1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（4 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x22x30，Bx|log2x2，则集合 AB（ ） Ax|1x4 Bx|0x3 Cx|0x2 Dx|0x1 2设复数 z 满足|z+i|1，z 在复平面内对应的点为（x，y），则（ ） A（x+1）2+y21 B（x1）2+y21 Cx2+（y+1）21 Dx2+（y1）21 3已知 a ，blo ，clog2 ，则（ ） Aabc Bbca Ccba Dbac 4已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75现发现在收集这些数据时，其中的 两个数据记
2、录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90在对错误的数据 进行更正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 s2，则（ ） A 70，s275 B 70，s2 75 C 70，s275 D 70，s2 75 5函数 f（x）Asin（x+）（A0，0）的最小正周期为 ，其图象关于直线 x 对 称，则|的最小值为（ ） A B C D 6意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2， 3，5，8，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三数起，每一个数都等于它前 面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”，则（a1a
3、3 a22）+（a2a4a32）+（a3a5a42）+（a2013a 2015a2014 2）（ ） A1 B0 C1007 D1006 7已知变量 x，y 满足 ，则 z2x+y 的取值范围为（ ） A2，2 B（，2） C（，2 D2，+） 8 已知三个向量 ， ， 共面， 且均为单位向量， 0， 则| |的取值范围是 （ ） A 1， 1 B1， C ， D 1，1 9已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点， P 是双曲线在第一象限上的点， 直线 PO， PF2分别交双曲线 C 左、 右支于另一点 M， N， |PF1|2|PF2|，且MF2N6
4、0，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 10设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）ex若对任意的 xa，a+1， 不等式 f（x+a）f2（x）恒成立，则实数 a 的最大值是（ ） A B C D2 11已知 P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，O 为球心，PAPBPC2，ABC 90，则三棱锥 OABC 体积的最大值是（ ） A B1 C D 12已知函数 ，对于函数 f（x）有下述四个结论： （1）函数 f（x）在其定义域上为增函数； （2）对于任意的 a0，a1，都有 成立； （3）f（x）有且仅有两个零点； （4）若 f（x0）0，则 yln
5、x 在点（x0，lnx0）处的切线与 yex在点 ， 处的 切线为同一直线 其中所有正确的结论有（ ） A（1）（2）（3） B（1）（3） C（2）（3）（4） D（3）（4） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13在（x1）（x+1）8的展开式中，x5的系数是 14记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a10，a23a1，则 15 已知点 A （0， 1） ， B （1， 0） ， C （t， 0） ， 点 D 是直线 AC 上的动点， 若| |2| |恒成立， 则最小 正整数 t 16已知点 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的直线与抛物
6、线相交于 A，B 两点（点 A 在 x 轴上方），与 y 轴的正半轴相交于点 N，点 Q 是抛物线不同于 A，B 的 点，若 2 ，则|BF|：|BA|：|BN| 三、 解答题： 共 70 分.解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求 的值； （2）若 ，b2，求ABC 的面积 S 18 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形， PA面 ABCD， BAD120， E， F
7、 分别是 CD，PC 的中点 （1）求证：平面 AEF平面 PAB； （2）M 是 PB 上的动点，EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45，求二面角 FAED 的 余弦值 19已知椭圆 y 21，P 是椭圆的上顶点，过 P 作斜率为 k（k0）的直线 l 交椭圆于另 一点 A，设点 A 关于原点的对称点为 B （1）求PAB 面积的最大值； （2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内部，求斜率 k 的取值范围 20设函数 （xR，实数 a0，+），e2.71828是自然对数的底数， ） （）若 f（x）0 在 xR 上恒成立，求实数 a 的取值范围； （）若 ex
8、lnx+m 对任意 x0 恒成立，求证：实数 m 的最大值大于 2.3 21某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 n（nN*）份血液样本，有以 下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 n 次；（2）混合检验，将其中 k（kN* 且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为 阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共 为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独 立的，且每份样本是阳
