1、四川省绵阳市四川省绵阳市 2020 届高考适应性考试（四诊）文科数学试题届高考适应性考试（四诊）文科数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 A1，0，1，2，Bx|ex1，xR，则 AB（ ） A0，1，2 B1，2 C1 D2 2下列函数中，定义域为 R，且在区间（0，+）上单调递增的是（ ） Aylnx By= Cysinx Dyex 1 3等差数列an中，a33，a57，则 a7（ ） A5 B9 C1
2、1 D13 45G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了 2019 年手机市场每 月出货量以及与 2018 年当月同比增长的情况，得到如图统计图： 根据该统计图，下列说法错误的是（ ） A2019 年全年手机市场出货量中，5 月份出货量最多 B2019 年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C2019 年全年手机市场总出货量低于 2018 年全年总出货量 D2018 年 12 月的手机出货量低于当年 8 月手机出货量 5在平面内， = (1，3)， = (3，1)，则| =（ ） A23 B22 C2 D3 6函数 ysin（x1）的图象（ ） A关于点（1
3、，0）对称 B关于直线 x1 对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称 7公元 263 年，数学家刘徽在九章算术注中首创“割圆术” ，提出“割之弥细，所失弥 少，割之又割，以至于不可割，则圆周合体而无所失矣” 如图是利用“割圆术”思想求 图形面积的一个程序框图，则其输出的 n 的值为（ ） （参考数据：3 1.73，tan 12 0.27，tan 24 0.13） A6 B12 C24 D48 8方程 2x39x2+12x+10 的实根个数是（ ） A0 B1 C2 D3 9已知数列an的前 n 项和 Snp2n+1，则an为等比数列的充要条件是（ ） Apl B0p1 Cp2 Dp1 1
4、0在区间1，1上任取一个数 k，使直线 yk（x2）与曲线 y= 1 2相交的概率为 （ ） A1 3 B 3 3 C1 6 D 3 6 11 直线 l 过抛物线 C： y24x 的焦点 F， 且与抛物线 C 交于 M， N 两点， P 是 MN 的中点， 若点 P 的纵坐标是 1，则线段 FP 的长为（ ） A25 5 B 5 5 C 5 2 D35 2 12已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E、F 分别是线段 AB、BD1上的动点，若 EF平面 ADD1A1，则三棱锥 AEFB1的最大体积为（ ） A 3 12 B 1 12 C 1 24 D1 8 二、填空题：本大题共二、
5、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13复数 2 1 = 14某工件模具的三视图如图所示，已知俯视图中正方形的边长为 2，则该模具的体积 为 15实数 x，y 满足约束条件 2 0， 1 0， 0， 若目标函数 zax+by（a0，b0）的最大 值为 4，则 ab 的最大值为 16已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左右焦点为 F1（2，0） ，F2（2，0） ， 点 P 是双曲线上任意一点， 若1 2 的最小值是2， 则双曲线 C 的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出
6、文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场为 了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价 x（元/ 件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y（万 件） 90 84 83 80 75 68 （1）根据以上数据，求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）若该产品成本是 4 元/件，假设该产品全
7、部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获 得最大利润？ （参考公式：回归方程 = x+ ，其中 = =1 ()() =1 ()2 ， = ） 18已知向量 =（sin 2，3） ， =（cos 2，cos 2 2） ，f（x）= （1）求 f（x）的最小正周期和最大值； （2）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f（A）= 3 2 ，b2，且 ABC 的面积为 23，求 a 19在几何体 EFGABCD 中，如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AFBGDE，平面 EFG平面 ABCD，DF平面 ABCD，AFAB2AD，EFEG （1）若三棱锥 GDEF 的体积为 1，
