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    山东省潍坊市2020届高三第二次模拟考试数学试题(含答案解析)

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    山东省潍坊市2020届高三第二次模拟考试数学试题(含答案解析)

    1、山东省潍坊市山东省潍坊市 2020 届高三第二次模拟考试数学试题届高三第二次模拟考试数学试题 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 U1,2,3,4,5,6,7,A2,3,4,5,B2,3,6,7,则 AUB ( ) A1,4 B1,4,5 C4,5 D6,7 2若复数 = + 1在复平面内对应的点在第二象限内,则实数 a 的值可以是( ) A1 B0 C1 D2 3甲、乙、丙三人中,一人是律师,一人是医生,一

    2、人是记者已知丙的年龄比医生大; 甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小根据以上情况,下列判断正确的是( ) A甲是律师,乙是医生,丙是记者 B甲是医生,乙是记者,丙是律师 C甲是医生,乙是律师,丙是记者 D甲是记者,乙是医生,丙是律师来源:学,科,网 Z,X,X,K 4以抛物线 E:x24y 的焦点为圆心,且与 E 的准线相切的圆的方程为( ) A (x1)2+y24 Bx2+(y+1)24 C (x+1)2+y24 Dx2+(y1)24 5设函数 f(x)为奇函数,且当 x0 时,f(x)excosx,则不等式 f(2x1)+f(x2) 0 的解集为( ) A (,1) B (,1 3) C

    3、(1 3,+) D (1,+) 6 周髀算经是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰: “阴阳之数,日月 之法, 十九岁为一章, 四章为一部, 部七十六岁, 二十部为一遂, 遂千百五二十岁, 生 数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”某老年公寓住有 20 位老人,他们的年龄(都为正 整数)之和恰好为一遂,其中年长者已是奔百之龄(年龄介于 90100) ,其余 19 人的年 龄依次相差一岁,则年长者的年龄为( ) A94 B95 C96 D98 7在四面体 ABCD 中,ABC 和BCD 均是边长为 1 的等边三角形,已知四面体 ABCD 的四个顶点都在同一球面上,且 AD 是该球的直径,则

    4、四面体 ABCD 的体积为( ) A 2 24 B 2 12 C 2 6 D 2 4 8已知 O 为坐标原点,双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的右焦点为 F,过点 F 且与 x 轴垂直的直线与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A(点 A 在第一象限) ,点 B 在双曲线 C 的渐近线上,且 BFOA,若 = 0,则双曲线 C 的离心率为( ) A23 3 B2 C3 D2 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分,在每小题给出的四个选项中分,在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求,全部选对的得有多项符合题目

    5、要求,全部选对的得 5 分,选对但不全的得分,选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分. 9我国是世界第一产粮大国,我国粮食产量很高,整体很安全按照 14 亿人口计算,中国人 均粮食产量约为 950 斤比全球人均粮食产量高了约 250 斤如图是中国国家统计局网 站中 20102019 年,我国粮食产量(千万吨)与年末总人口(千万人)的条形图,根据 如图可知在20102019年中( ) A我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增 B2011 年我国粮食年产量的年增长率最大 C2015 年2019 年我国粮食年产量相对稳定 D2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰 10若 ab1

    6、,c0 则下列不等式中一定成立的是( ) Aa 1 b 1 Ba 1 b 1 Cln(ba)0 D ( ) c( ) c 11在单位圆 O:x2+y21 上任取一点 P(x,y) ,圆 O 与 x 轴正向的交点是 A,设将 OA 绕原点 O 旋转到 OP 所成的角为 , 记 x, y 关于 的表达式分别为 xf () , yg () , 则下列说法正确的是( ) Axf()是偶函数,yg()是奇函数 Bxf()在, 2 , 2-为增函数,yg()在, 2 , 2-为减函数 Cf()+g()1 对于 ,0, 2-恒成立 D函数 t2f()+g(2)的最大值为32 2 12如图,平面 平面 l,A

