1、四川省遂宁市高中四川省遂宁市高中 2020 届高三三诊考试数学（理科）试题届高三三诊考试数学（理科）试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，分在每个小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的 1设 m，nR，则“mn”是“ （1 2） mn1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2若复数 1: 1:为纯虚数（i 为虚数单位，a 为实数） ，则 a 2 的值为（ ） A4 B9 C1 4 D1 3某市举行“中学生诗词大赛”
2、，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 90 分 的具有复赛资格，某校有 1000 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150 内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为（ ） A650 B660 C680 D700 4已知 满足( 2 + ) = 1 3，则 cos2（ ） A7 9 B 7 18 C 7 9 D 7 18 5方程(2 2 4) 2 = 0表示的曲线的大致形状是（图中实线部分） （ ） A B C D 6 周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、
3、春分、清明日 影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问谷雨日影长为（ ） A七尺五寸 B六尺五寸 C五尺五寸 D四尺五寸 7设 f（x）是定义在 R 上的恒不为零的函数，对任意实数 x，yR，都有 f（x） f（y）f （x+y） ，若 a1= 1 2，anf（n） （nN *） ，则数列an的前 n 项和 Sn 的取值范围是（ ） A1 2，2） B1 2，2 C1 2，1） D1 2，1 82019 年庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向 强起来的雄心壮志阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰 显强军成就装备方阵堪称“
4、强军利刃” “强国之盾” ，见证着人民军队迈向世界一流军 队的坚定步伐，其中空中梯队编有 12 个梯队，在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机 梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这 6 个梯队中，某学校为宣传的需要， 要求甲同学需从中选 3 个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队 中至少选择一个，则不同的选法种数为 （ ） A12 种 B16 种 C18 种 D20 种 9设函数() = 3 ;，0 3，0，若 = ( 2 1 5)，bf（log24.2） ，cf（2 0.7） ，则 a，b， c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 10已知正三
5、棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为6，且该三棱柱外接球的表面积为 14，若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（ ） A 3 B 4 C 6 D5 12 11已知 F1，F2是双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点，若双曲线上存在点 P 满足2 1 = 22，则双曲线离心率的最小值为（ ） A6 B5 C3 D2 12已知函数 f（x，y）xln（2ax）+yxlny，若存在 x，y（0，+）使得 f（x，y）0， 则实数 a 的最大值为（ ） A1 B 1 2 C 1 3 D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题
6、个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13曲线 yx22xlnx+2 在点（1，1）处的切线的倾斜角为 14已知两个单位向量1 、2 的夹角为 60，向量 = 31 22 ，则| | 15已知点 M（0，2） ，过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 AB 交抛物线于 A，B 两点，若 = 0，则点 B 的纵坐标为 16如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD3，AA17，BAD= 3，BAA1 DAA1= 4，则 AC1 的长为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17函数
7、 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的部分图象如图所示，又函数 () = ( + 8) （1）求函数 g（x）的单调增区间； （2）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，又 = 3，且锐角 C 满足 g（C） 1，若 sinB2sinA，M 为 AC 边的中点，求BMC 的周长 18如图，在长方体 ABCDHKLE 中，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 F 在线段 AH 上，且2 + = 0 ，BE 与底面 ABCD 所成角为 3 （1）求证：ACBE； （2）求二面角 FBED 的余弦值； （3）设点 M 在线段 BD
