1、成都市第七中学高中2017级2020年春期高考适应性考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1. 已知集合 2 21 ,3,MxxNx xxZ=若( )( )( )( )() * 11 , nn fxf
2、xfxffxnN + =，则( ) 2019 fx在 1,2上的最大值是（） A 2018 41 B 2019 41 C. 2019 91 D 2019 2 31 11.已知点C是抛物线 2 4yx=上的动点，以C为圆心的圆经过抛物线的焦点F，且圆C与直线 1 2 x = 相交于,A B两点，则FA FB的取值范围是（） A)4,+ B)3,+ C.)2,+ D)1,+ 12.已知正实数 m，n，设 a=m+n，b= 22 14mmnn+若以 a，b 为某个三角形的两边长，设其第三 条边长为 c，且 c 满足 c2=kmn，则实数 k 的取值范围为（） A （1，6） B （2，36） C （
3、4，20） D （4，36） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 若43 ( )31f xxxx=+ ， 用秦九韶算法计算 ( )f 时， 需要乘法和加法的总次数为 14已知向量a,b满足2=|a|=|b|，且2= (a+2b)(a-b)，则向量a,b的夹角为 15在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染 1；再染 3 个偶数 2，4， 6；再染 6 后面最邻近的 5 个连续奇数 7，9，11，13，15；再染 15 后面最邻近的 7 个连续偶数 16，18，20， 22，24，26，28；再染此后最邻近的 9 个连续奇数 29，31
4、，45；按此规则一直染下去，得到一红色子 数列： 1， 2， 4， 6， 7， 9， 11， 13， 15， 16， ， 则在这个红色子数列中， 由 1 开始的第 2020 个数是 16. 已知 a，b0，1，则( , )(1)(1) 11 ab S a bab ba =+ + 的最小值为 适应性考试理科数学 第 2 页，共 4 页 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （本小题满分 12 分） 把函数( )2sinf xx=的图象
5、向左平移 (0) 2 个单位，得到函数( )yg x= 的图象，函数( )yg x=的图象关于直线 6 x =对称，记函数( )( )( )h xf xg x=. （1）求函数( )yh x=的最小正周期和单调增区间； （2）画出函数( )yh x=在区间 , 2 2 上的大致图象. 18（本小题满分 12 分） 为了响应 2020 年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调 查.每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分（满分：100 分）数 据，统计结果如下表所示： 组别 30,40) 40,50) 50,60) 60
6、,70) 70,80) 80,90) 90,100) 频数 25 150 200 250 225 100 50 （1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分 X 服从正态分布( ,210)N， 近似为这 1000 人 得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表） ，求(3679.5)Px； （2）在（1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （i）得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费； （ii）每次赠送的随机话费和对应的概率为： 赠送的随机话费（单位：元） 20 40 概率 0.75 0.25 现市民李华要参加此次问卷调查
7、， 记 X 为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列及数学期望。 已知： 21014.5；若 2 ( ,)XN ，则 ()0.6827, (22 )0.9545, (33 )0.9973PXPXPX+=+=+=。 19（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中，点 F1、F2分别为 C：x 2 a2 y2 b21（a0，b0）的左、右焦点，双曲线 C 的离心 率为 2，点 3 1, 2 在双曲线 C 上不在 x 轴上的动点 P 与动点 Q 关于原点 O 对称，且四边形 PF1QF2的周 长为 4 2. 适应性考试理科数学 第 3 页，共 4 页 （1）求动点 P 的轨迹方程； （2
8、）在动点 P 的轨迹上有两个不同的点 M（x1，y1）、N（x2，y2），线段 MN 的中点为 G，已知点（x1， x2）在圆 x2y22 上，求|OG|MN|的最大值，并判断此时OMN 的形状。 20. （本小题满分 12 分） 如图，在正三棱锥 A-BCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，EFDE,且 BC=1， （1）求点 A 到平面EFD的距离 （2）设BD中点为M，空间中的点Q，G满足2CQAMAG= ，点P是线段CQ上的动点，若二 面角PABD的大小为，二面角PBGD的大小为，求cos()+的最大值。 21（本小题满分 12 分） 己知函数 f（x）=ln xax+1，其中
