1、通用版 初中数学中考复习宝典 辅导学科教研组编 目录 模块一：数与式 . - 1 - 知识点一：科学记数法及近似数 . - 1 - 知识点二：实数的运算 . - 1 - 知识点三：找规律 . - 3 - 知识点四：整式的运算 . - 5 - 知识点五：因式分解 . - 6 - 知识点六：分式的运算及应用 . - 8 - 知识点七：二次根式的运算及应用 . - 9 - 模块二：方程与不等式 . - 11 - 知识点一：二元一次方程（组）实际应用 . - 11 - 知识点二：含参不等式（组）问题 . - 11 - 知识点三：方程（组）、不等式（组）综合应用 . - 12 - 知识点四：一元二次方程
2、的整数根问题 . - 14 - 知识点五：一元二次方程的实际应用 . - 15 - 知识点六：分式方程无解问题 . - 16 - 知识点七：分式方程的实际应用 . - 17 - 模块三：函数 . - 19 - 知识点一：函数的相关定义 . - 19 - 知识点二：待定系数法求函数解析式 . - 19 - 知识点三：函数图象与性质综合 . - 20 - 知识点四：函数与方程、不等式 . - 24 - 知识点五：函数图象的几何变换 . - 26 - 知识点六：动点函数图象 . - 26 - 知识点七：复杂函数探究 . - 29 - 知识点八：函数与几何图形交点 . - 30 - 知识点九：函数与几
3、何图形存在性 . - 32 - 模块四：几何图形的性质 . - 37 - 知识点一：几何体与展开图 . - 37 - 知识点二：平行线的性质与判定 . - 38 - 知识点三：三角形中的角度计算问题 . - 40 - 知识点四：特殊三角形 . - 42 - 知识点五：最短路径问题 . - 46 - 知识点六：全等三角形的性质与判定 . - 47 - 知识点七：常见全等模型及辅助线 . - 49 - 知识点八：中点相关问题 . - 53 - 知识点九：特殊四边形的性质、判定及计算问题 . - 55 - 知识点十：四边形中的动点问题 . - 56 - 知识点十一：圆中相关性质的计算 . - 58
4、- 知识点十二：圆切线的性质与判定综合 . - 60 - 知识点十三：圆综合 . - 64 - 知识点十四：尺规作图 . - 68 - 模块五：几何图形的变换 . - 71 - 知识点一：坐标系和网格中的几何变换 . - 71 - 知识点二：“将军饮马”问题 - 73 - 知识点三：几何综合-轴对称 - 75 - 知识点四：几何综合-“半角”模型 - 76 - 知识点五：几何综合- “手拉手”模型 . - 78 - 知识点六：几何综合- “对角互补”模型 . - 83 - 知识点七：几何综合-最值问题 - 85 - 知识点八：黄金分割比 . - 90 - 知识点九：相似三角形的性质和判定综合
5、. - 91 - 知识点十：相似模型 . - 92 - 知识点十一：解直角三角形的应用 . - 97 - 知识点十二：投影与视图 . - 99 - 模块六：统计与概率 . - 101 - 模块一：数与式模块一：数与式 知识点一：科学记数法及近似数知识点一：科学记数法及近似数 1.知识秘籍知识秘籍 用科学记数法表示绝对值较大的数的方法： （1）把已知数的小数点向左移动几位，就乘 10 的几次方； （2）已知数的整数部分的位数减去 1，就等于 10 的指数 n 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数的方法：负指数的绝对值为原数第 1 个不为零的 数字前面所有零的个数（包括小数点前的那个零） 。 2.