    7、,C 是 内不同的两点,B,D 是 内不同的两点,且 A, B,C,D直线 l,M,N 分别是线段 AB,CD 的中点下列判断正确的是( ) A若 ABCD,则 MNl B若 M,N 重合,则 ACl C若 AB 与 CD 相交,且 ACl,则 BD 可以与 l 相交 D若 AB 与 CD 是异面直线,则 MN 不可能与平行 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别 是 F1,F2,且 F1,F2与水平夹角均为 45,|1| = |2 | = 102,则

    8、物体的重力大小 为 14已知 (0, 2),( 4) = 5 5 ,则 tan 15植树造林,绿化祖国某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动,准备在一抛物线形地 块上的 ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗,且关于抛物线的如图所示,其中 A、B、C 分 别与 E、F、G 关于抛物线的对称轴对称,现有三种树苗,要求每种树苗至少种植一棵, 且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗,则共有不同的种植方法数是 (用数字作答) 16已知函数() = , 1 23 32+ 1,1则 x1,e时,f(x)的最小值为 ; 设 g (x) f (x) 2f (x) +a 若函数 g (x) 有 6 个零

    9、点, 则实数 a 的取值范围是 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 = 23, = 3, (1)若 = 4,求 b; (2)求ABC 面积的最大值 18已知数列an为正项等比数列,a11,数列bn满足 b23,a1b1+a2b2+a3b3+anbn 3+(2n3)2n (1)求 an; (2)求* 1 +1+的前 n 项和 Tn 19请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答 ABBC,FC 与平面

    10、ABCD 所成的角为 6,ABC= 3 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA平面 ABCD,且 PAPB2, PD 的中点为 F (1)在线段 AB 上是否存在一点 G,使得 AF平面 PCG?若存在,指出 G 在 AB 上的 位置并给以证明;若不存在,请说明理由; (2)若_,求二面角 FACD 的余弦值 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分, 20已知函数 f(x)= 1 + ,() = , (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)证明:a1 时,f(x)+g(x)(1+ 2)lnxe 21区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后,下一代颠覆性的核心

    11、技术区块链作 为构造信任的机器, 将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式, 2015 年至 2019 年五 年期间,中国的区块链企业数量逐年增长,居世界前列现收集我国近 5 年区块链企业总 数量相关数据,如表 年份 2015 2016 2017 2018 2019 编号 1 2 3 4 5 企业总数量 y(单 位:千个) 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224 注: 参考数据 5 1 = 74.691, 5 1 = 312.761, 5 1 = 10.980, 5 1 = 40.457(其中 zlny) 附: 样本 (xi, yi) (i1, 2, , n) 的最小二

    12、乘法估计公式为 = =1 ()() =1 ()2 , = (1)根据表中数据判断,ya+bx 与 ycedx(其中 e2.71828,为自然对数的底数) , 哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量?(给出结果即可,不必 说明理由) (2)根据(1)的结果,求 y 关于 x 的回归方程(结果精确到小数点后第三位) ; (3)为了促进公司间的合作与发展,区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛,邀 请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下:每场比赛有两个公司参加,并决出 胜负; 每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛; 在比赛中, 若有一个公司首先获胜两场,则本

    13、次比赛结束,该公司就获得此次信息化比赛的“优胜 公司” , 已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为1 3,甲胜丙的概率为 3 5,乙胜丙的概率为 1 2,请通过计 算说明,哪两个公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公司”的概率最大? 22已知椭圆: 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 P(2,1) ,F1,F2分别为椭圆 C 的左、右焦点 且1 2 = 1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过 P 点的直线 l1与椭圆 C 有且只有一个公共点,直线 l2平行于 OP(O 为原点) , 且与椭圆 C 交于两点 A、B,与直线 x2 交于点 M(M 介于 A、B 两点之间) (i)当PAB 面积最大时