9、性结果的概率为 p（0p1） （）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好 经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率 （）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的 总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 （）试运用概率统计的知识，若 E1E2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k）； （）若 ，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐 份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln51.6094，ln
10、61.7918 （二）选考题：共 10 分选考 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 （ 为参数），以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 2sin（ ）3 ，射线 OM： 与圆 C 的交点为 O、 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 选考 4-5：不等式选讲 23已知定义域在 R 上的函数 f（x）|x+1|+|x2|的最小值为 a （1）求 a 的值； （2）若 p，q，r 为正实数，且 p+q+ra，求证：p2+q2+r23 参考答案 一、选择题：本题共 12
11、小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x22x30，Bx|log2x2，则集合 AB（ ） Ax|1x4 Bx|0x3 Cx|0x2 Dx|0x1 【分析】解不等式求得集合 A、B，根据交集的定义写出 AB 解：集合 Ax|x22x30x|1x3， Bx|log2x2x|0x4， 则集合 ABx|0x3 故选：B 2设复数 z 满足|z+i|1，z 在复平面内对应的点为（x，y），则（ ） A（x+1）2+y21 B（x1）2+y21 Cx2+（y+1）21 Dx2+（y1）21 【分析】设 zx+yi（x，yR），代入|z+
12、i|1，再由复数模的计算公式求解 解：设 zx+yi（x，yR）， 由|z+i|1，得|x+（y+1）i|1， 即 ， z 在复平面内对应的点的轨迹为 x2+（y+1）21 故选：C 3已知 a ，blo ，clog2 ，则（ ） Aabc Bbca Ccba Dbac 【分析】分别判断 a，b，c 的取值范围即可得到结论 解：a 1，blo （0，1），clog2 0， abc 故选：A 4已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75现发现在收集这些数据时，其中的 两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90在对错误的数据 进行更正后，重新求得样本
13、的平均数为 ，方差为 s2，则（ ） A 70，s275 B 70，s2 75 C 70，s275 D 70，s2 75 【分析】根据题意，分析可得：数据更正前后，数据的总和不变，其波动变小了，结合 平均数、方差的定义分析可得结论 解：根据题意，两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90， 则这些数据的总和不变， 则在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 不变，即 70， 但数据的波动变小了，故 s275； 故选：A 5函数 f（x）Asin（x+）（A0，0）的最小正周期为 ，其图象关于直线 x 对 称，则|的最小值为（ ） A B C D 【分
14、析】利用正弦函数的周期性求得 的值，再利用它的图象的对称性，求得|的最小 值 解：函数 f（x）Asin（x+）（A0，0）的最小正周期为 ，2 根据其图象关于直线 x 对称，可得 2 k ，kZ，即 k ， 则|的最小值为 ， 故选：B 6意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2， 3，5，8，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三数起，每一个数都等于它前 面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”，则（a1a3 a22）+（a2a4a32）+（a3a5a42）+（a2013a 2015a2014 2）（ ） A1 B0 C1
15、007 D1006 【分析】直接利用数列的关系式的应用求出关系式所表现的规律，进一步求出结果 解：由于 a1a3a221211， a2a4a3213221， a3a5a4225321 所以：（a1a3a22）+（a2a4a32）+（a3a5a42）+（a2013a2015a20142）1+（1） +1+（1）+11 故选：A 7已知变量 x，y 满足 ，则 z2x+y 的取值范围为（ ） A2，2 B（，2） C（，2 D2，+） 【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线 过 A 时，最大，从而得出目标函数 z2x+y 的取值范围 解：画出变量 x，y 满足