8、求 AD； （2）求证：CEAD 20已知函数 f（x）ex+alnx（aR） （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）设 x0是 f（x）的导函数 f（x）的零点，若ea0，求证：(0)0 21已知椭圆 C： 2 2 + 2=1，直线 l：yx+m 交椭圆 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点 （1）若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，求AOB 的面积； （2）若 = (0)，试问椭圆 C 上是否存在点 P，使得四边形 OAPM 为平行四边 形？若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，请说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分
9、请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 + ， = 3 + （t 为参数） 以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 23sin （1）求曲线 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与 C2交于 A，B 两点，若 P（2，3） ，求|PA|+|PB|的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+a （1）若不等式 f（x）3
10、的解集为x|1x3，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若不等式 f（x）+f（x+4）m 恒成立，求实数 m 的取值范围 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 A1，0，1，2，Bx|ex1，xR，则 AB（ ） A0，1，2 B1，2 C1 D2 求出集合 A，B，由此能求出 AB 集合 A1，0，1，2， Bx|ex1，xRx|x0， AB0，1，2 故选：A 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识
11、，考查运算求解能力，是基础题 2下列函数中，定义域为 R，且在区间（0，+）上单调递增的是（ ） Aylnx By= Cysinx Dyex 1 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案 根据题意，依次分析选项：来源:学#科#网 对于 A，ylnx，是对数函数，其定义域为（0，+） ，不符合题意； 对于 B，y= ，其定义域为0，+） ，不符合题意； 对于 C，ysinx，其定义域为 R，在区间（0，+）上不是单调函数，不符合题意； 对于 D，yex 1，其定义域为 R，且在区间（0，+）上单调递增，符合题意； 故选：D 本题考查函数的定义域、单调性的分析判断，注意常见函数
12、的单调性，属于基础题 3等差数列an中，a33，a57，则 a7（ ） A5 B9 C11 D13 根据等差数列的性质即可求出来源:学科网 等差数列an中，a33，a57，则 a72a5a314311， 故选：C 本题考查了等差数列的性质，属于基础题 45G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了 2019 年手机市场每 月出货量以及与 2018 年当月同比增长的情况，得到如图统计图： 根据该统计图，下列说法错误的是（ ） A2019 年全年手机市场出货量中，5 月份出货量最多 B2019 年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C2019 年全年手机市场总出货
13、量低于 2018 年全年总出货量 D2018 年 12 月的手机出货量低于当年 8 月手机出货量 根据图象逐一分析即可 对于 A，由柱状图可得五月出货量最高，故 A 正确； 对于 B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故 B 正确； 对于 C，根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比高，其余各月均低于 2018 年，且明显 总出货量低于 2018 年，故 C 正确； 对于 D，可计算的 2018 年 12 月出货量为 3044.4（114.7%）3569.05，8 月出货量 为 3087.5（15.3%）3260.33569.05，故 12 月更高，故 D 错误， 故选：D 本题考查学生合
14、情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于基础题 5在平面内， = (1，3)， = (3，1)，则| =（ ） A23 B22 C2 D3 根据题意，由向量的坐标计算公式可得 = =（3 1，13） ，由向量模 的计算公式计算可得答案 根据题意， = (1，3)， = (3，1)， 则 = =（3 1，13） ， 则| =(3 1)2+ (1 3)2=22； 故选：B 本题考查向量模的计算以及向量的坐标计算，注意向量的坐标计算公式，属于基础题 6 （5分）函数 ysin（x1）的图象（ ） A关于点（1，0）对称 B关于直线 x1对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称 由已知利用正弦
