） ，Tnkn（2n1） ，k0来源:学科网 所以 a7S7S618k，b6T6T521k， 所以7 6 = 6 7 故选：A 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个
18、选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的全部选对的得多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重（单 位：kg）情况如柱形图 1 所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图 2 所示 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A他们健身后，体重在区间90，100）内的人数增加了 2 个 B他们健身后，体重在区间100，110）内的人数没有改变 C因为体重在100，110）内所占比例没有发生变化，所以说
19、明健身对体重没有任何影 响 D他们健身后，原来体重在区间110，120）内的肥胖者体重都有减少 由所给的柱形图进行分析数据的变化，减肥前90，100）有 6 人，100，110）有 10 人， 110，120）有 4 人，减肥后80，90）有 2 人，90，100）有 8 人，100，110）有 10 人； 从而得到正确的答案 体重在区间90，100）内的肥胖者由健身前的 6 人增加到健身后的 8 人，故人数增加了 2 个，A 正确；他们健身后，体重在区间100，110）内的百分比没有变，所以人数没有变， B 正确；他们健身后，已经出现了体重在80，90）内的人，健身之前是没有这部分体重 的，
20、 C 错误； 因为图 2 中没有体重在区间110， 120） 内的比例， 所以原来体重在区间110， 120）内的肥胖者体重都有减少，D 正确 故选：ABD 本题主要考查利用频率分布直方图分析数据的变化，属于基础题 10将函数() = 3 33 + 1的图象向左平移 6个单位长度，得到函数 g（x）的 图象，给出下列关于 g（x）的结论：它的图象关于直线 = 5 9 对称；它的最小正 周期为2 3 ；它的图象关于点(11 18 ，1)对称；它在5 3 ， 19 9 上单调递增其中正确 的结论的编号是（ ） A B C D 利用辅助角公式变形，再由图象平移得到 g（x）的解析式，然后逐一核对四个
21、命题得答 案 () = 3 33 + 1 = 2(3 3) + 1， () = 23( + 6) 3 + 1 = 2(3 + 6) + 1， 令3 + 6 = + 2，得 = 3 + 9 ( )， = 5 9 不是 g（x）的对称轴，错误， 函数 g（x）的周期为2 3 ，故正确； 令3 + 6 = ， 得 = 3 18 ( )， 取k2， 得 = 11 18 ， 故g （x） 关于点(11 18 ，1)对称， 正确： 令2 2 3 + 6 2 + 2 ， ，得2 3 2 9 2 3 + 9， 取 k2，得10 9 13 9 ，取 k3，得16 9 19 9 ，故错误 故选：BC 本题考查命题
22、的真假判断与应用，考查 yAsin（x+）型函数的图象与性质，是中档 题 11若 10a4，10b25，则（ ） Aa+b2 Bba1 Cab81g22 Dbalg6 由 10a4，10b25，得 alg4，blg25，利用对数指数运算性质即可判断出结论 由 10a4，10b25，得 alg4，blg25， 则 a+blg1002， = 25 4 6，ab4lg2lg54lg2lg48lg22， 故选：ACD 本题考查了指数式化为对数式、对数指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 12已知函数 f（x）x+sinxxcosx 的定义域为2，2） ，则（ ） Af（x）为奇函数 B
23、f（x）在0，）上单调递增 Cf（x）恰有 4 个极大值点 Df（x）有且仅有 4 个极值点 先求出函数定义域，判断函数的定义域关于原点不对称，故可判断 A；对函数求导，然 后结合导数与单调性，极值的关系可对选项 BCD 进行判断 因为 f（x）的定义域为2，2） ， 所以 f（x）是非奇非偶函数， 又 f（x）1+cosx（cosxxsinx）1+xsinx， 当 x0，）时，f（x）0，则 f（x）在0，）上单调递增 显然 f（0）0，令 f（x）0，得 = 1 ， 分别作出 ysinx， = 1 在区间2，2）上的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间2，2）上共有 4 个公共点，且两
24、图象在这些公 共点上都不相切， 故 f（x）在区间2，2）上的极值点的个数为 4，且 f（x）只有 2 个极大值点 故选：BD 本题主要考查了函数奇偶性的判断及利用导数研究函数的单调性及极值存在情况，属于 中档试题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知函数 f（x）= ( 1 3) 2， 0 4 + 2，0 ，则 f（f（8） ） 5 推导出 f（8）4+log284+31，从而 f（f（8） ）f（1）由此能求出结果 因为 f（8）4+log284+31， 所以(8) = (1) = (1 3) ;1 + 2 = 5 故答
25、案为：5 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14某工厂质检部要对即将出厂的 1000 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为 X，则随机变量 X 的方差 DX 47.5 判断事件满足独立重复实验，然后求解方差即可 由题意可知，XB（1000，0.95） ，DX10000.95（10.95）47.5 故答案为：47.5 本题考查独立重复实验的方差的求法，是基本知识的考查 15已知 ab0，且 a+b2，则5 + 1 5的最小值是 18 5 因为 a+b2，所以5 + 1 5 = 1