    14、,求 l2的方程; (ii)求证:|PA|MB|PB|MA|,并判断 l1,l2,PA,PB 的斜率是否可以按某种顺序构成 等比数列? 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 U1,2,3,4,5,6,7,A2,3,4,5,B2,3,6,7,则 AUB ( ) A1,4 B1,4,5 C4,5 D6,7 根据补集与交集的定义,计算即可 集合 U1,2,3,4,5,6,7,B2,3,6,7, 所以UB1,4,5,来

    15、源:学.科.网 又 A2,3,4,5, 所以 AUB4,5 故选:C 本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题 2若复数 = + 1在复平面内对应的点在第二象限内,则实数 a 的值可以是( ) A1 B0 C1 D2 利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部小于 0 且虚部大于 0 求解 a 的范围,则答 案可求 = + 1 = (+)(1+) (1)(1+) = 1 2 + +1 2 在复平面内对应的点在第二象限内, 1 2 0 +1 2 0 ,得1a1 实数 a 的值可以是 0 故选:B 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题 3甲、乙、丙三人中,一人是

    16、律师,一人是医生,一人是记者已知丙的年龄比医生大; 甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小根据以上情况,下列判断正确的是( ) A甲是律师,乙是医生,丙是记者 B甲是医生,乙是记者,丙是律师 C甲是医生,乙是律师,丙是记者 D甲是记者,乙是医生,丙是律师 由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者,由丙的年龄比医生大,得 到乙不是医生,从而乙是教师,甲是医生 由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者, 从而排除 B 和 D; 由丙的年龄比医生大,得到乙不是医生,从而乙是教师,甲是医生 故选:C 本题考查简单的合情推理,考查推理论证能力、总结归纳能力,考查化归与转化思想, 是

    17、基础题 4以抛物线 E:x24y 的焦点为圆心,且与 E 的准线相切的圆的方程为( ) A (x1)2+y24 Bx2+(y+1)24 C (x+1)2+y24 Dx2+(y1)24 求出焦点坐标,得到圆的圆心坐标,然后求解圆的半径,即可求解圆的方程 抛物线 E:x24y 的焦点为圆心,可得圆心坐标(0,1) , 圆与抛物线 E 的准线相切,所以圆的半径为:2, 圆的方程为:x2+(y1)24 故选:D 本题考查抛物线的简单性质,圆的方程的求法,是基本知识的考查,基础题 5设函数 f(x)为奇函数,且当 x0 时,f(x)excosx,则不等式 f(2x1)+f(x2) 0 的解集为( ) A

    18、 (,1) B (,1 3) C (1 3,+) D (1,+) 根据题意,由函数的解析式求出其导数,分析可得 f(x)在0,+)上为增函数,结合 函数的奇偶性分析可得 f(x)在 R 上为增函数,据此可得原不等式等价于 2x12x, 解可得 x 的取值范围,即可得答案 根据题意,当 x0 时,f(x)excosx,此时有 f(x)ex+sinx0,则 f(x)在0, +)上为增函数, 又由 f(x)为奇函数,则 f(x)在区间(,0上也为增函数, 故 f(x)在 R 上为增函数; f(2x1)+f(x2)0f(2x1)f(x2)f(2x1)f(2x)2x12 x, 解可得 x1, 即不等式的

    19、解集为(1,+) ; 故选:D 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及利用导数分析函数的单调性,属于基 础题 6 周髀算经是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰: “阴阳之数,日月 之法, 十九岁为一章, 四章为一部, 部七十六岁, 二十部为一遂, 遂千百五二十岁, 生 数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”某老年公寓住有 20 位老人,他们的年龄(都为正 整数)之和恰好为一遂,其中年长者已是奔百之龄(年龄介于 90100) ,其余 19 人的年 龄依次相差一岁,则年长者的年龄为( ) A94 B95 C96 D98 设年纪最小者年龄为 n,年纪最大者为 m,m90,100,由题可

