1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1设集合 Ax|log2x1，Bx|x2x20，则BA（ ） A（，2） B（1，0 C（1，2） D（1，0） 2已知 ，若 ，则 a（ ） A1 B C D5 3已知 ， ， ，则（ ） Aabc Bcba Cacb Dbac 4某公司对旗下的甲、乙两个门店在 1 至 9 月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到 如图折线图 下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（ ） A甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为 32 万元 B根据甲门店的营业额折线图可
2、知，该门店营业额的平均值在20，25内 C根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势 D乙门店在这 9 个月份中的营业额的极差为 25 万元 5若 x，y 满足约束条件 ，则 zx2y 的最大值为（ ） A5 B6 C3 D4 6某几何体的三视图如图所示，则其体积是（ ） A B36 C63 D216+9 7著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好， 隔裂分家万事休 ” 在数学的学习和研究中， 我们经常用函数的图象来研究函数的性质， 也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的 LOGO 为，可 抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函
3、数中，其图象大致可“完美”局部表达这 条曲线的函数是（ ） A B C D 8已知函数 f（x）sin（x+）（0）的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 ，若 ， ，则正数 的最小值为（ ） A B C D 9若 的展开式中 x2的项的系数为 ，则 x5的项的系数为（ ） A B C D 10抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 的直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点， 点 P 为抛物线 C 上的动点，且点 P 在 l 的左侧，则PMN 面积的最大值为（ ） A B C D 11 在矩形 ABCD 中， AB4， BC3， 沿矩形对角线 BD 将BCD 折起形成四面体
4、 ABCD， 在这个过程中，现在下面四个结论： 在四面体 ABCD 中，当 DABC 时，BCAC； 四面体 ABCD 的体积的最大值为 ； 在四面体 ABCD 中，BC 与平面 ABD 所成角可能为 ； 四面体 ABCD 的外接球的体积为定值 其中所有正确结论的编号为（ ） A B C D 12 若对任意的 x1， x2 2， 0） ， x1x2， a 恒成立， 则 a 的最小值为 （ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13已知向量 （m，1）， （4，m），向量 在 方向上的投影为 ，则 m 14在ABC 中，角
5、 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ， ， 则ABC 的面积为 15若 ，则 16双曲线 C 的渐近线方程为 ，一个焦点为 F（0，8），则该双曲线的标准方 程为 已知点 A（6，0），若点 P 为 C 上一动点，且 P 点在 x 轴上方，当点 P 的位置变化时，PAF 的周长的最小值为 三、解答题；共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17设an是一个首项为 2，公比为 q（q1）的等比数列，且 3a1，2a2，a3成等差数列 （1）
6、求an的通项公式； （2）已知数列bn的前 n 项和为 Sn，b11，且 1（n2），求数列an bn 的前 n 项和 Tn 18 如图， 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面为正方形， AB1， AA13， 2 ， 2 ， N 是棱 C1D1的中点，平面 AEC1与直线 DD1相交于点 F （1）证明：直线 MN平面 AEC1F （2）求二面角 EACF 的正弦值 19已知 0m2，动点 M 到两定点 F1（m，0），F2（m，0）的距离之和为 4，设点 M 的轨迹为曲线 C，若曲线 C 过点 ， （1）求 m 的值以及曲线 C 的方程； （2）过定点 ， ）且斜率不为零的直线 l 与曲线
7、 C 交于 A，B 两点证明：以 AB 为直 径的圆过曲线 C 的右顶点 20已知函数 f（x）lnxtx+t （1）讨论 f（x）的单调性； （2） 当 t2 时， 方程 f （x） max 恰有两个不相等的实数根 x1 ， x 2， 证明： 21 2020 年 4 月 8 日零时正式解除离汉通道管控， 这标志着封城 76 天的武汉打开城门了 在 疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕， 严密防范、 慎终如始 为科学合理地做好小区管理工作， 结合复工复产复市的实际需要， 某小区物业提供了 A， B 两种小区管理方案， 为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方