6、典型例题典型例题 例 1.从权威部门获悉， 中国海洋面积是299.7万平方公里， 约为陆地面积的三分之一，299.7 万平方公里用科学记数法表示为（ ）平方公里（保留两位有效数字） 。 A 6 3 10 B 7 0.3 10 C 6 3.0 10 D 6 2.997 10 【答案】B 【解答】解： 66 299.7=2.997 103.0 10万 例 2.用科学记数法表示：0.0000473 ，四舍五入得到的近似数 76420 保留两位 有效数字后是 。 【答案】 5 4.73 10 ； 4 7.6 10 【解答】解： -5 -0.0000473=-4.73 10 ； 4 764207.6 1
7、0。 知识点二：实数的运算知识点二：实数的运算 1.知识秘籍知识秘籍 （1）先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的，同一级 运算从左到右的以此进行。 0 1 1(0)(0,) p p aaaap a =，为整数 2 (0) (0) a a aa a a = （2）特殊的三角函数： 1 sin30 2 3 cos30 2 3 tan30 3 = = = 3 sin60 2 1 cos60 2 tan603 = = = 2 sin45 2 2 cos45 2 tan451 = = = 2.典型例题典型例题 例 1. 计算：() 2 01 233.142cos60 2 +
8、 。 【解答】解： () 2 01 233.142cos60 2 1 =2- 3+1-2+4 2 =6- 3 + 例 2. 若22a 与2b+互为相反数，求 2 ()ab的算术平方根 【解答】解：22a与2b+互为相反数， 2220ab+=， 22020ab=+=， 12ab= ， 则 2 2 ()1 ( 2)9ab= =， 所以 2 ()ab的算术平方根是3 例 3.计算： 2 2 2sin 60cos60 tan 604cos45 【解答】解：原式 () 2 2 31 2- 22 2 3-4 2 3 1 - 2 2 3-2 2 1 3-2 2 32 2+ 知识点三：找规律知识点三：找规律
9、1.知识秘籍知识秘籍 根据已有的图形与数字提供的信息或解题模式，通过观察、实验、归纳、类比 直观地 发现事物的共同特征，或者发现变化的趋势，据此去猜想一般性的结论，并对所做的猜想进 行验证； 找规律基本方法： （1） 、看增加幅度；如 4、10、16、22n，第n个数表示为： 46(1)nn+=； （2） 、比值相等；如 2、4、8、16第 n 个数表示为2n ； （3） 、平方数列； 如 1，9，25，49第 n 个数表示为 2 (21)n ； （4） 、周期性规律；观察以多少个数为一组 循环；如 4、5、7、9、4、5、7、9，以 4 个数为一组循环，所以第 15 个数为 7； （5） 、
10、与函 数结合综合性问题；观察代入数值求解，比较数值排列规律。 2.典型例题典型例题 例 1. 阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知： 11 =1- 1 22 ， 11 1 =- 2 32 3 ， 11 1 =- 3 43 4 ， （1）根据你发现的规律写出第 n（n 为正整数）个式子是_； （2）计算： 1111 + 1 22 33 499 100 + （3）利用这个规律解方程： 1111 (1)(1)(2)(2018)(2019)2019a aaaaaa += + 【解答】解： （1） 11 =1- 1 22 ， 11 1 =- 2 32 3 ， 11 1 =- 3 43 4 ， 第 n（
11、n 为正整数）个式子是 111 (1)1n nnn = + ， 故答案为： 111 (1)1n nnn = + ； （2） 1111 + 1 22 33 499 100 + 11 11 111 1-+-+-+ 22 33 499100 + 1 1-100 99 100 ； （3） 1111 (1)(1)(2)(2018)(2019)2019a aaaaaa += + 1111111 112201820192019aaaaaaa += + 111 20192019aaa = + 12 2019aa = + 22019aa=+ 2019a = 例 2. 在平面中，如图，两条直线最多只有1个交点，三
12、条直线最多有3个交点若n条直 线最多有55个交点，则n的值为（ ） A9 B10 C11 D12 【答案】C 【解答】解：2 条直线相交最多有 1 个交点； 3 条直线相交最多有 1+2 个交点； 4 条直线相交最多有 1+2+3 个交点； 5 条直线相交最多有 1+2+3+4 个交点； 所以n条直线相交最多有 1 1+2+3+4+5(1)(1) 2 nn n+=个交点； 1 (1)55 2 n n=， 解得 12 1110nn=，（舍） 则n值为 11 故选：C 知识点四：整式的运算知识点四：整式的运算 1.知识秘籍知识秘籍 () mnm n aaamn + =， 都是正整数 ),(都是正整