    20、得 n+(n+1)+(n+2) +(n+18)+m19n+171+m1520,解出 n 的取值范围,根据年龄为整数可得 n 的取 值范围,再代入可得 m 的值 根据题意可知这 20 个老人年龄之和为 1520,设年纪最小者年龄为 n,年纪最大者为 m, m90,100 则有 n+(n+1)+(n+2)+(n+18)+m19n+171+m1520, 则有 19n+m1349,则 m134919n 所以 90134919n100, 解得65 14 19 n 66 5 19 因为年龄为整数,所以 n66, 则 m1349196695 故选:B 本题考查阅读理解能力,合情推理能力,涉及等差数列的性质,

    21、属于中档题 7在四面体 ABCD 中,ABC 和BCD 均是边长为 1 的等边三角形,已知四面体 ABCD 的四个顶点都在同一球面上,且 AD 是该球的直径,则四面体 ABCD 的体积为( ) A 2 24 B 2 12 C 2 6 D 2 4 推导出 ABACBCBDCD1,ABDACD90,OBOCOD= 2 2 ,BO AD,BOBC,从而 BO平面 ACD,由此能求出四面体 ABCD 的体积 在四面体 ABCD 中,ABC 和BCD 均是边长为 1 的等边三角形, 四面体 ABCD 的四个顶点都在同一球面上,且 AD 是该球的直径, ABACBCBDCD1,ABDACD90, OBOC

    22、OD= 2 2 ,BOAD,BOBC, BO平面 ACD, 四面体 ABCD 的体积为: VBACD= 1 3 = 1 3 1 2 2 2 2 2 2 = 2 12 故选:B 本题考查四面体的体积的求法, 考查空间中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识, 考查运算求解能力,是中档题 8已知 O 为坐标原点,双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的右焦点为 F,过点 F 且与 x 轴垂直的直线与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A(点A 在第一象限) ,点 B 在双曲线 C 的渐近线上,且 BFOA,若 = 0,则双曲线 C 的离心率为( ) A23 3 B2 C3 D2 设设双曲线

    23、的半焦距为 c,利用题设条件分别求出 A、B 的坐标,再利用 = 0得到 a 与 c 的关系式,求出离心率 如右图所示,设双曲线的半焦距为 c,渐近线方程为:y , 则点 F(c,0) ,A(c, ) ,设点 B(x0, 0 ) ,BFOA, KOAKBF,即 = 0 0; ,解得:x0= 2, = ( 2, 3 2 ), = ( 2, 2) 又 = 0, 2 4 + 322 42 =0,即 a23b2c2a2+b2,a23(c2a2) 即 3c24a2,所以离心率 e= = 23 3 故选:A 本题主要考查双曲线与向量的综合,属于中档题 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共 4

    24、个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分,在每小题给出的四个选项中分,在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求,全部选对的得有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,选对但不全的得分,选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分. 9我国是世界第一产粮大国,我国粮食产量很高,整体很安全按照 14 亿人口计算,中国人 均粮食产量约为 950 斤比全球人均粮食产量高了约 250 斤如图是中国国家统计局网 站中 20102019 年,我国粮食产量(千万吨)与年末总人口(千万人)的条形图,根据 如图可知在20102019年中( ) A我国粮食年产量与年末总人口均逐年递

    25、增 B2011 年我国粮食年产量的年增长率最大 C2015 年2019 年我国粮食年产量相对稳定 D2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰来源:学+科+网 Z+X+X+K 仔细观察 20102019 年,我国粮食产量(千万吨)与年末总人口(千万人)的条形图, 利用条形数的性质直接求解 由中国国家统计局网站中 20102019 年,我国粮食产量(千万吨)与年末总人口(千万 人)的条形图,知: 对于 A,我国粮食年产量在 2010 年至 2015 年逐年递增,在 2015 年至 2019 年基本稳定 在 66 千万吨以上, 我国年末总人口均逐年递增,故 A 错误; 对于 B,由粮食产量条形图得