8、 案，随机选取了 4 名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： 单独投给 A 方案，则 A 方案得 1 分，B 方案得1 分； 单独投给 B 方案，则 B 方案得 1 分，A 方案得1 分； 弃权或同时投票给 A，B 方案，则两种方案均得 0 分 前 1 名物业人员的投票结束，再安排下 1 名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方 案多 4 分或 4 名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最 终管理方案假设 A，B 两种方案获得每 1 名物业人员投票的概率分别为 和 （1）在第 1 名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为 ，求 的分布列； （2）求最终选取 A 方
9、案为小区管理方案的概率 选考题： 共 10 分请考生在第 22、 23 题中任选一题作答.如果多做， 则按所做的第一题计分.选 修 4-4：坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C1的参数方程为 （ 为参数） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos曲线 C3的极坐标方程为 ，曲线 C1与曲线 C2的交线为直线 l （1）求直线 l 和曲线 C3的直角坐标方程； （2）直线 l 与 x 轴交于点 M，与曲线 C3相交于 A，B 两点，求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）2x1|x1| （1）求
10、不等式 f（x）3 的解集； （2）若方程 f（x）x2+ax 有两个不等实数根，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|log2x1，Bx|x2x20，则BA（ ） A（，2） B（1，0 C（1，2） D（1，0） 【分析】先求出集合 A，B，再利用补集的定义即可算出结果 解：集合 Ax|log2x1x|0x2，Bx|1x2， BAx|1x0， 故选：B 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题 2已知 ，若 ，则 a（ ） A1 B C D5 【分析】 z 2a
11、ai， 利用互为共轭复数的性质可得 z ， a 0，解得 a 解：z 2aai， 5z ，a0，解得 a1 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算法则、互为共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 3已知 ， ， ，则（ ） Aabc Bcba Cacb Dbac 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解：30.3301，a1， ，0b ， ，且 ， ， acb， 故选：C 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 4某公司对旗下的甲、乙两个门店在 1 至 9 月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到 如图折线图
12、 下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（ ） A甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为 32 万元 B根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在20，25内 C根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势 D乙门店在这 9 个月份中的营业额的极差为 25 万元 【分析】据折线图分别判断 ABCD 的正误即可 解：对于 A，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，最高营业额远低于 32 万元，A 错误 对于 B，甲门店的营业额的平均值为 21.6， 即该门店营业额的平均值在区间20，25内，B 正确 对于 C，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是
13、上升趋势，C 正确 对于 D，乙门店在这 9 个月中的营业额最大值为 30 万元，最小值为 5 万元，则极差为 25 万元，D 正确 故选：A 【点评】本题考查了频率分布折线图，考查数形结合，是一道基础题 5若 x，y 满足约束条件 ，则 zx2y 的最大值为（ ） A5 B6 C3 D4 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数 zx2y 为直线方程的斜截式，可知当直 线在 y 轴上的截距最小时 z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的 坐标，代入目标函数可求 z 的最大值 解：由 x，y 满足约束条件 ，作出可行域如图， 由 zx2y，得 y x ， 由图可知，当直线 y
14、x 过可行域内点 A 时 直线在 y 轴上的截距最小，z 最大 联立 ，解得 A（2，3） 目标函数 zx2y 的最大值为2+234 故选：D 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作 出可行域，是中档题 6某几何体的三视图如图所示，则其体积是（ ） A B36 C63 D216+9 【分析】由三视图知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积 解：由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示； 则该组合体的体积为 VV柱+V锥 32 6 3 2 363 故选：C 【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的体积问题，是基础题 7著名数学家华