9、 aR （1）求 f（x）的单调区间； （2）当 a=1 时，斜率为 k 的直线 l 与函数 f（x）的图象交于两点 A（x1，y1）， B（x2，y2），其中 x1x2，证明： 12 1 1 xx k + ； （3）是否存在 kZ，使得 f（x）+ax2k（1- 2 x ）对任意 xl 恒成立？若存在，请求出 k 的最大值； 若不存在，请说明理由 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 1 C： 4cos 3sin xt yt = + =+ （t 为参数） ，
10、 2 C： 8cos 3sin x y = = （为参数） 。 （1）化 1 C， 2 C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 1 C上的点 P 对应的参数为 2 t = ，Q 为 2 C上的动点，求PQ中点M到直线 3 C： 32 2 xt yt =+ = + （t 为参数）距离的最小值。 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 如图，O为数轴的原点， A、 B、 M 为数轴上三点，C为线段OM上的动点， 设x表示C与原点的距离， y表示C到A距离 4 倍与C到B距离的 6 倍的和。 （1）将y表示为x的函数； （2）要使y的值不超过 70，x应该在什么范围
11、内取值？ 适应性考试理科数学 第 4 页，共 4 页 成都市第七中学高中2017级2020年春期高考适应性考试 理科数学参考答案与评分说明 注意事项： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2. 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有 较严重的错误，就不再给分 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分
12、一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C C B B C D D B D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 136 14 3 153976 16. 13 5 5 2 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （本小题满分 12 分） 解： （1）( )2
13、sin()g xx=+， 根据( )yg x=的图象关于直线 6 x =对称， 得 () 62 mm+=+Z， 即 () 3 mm=+Z， 又 0 2 ， 所以 3 =， 则 ( )2sin() 3 g xx=+， （2 分） 则 13 ( )( )( )4sinsin()4sin ( sincos ) 322 h xf xg xxxxxx=+=+ 适应性考试理科数学参考答案与评分说明 第 1 页，共 6 页 2 2sin2 3sin cos1cos23sin22sin(2)1 6 xxxxxx=+= +=+，（4 分） 则函数( )yh x=的最小正周期 2 2 T =， 令 2 22 ()
14、 262 kxkk+Z，得 () 63 kxkk+Z， 故函数( )yh x=的单调增区间是 ,() 63 kkk+Z.（6 分） （评分说明：未指明 kZ 扣 1 分） （2）列表如下：故( )yh x=在区间 , 2 2 上的大致图象是： （12 分） （评分说明：不必写出计算过程。 “五点法”作图，标出五点 4 分，取值范围正确 1 分，连线 1 分） 18（本小题满分 12 分） 解： （1）根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得 （1 分） 又， （3 分） 所以P（36Z795）。（5 分） （2） 根据题意,可以得出所得话费的可能值有元。 （6 分） 得 20 元的情
15、况为低于平均值，概率；（7 分） 得 40 分的情况有一次机会获 40 元，2 次机会 2 个 20 元， 概率；（8 分） 得 60 分的情况为两次机会，一次 40 元一次 20 元，概率；（9 分） 得 80 分的其概况为两次机会，都是 40 元，概率为。（10 分） 所以变量 X 的分布列为: 适应性考试理科数学参考答案与评分说明 第 2 页，共 6 页 X 20 40 60 80 P （11 分） 所以其期望为。（12 分） （评分说明：未写出 X 的所有可能值扣 1 分，只写出分布列而无每项计算过程扣 3 分，期望无过程不 扣分。） 19（本小题满分 12 分） 解：(1)设点F1、
16、F2分别为(c，0)，(c，0)(c0)， 由已知 c a2，所以 c2a，c 24a2，b2c2a23a2，（1 分） 又因为点 3 1, 2 在双曲线C上，所以 1 a 2 9 4 b 21， （2 分） 则b 29 4a 2a2b2，即 3a29 4a 23a4， 解得a 21 4， a1 2。 （3 分） 所以c1。 连接PQ，因为OF1OF2，OPOQ，所以四边形PF1QF2为平行四边形，因为四边形PF1QF2的周长为 4 2， 所以|PF2|PF1|2 2|F1F2|2. （4 分） 所以动点P的轨迹是以点F1、F2分别为左、右焦点， 长轴长为 2 2的椭圆(除去左右顶点)。（5
17、分） 可得动点P的轨迹方程为： x 2 2y 21(y0) （6分） （评分说明：未指明y0 扣 2 分。） (2)因为x 2 1x 2 22， EA x A 2 1 A E 2 E A y A 2 1 EA 1， EA x A 2 2 A E 2 E A y A 2 2 EA 1，所以y A 2 1E Ay A 2 2 EA 1，（7 分） 所以|OG|MN|MN|OG| （x1x2） 2（y 1y2） 2 22 1212 22 xxyy+ + 1 2 x 2 1x 2 2y 2 1y 2 22x1x22y1y21 2 32x1x22y1y232x1x22y1y21 2 12121212 3