13、数）（nmaa mnnm = )()(都是正整数nbaab nnn = 22 )(bababa=+ 222 2)(bababa+=+ 222 2)(bababa+= ) 0,(= anmaaa nmnm 都是正整数 2.典型例题典型例题 例 1.下列计算正确的是（ ） A 336 235aaa+= B 5 38 ()xx= C 2 -2 (3)26m mmm= D 2 ( 32)( 32)94aaa+= 【答案】D 【解答】解：A、原式 3 5a，错误； B、原式 15 x，错误； C、原式 2 26mm+，错误； D、原式 2 94a ，正确， 故选：D 例 2. 先化简，再求值： 2 (2
14、)(2)(2)(1)mnnm m+，其中 2 21218230mmn+= 【解答】解： 2 (2)(2)(2)(1)mnnm m+ 222 444-mmnmm+ 2 38nm+ ， 2 212182 -30|mmn+， 2 |232 -0|3mn+（）， 3 0 2 -3=0mn+ ， = 3=1.5mn， 当= 3=1.5mn，时，原式 2 1 1.5 338=-3 4 + （） 知识点五：因式分解知识点五：因式分解 1.知识秘籍知识秘籍 （1）提公因式法：()mambm ab+=+ （2）公式法： 平方差公式： 22 ()()abab ab=+； 完全平方和公式： 222 2()aab b
15、ab+=+ 完全平方差公式： 222 2()aab ba b+= （3） 十字相乘法： 如： 2 56aa+ ； 因为二次项分解为：a a 常数项分解为：6=-2 (-3) ； 所以 2 56=(2)(3)aaaa+ （4）分组分解法：如 222 -2+-1()1(1)(1)xxy yxyxyxy= =+ 2.典型例题典型例题 例 1. 把下列各式分解因式： （1） 2 253xx （2） 223 11 (2 )(2) 24 axaaax （3） 222 (3)4xx （4） 22 2221aabbab+ （5） 22 ()(3) 5()xy xxyyxy xy+ （6） 22 (3 )412
16、abcab+ 【解答】解： （1） 2 253xx (3)(21)xx+； （2） 223 11 (2 )(2) 24 axaaax， 2 1 (2 ) (22 ) 4 a xaaxa+， 1 (2 ) 4 ax xa； （3） 222 (3)4xx， 222 (3)(2 )xx ， 22 (23)(23)xxxx+， (3)(1)(1)(3)xxxx+； （4） 22 2221aabbab+， 22 (2)(22 ) 1aabbab+， 2 ()2() 1abab+， 2 (1)ab+； （5） 22 ()(3) 5()xy xxyyxy xy+， 22 ()(35)xy xxyyxy+，
17、3 ()xy； （6） 22 (3 )412abcab+， 222 69412aabbcab+， 222 (69)(2 )aabbc+， (32 )(32 )abc abc+ 例 2. 若 2 -2 m n xy 与 42 3 m n x y + 是同类项，则3mn的立方根是 【答案】2 【解答】解：若 2 -2 m n xy 与 42 3 m n x y + 是同类项， 4 22 mn mn = += 解方程得： 2 2 m n = = -323 ( 2)8m n = = 8的立方根是2 故答案为：2 知识点六：分式的运算及应用知识点六：分式的运算及应用 1.知识秘籍知识秘籍 ; bc ad
18、 c d b a d c b a bd ac d c b a = );()(为整数n b a b a n n n = ; c ba c b c a = bd bcad d c b a = 2.典型例题典型例题 微信公众号：博物青年 例 1. 先化简，再求值： 22 22 244 xyxy xyxxyy + ，其中sin45x =，cos60y = 【解答】解：原式 2 2 ()()(2 )2 2(2 )2()() xyxy xyxyxyxy xyxyxyxy xyxy + = + ， 当 2 sin45 = 2 x =， 1 cos60 = 2 y =时，原式 21 +2 22 = 2 21