8、 上，且 AM平面 BEF，求 DM 的长 19某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的 代表队人数情况如表，其中一等奖代表队比三等奖代表队多 10 人该校政教处为使颁奖 仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动并用分层抽样的方法从三个代 表队中共抽取 16 人在前排就坐，其中二等奖代表队有 5 人（同队内男女生仍采用分层抽 样） 名次 性别 一等奖 代表队 二等奖 代表队 三等奖 代表队 男生 ？ 30 女生 30 20 30 （1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取 3 人上台领奖，用 X 表示女生上台领奖的人 数，求 X 的分布列和数学期望 E
9、（X） （2）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生2，2内的两个均匀随机 数 x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序若电脑显示“中奖” ，则代 表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢” ，则不中奖求代表队队员获得奖品的概率 20已知函数 f（x）sinxxcosx （1）判断函数 f（x）在区间（0，2）上零点的个数，并说明理由 （2）当 0x 时， 比较 x1 与 lnx 的大小关系，并说明理由； 证明：lnf（x）+1ecosxf（x）cosx 21如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆” 过椭圆第四 象限内一点 M 作 x 轴的垂线交其“辅助
10、圆”于点 N，当点 N 在点 M 的下方时，称点 N 为点 M 的 “下辅助点” 已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)上的点(1， 2 2 )的下辅助点 为（1，1） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若OMN 的面积等于23;6 8 ，求下辅助点 N 的坐标； （3）已知直线 l：xmyt0 与椭圆 E 交于不同的 A，B 两点，若椭圆 E 上存在点 P， 使得四边形 OAPB 是对边平行且相等的四边形求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积最 小时的 m2+t2的值 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分两题中任选一题作答，如果多做，则按所
11、做的第一题计分选修选修 4-4： 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，将曲线方程(;2) 2 16 + (:2)2 4 = 1，先向左平移 2 个单位， 再向上平移 2 个单位，得到曲线 C （1）点 M（x，y）为曲线 C 上任意一点，写出曲线 C 的参数方程，并求出1 2 3的 最大值； （2）设直线 l 的参数方程为 = 2 = 2 ， （t 为参数） ，又直线 l 与曲线 C 的交点为 E，F， 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 EF 的中点且与 l 垂直的 直线的极坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函
12、数 f（x）|2x3|，g（x）|2x+a+b| （1）解不等式 f（x）x2； （2） 当 a0， b0 时， 若 F （x） f （x） +g （x） 的值域为5， +） ， 求证： 1 :2 + 1 :2 2 3 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，分在每个小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的 1设 m，nR，则“mn”是“ （1 2） mn1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 利用指数函数的单调性即可判断出结
13、论 “mn”mn0“ （1 2） mn1” “mn”是“ （1 2） mn1”的充要条件 故选：C 本题考查了指数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 2若复数 1: 1:为纯虚数（i 为虚数单位，a 为实数） ，则 a 2 的值为（ ） A4 B9 C1 4 D1 利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值，进一步求得 a2 得答案 1: 1: = (1:)(1;) (1:)(1;) = 1: 1:2 + 1; 1:2 为纯虚数， 1 + = 0 1 0，得 a1 a21 故选：D 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的