26、2 ( + )(5 + 1 5) = 1 2 (5 + 5 + 26 5 )，再利用基本不等 式求出即可 因为 a+b2，所以5 + 1 5 = 1 2 ( + )(5 + 1 5) = 1 2 (5 + 5 + 26 5 )， 因为 ab0，所以5 + 5 2（当且仅当 = 5 3， = 1 3时，等号成立） ， 所以5 + 1 5 1 2 (2 + 26 5 ) = 18 5 ， 故答案为：18 5 考查基本不等式的应用，本题的关键是对式子的灵活变形，中档题 16在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 上一点，且 CE2DE，F 为棱 AA1的中点， 且平面 BEF 与 DD
27、1交于点 G，与 AC1交于点 H，则 1 = 1 6 ， 1 = 3 8 推导出 BF平面 CDD1C1，则 BFCE，则 = ，由此能求出 1 = 1 6连接 AC 交 BE 于 M，过 M 作 MNCC1，MN 与 AC1交于 N，连接 FM，则 H 为 FM 与 AC1的交 点由 ABCE，得 1 = = 3 2从而 1 = 3 5，由此能求出 1 正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 ABA1B1平面 CDC1D1， BF平面 ABA1B1，BF平面 CDD1C1，则 BFCE， 则 = ，即 = 1 2，又 CE2DE，则 1 = 1 6 连接 AC 交 BE 于 M，过 M
28、作 MNCC1，MN 与 AC1交于 N，连接 FM， 则 H 为 FM 与 AC1的交点因为 ABCE，所以 = = 3 2，则 1 = = 3 2 所以 1 = 3 5，所以 = 6 5 = ，故 1 = 3 8 故答案为：1 6； 3 8 本题考查两线段的比值的求法， 考查空间中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在cos2B3sinB+202bcosC2ac = :1 3 三个条件中任选一个，补充
29、在下面问题中，并加以解答， 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 ，且 a，b，c 成等差数 列，则ABC 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分来源:学。科。网 Z。X。X。K 选择cos2B3sinB+20，利用倍角公式可得：12sin2B3sinB+20，化简解得： sinB= 3 2 ，又 a，b，c 成等差数列，可得 2ba+c，B 为锐角结合余弦定理即可得出 选择由正弦定理可得 2sinBcosC2sinAsinC，整理得 2cosBsinCsinC0，由于 0 B，可得 = 3，根据 a，b，c
30、 成等差数列，可得 2ba+c，结合余弦定理即可得出 选择由正弦定理得 = :1 3 ， 整理得( 6) = 1 2， 根据 B 的大小可得 = 3， 最后结合余弦定理即可得出 选 cos2B12sin2B， 22 + 3 3 = 0， 即(2 3)( + 3) = 0，解得 = 3（舍去）或 = 3 2 0B， = 3或 2 3 ， 又a，b，c 成等差数列，2ba+c，b 不是三角形中最大的边， 即 = 3， 由 b2a2+c22accosB，得 a2+c22ac0，即 ac， 故ABC 是等边三角形 选 由正弦定理可得 2sinBcosC2sinAsinC， 故 2sinBcosC2si
31、n（B+C）sinC， 整理得 2cosBsinCsinC0 0C，sinC0，即 = 1 2 0B， = 3， 又a，b，c 成等差数列，2ba+c， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 a2+c22ac0，即 ac， 故ABC 是等边三角形 选 由正弦定理得 = :1 3 ， sinA0，3 = 1， 即( 6) = 1 2， 0B， 6 6 5 6 ， 即 6 = 6，可得 = 3， 由余弦定理即 b2a2+c22accosB，可得 a2+c22ac0，可得 ac， 故ABC 是等边三角形 故答案为： 本题考查了解三角形、余弦定理、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算
32、能 力，属于中档题 18设等差数列anbn的公差为 2，等比数列an+bn的公比为 2，且 a12，b11 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列2an+2n的前 n 项和 Sn （1）a1b11，a1+b13，可得 anbn2n1，an+bn32n 1联立解得 a n （2）2an+2n2n1+52n 1利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出 （1）a1b11，a1+b13， anbn1+2（n1）2n1，an+bn32n 1 联立解得 an= 1 2（2n1）+32 n2 （2）2an+2n2n1+32n 1+2n2n1+52n1 数列2an+2n的前 n 项和 Sn= (21+1)
33、 2 +5 12 12 =n2+52n5 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 19在四棱锥 PABCD 中，PAB 是边长为 2 的等边三角形，底面 ABCD 为直角梯形，AB CD，ABBC，BCCDl，PD= 2 （l）证明：ABPD （2）求二面角 APBC 的余弦值 （1） 连结 BD， 推导出 ADPD， BDPD， 从而 PD平面 ABCD， 由此能证明 ABPD （2）由 AD2+BD2AB2，得 ADBD，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A