    26、 2011 年我国粮食年产量的年增长率最大,故 B 正确; 对于 C,在 2015 年至 2019 年基本稳定在 66 千万吨以上,故 C 正确; 对于 D,2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰,故 D 正确 故选:BCD 本题考查命题真假的判断,考查条形图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 10若 ab1,c0 则下列不等式中一定成立的是( ) Aa 1 b 1 Ba 1 b 1 Cln(ba)0 D ( ) c( ) c 根据题设条件逐项判断即可 由函数 = 1 在(,1)上为增函数可知,当 ab1 时, 1 1 ,故 选项 A 错误; 由函数 = + 1 在在(,1)上

    27、为增函数可知,当 ab1 时, 1 1 , 故选项 B 正确; 由于 ab,则 ba0,但不确定 ba 与 1 的大小关系,故 ln(ba)与 0 的大小关系 不确定,故选项 C 错误; 由 ab1 可知, 1,0 1,而 c0,则( ) 1( ) 0,故选项 D 正确 故选:BD 本题考查实数的大小比较,考查函数思想的运用,属于基础题 11在单位圆 O:x2+y21 上任取一点 P(x,y) ,圆 O 与 x 轴正向的交点是 A,设将 OA 绕原点 O 旋转到 OP 所成的角为 , 记 x, y 关于 的表达式分别为 xf () , yg () , 则下列说法正确的是( ) Axf()是偶函

    28、数,yg()是奇函数 Bxf()在, 2 , 2-为增函数,yg()在, 2 , 2-为减函数 Cf()+g()1 对于 ,0, 2-恒成立 D函数 t2f()+g(2)的最大值为32 2 A,由题可知,xf()cos,yg()sin,根据正弦函数和余弦函数的奇偶性, 可判断选项 A; B,根据正弦函数和余弦函数的单调性,可判断选项 B; C,先利用辅助角公式可得 f()+g()= 2( + 4),再结合正弦函数的值域即可 得解; D,t2cos+sin2,0,2,先对函数 t 求导,从而可知函数 t 的单调性,进而可得 当 sin= 1 2, = 3 2 时,函数 t 取得最大值,结合正弦的

    29、二倍角公式,代入进行运算即 可得解 由题可知,xf()cos,yg()sin,即 A 正确; xf () cos 在, 2 ,0)上为增函数, 在,0, 2-上为减函数; yg () sin 在, 2 , 2- 上为增函数,即 B 错误; f()+g()cos+sin= 2( + 4), ,0, 2-, + 4 , 4 , 3 4 -, 2( + 4) ,1,2-,即 C 正确; 函数 t2f()+g(2)2cos+sin2,0,2,则 t2sin+2cos22sin+2 (12sin2)2(2sin1) (sin+1) , 令 t0,则1 1 2;令 t0,则 1 2 1, 函数 t 在(1

    30、, 1 2)上单调递增,在( 1 2,1)上单调递减,当 sin= 1 2, = 3 2 时,函数 t 取得最大值,为2 3 2 + 2 1 2 3 2 = 33 2 ,即 D 错误 故选:AC 本题考查正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性,三角恒等变换,利用导数求函数的单 调性与最值等, 考查学生灵活运用知识的能力、 推理论证能力和运算能力, 属于中档题 12如图,平面 平面 l,A,C 是 内不同的两点,B,D 是 内不同的两点,且 A, B,C,D直线 l,M,N 分别是线段 AB,CD 的中点下列判断正确的是( ) A若 ABCD,则 MNl B若 M,N 重合,则 ACl C若 AB