15、罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好， 隔裂分家万事休 ” 在数学的学习和研究中， 我们经常用函数的图象来研究函数的性质， 也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的 LOGO 为，可 抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这 条曲线的函数是（ ） A B C D 【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值，利用排除法得解 解：观察图象可知，函数的图象关于 y 轴对称，而选项 B，D 为奇函数，其图象关于原 点对称，不合题意； 对选项 A 而言，当 ， 时，f（x）0，不合题意； 故选：C 【点评】本题考查函数的图象及其
16、性质，考查运算求解能力，属于基础题 8已知函数 f（x）sin（x+）（0）的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 ，若 ， ，则正数 的最小值为（ ） A B C D 【分析】根据函数 f（x）的性质可知，相邻的与 x 轴的两个交点距离是半个周期，由此 可求得 ，然后 是最值点，求出 的值 解：因为函数 f（x）sin（x+） （0）的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 ， 所以 ，解得 4，故 f（x）sin（4x+）， 又因为 ， ， 是 f （x） 的一条对称轴， 所以 ， k Z， ， 令 k1，得 为最小值 故选：B 【点评】本题考查据图求式问题的基本思路，注意抓住特殊点、特
17、殊线去求周期、 的值等，属于中档题 9若 的展开式中 x2的项的系数为 ，则 x5的项的系数为（ ） A B C D 【分析】先写出展开式的通项并化简，然后根据 x2 的系数为 求出 a 的值，然后再求 x5 的系数 解：由已知得 ，k0，1，8， 令 ，解得 k4， ，解得 令 ，得 k2，故 x5的系数为 故选：C 【点评】本题考查二项式展开式的通项以及系数的求法，还考查了学生的运算能力，属 于基础题 10抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 的直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点， 点 P 为抛物线 C 上的动点，且点 P 在 l 的左侧，则PMN 面积的最大值为（
18、 ） A B C D 【分析】由题意可得直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦 长 MN 的值，设与直线 l 平行的直线与抛物线相切时，平行线间的距离最大，即PMN 的面积最大，求出面积的最大值 解：由题意可知直线 l 的方程为：y （x1），设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 代入抛物线的方程可得 3x210x+30，x1+x2 ， 由抛物线的性质可得|MN|x1+x2 +p 2 ； 设与直线 l 平行的直线为：y x+m，代入抛物线的方程可得 3x2+（2 m4）x+m2 0， 当直线：y x+m 与抛物线相切时，P 到直线 l 的距离有最大值， 所以（2 4
19、）243m20，解得 m ， 直线 l 与直线 y x 的距离 d ， 所以PMN 面积的最大值为 ， 故选：D 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题 11 在矩形 ABCD 中， AB4， BC3， 沿矩形对角线 BD 将BCD 折起形成四面体 ABCD， 在这个过程中，现在下面四个结论： 在四面体 ABCD 中，当 DABC 时，BCAC； 四面体 ABCD 的体积的最大值为 ； 在四面体 ABCD 中，BC 与平面 ABD 所成角可能为 ； 四面体 ABCD 的外接球的体积为定值 其中所有正确结论的编号为（ ） A B C D 【分析】由线面垂直的判定定理
20、可证明 BC平面 DAC，再由线面垂直的性质定理可 知 BCAC； 当平面 BCD平面 ABD 时，四面体 ABCD 的体积最大，再利用棱锥的体积公式进行 运算即可得解； 当平面BCD平面ABD时， BC与平面ABD所成的角最大， 为CBD， 求出sinCBD， 并与 比较大小即可得解； 在翻折的过程中，ABD 和BCD 始终是直角三角形，外接球的直径为 BD，于是四 面体 ABCD 的体积不变 解：如图，当 DABC 时，BCDC，BC平面 DAC， AC平面 DAC，BCAC，即正确； 当平面 BCD平面 ABD 时，四面体 ABCD 的体积最大，最大值为 ，即正确； 当平面 BCD平面
21、ABD 时，BC 与平面 ABD 所成的角最大，为CBD，而 sin CBD ， BC 与平面 ABD 所成角一定小于 ，即错误； 在翻折的过程中，ABD 和BCD 始终是直角三角形，斜边都是 BD，其外接球的球心 永远是 BD 的中点，外接球的直径为 BD， 四面体 ABCD 的外接球的体积不变，即正确 正确的有， 故选：C 【点评】 本题考查立体几何中的综合， 涉及线面垂直的判定定理与性质定理、 线面夹角、 棱锥和球的体积公式等，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于中档题 12 若对任意的 x1， x2 2， 0） ， x1x2， a 恒成立， 则 a 的最小值为 （ ） A B C