15、函数的图象和性质即可逐项判断求解 ysin（x1） ， 对于 A，由于 f（1）sin（11）sin00，可得函数 ysin（x1）的图象关于点（1， 0）对称，故 A 正确； 对于 B，由于 f（1）sin（11）sin001，可得函数 ysin（x1）的图象不关 于直线 x1 对称，故 B 错误； 对于 C，由于 f（0）sin（01）sin11，可得函数 ysin（x1）的图象不关 于 x 轴对称，故 C 错误； 对于 D，由正弦函数的图象和性质可求错误 故选：A 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题 7公元 263 年，数学家刘徽在九章算术注中首创“割圆术” ，提出“割之弥细
16、，所失弥 少，割之又割，以至于不可割，则圆周合体而无所失矣” 如图是利用“割圆术”思想求 图形面积的一个程序框图，则其输出的 n 的值为（ ） （参考数据：3 1.73，tan 12 0.27，tan 24 0.13） A6 B12 C24 D48 列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 模拟执行程序，可得： n6，S6tan 6 =23 3.46， 不满足条件 S3.2，执行循环体，n12，S12tan 12 3.24 不满足条件 S3.2，执行循环体，n24，S24tan 24 3.12 此时，满足条件 S3.2，退出循环，输出 n 的值为 24 故选：C 本题考
17、查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题 8方程 2x39x2+12x+10 的实根个数是（ ） A0 B1 C2 D3 先令 f（x）2x39x2+12x+1，然后结合导数分析函数的特征，即可求解 令 f（x）2x39x2+12x+1，则 f（x）6（x1） （x2） ， 当 x2 或 x1 时，f（x）0，函数单调递增，当 1x2 时，f（x）0，函数单 调递减， 故当 x1 时，函数取得极大值 f（1）6，当 x2 时函数取得极小值 f（2）5， 又 x+时，f（x）0，x时，f（x）， 故函数 f（x）与 x 轴只有一个交点 故选：B 本题主要考查了利用导数
18、研究函数的零点个数，属于中档试题 9已知数列an的前 n 项和 Snp2n+1，则an为等比数列的充要条件是（ ） Apl B0p1 Cp2 Dp1 根据数列的递推公式和充要条件即可求出 Snp2n+1， 当 n1 时，a1S1p2+12p+1， 当 n2 时，anSnSn1p2n+1（p2n 1+1）p2n1， an为等比数列， 2p+1p， p1， 故选：A 本题考查了等比数列的通项公式和充要条件，属于基础题 10在区间1，1上任取一个数 k，使直线 yk（x2）与曲线 y= 1 2相交的概率为 （ ） A1 3 B 3 3 C1 6 D 3 6 求出圆心到直线的距离， 根据直线与圆有两个
19、不同的公共点列不等式求出k的取值范围， 再计算所求的概率 曲线 y= 1 2即为圆 x2+y21 的上半圆，圆心为（0，0） ， 圆心到直线 yk（x2）的距离为 |2| 1+2； 要使直线 yk（x2）与圆 x2+y21 有公共点， 则 |2| 1+2 1， 解得 3 3 k 3 3 ； 由图可得：k0， 3 3 ， 在区间1，1上随机取一个数 k， 使直线 yk（x2）与曲线 y= 1 2有公共点的概率为 P= 3 3 0 1(1) = 3 6 故选：D 本题考查了几何概型的概率以及直线与圆相交的性质问题，解题的关键弄清概率类型， 是基础题 11 直线 l 过抛物线 C： y24x 的焦点
20、 F， 且与抛物线 C 交于 M， N 两点， P 是 MN 的中点， 若点 P 的纵坐标是 1，则线段 FP 的长为（ ） A25 5 B 5 5 C 5 2 D35 2 设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，利用点差法求出点的坐标之间的关系，求出点 P 的坐标 即可解决问题 设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，由题意知：1 2 = 41 22= 42， 来源:学科网 由得：22 12= 4(2 1)，又由题知直线 l 的斜率存在，设为 k，则 k= 21 21 = 4 2+1， P 是 MN 的中点，且点 P 的纵坐标是 1， k= 4 2 =2 又 F（1，0） ，设
21、P（t，1） ，则 k2= 10 1，解得 t= 3 2， |PF|=(3 2 1)2+ 1 = 5 2 故选：C 本题主要考查点差法及斜率公式、两点间的公式，属于基础题 12已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E、F 分别是线段 AB、BD1上的动点，若 EF平面 ADD1A1，则三棱锥 AEFB1的最大体积为（ ） A 3 12 B 1 12 C 1 24 D1 8 由题意画出图形，在平面 BDD1内过 F 作 FGDB 于 G，证明 EG平面 AEB1，FG平 面 AEB1，得 F 到平面 AEB1 的距离等于 G 到平面 AEB1 的距离设 BEx（0x1） ， 则 F