14、基本概念，是基础题 3某市举行“中学生诗词大赛” ，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 90 分 的具有复赛资格，某校有 1000 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150 内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为（ ） A650 B660 C680 D700 初赛成绩大于 90 分的概率乘以 1000 可得 获得复赛资格的人数为 1000（10.00252020.007520）650 人， 故选：A 本题考查了频率分布直方图，属基础题 4已知 满足( 2 + ) = 1 3，则 cos2（ ） A7 9 B 7 18 C 7 9 D 7 18 由已知结合诱
15、导公式先进行化简，然后结合二倍角余弦公式即可求解 因为sin= ( 2 + ) = 1 3， 所以 sin = 1 3， 则 cos212sin212 1 9 = 7 9 故选：A 本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题 5方程(2 2 4) 2 = 0表示的曲线的大致形状是（图中实线部分） （ ） A B C D 依题意可知， 方程表示的曲线为直线 xy20 或双曲线 2 4 2 4 = 1位于直线 xy2 0 的下方的图象，由此得解 依题意可知， xy20 或 2 2 4 = 0 2 0 ， 而 x2y240 表示双曲线 2 4 2 4 = 1， 且满足在直
16、线 xy20 的下方， 结合选项可知，只有选项 B 符合题意 故选：B 本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题 6 周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日 影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问谷雨日影长为（ ） A七尺五寸 B六尺五寸 C五尺五寸 D四尺五寸 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出谷 雨日影长 从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、 芒种， 十二个节气日影
17、长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺， 前七个节气日影之和为七丈三尺五寸， 设十二节气的日影长为 an， 则 5+ 6+ 7+ 8= 32 7= 71+ 76 2 = 73.5，即 41+ 22 = 32 71+ 21 = 73.5， 解得1= 27 2 ，d1， 谷雨日影长为9= 27 2 8 = 11 2 =5.5（尺）5 尺 5 寸 故选：C 本题考查谷雨日影长的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题 7设 f（x）是定义在 R 上的恒不为零的函数，对任意实数 x，yR，都有 f（x） f（y）f （x+y） ，若 a1= 1 2，anf（n） （
18、nN *） ，则数列an的前 n 项和 Sn 的取值范围是（ ） A1 2，2） B1 2，2 C1 2，1） D1 2，1 根据 f（x） f（y）f（x+y） ，令 xn，y1，可得数列an是以1 2为首项，以 1 2为等比的 等比数列，进而可以求得 Sn，进而 Sn的取值范围 对任意 x，yR，都有 f（x） f（y）f（x+y） ， 令 xn，y1，得 f（n） f（1）f（n+1） ， 即 +1 = (:1) () =f（1）= 1 2， 数列an是以1 2为首项，以 1 2为等比的等比数列， anf（n）（1 2） n， Sn= 1 2(1 1 2) 11 2 =1（1 2） n1
19、 2，1） 故选：C 本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意 x，yR，都有 f（x） f （y）f（x+y）得到数列an是等比数列，属中档题 82019 年庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向 强起来的雄心壮志阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰 显强军成就装备方阵堪称“强军利刃” “强国之盾” ，见证着人民军队迈向世界一流军 队的坚定步伐，其中空中梯队编有 12 个梯队，在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机 梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这 6 个梯队中，某学校为宣传的需要， 要求甲同学需从中选 3
20、个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队 中至少选择一个，则不同的选法种数为 （ ） A12 种 B16 种 C18 种 D20 种 运用组合知识和间接法求两个梯队中至少选择一个的不同选法种数 从 6 个梯队中任选 3 个的选法 C 6 3 =20 种，若没有舰载机梯队、歼击机梯队的选法 C 4 3 =4 则舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个的选法 20416 种， 故选：B 本题考查排列组合的应用，本题运用间接法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题 9设函数() = 3 ;，0 3，0，若 = ( 2 1 5)，bf（log24.2） ，cf（2 0.7） ，则 a