18、22322 2 x xy yx xy y+ 3 2。（10 分） 等号当且仅当 32x1x22y1y232x1x22y1y2， 即x1x2y1y20， （11 分） 适应性考试理科数学参考答案与评分说明 第 3 页，共 6 页 所以OMON， 即OMN为直角三角形。 （12 分） 20. （本小题满分 12 分） 解： （1）由题意得：AC 面 BAD，则 AB=AD=AC，且三条线两两垂直。（1 分） 5 16 EFD S=，设 A 点到平面 EFD 的距离为d 1 8 ADE S=，点 F 到平面 ADE 的距离为 2 4 （3 分） A EFDFADE VV =， 所以 10 10 d
19、=， 则点 A 到平面EFD的距离为 10 10 （5 分） （2） 由题意： AB=AD=AC， 且三条线两两垂直以AB,AD,AC 为边， 将四面体补形成正方体 11 ABGDCBQD， 正方体的棱长为 2 2 ，如图所示（6 分） 过点P作PO 面ABGD，由题意,PROPSO= = ，cos()cos()PROPSO+=+ 要 求cos()+的 最 大 值 即 求cos()PROPSO+的 最 大 值 ， 即 求 PROPSO+的最大值（8 分） 设 2 (0) 2 ORxx= 2 2 tanPRO x = 2 2 tan 2 2 PSO x = （9 分） 22 22 21 2 22
20、 tan()(0) 22221 () 2222 1 2 2 x x PROPSOx xx x x + += （10分） 当 2 4 x =时， （11 分） max 4 tan() 3 PROPSO+= 此时cos()+的最大值为 3 5 （12 分） O C P M S R E B A D D1Q B1 适应性考试理科数学参考答案与评分说明 第 4 页，共 6 页 （评分说明：本题若采用建系，只要结果正确同样也给分，但评分时请特别注意，未说明三条直线 两两垂直交于一点扣 2 分；无论几何法或是向量，未作图均扣 1 分） 21（本小题满分 12 分） 解：（1）f（x）=，x0， 当 a0 时
21、，f（x）0，即 f（x）在（0，+）上是增函数（1 分） 当 a0 时，x（0，）时，f（x）0，f（x）在（0，）上为增函数；x（，+）时，f （x）0，f（x）在（，+）上为减函数（2 分） 综上所述，当 a0 时，f（x）的增区间为（0，+）；当 a0 时，f（x）的单调增区间为（0，）， f（x）的单调减区间为（，+）；（3 分） （评分说明：综上所述错误或未综上所述扣 1 分） （2）当 a=1 时，f（x）=lnxx+1， ， （4 分） 要证，即证， x2x10，即证 令， 即证lntt1 （t1） （5 分） 令 k（t）=lntt+1（t1），由（1）知，k（t）在（1，+
22、）上单调递减， k（t）k（1）=0，即 lntt+10，则 lntt1（6 分） 令 h（t）=lnt+1（t1），则 h（t）=， h（t）在（1，+）上单调递增，则 h（t）h（1）=0，即 lnt1（t1）（7 分） 综得：1lntt1（t1），即；（8 分） 适应性考试理科数学参考答案与评分说明 第 5 页，共 6 页 （评分说明：lnt1和 lntt1 两不等式未证明而直接使用的，一处扣 2 分） （3）由已知 f（x）+ax2k（1 一）即为 x（lnx1）k（x2），x1， 即 x （lnx1） kx+2k0， k1 （9 分） 令 g（x）=x（lnx1）kx+2k，x1，则
23、 g（x）=lnxk， 当 k0 时，g（x）0，故 g（x）在（1，+）上为增函数，（10 分） 由 g（1）=1k+2k=k10，则 k1，矛盾（11 分） 当 k0 时，由 lnxk0，解得 xe k，由 lnxk0，解得 1xek， 故 g（x）在（1，e k）上是减函数，在（ek，+）上是增函数， （12 分） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 解： （1） 22 22 12 :(4)(3)1,:1 649 xy CxyC+=+=， 1 C为圆心是( 4,
24、3)，半径是 1 的圆。（2 分） 2 C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆（4 分） （评分说明：只说出圆、椭圆，而未说明半径、长半轴、短半轴，各扣 1 分） （） 2 t =时，P（-4,4）,Q（8cos,3sin),故 3 ( 24cos ,2sin ) 2 M +, 3 C:270xy=， （6 分） 中点 M 到 3 C的距离 5 |4cos3sin13| 5 d= 5 |5cos() 13| 5 =+ 5 135cos() 5 =+， 从而当 43 cos,sin 55 = 时，d取得最小值 8 5 5 。 （10 分） （评分说明：未指明等号取得条件，扣 2 分） 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 解（1）4|10| 6|20|,030yxxx=+；（4 分） （评分说明：未说明取值范围扣 2 分） （2）依题意，x满足 4|10| 6|20| 70 030 xx x + ，（7 分） 解不等式组，其解集为9,23，所以9,23x。（10 分） （评分说明：未写成集合或区间扣 1 分） 适应性考试理科数学参考答案与评分说明 第 6 页，共 6 页
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