19、+ 22 例 2.先化简，再求值： 2 22 411 () 4422 a aaaaa + ，其中a是一元二次方程 2 320aa+=的根 【解答】解： 2 22 411 () 4422 a aaaaa + 2 (2)(2)1 (2) (2)2 aa a a aa + + 21 ()(2) 22 a a a aa + + 3 (2) 2 a a a a + (3)a a+ 2 3aa+， 2 320aa+=， 2 32aa+=， 原式2 知识点七：二次根式的运算及应用知识点七：二次根式的运算及应用 1.知识秘籍知识秘籍 （1） )0()( 2 =aaa （2）(00)abab ab=， （3）(
20、0,0) aa ab bb = 2.典型例题典型例题 例 1. 比较大小 1 7-2 _ 1 6- 3 （用“”、“”或“”填空） 【答案】 【解答】解： ()() 17+272 = 37-2 727+2 + = ， 16+ 363 = 36- 3( 63)( 63) + = + ； 比较7+2 与63+ 7 6 ，23， 7+263+， 1 7-2 1 6- 3 故答案为： 例 2. 已知x，y 为实数，且8818yxx=+，求xy 的值 【解答】解：8818yxx=+， 8080xx 且， 解得：818xy=， xy8- 182 2-3 2- 2 微信公众号：博物青年 模块二：方程与不等式
21、模块二：方程与不等式 知识点一：二元一次方程（组）实际应用知识点一：二元一次方程（组）实际应用 1.知识秘籍知识秘籍 认真审题，找出已知量、等量关系、未知量，设出未知数并根据等量关系构建二元一 次方程组； 常见的二元一次方程组应用问题有：工程问题，行程问题，购物问题，配套问题，分 段计费问题，鸡兔同笼问题等； 二元一次方程组的常见解法： （1）代入消元法（2）加减消元法； 实际问题要注意验证方程组的解是否符合题意。 2.典型例题典型例题 例 1. 为建设资源节约型、环境友好型社会，切实做好节能减排工作，某市决定对居民家庭 用电实行“阶梯电价”电力公司规定：居民家庭每月用电量在 80 千瓦时以下
22、（含 80 千瓦 时） ，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过 80 千瓦时，超过部分实行“提高电价”， （1）小张家 2020 年 2 月份用电 100 千瓦时，上缴电费 68 元；3 月份用电 120 千瓦时，上 缴电费 88 元求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？ （2）若 4 月份小张家预计用电 130 千瓦时，请预算小张家 4 月份应上缴的电费 【解答】解： （1）设“基本电价”为 x 元/千瓦时，“提高电价”为 y 元/千瓦时， 根据题意，得80 + (100 80) = 68 80 + (120 80) = 88，解之，得 = 0.6 = 1 答：“基本电价”为
23、 0.6 元/千瓦时，“提高电价”为 1 元/千瓦时 （2）800.6+（13080）198（元） 答：预计小张家 6 月份上缴的电费为 98 元 知识点二：含参不等式（组）问题知识点二：含参不等式（组）问题 1.知识秘籍知识秘籍 对于含有参数的不等式（组） ，一般地，把字母参数看作常数，按正常解不等式（组） 的步骤求出含有字母参数的解集，然后按题目要求将未知数的要求转化为字母参数的要 求，列出关于字母参数的关系式，解之即可； 含参不等式组常见类型有：已知不等式（组）的解集求参、已知不等式组的整数解个 数求参。 2.典型例题典型例题 例 1. 关于 x 的不等式组 +4 3 2 + 1 + 0
24、 有且只有 3 个整数解，则 a 的取值范围（ ） A1a2 B2a1 C1a2 D1a2 【解答】A 【解答】解：解不等式+4 3 2 +1，得：x2， 解不等式 x+a0，得：xa， 则不等式组的解集为ax2， 不等式组有且只有 3 个整数解， 不等式组的整数解为 1、0、1， 则2a1，1a2， 故选：A 例 2. 若不等式组：2 37 6 35的解集是 5x22，求 a，b 的值 【解答】解：原不等式组可化为 1 2(3 + 7) 1 3(6 5) 依题意得1 3（6b5a）x 1 2（3a+7b） ， 由题意知：5x22， 1 3(6 5) = 5 1 2(3 + 7) = 22 ，
25、解得 = 3 = 5 知识点三：方程（组） 、不等式（组）综合应用知识点三：方程（组） 、不等式（组）综合应用 1.知识秘籍知识秘籍 常见题目为购物方案选择问题，处理此类题目需要根据题意找出两次购买活动中的等 量关系，设出未知数，表示出每一次购买活动中的等量关系，联立出方程组，求出单价； 微信公众号：博物青年 根据方案要求，设出其中一个物品的购买数量，表示出另外一个物品的购买数量，结 合求出的单价列出两个物品的总价，根据方案要求的总资金要求即可列出不等式（组） ，解 这个不等式（组）即可求出购买数量的取值，由于实际问题要满足实际需要，故购买数量 必须是正整数。 2.典型例题典型例题 例 1.