21、，b， c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 根据题意，分析可得 f（x）为奇函数且在（0，+）上为减函数，由对数函数的性质比 较可得 120.72log24.2log25，结合函数的单调性分析可得答案 当 x0 时，x0， f（x）3 x，f（x）3x， 所以 f（x）f（x） ， 当 x0 时，x0， f（x）3x，f（x）3 （x）3x， 所以 f（x）f（x） ， 所以函数 f（x）是奇函数，且在（，0） ， （0，+）上单调递减 所以 af（log21 5）f（log2 1 5）f（log25） ， bf（log24.2） ，cf（20.7） ， 又 120
22、.72log24.2log25， 所以 f（20.7）f（log24.2）f（log25） ， 即 abc， 故选：A 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，关键是分析函数的奇偶性与单调性 10已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为6，且该三棱柱外接球的表面积为 14，若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（ ） A 3 B 4 C 6 D5 12 取 BC 中点 D，过 P 作 PE平面 ABC，交 AD 于 E，则 PE 的中点 O 是该三棱柱外接球 的球心，由 PE平面 ABC，得PAE 是 PA 与平面 ABC 所成角，由此能求出结果 取
23、BC 中点 D，过 P 作 PE平面 ABC，交 AD 于 E，则 PE 的中点 O 是该三棱柱外接球 的球心， 正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为6， AE= 2 3 = 2 3 (6)2 (6 2 )2= 2， 该三棱柱外接球的表面积为 14，该三棱柱外接球的半径 R=14 4 =7 2， PE22 2=27 2 2 = 6， PE平面 ABC，PAE 是 PA 与平面 ABC 所成角， tanPAE= = 6 2 = 3 PAE= 3 故选：A 本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查 运算求解能力，是中档题 11已知 F1，F2是双曲线 2 2
24、 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点，若双曲线上存在点 P 满足2 1 = 22，则双曲线离心率的最小值为（ ） A6 B5 C3 D2 设 P 的坐标，代入双曲线的方程，求出数量积1 2 = 2 2x 2c2b22 2a 2c2b2 b2，再由椭圆可得 a，b 的关系，进而求出离心率的最小值 设 P（x，y） ，则|x|a，所以 2 2 2 2 = 1(0，0)， 由题意可得 F1（c，0） ，F2（c，0） ， 所以1 2 = （x+c， y）（xc， y） x2c2+y2x2c2+ （ 2 2 1） b2= 2 2x 2c2b22 2a 2 c2b2b2， 所以2a2b2，即 2a2b
25、2，所以离心率 e= = 2+2 2 3， 故选：C 本题考查双曲线的性质及数量积的运算，属于中档题 12已知函数 f（x，y）xln（2ax）+yxlny，若存在 x，y（0，+）使得 f（x，y）0， 则实数 a 的最大值为（ ） A1 B 1 2 C 1 3 D2 存在 x， y （0， +） 使得 f （x， y） 0， 由 xln （2ax） +yxlny0， 化为： ln2aln ， 令 t= 0，g（t）lntt，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 存在 x，y（0，+）使得 f（x，y）0， xln（2ax）+yxlny0，化为：ln2aln ， 令 t= 0，g（t）
26、lntt， 则 g（t）= 1 1= 1 ，可得 t1 时，函数 g（t）取得极大值即最大值，g（1） 1 ln2a1，解得 0a 1 2 实数 a 的最大值为 1 2 故选：B 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方 法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题来源:学_科_网 Z_X_X_K 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13曲线 yx22xlnx+2 在点（1，1）处的切线的倾斜角为 3 4 求得 yx22xlnx+2 的导数，将 x1 代入，可得切线的斜率，再由直线的斜率公式，
27、 计算可得所求倾斜角 yx22xlnx+2 的导数为 y2x2 1 ， 可得曲线在点（1，1）处的切线的斜率为 k1， 则切线的倾斜角 满足，tan1， 解得 = 3 4 ， 故答案为：3 4 本题考查导数的运用： 求切线的斜率， 考查直线的斜率与倾斜角的关系， 考查运算能力， 属于基础题 14已知两个单位向量1 、2 的夹角为 60，向量 = 31 22 ，则| | 7 根据题意， 由数量积的计算公式可得1 2 = 1 2， 又由 2 （3 1 22 ） 29 1 2+4 2 212 1 2 ，计算可得 2 的值，变形可得答案来源:学。科。网 根据题意，两个单位向量1 、2 的夹角为 60，