22、到平面 AEB1 的距离等于 G 到平面 AEB1 的距离为 x，利用等体积法写出三棱锥 A EFB1的体积，再由二次函数求最值 如图， 由 DD1底面 ABCD，可得平面BDD1底面 ABCD， 在平面 BDD1内过 F 作 FGDB 于 G，则 FG底面 ABCD，可得 FGDD1， FG平面 ADD1A1，又 EF平面 ADD1A1，且 FGFEF， 平面 EFG平面 ADD1A1，可得 EGAD，则 EG平面 AEB1， 又 FGDD1AA1，且 FG平面 AEB1，可得 FG平面 AEB1， 则 F 到平面 AEB1 的距离等于 G 到平面 AEB1 的距离 设 BEx（0x1） ，
23、则 F 到平面 AEB1 的距离等于 G 到平面 AEB1 的距离为 x， 则1= 1 2 (1 ) 1 = 1 2 (1 )， 1= 1= 1 3 1 2(1 ) = 1 6 (2+ ) 当 x= 1 2（0，1）时，(1) = 1 24 故选：C 本题考查多面体体积最大值的求法，考查化归与转化思想方法，训练了利用二次函数求 最值，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13复数 2 1 = 1+i 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，然后化简为 a+bi（abR）的形式 复数 2 1 = 2(1+) (1)(1+) =
24、 1 + 故答案为：1+i 本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题 14某工件模具的三视图如图所示，已知俯视图中正方形的边长为 2，则该模具的体积为 4 2 3 该模具的表面积可分为两部分：去掉一个圆的长方体的体积 V1和半球的体积 V2的差， 即可求出该模具的体积 该模具的表面积可分为两部分：去掉一个圆的长方体的体积 V1和半球的体积 V2， V12214， V2= 1 2 4 3 13= 2 3 则该模具的体积为：4 2 3 故答案为：4 2 3 由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征 15实数 x，y 满足约束条件 2 0， 1 0， 0， 若目标函数 zax+by（a
25、0，b0）的最大 值为 4，则 ab 的最大值为 2 作出不等式对应的平面区域，利用 z 的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本 不等式进行求，可得 ab 的最大值 作出不等式对应的平面区域， 由 zax+by（a0，b0）得 y= x+ ， 则目标函数对应直线的斜率 0，平移直线 y= x+ ，由图象可知当直线经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 最大 由 2 = 0 1 = 0，解得 A（2，1） ， 此时 z 的最大值为 z2a+b422，当且仅当 b2，a1 时取等号 2ab4，ab2 故答案为：2 本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函
26、 数取得最大值的条件是解决本题的关键 16已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左右焦点为 F1（2，0） ，F2（2，0） ， 点 P 是双曲线上任意一点， 若1 2 的最小值是2， 则双曲线 C 的离心率为 2 设点 P（x0，y0） ，写出1 2 的表达式，由其最小值解出 a，再由 c2 求出离心率 设 P（x0，y0） ，则0 2 2 02 2 = 1x 0 2 =a2+ 2 2 02F1（2，0） ，F2（2，0） ， c24a2+b2，1 2 =（x0+2） （x02）+y 0 2 =x 0 2 + 02 4 = 2 2 02+a24 a24， 1 2 的最小值是2
27、，a242，解得 a= 2，又 c2，离心率 e= 2 故答案为：2 本题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生每个试题考生都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场为 了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价 x（元/
28、件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y（万90 84 83 80 75 68 件） （1）根据以上数据，求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）若该产品成本是 4 元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获 得最大利润？ （参考公式：回归方程 = x+ ，其中 = =1 ()() =1 ()2 ， = ） （1）由已知求得 与 的值，可得线性回归方程； （2）设工厂获得的利润为 L 万元，则 L（x4） （20x+250） ，展开后利用配方法求 最值 （1） = 8+8.2+8.4+8.6+8.8+9 6 = 8.5， = 90+84+83+80+75+68 6