26、某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发 现，若购买甲种书柜 2 个、乙种书柜 1 个，共需资金 600 元；若购买甲种书柜 1 个，乙种书 柜 2 个，共需资金 660 元 （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共 20 个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的 数量，学校至多能够提供资金 4320 元，请设计几种购买方案供这个学校选择 【解答】解： （1）设甲种书柜每个的价格为 x 元，乙种书柜每个的价格为 y 元， 依题意，得：2 + = 600 + 2 = 660，解得： = 180 = 240 答：设甲种书柜
27、每个的价格为 180 元，乙种书柜每个的价格为 240 元 （2）设购买甲种书柜 m 个，则购买乙种书柜（20m）个， 依题意，得：20 180 + 240(20 ) 4320，解得：8m10 m 为整数， m 可以取的值为：8，9，10 学校的购买方案有以下三种： 方案一：甲种书柜 8 个，乙种书柜 12 个； 方案二：甲种书柜 9 个，乙种书柜 11 个； 方案三：甲种书柜 10 个，乙种书柜 10 个 例 2. 为保护环境，我市某公交公司计划购买 A 型和 B 型两种环保节能公交车共 10 辆，若 购买 A 型公交车 1 辆，B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买 A 型公交车
28、 3 辆，B 型公 交车 2 辆，共需 600 万元 （1）求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人 次若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1200 万元，且确保这 10 辆公交车在 该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案？ （3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？ 【解答】解： （1）设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，购买 B 型公交车每辆需 y 万元， 由题意得： + 2 = 400 3 + 2 = 600，
29、解得 = 100 = 150 答：购买 A 型公交车每辆需 100 万元，购买 B 型公交车每辆需 150 万元 （2）设购买 A 型公交车 a 辆，则 B 型公交车（10a）辆， 由题意得100 + 150(10 ) 1200 60 + 100(10 ) 680 ， 解得：6a8，所以 a6，7，8； 则（10a）4，3，2； 三种方案：购买 A 型公交车 6 辆，则 B 型公交车 4 辆；购买 A 型公交车 7 辆，则 B 型 公交车 3 辆；购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆； （3）购买 A 型公交车 6 辆，则 B 型公交车 4 辆：1006+15041200 万元
30、； 购买 A 型公交车 7 辆，则 B 型公交车 3 辆：1007+15031150 万元； 购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆：1008+15021100 万元； 故购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆费用最少，最少总费用为 1100 万元 知识点四：一元二次方程的整数根问题知识点四：一元二次方程的整数根问题 1.知识秘籍知识秘籍 一元二次方程的整数根问题常见方法有四种： 方法一：利用因式分解法求出含参一元二次方程的两个根：如关于 x 的一元二次方 程 2 (1)10mxmx+ =，可利用十字相乘，将原方程化为(1)(1)0xmx=，求出方程 的两个根，再进
31、一步讨论整数根的问题； 方法二：利用一元二次方程根的判别式进行求解：一元二次方程有整数根的前提是 0，利用此条件求出参数的取值范围，再根据求根公式把每一个根表示出来，利用：“分 离常数法”，再进一步讨论求解 ； 微信公众号：博物青年 方法三：更换主元法：如关于 x 的一元二次方程 2 2(5)40mxmxm+=，此 方程的主元是 x，若将 m 看成是主元，则原方程可化为 2 (1)104m xx+=+，这是关于 m 的一元一次方程，再进一步讨论求解即可 ； 方法四：利用一元二次方程根与系数关系（韦达定理）进行求解 。 2.典型例题典型例题 例 1. 已知关于 x 的一元二次方程 mx22x+2
32、m0 （1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根； （2）当 m 为何整数时，方程有两个不相等的整数根 【解答】解： （1）（2）24m（2m） 48m+4m2 4（m22m+1） 4（m1）20， 不论 m 为何值时，方程总有实数根； （2）（x1） （mx2+m）0， x1= 2 = 2 1，x21 要使 x1，x2均为整数， 2 必为整数 当 m 取1、2 时，x1，x2均为整数 当 m1 时，4（m1）20，此时方程有两个相等的实数根，不符合题意，舍去； m 的值为1 和2，2 知识点五：一元二次方程的实际应用知识点五：一元二次方程的实际应用 1.知识秘籍知识秘籍 认真审题，找出已