28、则1 2 =11cos60= 1 2， 若 = 31 22 ，则 2（3 1 22 ）291 2+4 2 212 1 2 =7， 则| |= 7； 故答案为：7 本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题 15已知点 M（0，2） ，过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 AB 交抛物线于 A，B 两点，若 = 0，则点 B 的纵坐标为 1 通过向量的数量积为 0，求出 FM 的斜率，得到 AM 的斜率，求出 AM 方程，求出 A 的坐 标，然后求解 AF 方程，与抛物线联立求解即可 点 M （0， 2） ， 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 AB 交抛物线于 A， B 两点
29、， 若 = 0， 可得 FM 的向量为：2，AM 的斜率为：1 2， AM 的方程为：2y4x，与抛物线 y24x 联立可得 y4，则 x4，所以 A（4，4） ， AF 的方程为：y= 4 3( 1)， 联立： 2= 4 = 4 3 ( 1)，消去 x 可得：y 23y40，解得 y1 或 y4， 所以点 B 的纵坐标：1 故答案为：1 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用， 考查转化思想以及计算能力， 是中档题 16如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD3，AA17，BAD= 3，BAA 1DAA1= 4，则 AC1 的长为 98 + 562 由已知结合1 = +
30、+ 1 ，求|1 |2，开方得答案 平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， AB5，AD3，AA17，BAD= 3，BAA1DAA1= 4， 1 = + + 1 ， 则|1 |2= (1 )2= ( + + 1 )2 = | |2+ | |2+ |1 |2+ 2| | | | 3 + 2| | |1 | 4 + 2| | |1 | 4 25+9+49+2 5 3 1 2 + 2 3 7 2 2 + 2 5 7 2 2 = 98 + 562 |1| = |1 | =98 + 562 故答案为：98 + 562 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查向量数量积与模的求法，是中档题 三、解答题
31、：本大题共三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的部分图象如图所示，又函数 () = ( + 8) （1）求函数 g（x）的单调增区间； （2）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，又 = 3，且锐角 C 满足 g（C） 1，若 sinB2sinA，M 为 AC 边的中点，求BMC 的周长 （1）待定系数法求出 f（x）2sin（2x+ 4） ，再代入法求函数 g（x）的解析式，进而求 单调增区间 （2）三角化简求值，用正余弦定理解三角形即可 （1）由函
32、数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的部分图象可得 A2， 2 = 5 8 8，即 T，则 = 2 = 2，又函数图象过点( 8 ，2)， 则2 8 + = 2 + 2， 即 = 2 + 4 ， ，又 0，即 = 4， 来源:学科网 ZXXK 即 f（x）2sin（2x+ 4） ，则 g（x）2sin2（x+ 8）+ 42cos2x 由 2k2x2k，kZ，得 k 2 xk，kZ， 所以函数 g（x）的单调增区间为k 2，k，kZ， （2）由 g（C）1，得 cos2C= 1 2，因为 0C 2，所以 02C， 所以 2C= 2 3 ，C= 3， 又 sinB2sinA，由正弦定理得
33、 =2 由余弦定理，得 c2a2+b22abcos 3，即 a 2+b2ab3 由解得 a1，b2 又 c= 3，所以 a2+c2b2，所以ABC 为直角三角形，且角 B 为直角 故 BM= 1 2AC= 1 2b1， 所以BMC 的周长为 BM+MC+CB1+1+13 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用考查了学生对三角函数基础知识的综合运 用考查运算能力，属于综合性题 18如图，在长方体 ABCDHKLE 中，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 F 在线段 AH 上，且2 + = 0 ，BE 与底面 ABCD 所成角为 3 （1）求证：ACB
34、E； （2）求二面角 FBED 的余弦值； （3）设点 M 在线段 BD 上，且 AM平面 BEF，求 DM 的长 （1）推导出 DEAC，ACBD，从而 AC平面BDE由此能证明 ACBE （2）由 DA，DC，DE 两两垂直，建立空间直角坐标系 Dxyz，利用向量法能求出二面 角 FBED 的余弦值 （3）点 M 是线段 BD 上一个动点，设 M（t，t，0） ，则 =（t3，t，0） ，由 AM平 面 BEF，能求出结果 （1）证明：因为在长方体 ABCDHKLE 中，有 DE平面 ABCD， 所以 DEAC， 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ACBD， 又 BDDED 从而 AC
35、平面 BDE 而 BE平面 BDE，所以 ACBE （2）解：因为在长方体 ABCDHKLE 中，有 DA，DC，DE 两两垂直， 所以建立空间直角坐标系 Dxyz 如图所示 由（1）知DBE 为直线 BE 与平面 ABCD 所成的角 又因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 3，所以 = 3， 所以 =3由 AD3，可知 DE36， 所以 AH36，又 2 + =0，即 AF= 1 3 ，故 AF= 6， 则 A（3，0，0） ，F（3，0，6） ，E（0，0，36） ，B（3，3，0） ，C（0，3，0） ， 所以 =（0，3，6） ， =（3，0，26） ， 设平面 BEF 的法向量为