29、 = 80 来源:学,科,网 6 =1( )() = 14， 6 =1 ( )2=0.7 = =1 ()() =1 ()2 = 14 0.7 = 20， = =80+208.5250 y 关于 x 的线性回归方程为 y20x+250； （2）设工厂获得的利润为 L 万元 则 L（x4） （20x+250）20（x8.25）2+361.25 预测把单价定为 8.25 元时，工厂获得最大利润，最大利润为 361.25 万元 本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，训练了利用配方法求最值，考查计算能 力，是中档题 18已知向量 =（sin 2，3） ， =（cos 2，cos 2 2） ，f（x）
30、= （1）求 f（x）的最小正周期和最大值； （2）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f（A）= 3 2 ，b2，且 ABC 的面积为 23，求 a （1）计算平面向量的数量积并化简，求出 f（x）的最小正周期和最大值为； （2）由题意求出 A 的值，再利用三角形的面积和余弦定理，求得 a 的值 （1）向量 =（sin 2，3） ， =（cos 2，cos 2 2） ， 所以 f（x）= =sin 2cos 2 3cos2 2 = 1 2sinx 3 2 cosx 3 2 =sin（x 3） 3 2 ； 所以 f（x）的最小正周期为 T= 2 | =2， 当 x 3
31、 = 2 +2k，即 x= 5 6 +2k，kZ 时，f（x）取得最大值为 1 3 2 ； （2）ABC 中，由 f（A）= 3 2 ， 即 sin（x 3） 3 2 = 3 2 ， 所以 sin（A 3）0， 解得 A= 3； 又 b2，ABC 的面积为 S= 1 2bcsinA= 1 2 2csin 3 =23， 解得 c4； 由余弦定理得，a2b2+c22bccosA4+16224cos 3 =12， 解得 a23 本题考查了三角函数的求值问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题 19在几何体 EFGABCD 中，如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AFBGDE，平面 EFG平面 A
32、BCD，DF平面 ABCD，AFAB2AD，EFEG （1）若三棱锥 GDEF 的体积为 1，求 AD； （2）求证：CEAD （1）推导出 EFAD，ABFG，从而四边形 ADEF 和 ABGF 为平行四边形，推导出四 边形 CDFG 是平行四边形， DF平面 EFG， DFEG， 再由 EGEF， 得 EG平面 EFD， 由此能赤求出 AD， （2）由 EG平面 EFD，得 EGAD，由四边形 CDFG 为平行四边形，得 DFGC，由 DFAD，得 ADGC，推导出 AD平面 EGC，由此能证明 ADCE （1）AFBGDE，AF，DE 确定平面 ADEF，AF、BG 确定平面 ABGF，
33、 平面 EFG平面 ABCD，平面 EFG平面 ADEFEF， 平面 ABCD平面 ADEFAD，EFAD，同理，ABFG， 四边形 ADEF 和 ABGF 为平行四边形， 四边形 ABCD 为平行四边形，CDGF，CDGF， 四边形 CDFG 是平行四边形， DF平面 ABCD，DF平面 EFG， 又 EG平面 EFG，DFEG， 又 EGEF，且 EFFDF，EG平面 EFD，来源:Zxxk.Com 设 AFAB2AD2a，有 RtADF 中，DF= 3， VGDEF= 1 3 = 3 2 =1 = 2 3 （2）证明：由（1）得 EG平面 EFD，AD平面 EFD， EGAD， 又四边形
34、 CDFG 为平行四边形，DFGC， DFAD，ADGC， 由 GCEGG，GC平面 EGC，GE平面 EGC， AD平面 EGC， 又 EC平面 EGC，ADCE 本题考查线段长的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20已知函数 f（x）ex+alnx（aR） （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）设 x0是 f（x）的导函数 f（x）的零点，若ea0，求证：(0)0 （1）求出 f（x）的导数，然后求出 f（1） ，f（1） ，利用直线方程的点斜式写出切线方 程； （2）求出零点
35、满足的等量关系、零点满足的范围，然后研究 f（x0）的单调性、最值即 可 （1）当 a1 时，f（x）ex+lnx（x0） ， () = + 1 ，且(1) = ， = (1) = + 1， 故所求切线方程为：ye（e+1） （x1） ， 即（e+1）xy10 （2）证明：由题意：() = + ，x0 是 f（x）的零点， (0) = 0+ 0 = 0，得0= 0， 0= ( 0)，x0+ln（x0）ln（a） ， 结合ea0 可知 x0+ln（x0）ln（a）1， 令 g（x）x+lnx，x0，显然 g（x）在（0，+）上递增，且 g（x0）g（1）1 0x01，因此 alnx00， (0)