33、知量、等量关系，设出未知量，用含有未知量的未知数表示其他 相关量，利用等量关系构建方程，求解、验证即可； 常见的题型有：平均变化率问题、利润问题，面积问题等； 平均变化率问题的等量关系为： n =初值 （1+变化率）末值，n 为变化周期； 利润问题等量关系为：总利润=（售价-进价）件数； 实际问题要满足实际要求，据此对一元二次方程的解进行取舍 。 2典型例题典型例题 例 1.如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃 ABCD，墙可利用的最大长度为 15 米，一面利用旧 墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为 24 米 （1）若围成的花圃面积为 40 平方米时，求 BC 的长； （2）如图，若计划在花圃中间用一
34、道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为 50 平 方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求 BC 的长；如果不能，请说明理由 【解答】解： （1）设 BC 的长为 x 米，则 AB 的长为24 2 米 根据题意，得 24 2 = 40 整理，得 x224x+800 解得 x14，x220 2015， x220 舍去 BC 的长为 4 米； （2）不能围成 理由如下：设 BC 的长为 y 米，则 AB 的长为24 3 米 根据题意，得 24 3 = 50 整理，得 y224y+1500 （24）241150240， 该方程无实数根 不能围成面积为 50 平方米的花圃 知识点六：分式方程无解问
35、题知识点六：分式方程无解问题 1.知识秘籍知识秘籍 分式方程无解有两种情形： （1）分式方程的解为增根； （2）将分式方程转化为整式方 程后，整式方程无解。 微信公众号：博物青年 2.典型例题典型例题 例 1. 当 m 为何值时，关于 x 的方程 2 2 + 24 = 3 +2无解？ 【解答】解：方程两边都乘以（x+2） （x2）去分母得 2（x+2）+mx3（x2） ， 整理得， （1m）x10，解得：x= 10 1， 1m0 时， 10 1无意义， 当 m1 时，原方程无解， x2 或2 时方程无解， 10 1 =2 或 10 1 = 2， 解得：m4 或 m6， 当 m1、m4 或 m6
36、 时，关于 x 的方程 2 2 + 24 = 3 +2无解 知识点七：分式方程的实际应用知识点七：分式方程的实际应用 1.知识秘籍知识秘籍 分式方程的应用题常见问题有：工程问题、行程问题、购物问题等； 其中一种比较典型的问题是：工程问题（工作总量为单位“1”） ，例如一项工程，由甲 单独做天完成，则甲的工作效率为1 ；由乙单独做天完成，则乙的工作效率为 1 ；若甲、 乙合作，则合作的效率为(1 + 1 y)； 根据工作总量=工作时间工作效率列出方程，解方程，检验即可。 2.典型例题典型例题 例 1.为建设“美丽乡村”，需要对某村居民的自来水管进行改造，该工程若由甲队单独施工 恰好在规定时间内完
37、成；若由乙队单独施工，则完成工程所需时间是规定天数的 1.5 倍， 如果由甲、乙两队先合做 10 天，那么余下的工程由乙队单独完成还需 5 天 （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为 6500 元，乙队每天的施工费用为 3600 元为了缩短工期 以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成，则该工 程施工费用是多少？ 【解答】解： （1）设这项工程的规定时间是 x 天，则甲队单独施工需要 x 天，乙队单独施 工需要 1.5x 天， 根据题意得：10 + 10+5 1.5 =1， 解得：x20， 经检验，x20 是原方程的解 答：这项工程的规
38、定时间是 20 天 （2）甲、乙两队合作完成所需的时间：1（ 1 20 + 1 1.520）12（天） ， 该工程所需施工费用： （6500+3600）12121200（元） 答：该工程施工费用是 121200 元 微信公众号：博物青年 模块三：函数模块三：函数 知识点一：函数的相关定义知识点一：函数的相关定义 1.知识秘籍知识秘籍 函数的相关定义主要包含自变量的取值范围，利用函数定义求字母参数. 2.典型例题典型例题 例 1.在函数 1 21 x y x + = 中，自变量 x 的取值范围是 【答案】1x且 1 2 x 【解答】解：根据题意得： 1 0 210 x x + ， 解得：1x且