22、D 【分析】不等式恒成立转化为函数 f（x） 在2，0）为减函数，则 f（x） 0，即 aex（x1），构造函数 g（x）ex（x1），利用导数和函数最 值的关系即可求出 解：对任意的 x1，x2 2，0），x1x2，可知 x1x20， 则 a 恒成立等价于 x2 x1e a（x1x2），即 ， 函数 f（x） 在2，0）为减函数， f（x） 0， aex（x1）， 设 g（x）ex（x1），x 2，0）， g（x）xex0， g（x）在2，0）为减函数， g（x）maxg（2） ， a ， 故选：A 【点评】本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属 于中档题 二、
23、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13已知向量 （m，1）， （4，m），向量 在 方向上的投影为 ，则 m 2 【分析】 本题根据向量 在 方向上的投影公式为 ， 然后代入进行计算可解出 m 的值， 注意将 m 的值代入进行检验得到正确的 m 的值 解：由题意，可知 向量 在 方向上的投影为 ， 两边平方，可得 5， 整理，得 m24， 解得 m2，或 m2， 当 m2 时， ，不符合题意， m2 故答案为：2 【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题考查了转化思想，方程思想，向量的运 算，以及逻辑思维能力和数学运算能力本题属基础题 14
24、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ， ， 则ABC 的面积为 2 【分析】由已知利用余弦定理可得 c2+4c120，解得 c2，进而根据三角形的面积公 式即可求解 解： ， ， ， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得 2816+c22 ，可得 c 2+4c12 0，解得 c2， SABC bcsinA 2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方 程思想，属于基础题 15若 ，则 2 【分析】由已知可得 3sin1cos，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简 求解 解： ， 3sin1cos，
25、 2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础 题 16双曲线 C 的渐近线方程为 ，一个焦点为 F（0，8），则该双曲线的标准方 程为 已知点 A（6，0），若点 P 为 C 上一动点，且 P 点在 x 轴上 方，当点 P 的位置变化时，PAF 的周长的最小值为 28 【分析】由双曲线的渐近线方程及焦点坐标得关于 a，b 的方程组，求解可得双曲线的标 准方程；设双曲线的上焦点为 F（0，8），则|PF|PF|+8，利用双曲线的定义转化， 再由 A，P，F共线时，|PF|+|PA|最小，从而求得PAF 的周长的最小值 解：双曲线 C 的渐近线方
26、程为 ，一个焦点为 F（0，8）， ，解得 a4，b4 双曲线的标准方程为 ； 设双曲线的上焦点为 F（0，8），则|PF|PF|+8， PAF 的周长为|PF|+|PA|+|AF|PF|+|PA|+|AF|+8 当 P 点在第二象限，且 A，P，F共线时，|PF|+|PA|最小，最小值为|AF|10 而|AF|10，故，PAF 的周长的最小值为 10+10+828 故答案为： ；28 【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的几何性质，考查数学转化思想 方法，是中档题 三、解答题；共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每道试题考生都必须作答
27、.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17设an是一个首项为 2，公比为 q（q1）的等比数列，且 3a1，2a2，a3成等差数列 （1）求an的通项公式； （2）已知数列bn的前 n 项和为 Sn，b11，且 1（n2），求数列an bn 的前 n 项和 Tn 【分析】（1）由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得 到所求通项公式； （2）运用等差数列的定义和通项公式可得 Sn，再由数列的递推式可得 an，则 an bn2 （2n1） 3n1，结合数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可 得所求和 解：（1）an
28、是一个首项为 2，公比为 q（q1）的等比数列，且 3a1，2a2，a3成等差数 列， 可得 4a23a1+a3，即 42q32+2q2，解得 q3（1 舍去）， 则 an2 3n1，n N*； （2）由 1，且 1（n2），可得 是首项和公差均为 1 的 等差数列， 可得 1+n1n，即 Sn n2， 可得 n1 时，b1S11；n2 时，bnSnSn1n2（n1）22n1，对 n1 时， 该式也成立， 则 bn2n1，n N*， 可得 an bn2（2n1） 3n1， 则 Tn21 1+3 3+5 9+（2n1） 3n1， 3Tn21 3+3 9+5 27+（2n1） 3n， 上面两式相减