16、 表示的平面区域： 将目标函数变形为 z2x+y，作出目标函数对应的直线， 直线过 A（0，2）时，直线的纵截距最大，z 最大，最大值为 2； 则目标函数 z2x+y 的取值范围是（，2 故选：C 8 已知三个向量 ， ， 共面， 且均为单位向量， 0， 则| |的取值范围是 （ ） A 1， 1 B1， C ， D 1，1 【分析】根据题意，可设 （1，0）， （0，1）， （x，y），得| | ，结合图形求出它的最大、最小值 解：三个向量 ， ， 共面，且均为单位向量， 0， 可设 （1，0）， （0，1）， （x，y）， 则 （1x，1y），| | 1； | | ， 它表示单位圆上的点到
17、定点 P（1，1）的距离， 其最大值是 PNr+|OP|1 ，最小值是|OP|r 1， | |的取值范围是 1， 1 故选：A 9已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点， P 是双曲线在第一象限上的点， 直线 PO， PF2分别交双曲线 C 左、 右支于另一点 M， N， |PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，可得|PF1|4a，|PF2|2a，由MF2N 60，可得F1PF260，由余弦定理可得 4c216a2+4a22 4a 2a co
18、s60，即 可求出双曲线 C 的离心率 解：由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a， |PF1|4a，|PF2|2a， MF2N60，F1PF260， 由余弦定理可得 4c216a2+4a22 4a 2a cos60， c a， e 故选：B 10设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）ex若对任意的 xa，a+1， 不等式 f（x+a）f2（x）恒成立，则实数 a 的最大值是（ ） A B C D2 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为 f（|x+a|）f2（|x|）恒成 立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论 解：f（x
19、）是定义在 R 上的偶函数， 不等式 f（x+a）f2（x）恒成立等价为 f（|x+a|）f2（|x|）恒成立， 当 x0 时，f（x）ex 不等式等价为 e|x+a|（e|x|）2e2|x|恒成立， 即|x+a|2|x|在a，a+1上恒成立， 平方得 x2+2ax+a24x2， 即 3x22axa20 在a，a+1上恒成立， 设 g（x）3x22axa2， 则满足 ， ， 即 ， a ， 故实数 a 的最大值是 故选：C 11已知 P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，O 为球心，PAPBPC2，ABC 90，则三棱锥 OABC 体积的最大值是（ ） A B1 C D 【分析】P 到平
20、面 ABC 上的射影 G 是ABC 的外心，即 AC 中点，则球的球心在 PG 的 延长线上，设 PGh，则 OG2h，由 OB2OG2PB2PG2，解得 h1，从而 AG CGBG ，三棱锥 OABC 体积取最大值时，BGAC，由此能求出三棱锥 OABC 体积的最大值 解：如图，P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，O 为球心， PAPBPC2，ABC90， P 到平面 ABC 上的射影 G 是ABC 的外心，即 AC 中点， 则球的球心在 PG 的延长线上，设 PGh，则 OG2h， OB2OG2PB2PG2，4（2h）24h2，解得 h1， AGCGBG ， 三棱锥 OABC 体积
21、取最大值时，BGAC， 三棱锥 OABC 体积的最大值为： V 1 故选：B 12已知函数 ，对于函数 f（x）有下述四个结论： （1）函数 f（x）在其定义域上为增函数； （2）对于任意的 a0，a1，都有 成立； （3）f（x）有且仅有两个零点； （4）若 f（x0）0，则 ylnx 在点（x0，lnx0）处的切线与 yex在点 ， 处的 切线为同一直线 其中所有正确的结论有（ ） A（1）（2）（3） B（1）（3） C（2）（3）（4） D（3）（4） 【分析】求出函数的定义域，判断函数的单调性，函数的值判断等式是否成立，判断函 数的零点个数，切线方程判断命题的真假即可 解：函数 ，定
22、义域为：（0，1）（1，+） （1）f（x）lnx1 ，f（x） ，可得函数 f（x）在（0，2 ），（2 ，+）上单调递增；在（2 ，1），（1，2 ）上 单调递减 因此函数 f（x）在其定义域上为增函数，不正确； （2）对于任意的 a0，a1，f（ ）（ln ）lna f（a），因此： 对于任意的 a0，a1，都有 成立；正确 （3）如图所示，分别画出函数 ylnx，y 的图象f（x）有且仅有两个零点，正确； （4）若 f（x0）0，即 lnx01 ， ylnx 的导数为：y ，在点（x0，lnx0）处的切线的斜率为： ，所以切线方程为： ylnx0 （xx0 ） ，即 y1 ，即 y ，
23、 与 yex的导数为：yex，在点 ， 处的切线的斜率为： ，切线方程为： （x+lnx0），即 y x （1 ） x ， 为同一直线所以（4）正确； 故选：C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13在（x1）（x+1）8的展开式中，x5的系数是 14 【分析】将求 x5的系数问题转化为二项式（x+1）8的展开式的 x4的系数减去 x5的系数， 即可求出展开式中 x5的系数 解：（x1）（x+1）8x（x+1）8（x+1）8 （x1）（x+1）8展开式中 x5的系数等于（x+1）8展开式的 x4的系数减去 x5的系数， （x+1）8展开式的通项为 展开式中 x5的系
24、数是 C84C8514， 故答案为：14 14记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a10，a23a1，则 4 【分析】根据 a23a1，可得公差 d2a1，然后利用等差数列的前 n 项和公式将 用 a1 表示，化简即可 解：设等差数列an的公差为 d，则 由 a10，a23a1可得，d2a1， ， 故答案为：4 15 已知点 A （0， 1） ， B （1， 0） ， C （t， 0） ， 点 D 是直线 AC 上的动点， 若| |2| |恒成立， 则最小 正整数 t 4 【分析】先设出 D（x，y），得到 AD 的方程为：x+tyt0，由| |2| |得到圆的方 程，结合点到直线的距离公