39、1 2 x 故答案为：1x且 1 2 x 知识点二：待定系数法求函数解析式知识点二：待定系数法求函数解析式 1.知识秘籍知识秘籍 待定系数法求函数解析式原理为根据已知设出函数解析式， 若点在该函数图象上， 那么 该点满足函数的解析式，把横坐标作为 x 代入，把纵坐标作为 y 代入，进而求出字母参数. 2.典型例题典型例题 例 1.若反比例函数(0) k yk x =的图象经过点( 1,2)，则这个函数的图象一定还经过点( ) A(2, 1) B 1 ( 2 ，1) C( 2, 1) D 1 (2，2) 【答案】A 【解答】解： 反比例函数 k y x =的图象经过点( 1,2)，( 1)22k
40、= = A、2( 1)2 = ，此点在反比例函数图象上，故本选项正确； B、 11 1 ()2 22 = ，此点不在反比例函数图象上，故本选项错误； C、( 2)( 1)22 = ，此点不在反比例函数图象上，故本选项错误； D、 1 212 2 = ，此点不在反比例函数图象上，故本选项错误 故选：A 知识点三：函数图象与性质综合知识点三：函数图象与性质综合 1.知识秘籍知识秘籍 一次函数的图象及性质如下： 一次函数 y=kx+b(k0) ， 符号 图象 性质 随的增大而增大 随的增大而减小 反比例函数的图象及性质如下： 反比例 函数 )0(=k x k y k 的符号 k0 k0 时，函数图象
41、的两个分支分别 在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 x 的取值范围是 x0， y 的取值范围是 y0； 当 k0 时，函数图象的两个分支分 别在第二、四象限，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大。 kb 0k 0k 0b 0b0b =0b 0b 0b = yxyx y x O O x y O x yy x OO x y y x O 微信公众号：博物青年 二次函数的图象及性质如下： a的符 号 图象 性质 图象 开口 方向 顶点坐标 对称轴 0a 向上 一般式： 2 4- -, 24 bac b aa 顶点式：( ),h k 双根式： 2 1212 +( - ) , 2
42、4 xxx x x = 2 x 对称轴时， y随x的增大而 增大； x对称轴时， y随x的增大而 减小； x = 2时， y 有最小值（顶 点纵坐标） ； 0a 向下 一般式： 2 4- -, 24 bac b aa 顶点式：( ),h k 双根式： 2 1212 +( - ) , 24 xxx x x = 2 x 对称轴时， y随x的增大而 减小； x对称轴时， y随x的增大而 增大； x = 2时， y 有最大值（顶 点纵坐标） ； 2.典型例题典型例题 例 1.如图，直线ykxc=+与抛物线 2 yaxbxc=+的图象都经过y轴上的D点，抛物 线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线1x
43、=，且OAOD=直线ykxc=+与x轴交于 点C（点C在点B的右侧） 则下列命题中正确命题的是( ) 0abc ； 30ab+； 10k ； 420abc+； abk+ O y x 1 2 y x O A B C D 【答案】B 【解答】解： 抛物线开口向上， 0a 抛物线对称轴是1x =， 0b 且2ba= 抛物线与y轴交于正半轴， 0c 0abc 错误； 2ba= ， 3320abaaa+=， 30ab+正确； 2ba= ， 42440abcaacc+=+=， 420abc+错误； 直线ykxc=+经过一、二、四象限， 0k OAOD=， 点A的坐标为( ,0)c 直线ykxc=+当xc=
44、时，0y ， 0kcc+可得1k 10k 正确； 直线ykxc=+与抛物线 2 yaxbxc=+的图象有两个交点， 2 axbxckxc+=+， 微信公众号：博物青年 得 1 0x =， 2 kb x a = 由图象知 2 1x ， 1 kb a kab +， abk+正确， 即正确命题的是 故选：B 例 2.在同一坐标系中，二次函数 2 yaxbx=+与一次函数ybxa=的图象可能是( ) A B C D 【答案】C 【解答】解：由方程组 2 yaxbx ybxa =+ = 得 2 axa= ， 0a 2 1x= ，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除B A：二次函数开口向
45、上，说明0a ，对称轴在y轴右侧，则0b；但是一次函数b为一次项 系数，图象显示从左向右上升，0b，两者矛盾，故A错； C：二次函数开口向上，说明0a ，对称轴在y轴右侧，则0b；b为一次函数的一次项系 数，图象显示从左向右下降，0b，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错 故选：C 知识点四：函数与方程、不等式知识点四：函数与方程、不等式 1.知识秘籍知识秘籍 函数图象与 x 轴交点的纵坐标等于 0，函数图象与 y 轴交点的横坐标为 0，函数图象的 交点坐标同时满足两个函数解析式，也就是方程组联立的解。 一次函数与坐标轴恒有交点，k 不相等的两个一次函数一定有交点；二次函数与 x 轴有 交点的条件是0 ，当0 时，二次函数与 x 轴有两个交点；当0 =时，二次函数与 x 轴有一个交点。解决二次函数、一次函数和反比例函数的交点问题，需要联立解析式，解方 程组，方程组的解为交点的横纵坐
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