36、 = 0+ 00 本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的零点问题，同时考查学生运用转化 思想、 函数与方程思想解题的意识与运算能力、 逻辑推理能力等核心素养 属于中档题 21已知椭圆 C： 2 2 + 2=1，直线 l：yx+m 交椭圆 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点 （1）若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，求AOB 的面积； （2）若 = (0)，试问椭圆 C 上是否存在点 P，使得四边形 OAPM 为平行四边 形？若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，请说明理由 （1）由题意的方程可得右焦点 F 的坐标，进而可得直线 l 的方程，联立直线与椭圆的方 程可得求出 A，B
37、的坐标进而求出三角形 AOB 的面积； （2）因为四边形 OAPM 为平行四边形，所以 m0，且 = + ， =t ， （t 0） ，所以 = +t =（x1+tx2，y1+ty2）可得 P 的坐标，将直线 l 的方程与椭圆联 立可得两根之和及两根之积及判别式大于 0， 将 P 的坐标代入椭圆的方程可得 t 的取值范 围 解（1）由题意的方程可得右焦点 F（1，0） ，因为直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，所以 1 0+m，即 m1， 所以直线 l 的方程为：xy+1，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立直线与椭圆的方程可得 = + 1 2+ 22= 2，整理可得 3y 2+2
38、y10，解得 y1=1 3或 y2 1， 所以 SAOB= 1 2|OF|y1y2|= 1 2 1 | 1 1 3 | = 2 3； （2）联立直线与椭圆的方程： 2 + 22= 2 = + ，整理可得 3x2+4mx+2m220， 16m243（2m22）0，可得 m20，3） ，且 x1+x2= 4 3 ，x1x2= 222 3 ， y1y2（x1+m） （x2+m）x1x2+m（x1+x2）+m2= 22 3 ， 因为四边形 OAPM 为平行四边形，所以 m0，且 = + ， =t ， （t0） ， 所以 = +t =（x1+tx2，y1+ty2） ，所以 P（x1+tx2，y1+ty2
39、） ， 由 P 在椭圆上，所以（x1+tx2）2+2（y1+ty2）22，整理可得（x12+2y12）+t2（x22+2y22） +2tx1x2+4ty1y22， 将上面的代入可得2 22 3 +2 22 3 = t， 即 t= 642 3 ，因为 t0，0m23， 所以可得 t（0，2） ， 所以 t 的取值范围（0，2） 本题考查求面积公式及直线与椭圆的综合， 和四边形为平行四边形的性质， 属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：
40、坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 + ， = 3 + （t 为参数） 以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 23sin （1）求曲线 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与 C2交于 A，B 两点，若 P（2，3） ，求|PA|+|PB|的取值范围 （1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换求出结果 （1）曲线 C2的极坐标方程为 23sin，根据 = = 转换为直角坐标方程 为2+ 2+
41、23 = 0 （2）将曲线 C1的参数方程为 = 2 + = 3 + 代入 2 + 2+ 23 = 0， 得到：t2+4cost+10， 所以 t1+t24cos，t1t21， 所以|PA|+|PB|t1+t2|4|cos|， 由于0，解得2 1 4， 所以1 2 | 1， 所以 24|cos|4， 故|PA|+|PB|的取值范围为（2，4 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方 程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+a （1）若不等式 f（x）3 的解集为x|1x3，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若不等式 f（x）+f（x+4）m 恒成立，求实数 m 的取值范围 （1）不等式 f（x）3 可化为|xa|+a3，求出不等式的解集，再根据题意列方程求出 a 的值； （2）不等式 f（x）+f（x+4）m 恒成立，等价于|x1|+|x+3|m2 恒成立；利用绝对 值不等式求出|x1|+|x+3|的
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