29、可得2Tn21+2（3+9+3n1）（2n1） 3n 21+2 （2n1） 3 n， 化简可得 Tn2+2（n1） 3n 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推 式和数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题 18 如图， 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面为正方形， AB1， AA13， 2 ， 2 ， N 是棱 C1D1的中点，平面 AEC1与直线 DD1相交于点 F （1）证明：直线 MN平面 AEC1F （2）求二面角 EACF 的正弦值 【分析】（1）推导出 C1EAF，D1F2FD，设点 G 为 D1F 的中点，连结 GM，GN，推
30、 导出 GN平面 AEC1F，GM平面 AEC1F，从而平面 MNG平面 AEC1F，由此能证明 MN平面 AEC1F （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 EACF 的正弦值 解：（1）证明：平面 BB1C1C平面 AA1D1D， 平面 AEC1F平面 BB1C1CEC1，平面 AEC1F平面 AA1D1DAF， C1EAF，由题意得 D1F2FD， 设点 G 为 D1F 的中点，连结 GM，GN， N 是棱 C1D1的中点，GNFC1， GN平面 AEC1F，FC1平面 AEC1F，GN平面 AEC1F，
31、D1F2FD， ，GMAF， GM平面 AEC1F，AF平面 AEC1F，GM平面 AEC1F， GNGMG，平面 MNG平面 AEC1F， MN平面 MNG，MN平面 AEC1F （2）解：AB1，DD13，如图，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（1，0，0），C（0，1，0），F（0，0，1），E（1 1，2）， （1，1，0）， （0，1，2）， （1，0，1）， 设平面 ACE 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 z1，得 （2，2，1）， 设平面 ACF 的法向量 （a，b，c）， 则 ，取 a1，得 （1，1，1），
32、设二面角 EACF 的平面角为 ， 由|cos| ， sin ， 二面角 EACF 的正弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题 19已知 0m2，动点 M 到两定点 F1（m，0），F2（m，0）的距离之和为 4，设点 M 的轨迹为曲线 C，若曲线 C 过点 ， （1）求 m 的值以及曲线 C 的方程； （2）过定点 ， ）且斜率不为零的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点证明：以 AB 为直 径的圆过曲线 C 的右顶点 【分析】 （1）先利用定义法判断出点 M 的轨迹
33、为椭圆，再利用题设条件求出方程即可； （2）设直线 l：xty ，曲线 C 的右顶点为 P，由直线 l 与曲线 C 的方程联立得到 y1+y2 与 y1y2，再证 即可 解：（1）解：设 M（x，y），因为|MF1|+|MF2|42m，所以曲线 C 是以两定点 F1，F2 为焦点，长半轴长为 2 的椭圆，所以 a2 设椭圆 C 的方程为 1（b0），代入点 ， 得 b 21，由 c2a2b2，得 c23， 所以 mc ，故曲线 C 的方程为 ； （2）证明：设直线 l：xty ，A（x1，y1），B（x2，y2）， 椭圆的右顶点为 P（2，0），联立方程组 消去 x 得（t2+4）y2 0 0
34、，y1+y2 ，y1y2 ， 所 以 （ x1 2 ） （ x2 2 ） +y1y2 （ t2+1 ） y1y2 t （ y1+y2） 0， ， 故点 P 在以 AB 为直径的圆上，即以 AB 为直径的圆过曲线 C 的右顶点 【点评】本题主要考查轨迹方程的求法及动圆过定点的问题，属于中档题 20已知函数 f（x）lnxtx+t （1）讨论 f（x）的单调性； （2） 当 t2 时， 方程 f （x） max 恰有两个不相等的实数根 x1 ， x 2， 证明： 【分析】（1）由已知求得 f（x） ，可得当 t0 时，f（x）在（0，+）上单调 递增，当 t0 时，求出导函数的零点，由导函数的零点
35、对定义域分段，再由导函数在不 同区间内的符号可得原函数的单调性； （2）由 f（x）max，得 lnx+（a2）x+2m0令 g（x）lnx+（a2）x+2，则 g（x1）g（x2）m得到 a2 不妨设 0x 1x2，把证 转化 为证 令 （c1），则 g（c）2lncc ，利用导数证明 g （c）0，即可得到 成立 【解答】（1）解：f（x）的定义域为（0，+），f（x） ， 当 t0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增， 当 t0 时，令 f（x）0，得 0x ，令 f（x）0，得 x f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减 综上所述，当 t0 时，f（
36、x）在（0，+）上单调递增； 当 t0 时，f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减 （2）证明：由 f（x）max，得 lnx+（a2）x+2m0 令 g（x）lnx+（a2）x+2，则 g（x1）g（x2）m 即 lnx1+（a2）x1lnx2+（a2）x2，a2 不妨设 0x1x2，要证 ， 只需证 2（2a） ，即证 令 （c1），g（c）2lncc ， g（c） 0 g（c）在（1，+）上单调递减，则 g（c）g（1）0 故 成立 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数证明函数不等式，考查 数学转化思想方法，属难题 21 2020 年 4 月 8 日零