36、=（x，y，z） ， 则 = 0 = 0 ，即3 + 6 = 0 3 26 = 0 ，令 = 6，则 =（4，2，6） ， 因为 AC平面 BDE，所以 为平面 BDE 的法向量， =（3，3，0） ， 所以 cos ， = | | | = 6 2632 = 13 13 因为二面角为锐角，所以二面角 FBED 的余弦值为 13 13 （3）解：点 M 是线段 BD 上一个动点，设 M（t，t，0） ，则 =（t3，t，0） ， 因为 AM平面 BEF，所以 =0， 即 4（t3）+2t0，解得 t2 此时，点 M 坐标为（2，2，0） ，DM= 2 3 = 22，符合题意 本题考查线线垂直的证
37、明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的线段长的 求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是 中档题 19某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的 代表队人数情况如表，其中一等奖代表队比三等奖代表队多 10 人该校政教处为使颁奖 仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动并用分层抽样的方法从三个代 表队中共抽取 16 人在前排就坐，其中二等奖代表队有 5 人（同队内男女生仍采用分层抽 样）来源:Zxxk.Com 名次 性别 一等奖 代表队 二等奖 代表队 三等奖 代表队 男生 ？ 30 女生 30 20 30
38、（1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取 3 人上台领奖，用 X 表示女生上台领奖的人 数，求 X 的分布列和数学期望 E（X） （2）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生2，2内的两个均匀随机 数 x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序若电脑显示“中奖” ，则代 表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢” ，则不中奖求代表队队员获得奖品的概率 （1）设代表队共有 n 人，则 5 16 = 50 ，所以 n160，再设一等奖代表队男生人数为 x， 可根据表格中的数据列出关于 x 的方程， 解之可得 x30， 因此三个代表队中前排就坐的 比例是按照一等奖：二等奖：三等奖6：5
39、：5，故前排就坐的 16 人中一等奖代表队共 6 人，有 3 男 3 女，所以 X 的可能取值为 0，1，2，3，然后根据超几何分布计算概率的 方式逐一求出每个 X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望； （2）试验的全部结果所构成的区域为 （x，y）|2x2，2y2，事件 A 表 示代表队队员获得奖品，所构成的区域为 = *(，)| 2 2 2 2 + 1 + 2 +，然后依次求出两 个区域的面积，根据几何概型即可得解 （1）设代表队共有 n 人，则 5 16 = 50 ，所以 n160， 设一等奖代表队男生人数为 x，则 x+30+20+30+（x10）+30160，解得 x3
40、0， 所以一等奖代表队的男生人数为 30， 所以三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖：二等奖：三等奖60：50：506：5： 5， 故前排就坐的 16 人中一等奖代表队有 3 男 3 女，共 6 人 于是 X 的可能取值为 0，1，2，3 则 P（X0）= 3 0 3 3 6 3 = 1 20，P（X1）= 3 1 3 2 6 3 = 9 20，P（X2）= 3 2 3 1 6 3 = 9 20，P（X3） = 3 3 3 0 6 3 = 1 20， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 数学期望 E（X）= 0 1 20 + 1 9 20 +
41、 2 9 20 + 3 1 20 = 3 2 （2）试验的全部结果所构成的区域为 （x，y）|2x2，2y2，面积为 S 4416， 事件 A 表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为 = *(，)| 2 2 2 2 + 1 + 2 +， 如图，阴影部分的面积为= 4 4 1 2 2 2 1 2 3 3 = 19 2 ， 这是一个几何概型，所以() = = 19 2 16 = 19 32，即代表队队员获得奖品的概率为 19 32 本题考查分层抽样的特点、几何概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生 对数据的分析与处理能力，属于中档题 20已知函数 f（x）sinxxcosx （1）判断函数 f（x）在区间（0，2）上零点的个数，并说明理由 （2）当 0x 时， 比较 x1 与 lnx 的大小关系，并说明理由； 证明：lnf（x）+1ecosxf（x）cosx （1）先对函数求导，然后结合导数可判断函数的单调性，结合函数的性质可求函数的零 点个数； （2）数 g（x）x（1+lnx）xlnx1，然后对其求导，结合导数可研究函数的 单调
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