34、PBC 的余弦值 （1）证明：连结 BD， 在四棱锥 PABCD 中，PAB 是边长为 2 的等边三角形， 底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，ABBC，BCCDl，PD= 2 BDAD= 1 + 1 = 2， AD2+PD2AP2，BD2+PD2PB2， ADPD，BDPD， ADBDD，PD平面 ABCD， AD平面 ABCD，ABPD （2）解：AD2+BD2AB2，ADBD， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，C（ 2 2 2 2 ，0） ，P（0，0，2） ， =（2，0， 2）
35、， =（0，2，2） ， =（ 2 2 ， 2 2 ，2） ， 设平面 ABP 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 2 = 0 = 2 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，1，1） ， 设平面 PBC 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 2 = 0 = 2 2 + 2 2 2 = 0 ，取 z1，得 =（1，1，1） ， 设二面角 APBC 的平面角为 ， 则二面角 APBC 的余弦值为： cos= | | | |= 1 3 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20某工厂为提高生产效率
36、，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择， 生产线： 有 A， B 两道独立运行的生产工序， 且两道工序出现故障的概率依次是 0.02， 0.03若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 15 万元；若 A 工序出现故障，则生产 成本增加 2 万元；若 B 工序出现故障，则生产成本增加 3 万元；若 A，B 两道工序都出 现故障，则生产成本增加 5 万元生产线：有 a，b 两道独立运行的生产工序，且两道 工序出现故障的概率依次是 0.04，0.01若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 14 万元；若 a 工序出现故障，则生产成本增加 8 万元；若 b 工序出现故障，则生产成本增
37、加 5 万元；若 a，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加 13 万元 （1）若选择生产线，求生产成本恰好为 18 万元的概率； （2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由 （1） 若选择生产线， 生产成本恰好为 18 万元， 即 A 工序不出现故障 B 工序出现故障， 利用相互独立事件概率乘法公式能求出生产成本恰好为 18 万元的概率 （2） 若选择生产线， 设增加的生产成本为 （万元） ， 则 的可能取值为 0， 2， 3， 5 分 别求出相应的概率，求出 E0.13 万元，从而选生产线的生产成本期望值为 15.13 万 元若选生产线，设增加的生产成本为 ，则
38、 的可能取值为 0.8，5，13分别求出 相应的概率，求出 E0.37 万元，从而选生产线的生产成本期望值为 14.37 万元，由 此求出应选生产线 （1）若选择生产线，生产成本恰好为 18 万元， 即 A 工序不出现故障 B 工序出现故障， 故生产成本恰好为 18 万元的概率为（10.02）0.030.0294 （2）若选择生产线，设增加的生产成本为 （万元） ，则 的可能取值为 0，2，3，5 P（0）（10.02）（10.03）0.9506， P（2）0.02（10.03）0.0194， P（3）（10.02）0.030.0294， P（5）0.020.030.0006 所以 E00.9
39、506+20.0194+30.0294+50.00060.13（万元） ， 故选生产线的生产成本期望值为 15+0.1315.13（万元） 若选生产线，设增加的生产成本为 ，则 的可能取值为 0.8，5，13 P（0）（10.04）（10.01）0.9504， P（8）0.04（10.01）0.0396， P（5）（10.04）0.010.0096， P（13）0.040.010.0004 所以 E00.9504+80.0396+50.0096+130.00040.37（万元） ， 选生产线的生产成本期望值为 14+0.3714.37（万元） ， 故应选生产线 本题考查概率的求法，考查生产线的
40、选择，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21已知 O 为坐标原点，A（2，0） ，B（2，0） ，直线 AG，BG 相交于点 G，且它们的斜 率之积为 3 4记点 G 的轨迹为曲线 C （1）若射线 x= 2（y0）与曲线 C 交于点 D，且 E 为曲线 C 的最高点，证明：OD AE （2）直线 l： ykx （k0） 与曲线 C 交于 M，N 两点，直线 AM，AN 与 y 轴分别交于 P， Q 两点试问在 x 轴上是否存在定点 T，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 T？若存在，求出 T 的坐标；若不存在，请说明理由 （1）设 G（x，y） ， =
41、 +2 2 = 2 24 = 3 4，进而可得曲线 C 的方程，求出 D，E 坐标，得= = 3 2 ，可得结论； （2） （方法一）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，联立 ykx 与 2 4 + 2 3 = 1，得关于 x 的一 元二次方程，由韦达定理得 x1+x20，12= 12 3+42写出直线 AM 的方程，令 x0 得 (0， 21 1+2)，同理可得(0， 22 2+2)以 PQ 为直径的圆的方程为 2 + ( + 2 )2= ( 2 )2，令 y0，得2= = 412 (1+2)(2+2)化简计算得 x= 3进而得出结 论； （方法二） 设M （x1， y1） ， 则N （x1，
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