25、式，求出 t 的最小值即可 解：设 D（x，y），由 D 在 AC 上，得： y1，即 x+tyt0， 由| |2| |，得：（x ） 2 +（y ） 2 ， 依题意，线段 AD 与圆（x ） 2 +（y ） 2 ，至多有一个公共点， ，解得：t2 ，或 t2 ， t 是使| |2| |恒成立的最小正整数， t4， 故答案为：4 16已知点 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点（点 A 在 x 轴上方），与 y 轴的正半轴相交于点 N，点 Q 是抛物线不同于 A，B 的 点，若 2 ，则|BF|：|BA|：|BN| 2：3：4 【分析】点 F
26、 ， ，设直线 AB 的方程为 ，所以点 N（ ， ），由 2 可知点 A 是线段 NF 的中点，所以点 A（ ， ），联立直线 AB 与 抛物线的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，由韦达定理可知， ，xB p，然后利用抛物线的定义逐一用含有 p 的式子表示出线段|BF|、|BA|和|BN|的长，即可 得解 解：由题可知，点 F ， ，设直线 AB 的方程为 ， 令 x0，则 y ，点 N（ ， ）， 2 ，点 A 是线段 NF 的中点，点 A（ ， ）， 联立 ， 得 ， ， ， 由抛物线的定义可知， |BF| ， |BA| ， |BN|BA|+|AN|BA|+|AF| ， |B
27、F|：|BA|：|BN| ： ： ： ： 故答案为：2：3：4 三、 解答题： 共 70 分.解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求 的值； （2）若 ，b2，求ABC 的面积 S 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式，诱导公式化简可得 sinC2sinA，再 结合正弦定理即可求解； （2）由已知结合余弦定理可求 a，c，然后结合三角形的面积公式即可求解 解：（1）由正弦定理可得，
28、， 整理可得，sinBcosA+sinAcosB2sinCcosB+2sinBcosC， 所以 sin（A+B）2sin（B+C）， 即 sinC2sinA 由正弦定理可得， 2， （2）由余弦定理可得， ， 解可得，a1，c2，b2， 又因为 sinB ， 所以ABC 的面积 S 18 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形， PA面 ABCD， BAD120， E， F 分别是 CD，PC 的中点 （1）求证：平面 AEF平面 PAB； （2）M 是 PB 上的动点，EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45，求二面角 FAED 的 余弦值 【分析】（1）先判断 RtA
29、DE，AEED，得到 AE平面 PAB，再根据面面垂直的判定 定理，证明出即可； （2）连接 AM，则AME 为直线 EM 与平面 PAB 所成的角，根据题意得到 AEAM，求 出 PA，以 AB，AE，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 AEF 的法向量 和平面 ADE 的法向量，再利用夹角公式求出二面角的余弦值即可 解：（1）证明：底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，BAD120， 故ADE60，DE ，ADa， 由 AE2AD2+DE22AD DEcos60a2 2a ， 所以 AE2+DE2AD2，故 RtADE，AEED， 又 ABCD，所以 AEAB， 又
30、PA平面 ABCD，AE平面 ABCD， 所以 AEPA，又 ABPAA， 所以 AE平面 PAB，又 AE平面 AEF， 故平面 AEF平面 PAB； （2）连接 AM，则由（1）知，AE平面 PAB， 则AME 为直线 EM 与平面 PAB 所成的角， 在 RtAME 中，tanAME ， 当 AM 最小时，即 AMPB 时，AME 取得最大值 45，此时 AEAM， 设 PAx，则由 PA ABPB AM 得， ax ，解得 ， 根据题意，以 AB，AE，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 B （a， 0， 0） ， E （0， ， 0） ， C （ ， ， 0） ，
31、P （0， 0， ） ， F （ ， ， ） ， ， ， ， ， ， ， 设平面 AEF 的法向量为 ， ， ， 由 ，得 ， ， ， 又平面 AED 的法向量为 ， ， ， 由 cos ， ， 因为二面角 FAED 为钝角， 所以二面角 FAED 的余弦值为 19已知椭圆 y 21，P 是椭圆的上顶点，过 P 作斜率为 k（k0）的直线 l 交椭圆于另 一点 A，设点 A 关于原点的对称点为 B （1）求PAB 面积的最大值； （2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内部，求斜率 k 的取值范围 【分析】（1）由题意设直线 PA 的方程代入椭圆中，求出 A 的坐标，
32、进而由题意得 B 的 坐标， PAB 面积等于 |OP|x AxB|， 再整理成用到均值不等式形式， 求出面积的最大值； （2）由（1）得，线段 PB 的中垂线过 PB 的中点，斜率是 PB 的斜率的负倒数，写出中 垂线的方程，令 x 等于 0 得出 y 值，在椭圆内部，纵坐标的绝对值小于 1，可求得 k 的取 值范围，注意 k 不为零 解：（1）由题意设直线 l 的方程：ykx+1， 代入抛物线方程整理得：（1+4k2）x2+8kx0， 所以 x ， 所以 y 所以 A 的坐标（ ， ）， 由题意得 B 的坐标（ ， ）， 所以三角形 PAB 的面积 S |OP| |xAxB | | |因为