37、时正式解除离汉通道管控， 这标志着封城 76 天的武汉打开城门了 在 疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕， 严密防范、 慎终如始 为科学合理地做好小区管理工作， 结合复工复产复市的实际需要， 某小区物业提供了 A， B 两种小区管理方案， 为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方 案，随机选取了 4 名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： 单独投给 A 方案，则 A 方案得 1 分，B 方案得1 分； 单独投给 B 方案，则 B 方案得 1 分，A 方案得1 分； 弃权或同时投票给 A，B 方案，则两种方案均得 0 分 前 1 名物业人员的投票结束，
38、再安排下 1 名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方 案多 4 分或 4 名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最 终管理方案假设 A，B 两种方案获得每 1 名物业人员投票的概率分别为 和 （1）在第 1 名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为 ，求 的分布列； （2）求最终选取 A 方案为小区管理方案的概率 【分析】（1） 的所有可能取值为1，0，1，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每 个 的取值所对应的概率即可得分布列； （2） 记 M1表示事件 “前 2 名物业人员进行了投票， 且最终选取 A 方案为小区管理方案” ， M2表示事件“前 3 名物业人员进行
39、了投票，且最终选取 A 方案为小区管理方案”，M3 表示事件“共有 4 名物业人员进行了投票，且最终选取 A 方案为小区管理方案”，然后 根据独立重复事件的概率逐一求出每种事件对应的概率，最后将三种事件的概率相加即 可得解 解：（1）由题意知， 的所有可能取值为1，0，1， P （1） （1 ） ， P （0） ， P （1） ， 的分布列为 1 0 1 P （2） 记 M1表示事件 “前 2 名物业人员进行了投票， 且最终选取 A 方案为小区管理方案” ， 由（1）知， ， 记 M2表示事件“前 3 名物业人员进行了投票，且最终选取 A 方案为小区管理方案”， ， 记 M3表示事件“共有 4
40、 名物业人员进行了投票，且最终选取 A 方案为小区管理方案”， 若 A 方案比 B 方案多 4 分，有两类： 第一类， A方案前三次得了一次1分两次0分， 最后一次得1分， 其概率为 ； 第二类，A 方案前两次得了一次 1 分一次1 分，后两次均得 1 分，其概率为 ， 若 A 方案比 B 方案多 2 分，有三类： 第一类， A 方案四次中得了一次 1 分， 其他三次全 0 分， 其概率为 ； 第二类，A 方案前三次得了一次 1 分，一次 0 分，一次1 分，最后一次得了 1 分，其概 率为 ； 第三类，A 方案前两次得了一次 1 分一次1 分，第三次得 1 分，第四次得 0 分，其概率 为
41、故 ， 最终选取 A 方案为小区管理方案的概率为 P 【点评】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列，考查学生对数据的 分析能力和处理能力，属于中档题 选考题： 共 10 分请考生在第 22、 23 题中任选一题作答.如果多做， 则按所做的第一题计分.选 修 4-4：坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C1的参数方程为 （ 为参数） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos曲线 C3的极坐标方程为 ，曲线 C1与曲线 C2的交线为直线 l （1）求直线 l 和曲线 C3的直角坐标方程； （2）直线
42、l 与 x 轴交于点 M，与曲线 C3相交于 A，B 两点，求 的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）已知曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），转换为直角坐标 方程为（x+1）2+（y1）214 曲线 C2的极坐标方程为 4cos整理得 24cos，根据 转换为 直角坐标方程为：（x2）2+y24 所以两个方程相减得：3xy60 曲线 C3的极坐标方程为 ，根据 转换为直角坐标方程为 （2）直线 l 与 x 轴交于 M（2，0）所以直线 l 的参数方程为 （t 为参 数），代入
43、，得到： 所以 ， 故 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）2x1|x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若方程 f（x）x2+ax 有两个不等实数根，求 a 的取值范围 【分析】（1）将 f（x）写为分段函数的形式，然后由 f（x）3，利用零点分段法解不 等式即可； （2）根据方程 f（x）x2+ax，可得 ，然后构造函数 g（x） ，利用数形结合法求出 a 的取值范围 解：（1）f（x）2x1|x1| ， ， ， f（x）3， 或 ， x1 或 1x3，x3， 不等式的解集为（，3）； （2）方程 f（x）x2+ax，即 2x1|x1|x2+ax， 显然 x0 不是方程的根，故 ， 令 g（x） ， ， ， ， ， ， 当 x0 时， ， 作出 g（x）的图象，如图所示： 方程 f（x）x2+ax 有两个不等实数根， 由图象可知 ， ， 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨 论思想和数形结合思想，属中档题
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