    31、与 CD 相交,且 ACl,则 BD 可以与 l 相交 D若 AB 与 CD 是异面直线,则 MN 不可能与平行 由若两两相交的平面有三条交线,交线要么相交于一点,要么互相平行判定 A、B、C; 用反证法证明 D 若 ABCD,则 A、B、C、D 四点共面 ,当 ABCD 时, 平面 、 两两相交有三条交线,分别为 AC、BD、l,则三条交线交于一点 O, 则 l 与平面 交于点 O,MN 与 l 不平行,故 A 错误; 若 M,N 两点重合,则 ACBD,A、B、C、D 四点共面 , 平面 、 两两相交有三条交线,分别为 AC、BD、l, 由 ACBD,得 ACBDl,故 B 正确; 若 A

    32、B 与 CD 相交,确定平面 ,平面 、 两两相交有三条交线,分别为 AC、BD、 l, 由 ACl,得 ACBDl,故 C 错误; 当 AB,CD 是异面直线时,如图,连接 BC,取 BC 中点 G,连接 MG,NG 则 MGAC,AC,MG,则 MG,假设 MNl, l,MN,MN, 又 MNMGM,平面 MNG,同理可得,平面 MNG,则 ,与平面 平 面 l 矛盾 假设错误,MN 不可能与 l 平行,故 D 正确 故选:BD 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定,考查空间想象能力与思维能 力,是中档题 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题

    33、 5 分,共分,共 20 分分 13如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别 是 F1,F2,且 F1,F2与水平夹角均为 45,|1| = |2 | = 102,则物体的重力大小为 20 根据向量加法的平行四边形法则,即可作出1 + 2 ,进而求出|1 + 2 |的值,从而得出 物体重力的大小 如图,|1 | = |2 | = 102, |1 + 2 | = 102 2 = 20, 物体的重力大小为 20 故答案为:20 本题考查了向量加法的平行四边形法则,等腰直角三角形直角边和斜边的关系,考查了 计算能力,属于基础题 14已知 (0, 2),( 4) =

    34、 5 5 ,则 tan 3 由题可知 4 ( 4 , 4),所以 cos( 4)0,利用同角三角函数的平方关系可求得 其值,再采用拼凑角的方法, = ,( 4) + 4-,并结合正弦的两角和公式求出其 值,再一次利用平方关系,求出 cos 的值,最后利用商数关系即可得解 ( 4) = 5 5 ,且 (0, 2) , 4 ( 4 , 4) , ( 4) = 1 2( 4) = 25 5 , = ,( 4) + 4- = 2 2 ,( 4) + ( 4)- = 2 2 35 5 = 310 10 , (0, 2), = 1 2 = 10 10 , = = 3 故答案为:3 本题考查三角恒等变换的混

    35、合运算,观察角之间的联系,使用拼、凑角是解题的关键, 考查学生的运算能力,属于基础题 15植树造林,绿化祖国某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动,准备在一抛物线形地 块上的 ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗,且关于抛物线的如图所示,其中 A、B、C 分 别与 E、F、G 关于抛物线的对称轴对称,现有三种树苗,要求每种树苗至少种植一棵, 且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗,则共有不同的种植方法数是 36 (用数字作答) 先选四个位置上的重复树苗有 C 3 1种方法,再利用相同元素的排列问题(除序法)即可 解决问题 由题意对称相当于 3 种树苗种 A, B, C, D 四个位置

    36、, 必有一种树苗重复有 C 3 1种方法; 在四个位置上种植由4 4 2 2 =12 种方法, 则由乘法原理得 C 3 1 1236 种方法 故答案为:36 本题考查排列组合,计数原理的应用,本题运用除序法,可以避免讨论,简化计算属 于中低档题 16已知函数() = , 1 23 32+ 1,1则 x1,e时,f(x)的最小值为 4 ; 设 g(x)f(x)2f(x)+a 若函数 g(x)有 6 个零点,则实数 a 的取值范围是 (0, 1 4) 来源:学科网 ZXXK 根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值或者下确界, 即可求出 x1, e时, f (x) 的最小值; 令 tf(x) ,根