33、 k0， 所以 SPAB8 | |8 2（当且仅当 k 时取到等号）， 所以PAB 面积的最大值为：2； （2）由（1）得：kPB ，且 PB 的中点坐标（ ， ）， 所以线段 PB 的中垂线方程为：y 4k（x ）， 令 x0，得 y ， 由题意得|y|1，所以 1， 解得：8k21， 所以： ，且 k0， 所以斜率的取值范围为（ ，0）（0， ） 20设函数 （x一、选择题，实数 a0，+），e2.71828是自然对 数的底数， ） （）若 f（x）0 在 xR 上恒成立，求实数 a 的取值范围； （）若 exlnx+m 对任意 x0 恒成立，求证：实数 m 的最大值大于 2.3 【分析】
34、（）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决； （）构造函数设 ，利用导数求出函数的最值，即可证明 解：（） ，f（x）0 在 xR 上恒成立， a ， 设 h（x） ， h（x） ， 令 h（x）0，解得 x ， 当 x ，即 h（x）0，函数单调递增， 当 x ，即 h（x）0，函数单调递减， h（x）minh（ ） ， 0a ， 故 a 的取值范围为 ， ； （）设 ， ，g（x）0，可得 ；g（x）0，可得 g（x）在（ ，+）上单调递增；在 ， 上单调递减 g（x）g（ ） ， ， 1.6， g（x）2.3 由（）可得 ex x ， exlnx 的最小值大于 2.3，
35、 故若 exlnx+m 对任意 x0 恒成立，则 m 的最大值一定大于 2.3 21某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 n（nN*）份血液样本，有以 下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 n 次；（2）混合检验，将其中 k（kN* 且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为 阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共 为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独 立的，且每份
36、样本是阳性结果的概率为 p（0p1） （）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好 经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率 （）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的 总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 （）试运用概率统计的知识，若 E1E2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k）； （）若 ，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐 份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln51.609
37、4，ln61.7918 【分析】（）利用古典概率计算公式即可得出 （） （）由已知得 E1k，2的所有可能取值为 1，k+1可得 ， ，即可得出期望根据 E1E2，解得 k （）由题意可知 E2E1，得 ， ， ，可得 ， 设 ，利用导数研究其单调性即可得出 解：（）P ， 恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为 （）（）由已知得 E1k，2的所有可能取值为 1，k+1 ， ， k+1k（1p） k 若 E1E2，则 kk+1k（1p）k， k（1p）k1 p 关于 k 的函数关系式 （kN*且 k2） （）由题意可知 E2E1，得 ， ， ， ， 设 ， 当 x3 时，f（x
38、）0，即 f（x）在（3，+）上单调递减， 又 ln41.3863， ， ，ln51.6094， ， k 的最大值为 4 （二）选考题：共 10 分选考 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 （ 为参数），以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 2sin（ ）3 ，射线 OM： 与圆 C 的交点为 O、 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 【分析】解：（I）利用 cos2+sin21，即可把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程 （II）设（1，1）为点 P 的极坐标，由
39、 ，联立即可解得设（2，2）为 点 Q 的极坐标，同理可解得利用|PQ|12|即可得出 解：（I）利用 cos2+sin21，把圆 C 的参数方程 为参数）化为（x 1）2+y21， 22cos0，即 2cos （II）设（1，1）为点 P 的极坐标，由 ，解得 设（2，2）为点 Q 的极坐标，由 ，解得 12，|PQ|12|2 |PQ|2 选考 4-5：不等式选讲 23已知定义域在 R 上的函数 f（x）|x+1|+|x2|的最小值为 a （1）求 a 的值； （2）若 p，q，r 为正实数，且 p+q+ra，求证：p2+q2+r23 【分析】（1）由绝对值不等式|a|+|b|ab|，当且仅当 ab0，取等号； （2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）（ad+be+cf）2，即可证得 【解答】（1）解：|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|3， 当且仅当1x2 时，等号成立， f（x）的最小值为 3，即 a3； （2）证明：由（1）知，p+q+r3，又 p，q，r 为正实数， 由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）（p1+q1+r1）2 （p+q+r）2329， 即 p2+q2+r23
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