    37、据题意再结合函数 f(x)的图象,以及 yt2t 的图象即可求出实数 a 的 取值范围 当 x1,e时,f(x)lnx,此时函数在区间上单调递增,故此时函数最小值为 f(1) ln10, 当 x1,1)时,f(x)2x33x2+1,则 f(x)6x26x0 时,x1(舍)或 0, 且有 f(x)在(1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减, 因为 f(1)23+14f(1) , 故函数 f(x)在1,e上的最小值为4; 令 tf(x) ,g(x)0 即 t2ta, 作出函数 yf(x)的图象,如图所示: 直线 yt 与函数 yf(x)的图象最多只有三个交点,所以 0t1, 即说明方程 t2t

    38、a 有两个(0,1)内的不等根, 亦即函数 yt2t 在(0,1)内的图象与直线 ya 有两个交点, 因为 yt2t(t 1 2) 21 4,根据 yt 2t 的图象可知,1 4a0, 即实数 a 的取值范围为 0a 1 4 故答案为:4; (0,1 4) 本题主要考查分段函数的最值求法,以及根据函数的零点个数求参数范围,考查学生的 转化能力和数形结合能力,属于较难题 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 = 23

    39、, = 3, (1)若 = 4,求 b; (2)求ABC 面积的最大值 (1)根据题意利用正弦定理可求 b 的值; (2)由余弦定理和基本不等式可求 bc 的最大值,进而可求ABC 面积的最大值 (1) = 4, = 23, = 3, 由正弦定理 = ,可得 b= = 232 2 3 2 =22 (2) = 23, = 3, 由余弦定理知 a2b2+c22bccosAb2+c2bc2bcbcbc, bca212,当且仅当 bc 取“” ; ABC 面积的最大值为1 2bcsinA= 1 2 12 3 2 =33 本题考查了正弦、 余弦定理的应用问题, 也考查了基本不等式与三角形面积的计算问题,

    40、 属于基础题 18已知数列an为正项等比数列,a11,数列bn满足 b23,a1b1+a2b2+a3b3+anbn 3+(2n3)2n (1)求 an; (2)求* 1 +1+的前 n 项和 Tn 本题第(1)题先将 n1 代入题干表达式可得 b11,再将 n2 代入题干表达式可得 a2 2,然后设等比数列an的公比为 q(q0) ,则根据等比数列的定义可得 q= 2 1,即可 计算出公比 q 的值,即可得到数列an的通项公式 an; 第(2)题由 a1b1+a2b2+a3b3+anbn3+(2n3)2n,类比可得 a1b1+a2b2+a3b3+an 1bn13+(2n5)2n 1,再将两式相

    41、减,进一步转化计算,根据第(1)题的结果可计 算出数列bn的通项公式,注意要验证 n1 时的情况然后计算出数列* 1 +1+的通项 公式,再根据通项公式的特点运用裂项相消法可计算出前 n 项和 Tn (1)由题意,当 n1 时,a1b13+(213)211, a11,b11, 当 n2 时,a1b1+a2b23+(223)227, a1b11,b23,1+3a27,解得 a22, 设等比数列an的公比为 q(q0) ,则 q= 2 1 = 2 1 =2, an12n 12n1,nN* (2)依题意,当 n2 时,由 a1b1+a2b2+a3b3+anbn3+(2n3)2n,可得 a1b1+a2

    42、b2+a3b3+an1bn13+(2n5)2n 1, 两式相减,可得: anbn3+(2n3)2n3+(2n5)2n 1(2n1)2n1, 来源:学科网 ZXXK 由(1)知,an2n 1, bn2n1(n2) , 当 n1 时,b11 也满足上式, bn2n1,nN* 1 +1 = 1 (2;1)(2:1) = 1 2( 1 2;1 1 2:1) , Tn= 1 12 + 1 23 + + 1 +1 = 1 2(1 1 3)+ 1 2( 1 3 1 5)+ 1 2( 1 2;1 1 2:1) = 1 2(1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2+1) = 1 2(1 1 2+1) = 2+1 本题主要考查等比数列的基本量的


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